Unidad 5 amortizacion y capitalizaciones

MATEMATICAS PARA LAS
FINANZAS
Unidad 4 Amortización y Capitalización
Carlos Mario Morales C

Finanzas del Proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
 Concepto de amortización
 Amortización con cuotas extras pactadas
 Amortización con cuotas extras no pactadas
 Amortización con periodos de gracia
 Distribución de un pago
 Concepto de Capitalización
 Capitalización con cuotas extras pactadas
 Fondos de amortización
 Costo periódico de una deuda

Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de identificar
los tipos más representativos de amortización de una obligación
financiera; así como las formas más comunes de capitalización; además,
elaboraran las tablas de amortización y capitalización para casos
cotidianos

La amortización se entiende como el proceso de cancelar
una obligación a través de pagos periódicos que pueden ser
iguales o diferentes, es común que se apliquen diferentes
sistemas de amortización en el mercado financiero.
La capitalización, por su parte, es el proceso de reunir un
capital a través de pagos (cuotas) periódicos que pueden,
igualmente, ser iguales o diferentes; también existen
diferentes sistemas de capitalización
Amortización y Capitalización
Concepto

Aunque los sistemas de amortización pueden ser diversos,
todos ellos corresponden o son variantes del sistema
alemán, el francés o el americano.
El sistema alemán es conocido como pagos con abonos
iguales a capital; el francés como amortización con cuotas
iguales y el sistema americano como pago único de capital
con abonos periódicos de interés
Amortización y Capitalización
Tipos

Se considera un sistema de amortización donde el préstamo 𝑉𝑃 es devuelto en
𝑛 cuotas 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴 𝑛, no necesariamente iguales, pagadas en periodos equi-
espaciados; la unidad de tiempo es el lapso entre dos cuotas consecutivas, el
origen del tiempo es el momento del préstamo; es decir, en 𝑡 = 0 y la k-ésima
cuota en 𝑡 = 𝑘; además, 𝑖 es la tasa de interés efectiva en el período unitario.
Bajo las anteriores condiciones cada cuota 𝐴 𝑘 se compone de dos partes:
𝐴 𝑘 = 𝑉𝑘 + 𝐼 𝑘
𝑉𝑘 se denomina la cuota de amortización de capital y 𝐼 𝑘 es la cuota de interés.
La suma de las 𝑛 cuotas de amortización de capital son iguales al préstamo; es
decir:
𝑉𝑝 = 𝑉1 + 𝑉2 + ⋯ + 𝑉𝑛
Amortización
Características del sistema

 Amortización mediante abono constante a capital – Método Alemán
 Amortización con cuotas uniformes – Método Francés
 Amortización con cuotas uniformes y cuotas extras pactadas – Método Francés modificado
 Amortización con cuotas uniformes y cuotas extras no pactadas – Método Francés
modificado
 Amortización con períodos de gracia muertos – Método Americano
 Amortización con períodos de gracia con cuotas reducidas – Método Americano
 Amortización mediante gradiente – Método Francés modificado
 Amortización mediante gradiente escalonado – Método Francés modificado
 Amortización en valor constante
Amortización
Sistemas de amortización

Se configura este sistema de amortización cuando se pacta el pago del
préstamo en cuotas iguales de amortización de capital. Para el caso, la cuota de
capital se calcula como el valor del préstamo dividido por el número de periodos
acordados para el pago.
𝑉𝑘 =
𝑉𝑃
𝑛
El interés (𝐼 𝑘) en cada periodo se calculan como se indico en la sección
anterior, es decir sobre los saldos de capital, considerando el interés efectivo del
periodo; el saldo de capital se determina como el saldo del periodo anterior
menos la cuota pagada de capital y el pago (𝐴 𝑘) como la suma de la cuota de
capital 𝑉𝑘 más el interés periodo (𝐼 𝑘)
Amortización
Con cuotas constantes de capital – Método Alemán

Una pequeña empresa acuerda con el Banco Medellín un préstamo por $100 millones para ser
cancelado en 20 cuotas trimestrales, con cuotas de amortización de capital iguales. El banco aplica
una tasa de interés del 20% N-t. Elaborar la tabla de amortización.
Amortización
Ejemplo: cuotas constantes de capital – Método alemán
Para elaborar la tabla de amortización se debe inicialmente determinar la tasa de interés efectiva
trimestral a partir de la tasa nominal utilizando la formula
𝑗 = 𝑖 × 𝑚
𝑖 =
0,20
4
= 0,05 = 5% 𝐸𝑇
Adicionalmente, se debe calcular el valor de la cuota de amortización de capital a partir de la
formula
𝑉𝑘 =
𝑉𝑃
𝑛
=
100´000.000
20
= 5´000.000

