Cálculo de las incertidumbres en las medidas

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trillas~
Serie S'.curso programado

Louis d'Hainaut
cálculo de
incertidumbres
en las medidas
Serie: curso programad~ 5

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Título de esta obra en francés:
LES INCERTITUDES DE MESURE
Versión autorizada en español de la
Plimera edición publicada en francés por
C91970, Classiques Hachette,
París, Francia
Primera edición en español, junio 1978
La presentación y disposición en conjunto de
CÁLCULO DE INCERTIDUMBRES EN LAS MEDIDAS
son propiedad del editor. Prohibida la reproducción
total o parcial de esta obra, por cualquier medio o
método, sin autorización por escrito del editor
Derechos reservados en lengua española conforme a la ley
© 1978, Editorial Trillas, S. A., ,
Av. 5 de Mayo 43-105, México 1,D. F..
Miembro de la Cámara Nacional de la
Industria Editorial. Reg, núm. 158
Impreso en México
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Indice
de contenido
CAPITULO 1. LOS ERRORES DE MEDICI6N 17
CAPITULO 2. SERIES DE MEDICIONES 27
CAPITULO 3. INCERTIDUMBRE ABSOLUTA Y
RESULTADO DE UNA SERlE NOR-
MAL DE MEDICIONES 38
CAPITULO 4. NOT ACIONES, UMITES E INTER-
VALO DE CONFIANZA 47
CAPITULO 5. SERIES DE MEDICIONES IGUALES.
IGUALDAD ENTRE LOS UMITES
DE LAS INCERTIDUMBRES 55
CAPITULO 6. LA INCERTIDUMBRE RELATIVA 65
CAPITULO 7. CALCULO DE LA INCERTIDUM-
BRE ABSOLUTA. REVISI6N GE-
NERAL 74
CAPITULO 8. CALCULO DE INCERTIDUMBRES 84
CAPITULO 9. CALCULO DE INCERTIDUMBRES
(continuaci6n) 93
CAPITULO 10. INTRODUCCI6N A LAS SERIES
DE OPERACIONES 104

CAPITULO 11. M£.TODO DEL LIMITE SUPERIOR 110
CAPITULO 12. M£.TODO POR REDUCCI6N 118
CAPITULO 13. M£.TODO DIFERENCIAL 130
CAPITULO 14. COMPARACI6N Y EJERCICIOS DE
REVISI6N 134
Resumen 1. Los errores de medicion, 137. Resu-
men 2. Series de mediciones, 142. Resumen 3. Se-
ries normales de mediciones, 148. Resumen 4. No-
taciones, limites e intervalo de confianza, 151.
Resumen 5. Series de mediciones iguales, igualdad
entre los limites de las incertidumbres, 156. Resu-
men 6. La incertidumbre relativa, 159. Resumen 7.
C<Hculode la incertidumbre absoluta, 163. Res'lk-
men 8. C<Hculode incertidumbres, 166. Resumen 9.
Ccilculo de incertidumbres (continuacion), 169.
Resumen 10. Introduccion a las series de operacio-
nes, 174. Apendice 1. ,Como redondear un coefi-
ciente numerico?, 178. Apendice 2. Demostraciones,
180. Apendice 3. Errores y cllculo de errores, 182.
Apendice 4. Compensacion de errores, 187. Apen-
dice 5. Las incertidumbres en las gclficas, 189.

Especificaciones
Este texto esta destinado a los alumnos del segundo ciclo de la ensenanza media ge-
neral 0 tecnica. Ha sido disenado para ser facilmente seguido y comprendido por
alumnos a nivel del primer grado de preparatoria 0 bachillerato, pero tambien sera
util en las clases de estudios superio.res e incluso podran utilizarlo con provecho, a
titulo de revision 0 de recuperacion, los estudiantes universitarios que comienzan
con traha jos practicos de flsica.
Para abordar el curso, el alumno solamente debera poseer un vocabulario general
y cientifico correspondiente al de un estudiante promedio de tercer grado de secun-
daria. Debera haber seguido (aunque no 10 haya hecho muy brillantemente) un cur-
so de algebra de un ano.
1. Puede escoger entre dos vias diferentes:
- La via normal, que Ie conducira a la adquisicion de conOClmlentos ajustados a
los objetivos, progresivamente, sin dificultad y con la seguridad constante de tener
exito. Para seguir esta via, Ie bastara leer todo el texto.
- La via "relampago", destinada a los alumnos que ya conocen la materia 0 que po-
seen aptitud excepcional para el estudio. Si usted la sigue y si advierte que olvida
los temas anteriores, regrese a la via normal. Para seguir la via "relampago" co-
mience por el resumen I, pagina 137, y lea, en el texto propiamente dicho, solo
los cuadros acompanados del signo 7
2. ,Como dividir su traba jo?
Si estudia en casa este curso sin haber recibido instrucciones especiales de su maes-
tro, Ie recomendamos el siguiente plan de trabajo:
• Via normal: un capitulo diario.
• Via "relampago"; dos capitulos por dia.

