Unidad 4 anualidades y gradientes

Matemáticas Financieras
Unidad 4 Anualidades y Gradientes
Carlos Mario Morales C

Finanzas del proyecto - Carlos Mario Morales C © 2017
 Concepto de anualidad
 Tipos de anualidad
 Anualidad - valor presente
 Anualidad – pagos a partir del valor presente
 Anualidad - valor futuro
 Anualidad – pagos a partir del valor Futuro
 Anualidad - Número de Pagos a partir del Valor Presente
 Anualidad - Número de Pagos a partir del Valor futuro
 Anualidad - Tasa de interés a partir del VP o VF
 Anualidades anticipadas
 Anualidades anticipadas – Valor presente
 Anualidades anticipadas – Valor futuro

 Anualidad diferidas – valor presente
 Anualidad diferida – valor futuro
 Anualidad perpetua – valor presente
 Gradiente: definición
 Gradiente aritmético – Valor presente
 Gradiente aritmético – valor futuro
 Gradiente aritmético infinito
 Gradiente geométrico – Valor presente
 Gradiente geométrico – Valor futuro
 Gradiente geométrico infinito.

Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de
calcular operaciones financieras en las cuales la contraprestación se
hace a través de cuotas periódicas iguales, crecientes o
decrecientes
Para esto deducirá los modelos matemáticos para calcular el valor
actual, futuro, interés y número de pagos para diferentes tipos de
operaciones y aplicará estos en situaciones de la vida empresarial.

Serie de pagos de una operación financiera que cumple
con las siguientes condiciones:
1. Pagos de igual valor
2. Intervalos de pago iguales
3. La misma tasa de Interés para todos los pagos
4. Número de pagos igual número de periodos
Anualidades
Concepto

1 2 …. n0
VP = ¿?
A
AnualidadesModelo: Valor presente de una serie de pagos
𝑉𝑃 = 𝐴
1 − (1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0
Para estudiar la deducción de la formula ver el libro: Introducción a las Matemáticas financieras de Carlos Mario Morales C

1 2 …. n0
VP
A = ¿?
Anualidades
Modelo: Pagos a partir del Valor Presente
De la formula de VP se puede deducir el valor de 𝐴.
𝐴 = 𝑉𝑃
𝑖
1 − (1 + 𝑖 −𝑛

1 2 …. n0
VF = ¿?
A
Anualidades
Modelo: Valor Futuro a partir de una serie de pagos
Para determinar el VF se utiliza el siguiente modelo.
𝑉𝐹 = 𝐴
(1 + 𝑖 𝑛
−1
𝑖
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0

1 2 …. n0
VF
A = ¿?
Anualidades
Modelo: Pagos a partir del Valor Futuro
𝐴 = 𝑉𝐹
𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
De la formula de VF se puede deducir el valor de 𝐴.

1 2 …. n = ¿?0
VP
A
Anualidades
Modelo: Número de Pagos a partir del Valor Presente
𝑛 =
log 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔 (𝐴 − 𝑖𝑉𝑃
log 1 + 𝑖

1 2 …. n = ¿?0
VF
A
Anualidades
Modelo: Número de Pagos a partir del Valor Futuro
𝑛 =
𝐿𝑜𝑔(𝑉𝐹𝑖 + 𝐴 − 𝐿𝑜𝑔𝐴
𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑖

Anualidades
Modelo: Tasa de interés a partir del Valor Presente o Valor Futuro
1 2 …. n0
VP
A
𝑖 = ¿?
Cuando se tienen los demás elementos de la anualidad, es decir:
el valor presente 𝑉𝑃 o valor futuro 𝑉𝐹, el valor y numero de
pagos 𝐴 se puede determinar el valor de la tasa de interés 𝑖 a
partir de la formulas de VP o VF, no obstante por tratarse de
ecuaciones con más de una raíz, no es posible hallar la solución
analíticamente; por esta razón se debe utilizar un método de
tanteo y error
La forma de proceder en estos casos, es la siguiente:
1. Se asigna un valor inicial a la tasa de interés 𝑖 y se calcula la
ecuación.
2. Si el valor es menor que la igualdad VP 𝑜 VF entonces se
disminuye la tasa y se vuelve a calcular, en caso contrario se
aumenta la tasa y se vuelve a calcular
3. Cuando se logre determinar dos valores, uno mayor y otro
menor, suficientemente aproximados a los valores de la
igualdad, se procede a calcular la tasa de interés por
interpolación
𝑉𝑃 = 𝐴
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
𝑉𝐹 = 𝐴
(1 + 𝑖 𝑛
−1
𝑖

Anualidades Anticipadas
En algunas operaciones es frecuente que los pagos se efectúen al comienzo de
cada periodo; es el caso de los arrendamientos, ventas a plazos, y contratos de
seguros, este tipo de operaciones financieras reciben el nombre de anualidades
anticipadas. Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que
se efectúan o vencen al principio del periodo del pago. En la gráfica se
comparan las anualidades vencidas y anticipadas
0
1 2 3 n-2 n-1 n
Anualidad Vencida
2 31 n-1 n
Anualidad Anticipada

Modelo: Valor presente a partir de una serie de pagos anticipados
𝑉𝑃 = 𝐴 1 +
1 − (1 + 𝑖 −(𝑛−1
𝑖
0
𝑉𝑃 = ¿?
2 31 n-1 n
A

Modelo: Valor futuro de una serie de pagos anticipados
𝑉𝐹 = 𝐴
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
1 + 𝑖
0
𝑉𝐹 = ¿?
2 31 n-1 n
A

Anualidades Diferidas
1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
A
𝑽𝑷
𝒊
0
Hasta el momento se ha considerado que el pago de las rentas se inicia inmediatamente
después de que se plantea la operación; no obstante, existen transacciones donde los
pagos o rentas se realizan después de haber pasado cierta cantidad de periodos, en
estos casos la operación se denomina anualidad diferida. En la gráfica se ilustran este
tipo de actividades.