Continuación...
Periodo (k) Pago Mensual (Ak) Interés (Ik) Cuota de capital (Vk) Saldo de Capital
0 0 0 0 100.000.000
1 10.000.000 5.000.000 5.000.000 95.000.000
2 9.750.000 4.750.000 5.000.000 90.000.000
3 9.500.000 4.500.000 5.000.000 85.000.000
4 9.250.000 4.250.000 5.000.000 80.000.000
5 9.000.000 4.000.000 5.000.000 75.000.000
6 8.750.000 3.750.000 5.000.000 70.000.000
7 8.500.000 3.500.000 5.000.000 65.000.000
8 8.250.000 3.250.000 5.000.000 60.000.000
9 8.000.000 3.000.000 5.000.000 55.000.000
10 7.750.000 2.750.000 5.000.000 50.000.000
11 7.500.000 2.500.000 5.000.000 45.000.000
12 7.250.000 2.250.000 5.000.000 40.000.000
13 7.000.000 2.000.000 5.000.000 35.000.000
14 6.750.000 1.750.000 5.000.000 30.000.000
15 6.500.000 1.500.000 5.000.000 25.000.000
16 6.250.000 1.250.000 5.000.000 20.000.000
17 6.000.000 1.000.000 5.000.000 15.000.000
18 5.750.000 750.000 5.000.000 10.000.000
19 5.500.000 500.000 5.000.000 5.000.000
20 5.250.000 250.000 5.000.000 -
Considerando la tasa
de interés y la cuota
constante de
amortización de
capital se puede
elaborar la tabla de
amortización, como
sigue:
Ejemplo: cuotas
constantes de capital
– Método alemán

En este sistema de amortización se pacta el pago del préstamo en cuotas iguales 𝐴. En
este caso, la cuota se calcula utilizando la formula, teniendo en cuenta el valor del
préstamo (𝑉𝑃), la tasa de interés efectiva (𝑖), y el número de periodos (𝑛).
𝐴 = 𝑉𝑃
𝑖
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
El interés (𝐼 𝑘) de cada periodo se calcula sobre los saldos de capital, considerando el
interés efectivo del periodo; el saldo de capital se determina como el saldo del periodo
anterior menos la cuota pagada de capital; finalmente el valor de la cuota de amortización
de capital (𝑉𝑘) se calcula como la diferencia entre la cuota e interés del periodo (𝐼 𝑘)
Amortización
Con cuotas uniformes – Método Francés

Una pequeña empresa acuerda con el Banco Medellín un préstamo por $100 millones para ser
cancelado en 20 cuotas trimestrales iguales. El banco aplica una tasa de interés del 20% N-t. Elaborar
la tabla de amortización.
Amortización
Ejemplo: cuotas uniformes – Método francés
Para elaborar la tabla de amortización se debe inicialmente determinar la tasa de interés efectiva trimestral a
partir de la tasa nominal utilizando la formula
𝑗 = 𝑖 × 𝑚
𝑖 =
0,20
4
= 0,05 = 5% 𝐸𝑇
Adicionalmente, se debe calcular el valor de la cuota o pago trimestral a partir de la formula,
𝐴 = 𝑉𝑃
𝑖
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝐴 = 100´000.000
0,05
1 − (1 + 0,05)−20
= 8´024.258,72

Continuación...
0 0 0 0 100.000.000
1 8.024.258,72 5.000.000 3.024.259 96.975.741
2 8.024.258,72 4.848.787 3.175.472 93.800.270
3 8.024.258,72 4.690.013 3.334.245 90.466.024
4 8.024.258,72 4.523.301 3.500.958 86.965.067
5 8.024.258,72 4.348.253 3.676.005 83.289.062
6 8.024.258,72 4.164.453 3.859.806 79.429.256
7 8.024.258,72 3.971.463 4.052.796 75.376.460
8 8.024.258,72 3.768.823 4.255.436 71.121.024
9 8.024.258,72 3.556.051 4.468.208 66.652.817
10 8.024.258,72 3.332.641 4.691.618 61.961.199
11 8.024.258,72 3.098.060 4.926.199 57.035.000
12 8.024.258,72 2.851.750 5.172.509 51.862.491
13 8.024.258,72 2.593.125 5.431.134 46.431.357
14 8.024.258,72 2.321.568 5.702.691 40.728.666
15 8.024.258,72 2.036.433 5.987.825 34.740.841
16 8.024.258,72 1.737.042 6.287.217 28.453.624
17 8.024.258,72 1.422.681 6.601.578 21.852.047
18 8.024.258,72 1.092.602 6.931.656 14.920.390
Considerando la tasa de
interés y la cuota
constante de amortización
de capital se puede
elaborar la tabla de
amortización, como sigue:
Ejemplo: cuotas uniformes
– Método francés