Cuando se utiliza un curso program ado, hay que explicar a los alumnos que sus
respuestas no van a servir como control para calificar y que no se daran notas por
elIas, sino que estan destinadas a hacerles asimilar la materia; tratar de hacer tram-
pa cuando se sigue un curso programado seria inutil y el alumno que mirase las
respuestas antes de tratar de encontrarlas, no ganaria ni un punto por ella, no apren-
deria y sufriria en la prueba final un fracaso significativo.
El maestro puede utilizar el texto programado en clase 0 pedir a los alumnos que
trabajen con el en su propio domicilio; en este caso, a veces ocurre que alumnos
poco motivados 0 debiles de caracter no siguen el curso y se conforman con co-
piar las respuestas sin leer el texto; en la prueba final, el resultado sera muy infe-
rior al promedio y su negligencia se descubrira claramente.
El metodo que nos parece mas adecuado es la utilizacion mixta: al alumno se Ie
invita a llenar el texto alternadamente en clase y en su casa. Para este caso, reco-
mendamos el siguiente plan de trabajo:
Primera clase: el maestro presenta y explica el metodo, los alumnos comienzan el
curso program ado y 10 continuan a domicilio hasta el capitulo 3 in-
cluso;
Segunda clase: durante el primer cuarto de hora, el maestro interroga a los alum-
nos sobre los dos primeros capitulos, provoca las preguntas y respon-
de a ellas.
Los alumnos empiezan entonces el capitulo 4 y son invitados a pro-
seguir en casa hasta el capitulo 5 incluso;
igual desarrollo para los capitulos 6 y 7;
igual desarrollo para los capitulos 8 y 9;
el mismo desarrollo para los capitulos 10 y 11, ejercicios 14.5 a 14.8;
prueba escrita durante el primer cuarto de hora. Esta prueba no
debe versar sobre los conocimientos verbales, sino sobre las aptitu-
des adquiridas por el alumno; este, al finalizar el cursa, es capaz
de efectuar ejercicios que se refieran a los objetivos enunciados a
continuacion:
Tercera clase:
Cuarta clase:
Quinta clase:
Sexta clase:
Al terminar el curso, el alumno que ha seguido correctamente las instrucciones debe
ser capaz, con el 80% de exito, de.:
- Discriminar entre: medida bruta / medida corregida; error sistematico / error
fortuito; magnitudes afectadas de incertidumbre / magnitudes que no 10 estan;
falta de observacion / error de medicion; efeetos y causas de errores fortuitos /
efectos y causas de errores sistematicos.
Enunciar: bajo que condiciones una serie de mediciones puede ser considerada
como serie normal:
• Entre que valores esta comprendida una magnitud medida;
• Cual es el valor mas representativo del resultado.