Para hallar el valor presente de este tipo anualidades, se determina el valor presente de
la anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos (para el ejemplo n-4); utilizando
para ello la formula de anualidad vencida, para el valor hallado se halla el valor presente
en el periodo 0.
Modelo: Valor Presente de una serie de pagos diferidos
1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
A
𝑽𝑷
𝒊
0

Para hallar el valor futuro de este tipo anualidades, se determina el valor presente de la
anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos (para el ejemplo n-4); utilizando para
ello la formula de anualidad vencida, para el valor hallado se halla el valor futuro en el
periodo n.
Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos diferidos
1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
A
𝑽𝑭 = ?
𝒊
0

Anualidades Perpetuas
Modelo: Valor Presente de una serie de pagos perpetuo
1 2 3 n-3 n-2 n-1 ∞
A
𝑽𝑷
i
0
Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con
exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua. Al deducirse los modelos
matemáticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor presente ya que por tratarse de
una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de anualidades sería infinito
𝑉𝑃 =
𝐴
𝑖
; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 0

Gradientes
Definición
Serie de pagos que cumplen con las siguientes
condiciones:
 Los pagos cumplen con una ley de formación
 Los pagos se efectúan a iguales intervalos de
tiempo
 Todos los pagos se calculan a la misma tasa
de interés
 El número de pagos es igual al número de
periodos
0 1 2 3 n…
A
𝑉𝑃
𝑖

Gradientes
Ley de formación
La ley de formación, la cual determina la serie de pagos, puede tener un
sinnúmero de variantes; no obstante, en la vida cotidiana las más utilizadas
son el gradiente aritmético y el geométrico; las cuales a su vez pueden generar
cuotas crecientes o decrecientes
Creciente
Decreciente
Aritmético
Creciente
Decreciente
Geométrico
Creciente
Decreciente
Otros

Gradiente Aritmético
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨 + 𝒌
𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟑 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌
Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior,
más una constante k; la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas son crecientes,
negativa lo cual genera cuotas decrecientes
Ley de formación
𝑨 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴2 = 𝑨 + 𝒌 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴3 = 𝐴2 + 𝑘 = 𝑨 + 𝟐𝒌 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴4 = 𝐴3 + 𝑘 = 𝑨 + 𝟑𝒌 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
… … … … … … … … …
𝐴 𝑛 = 𝑨 + 𝒏 − 𝟏 𝒌 𝑁𝑒𝑎𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜

Gradiente aritmético
Modelo: Valor Presente de una serie de pagos crecientes aritméticamente
𝑉𝑃 = 𝐴
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
+
𝐾
𝑖
1 − (1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
−
𝑛
1 + 𝑖 𝑛
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨 + 𝒌
𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟑 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌

Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos crecientes aritméticamente
𝑉𝐹 = 𝐴
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
+
𝐾
𝑖
1 + 𝑖 𝑛
− 1
𝑖
− 𝑛
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑭
𝒊
𝑨 + 𝒌
𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟑 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌

Modelo: Valor presente de una serie de pagos infinitos crecientes aritméticamente
𝑉𝑃 =
𝐴
𝑖
+
𝐾
𝑖2
Cuando se habla de pagos de gradientes matemáticos infinitos, solo tiene sentido hablar del valor
presente, como equivalente de dichos pagos.
∞0 1 2 3 n-2 n-1 …
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨 + 𝒌
𝑨 + 𝟐𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟑 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟐 𝒌
𝑨 + (𝒏 − 𝟏 𝒌

Gradiente Geométrico
Ley de formación
𝑨 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴2 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴3 = 𝐴2(1 + 𝐺 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐
𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜
𝐴4 = 𝐴3(1 + 𝐺 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟑 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
… … … … … … … … …
𝐴 𝑛 = 𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏
𝑁𝑒𝑎𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜
0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏
De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior multiplicado por una
constante, así como se indica

Modelo: Valor Presente de una serie de pagos crecientes geométricamente
𝐕𝐏
=
𝑨
𝐺 − 𝑖
1 + 𝐺 𝑛
1 + 𝑖 𝑛
− 1 𝑠𝑖 𝐺 ≠ 𝑖
=
𝑛𝐴
1 + 𝑖
𝑠𝑖 𝐺 = 𝑖0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏

Modelo: Valor Futuro de una serie de pagos crecientes geométricamente
𝑽𝑭
=
𝐀
𝐺 − 𝑖
1 + 𝐺 𝑛
− 1 + 𝑖 𝑛 ; 𝑠𝑖 𝐺 ≠ 𝑖
=
𝑛A
1 + 𝑖 −𝑛+1 ; 𝑠𝑖 𝐺 = 𝑖0 1 2 3 n-2 n-1 n
𝑨
𝑽𝑭
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏

Modelo: Valor Presente de una serie de pagos infinito crecientes geométricamente
𝐕𝐏
=
𝐴1
𝑖 − 𝐺
; 𝑠𝑖 𝐺 < 𝑖
= ∞; 𝑠𝑖 𝐺 ≥ 𝑖
∞0 1 2 3 n-1 n ….
𝑨
𝑽𝑷
𝒊
𝑨(𝟏 + 𝑮
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟑
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐
𝑨(𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟏

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