Bajo este sistema deudor y acreedor acuerdan el pago de un préstamo
a través de pagos uniformes y pagos extraordinarios.
En este caso, el sistema puede tener, a su vez, dos variantes:
 La amortización del compromiso con cuotas uniformes y cuotas
extras puntuales
 La amortización a través de cuotas uniformes y cuotas extras con
pagos periódicos
Amortización
Con cuotas uniformes y cuotas extras pactadas Método Francés modificado

Se cancela una deuda de USD$200.000 en cuatros cuotas iguales trimestrales, con una tasa de interés
del 32% NT; además se pacta una cuota extra de $50.000 en el mes 9. Realizar la tabla de amortización.
.
Amortización
Ejemplo: cuotas uniformes y cuotas extras puntuales
Para elaborar la tabla de amortización se debe inicialmente determinar la tasa de interés efectiva trimestral a
partir de la tasa nominal utilizando la formula
𝑗 = 𝑖 × 𝑚
𝑖 =
0,32
4
= 0,08 = 8% 𝐸𝑇
Para calcular la cuota uniforme es necesario descontar el valor de la cuota extra del préstamo.
VP = 200.000 – 50.000(1,08)-3 = 160.308
Con base en este nuevo valor se calcula la cuota A
𝑉𝑃 = 𝐴
1− 1+𝑖 −𝑛
𝑖
; A = 48.400

Continuación… tabla de amortización de los pagos periódicos iguales
Amortización
Periodo (k)
Pago Mensual
(Ak)
Interés (Ik) Cuota de capital (Vk) Saldo de Capital
0 0 0 160.308,00
1 48.400,00 12.824,64 35.575,36 124.732,64
2 48.400,00 9.978,61 38.421,39 86.311,25
3 48.400,00 6.904,90 41.495,10 44.816,15
4 48.400,00 3.585,29 44.814,71 1,44

Continuación… tabla de amortización con el pago extra
Amortización
0 0 0 200.000,00
1 48.400,00 16.000,00 32.400,00 167.600,00
2 48.400,00 13.408,00 34.992,00 132.608,00
3 98.400,00 10.608,64 87.791,36 44.816,64
4 48.400,00 3.585,33 44.814,67 1,97

Bajo este sistema deudor y acreedor acuerdan el pago de un préstamo
a través de pagos uniformes; pudiendo el deudor pagar cuotas extras si
así lo considera.
En caso de realizarse el pago extra existen dos posibilidades:
 Afectar el valor de las cuotas periódicas, o
 Disminuir el número de pagos
Amortización
Con cuotas uniformes y cuotas extras no pactadas – Método francés modificado

Se pacta el pago con cuotas ordinarias entre el deudor y acreedor ,
no se acuerdan cuotas extraordinarias al momento que se contrata el
crédito
A continuación se analiza el caso a través de un ejemplo.
Amortización
Con cuotas uniformes y cuotas extras no pactadas – Método francés modificado

Una deuda de USD$ 600.000 se va
cancelar en 7 pagos trimestrales con un
interés del 9% ET. Si en el periodo 3 se
efectúa un abono de USD$ 250.000.
Se pide: elaborar la tabla de amortización
suponiendo que la cuota se abona a
capital
0 1 2 3 4 6 7
Amortización
Ejemplo: amortización con cuotas uniformes y cuotas extras no pactadas – Método francés modificado

Periodo (k) Pago Mensual (Ak) Interés (Ik)
Cuota de capital
(Vk)
Saldo de Capital
0 0 0 600.000,00
1 119.214,00 54.000,00 65.214,00 534.786,00
2 119.214,00 48.130,74 71.083,26 463.702,74
3 119.214,00 41.733,25 77.480,75 386.221,99
4 119.214,00 34.759,98 84.454,02 301.767,97
5 119.214,00 27.159,12 92.054,88 209.713,08
6 119.214,00 18.874,18 100.339,82 109.373,26
7 119.214,00 9.843,59 109.370,41 2,85
Amortización
La tabla de amortización sin el pago extra se muestra en la siguiente tabla:

Cuota de capital
(Vk)
Saldo de Capital
0 0 0 600.000,00
1 119.214,00 54.000,00 65.214,00 534.786,00
2 119.214,00 48.130,74 71.083,26 463.702,74
3 119.214,00 41.733,25 327.480,75 136.221,99
4 119.214,00 12.259,98 106.954,02 29.267,97
5 31.902,09 2.634,12 29.267,97 0,00
6
7
Amortización
La tabla de amortización con el pago extra se muestra en la siguiente tabla:

Una deuda de USD$ 600.000 se va
cancelar en 7 pagos trimestrales con un
interés del 9% ET. Si en el periodo 3 se
efectúa un abono de USD$ 250.000
Se pide: elaborar la tabla de amortización
suponiendo que se pide re-liquidación de
la cuota
3 6 7
Amortización

Cuota de capital
(Vk)
Saldo de Capital
0 0 0 600.000,00
1 119.214,00
54.000,00
65.214,00 534.786,00
2 119.214,00
48.130,74
71.083,26 463.702,74
3 119.214,00
41.733,25
327.480,75 136.221,99
4 42.047,00
12.259,98
29.787,02 106.434,97
5 42.047,00
9.579,15
32.467,85 73.967,11
6 42.047,00
6.657,04
35.389,96 38.577,15
7 42.047,00
3.471,94
38.575,06 2,10
Amortización

Después de efectuado el préstamo pasa un tiempo antes de que se
empiecen a pagar las cuotas. Existen dos modalidades:
 Periodo de gracia muerto
 Periodo de gracia con cuota reducida (pago de intereses)
Se ilustran ambos casos a través de ejemplos
Amortización
Amortización con periodos de gracia

Para el pago de un préstamo de
USD $2´000.000 se concede un
plazo de gracia de 6 meses. El
préstamo se pagara en 4 cuotas
trimestrales crecientes en un 10% y
un interés de 44%NT.
Se pide elaborar la Tabla de
Amortización
6
Amortización
Ejemplo: Amortización con periodos de gracia con periodo de gracia muerto

Periodo
(k)
Pago Mensual
(Ak)
Interés (Ik)
Cuota de capital
(Vk)
Saldo de Capital
0 0 0 2.000.000,00
1 - 220.000,00 -220.000,00 2.220.000,00
2 - 244.200,00 -244.200,00 2.464.200,00
3 693.126,00 271.062,00 422.064,00 2.042.136,00
4 762.438,60 224.634,96 537.803,64 1.504.332,36
5 838.682,46 165.476,56 673.205,90 831.126,46
6 922.550,71 91.423,91 831.126,80 -0,34
Amortización
Ejemplo: Amortización con periodos de gracia con periodo de gracia muerto

Para el pago de un préstamo de USD
$2´000.000 se concede un plazo de
gracia de 6 meses con cuota reducida.
El préstamo se pagara en 4 cuotas
trimestrales crecientes en un 10% y un
interés de 44%NT.
Se pide elaborar la Tabla de
Amortización
0 6
Amortización
Ejemplo: Amortización con periodos de gracia con cuota reducida

Periodo
(k)
Pago Mensual
(Ak)
Interés (Ik)
Cuota de
capital (Vk)
Saldo de Capital
0 0 0 2.000.000,00
1 220.000,00 220.000,00 0,00 2.000.000,00
2 220.000,00 220.000,00 0,00 2.000.000,00
3 562.557,00 220.000,00 342.557,00 1.657.443,00
4 618.812,70 182.318,73 436.493,97 1.220.949,03
5 680.693,97 134.304,39 546.389,58 674.559,45
6 748.763,37 74.201,54 674.561,83 -2,37
Amortización
Ejemplo: Amortización con periodos de gracia con cuota reducida

No es necesario construir la tabla de amortización para calcular
lo correspondiente a interés y amortización; basta con calcular
los intereses al capital insoluto del periodo inmediatamente
anterior y luego, restárselo al valor de la cuota para conocer la
parte que corresponde a la amortización.
La situación se ilustra a través del siguiente ejemplo:
Amortización
Distribución de un pago

Hallar la distribución del pago
número 125, en la amortización
de $2 millones, mediante pagos
mensuales durante 20 años,
suponiendo una tasa del 30%NM
…
Amortización
Ejemplo: Distribución de un pago