Evalua?' la incertidumbre absolutaJ sin cifras inutiles:
• En una serie normal de mediciones cuyos resultados son ligeramente diferentes;
• En una serie de mediciones en que todos los resultados son iguales;
• A partir del limite superior y a partir del valor promedio;
• A partir de los limites del resultado;
• A partir de la incertidumbre relativa y del promedio;
• En una suma, una diferencia, un producto, una patencia y una raiz.
- Evaluar la incertidumbre relativa en una serie de mediciones, en una suma,
una diferencia, un producto, un cociente, una potencia y una raiz.
- Evaluar a partir de una serie normal de mediciones: la incertidumbre absoluta,
la incertidumbre relativa, los limites del resultado; y la extension del intervalo
de confianza.
Transcribir:
• EI resultado de una sene de mediciones suprimiendo las cifras inutiles;
• EI intervalo de confianza;
• Los simbolos de la incertidumbre absoluta, de la incertidumbre relativa, del
promedio y de los limites del resultado.
- Decidir:
• Si dos magnitudes son iguales 0 diferentes entre los limites de las incerti-
dumbres;
• Cual es la mas precisa de dos medidas de las cuales se conocen las incertidum-
bres relativas.
- Evaluar la incertidumbre absoluta sobre el resultado de una serie de operacio-
nes (semiprogramado).

Instrucciones
Si sigue correctamente las instrucciones, APRENDERA. SIN SER
OBLIGADO A ESTUDIAR.
• Este curso esta constituido por' pequeiios parrafos apa-
rentemente independientes, llamados CUADROS DE APREN-·
DIZAJE.
• Cada cuadro contiene, en genenlI, por 10 menos una
linea que debe llenar usted. -
He aqui una ._(la palabra que hay que
escribir es linea).
• No debe mirar la respuesta corretta (situada en la co-
lumna de la derecha a la misma altura que la linea)
antes de haber dado su respuesta.
• Para evitar ver anticipadamente la respuesta correcta,
emplee la tira de cartulina que se adjunta en cada cua-
demo. Utilicela como mascarilla, cubriendo completa-
mente con ella la columna de la derecha, y haciendola
deslizar progresivamente hacia la parte inferior de la
pagina.
• No debe descubrir la respuesta de la columna de la de-
recha hasta haber escrito la suya en la linea.
• Si su respuesta es inexacta, RELEA el cuadro y trate de
volver a encontrar la respuesta correcta.
Cuando la respuesta del texto venga seguida, por ejem-
plo, de la mencion "regIa (5) 7", busque primero el
resumen (5), lea su regIa 7 y complete el ejemplo si
hay alguno.

• No HA~A TRAMPA. Las respuestas se Ie ocurren a uno con
tanta faci1idad, que es inutil hacer nampa, 10 que re-
dundaria finalmente en una perdida de tiempo, puesto
que, desde el momenta en que mirase la respuesta, un
lector dejaria de aprender, desperdiciaria su esfuerzo an-
terior y comprometeria su aprovechamiento.
• No SE SALTE NINGUN CUADRO, excepto si recibe instruc-
ciones de hacerlo.
• VELOCIDAD RECOMENDADA: de 50 a 100 cuadros diarios en
una 0 dos sesiones.
• Descanse si se siente fatigado 0 distraido; pero TODO CA-
PiTULO COMENZADO DEBE TERMINARLO EN EL MISMO DiA.
No interrumpa nunca el cursa mas de tres 0 cuatro dias
seguidos.
• El signa rn indica los lugares donde puede interrumpir
un capitulo muy largo. Al reanudarlo, relea el cuadro
que esta seguido por el signa ~ .
Las NUEVE DECIMAS PARTES de 105alumnos que han seguido
correctamente un buen curso programado aprueban con
mencion de MUY BIEN en todo examen que se refiera al con-
junto de los puntos estudiados.

Tabla 1: serie normal de medidas de la longitud de una turva,obtenidas con ayuda de una
cuerda de cafiamo.
A: medidas en el orden en que fueron obtenidas:
128 130 129 131 129 128 131 128 127 130 128 mm.
B: medidas colocadas por orden creciente:
127 128 128 128 128 129 129 130 130 131 131 mm.
c: promedio aritmetico de las mediciones: 129 mm.
A B C D E
Medidas corregidas Medidas corregidas Promedio Separaciones Separaciones
ordenadas absolutas
kmjs kmjs kmjs kmjs kmjs
299793 1'10 299790 -2.5 2.5
299795 2'10 299790 -2.5 2.5
299792 3'10 299792 -0.5 0.5
299794 4'10 299792 -0.5 0.5
299792 5'10 299792 299792.5 -0.5 0.5
299794 6'10 299793 0.5 0.5
299790 7'10 299793 0.5 0.5
299790 8'10 299794 1.5 1.5
299792 9'10 299794 1.5 1.5
299792 lQ'1o 299795 2.5 2.5
TODAS LAS MEDIDAS QUE SIGUEN ESTA.N CORREGIDAS Y SE SUPONEN EXENTAS DE CUALQUIER ERROR
SISTEMA. TICO.
A. Medidas ordenadas (el sfmbolo "mA" significa miliampere).
8.19 8.22 8.26 8.27 8.30 8.31 8.32 8.36 8.36 8.36 8.40 8.42 mA.
B. Promedio de las medidas: 8.31 mA.

A. 16.2 16.4 16.1 16.1 16.3 16.2 16.2 16.4 16.1 16.0 16.2 s.
B. Promedio aritmetico de las medidas: 16.2 s.
A. 310.2 310.7 310.6 310.3 310.7 310.7 310.6 310.3310.7 310.9 310.5 mg.
B. Promedio: 310.6 mg.
A. 852 850 849 853 851 851 853 849 851 853 852 km.
B. Promedio: 851.4 km.
A. 10.3 10.2 10.4 10.4 10.1 10.3 10.5 10.3 10.3 10.4 10.1 s.
B. Promedio: 10.3 s.
A. 723 727 723 m 725 724 729 723 727 726 725 cm3.
B. Promedio: 725 cm3.

Los errores
de medicion
,. Se dice que la perfecci6n no es de este mundo. Los metodos de mediciones son cada vez mas
precisos, pero ello no obsta para que el fisico, cada vez que efectua una medici6n, no pue-
da esperar que va a alcanzar la perfecci6n.
,Que confianza se podria tener en un fisico que dijera: "Esta Iamina tiene un espesor de
2.53 mm"?
Contrariamente al hombre de la calle que se equivoca, el fisico sabe que comete errores y
dispone de un instrumento que Ie permite fijar limites a su error; dira, por ejemplo: "El
resultado de la medici6n del espesor de esta lamina es 2.53 mm y se puede afirmar, con
certeza, que el espesor no es inferior a 2.51 mm ni superior a 2.55 mm."
El instrumento que permite al fisico evaluar la confianza que puede otorgar a sus medi-
ciones es el cdlculo de las incertidumbres. Es el que usted va a estudiar y, en el capitulo 1,
precisaremos primero 10 que se entiende por medida y magnitud) y despues trataremos de
descubrir la naturaleza y los efectos de los errores que se cometen al efectuar una me-
dici6n.
Si sigue La via "reldmpago" ( ~ ) continue con el resumen 1; si sigue Lavia normal) pase al
cuadro 1.1.

1.1. Tome una regIa graduada y mida la longitud de la linea
siguiente
-------Respuesta: _
1.2. Medir una longitud es atribuirle un numero (26 por
ejemplo) y una unidad (mm por ejemplo). Se puede medir
una longitud, una duracion, un volumen. Llamaremos mag-
nitud a TODO LO QUE SE PUEDE MEDIR: una longitud, una duo
racion (0 un tiempo), un volumen ... son otras tantas mag-
nitudes.
,Podria uno razonablemente atribuir un numero y una uni-
dad al amor de Jimena por Rodrigo? Evidentemente que no:
el amor no es una magnitud.
SubTaye las magnitudes:
Et peso. . . la belleza .
El esplendor. . . la duracion .
de una mujer.
de un acontecimiento.
1.3. Generalmente se mide una magnitud con ayuda de un
instrumento y en el se lee un numero acompaiiado de una
ullidad.
Este numero, con su unidad, es la medida bruta de la mag-
nitud. ,CmU era la medida bruta de la longitud en el cua-
dro l.l? _
to Las partes encuadradas coLocadas bajo Las respuestas deben
ser leidas s610 por eL lector que ha dado una respuesta talsa
() incompleta.
104. Cuando se leen las 9 horas en un reloj que se adelanta,
la medida bruta es el numero leido: 9 horas; sin embargo, la
hora exacta es distinta y se dice que la medida obtenida ESTA
AFECT ADA DE ERROR.
Alas 4 horas, el profesoT Girasol mira su reloj y dice erronea-
mente que son las 5 horas. En este ejemplo, ,emU es la medida
bruta? . ,Que puede afirmarse?
1.5. El error cometido con un reloj que se adelanta se debe a
una IMPERFECCION DEL INSTRUMENTO, mientras que el error
del profesor Girasol es una FALTA DE OBSERVACION.
Cada uno de 10s errores siguientes A y B pertenecen a una 0
a otra de esas dos categorias; precise a emU de ellas.
peso
duracion
Si ha contestado 26, recuerde, de
ahora en adelante, que la unidad
forma parte de la medida.
5 horas
Que esta afectada de error.
Si ha contestado 4 horas, relea el
cuadro 1.3 y recuerde que la medida
hruta es eI Ilumero Icldo en el
aparato.