3. Se sabe que la porción de la cuota 125 que se utiliza para pagar intereses es igual a la tasa
multiplicada por la deuda que queda inmediatamente después de haberse efectuado el pago 124 ;
entonces se deba calcular el valor presente de los pagos que faltan por hacer
𝑉𝑃 = 𝐴
1− 1+𝑖 −𝑛
𝑖
Vp = 1´891.004,92
4. Los intereses se calculan como:
I = 1´891.004,92 x 0,025 = $47.275,12
5. La amortización será igual a la cuota menos los intereses C= 50.133,78 - 47.275,12 = $2.858,66
Cuota de capital
(Vk)
Saldo de Capital
124 1.891.005,00
125 50.134,00 47.275,13 2.858,88 1.888.146,13
Amortización
Ejemplo: Distribución de un pago

Una forma de amortización utilizada por los bancos consiste en cobrar
intereses por anticipado y amortización constante al final de cada
periodo.
La situación se ilustra a través del siguiente ejemplo
Amortización
Amortización mediante abono constante a Capital con interés anticipado

Se paga un préstamo de $500.000 en
cuotas trimestrales durante un año,
con amortización constante e intereses
del 33% NT anticipado.
Elaborar la tabla de amortización
Amortización
Ejemplo: Amortización mediante abono constante a Capital con interés anticipado

Periodo
(k)
Pago Mensual (Ak) Interés (Ik)
Cuota de
capital (Vk)
Saldo de Capital
0 41.250,00 41.250,00 0 500.000,00
1 166.250,00 41.250,00 125.000,00 375.000,00
2 155.937,50 30.937,50 125.000,00 250.000,00
3 145.625,00 20.625,00 125.000,00 125.000,00
4 125.000,00 125.000,00 0,00
Amortización
Ejemplo: Amortización mediante abono constante a Capital con interés anticipado

Muchos créditos se otorgan en valor constante, lo cual significa que
las cuotas y los saldos insolutos deben ser ajustados en un
porcentaje, igual al índice de corrección monetaria.
Amortización
Amortización en valor constante

Elaborar la tabla de
amortización de un crédito de
$600.000 el cual se paga en 4
cuotas anuales iguales, pero en
valor constante. Tasa de interés
8%; corrección monetaria del
22% durante los 4 años
Amortización
Ejemplo: Amortización en valor constante

Primera cuota: 181.152,48 x (1+0,22) = 221.006,03
Segunda cuota: 181.152,48 x (1+0,22)2 = 269.627,35
Tercera cuota: 181.152,48 x (1+0,22)3 = 328.945,37
Segunda cuota: 181.152,48 x (1+0,22)4 = 401.313,35
Además se debe hacer la corrección de la deuda:
600.000 x (1+0,22) = 732.000
569.554 x (1+0,22) = 694.855,84
480.816 x (1+0,22) = 586.596,69
304.579 x (1+0,22) = 371.586,45
Amortización

Periodo
(k)
Pago Mensual
(Ak)
Interés (Ik)
Cuota de capital
(Vk)
Saldo de Capital
Saldo de Capital
ajustado
0 0 0 0 600.000.000,00 732.000.000,00
1 221.006.028,89 58.560.000,00 162.446.028,89 569.553.971,11 694.855.844,75
2 269.627.355,25 55.588.467,58 214.038.887,67 480.816.957,08 586.596.687,64
3 328.945.373,41 46.927.735,01 282.017.638,39 304.579.049,24 371.586.440,07
4 401.313.355,56 29.726.915,21 371.586.440,35 -0,28 -0,34
Amortización

Cuando se amortiza en pesos una deuda extranjera su metodología es
idéntica a la cancelación de una deuda en valor constante. En este
caso la devaluación remplaza la tasa de corrección monetaria
Amortización
Amortización en monedas extranjeras

Elaborar la tabla de amortización de
un crédito de USD $10.000 el cual
se paga en 3 cuotas anuales iguales
en pesos con una tasa de interés
18% EA; el tipo de cambio es
US$1=$900 y la tasa de devaluación
del peso frente al dólar es para el
primer año del 15%, del 27% el
segundo y del 13% para el tercer
año.
Amortización
Ejemplo: Amortización en monedas extranjeras

Periodo
(k)
Pago Mensual
(Ak)
Interés (Ik)
Cuota de capital
(Vk)
Saldo de
Capital
Saldo de Capital
ajustado
0 0 0 0 9.000.000,00 10.350.000,00
1 4.760.213,00 1.863.000,00 2.897.213,00 7.452.787,00 9.465.039,49
2 6.045.470,51 1.703.707,11 4.341.763,40 5.123.276,09 5.789.301,98
3 6.831.381,68 1.042.074,36 5.789.307,32 -5,34 -5,34
Amortización
Ejemplo: Amortización en monedas extranjeras

Unidad 5 amortizacion y capitalizaciones

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