A. Un experimentador novato confunde Ia columna de mer-
curio de un termometro con un reflejo del vidrio.
B. Un estudiante mide una Iongitud con una regIa de ma-
dera que ha quedado sometida al calor y a Ia humedad.
1.6. Si el profesor Girasol se asombra de que ya sea tan tarde
y vuelve a consultar su reloj, se dara cuenta de su error. Si
ci experimentador novato repite su medida, no encontrara e1
reflejo en el mismo Iugar y advertira tam bien su error.
~Como se podran, pues, evitar las faltas de observacion?
1.7. Cuando se repite varias veces 1a medicion de una misma
magnitud, s~ efecrua una serie de mediciones. '*' Recuerde bien
que el termino importante de "serie de medidas" designara
siempre EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS OBTENIDOS AL REPETIR
VARIAS VECES LA MISMA MEDIClON EN IGUALES CONDICIONES.
~En que casos de Ios siguientcs se obtiene "una serie de me-
didas", en el sentido que acabamos de definir?
A. Pesar diez objetos diferentes con Ia misma balanza.
B. Pesar diez veces el mismo objeto sumergido en el aire, en
el agua, en aceite ...
C. Pesar diez veees el mismo objeto con la misma balanza.
Respuesta: _
1.8. Cuando se repite varias veces Ia misma medicion se ob·
tienen varios numeros aproximadamentt (0 a veces exactamen-
te) iguales. He aqui una serie de medidas del espesor de un
perno:
10.2 10.3
Subraye la medida que
atribuir la anomalia?
10.1 12.0 10.2 mm.
Ie parezca anormal. ~A que puede,
1.9. Es poco verosimil que el profesor Girasol cometa cinco
veces Ia misma falta a1 mirar su re10j cinco veces. Por 10
contrario, si usted mira cinco veces la hora en un re10j que
se adelanta, sus cinco medidas estaran afectadas del mismo
error. Haga que se correspondan correctamente Ias siguien-
tes expresiones:
repitiendo (varias veces)
la (misma) medicion
A fS falsa, porque una serie se ob~
tiene rcpitiendo la m,isma mcdici6n
(el mismo objeto).
B cs falsa. porque las condiciones
rlcbcn seT las mismas.
una falta de observaci6n
o a un error de copia.

A. Una .falta de observacion. 1. Afecta generalmente a to-
das las medidas.
B. Un defecto del instru- 2. Afecta generalmente a una
mento. sola medida.
A. Puede ser seguida de __ B. Puede ser seguida de --' 2 1
1.10. UN ERRORQUESE REPRODUCEEN EL MISMOSENTIDOEN
TODASLASMEDICIONESDE UNASERlEse llama ERRORSISTEMA-
TICO.
Un reloj que se adelanta hace que se cometa un error siste-
matico. Otro caso importante es el error del cero en los ter·
mometros: cuando son nuevos, estos instrumentos indican O°C
en el hielo en fusion; pero, despues de cierto tiempo de uso,
dan una indicacion ligeramente distinta, por ejemplo, algu-
nas fracciones de grado por encima de cero. En tal caso, todas
las indicaciones del termometro seran demasiado elevadas; las
medidas quedaran afectadas de un error sistematico.
Una balanza que marca un gramo en vado, ,provoca errores
sistematicos? ,Por que? _
1.11. Si su reIoj se adelanta, encontrara usted un numero de-
masiado elevado cada vez que lea la hora en el: sus medidas
estaran afectadas de un error por exceso.
Escoja las respuestas correctas:
En una serie de mediciones, un error sistematico
A. Afecta a una sola medida.
B. Afecta a algunas medidas.
C. Afecta a todas las medidas.
D. Las afecta en el mismo sentido!
E. Las afecta unas veces en un sentido y otras en el opuesto.
1.12. Error de paralaje:
La senora de Garda esta senta-
da al lado del senor Garda, que
conduce un coche; advierte que
su esposo va demasiado rapido,
que va a 110 km/h. El senor
Garda afirma que, por 10 con-
trario, su velocidad es de 100
km/h.
Cada uno mira varias veces el
velodmetro y, de buena fe,
mantiene su opinion.
Fig. 1.
aguja (detras de la graduaci6n)
90 100 110 120 130
Sf
En cada pesada, indicara
un g de mas.
A Y B SQn falsas porque, ",or den-
nici6n, un error sistematico afecta a
todas las medidas,
E es"'falsa porque un error sistema-
tico se repite en igual sentido en
todas las mediciones.

Explicacion: la sefiora de Garda comete un error de lectura
porque ve la graduacion oblicuamente cuando esta se ha di-
sefiado para ser leida de frente. Escoja las tres respuestas con-
venientes:
Su error A. Afecta a una sola medida de su serie;
B. Afecta a todas las medidas de su serie;
C. Las afecta en el mismo sentido;
D. Las afecta unas veces en un sentido y otras en
el opuesto;
E. Es un error sistematico;
•. F. No es un error sistematico.
Nota. Si la aguja se encontrase delante de la graduaci6ln. como ocurre con
frecuencia. la senora de Garda leeria un numero inferior.
Un termometro se gradua suponiendo
que sera sumergido enteramente en un
medio cuya temperatura se mide. En
quimica, una buena parte del termo-
metro se halla general mente fuera del
aparato; si e1 medio exterior esta mas
frio, esta parte del termometro estara
mas fria y todas las mediciones queda-
f<in afectadas de un error por defecto.
El error de la columna emergente es un
error _
tcolumna
emergente
+
1.14. ,Cree usted que pueden evitarse los errores sistematicos?
Cite un ejemplo: _
1.15. Si usted sabe que su reloj se adelanta 2 minutos, Ie
bastara restar 2 minutos de cada lectura: obtendni entonces
la medida corregida. Asi pues, cuando lea 9 hr 15 I?-in, sabra
que en realidad son las 9 hr 13 min. En este ejemplo, la me-
dida bruta es y la medida corregida es
1.16. UNA MEDIDA CORREGIDA ES UNA DE LA CUAL SE HAN EUMI-
NADO LOS ERRORES SISTEMATICOS.
Sf
Error de paralaje: basta co-
locarse bien enfrente de la
aguja.
Reloj que se adelanta: se
puede mandar arreglar.
9 hr 15 min
9 hr 13 min

COil frecuencia, el adjetivo corregida se sobrentiende y se
dice simplemente medida.
La frase: la medida de la presion atmosferica es de 1 004 mili-
bars*' significa que:
I 004 milibars A. Es la medida bruta.
B. Es la medida corregida.
C. Esta desprovista de error sistematico.
D. Esta afectada de error sistematico.
Escoja las respuestas correctas: _
1.17. Un reloj, aun de excelente calidad, se adelanta 0 se re-
trasa algunos segundos al meso Un metro se alarga 0 se con·
trae bajo diferencias de temperatura; una balanza de carni-
cero no reacciona cuando se coloca en ella un miligramo, y
una balanza de farmaceutico no se desvia cuando se Ie afiade
una centesima de miligramo.
,Puede citar un instrumento perfecto? _
1.18. Para medir una longitud de aproximadamente tres me·
tros con un doble-metro) hay que medir primero 2 metros y,
despues, volver a colocar el instrumento.
En la segunda colocacion, no es posible evitar un error de al-
gunas decimas de milimetro cuando menos: no solamente Los
instrumentos son imperfect os) sino que Los metodos de medi-
cion tam bien lo son. El observador tampoco es perfecto:
por ejemplo, para medir directamente la duracion de la caida
de un cuerpo, con ayuda de un cronometro, un observador
deberia poner en marcha y parar el instrumento menos de
1/100 de segundo antes 0 despues que el cuerpo empezara a
caer 0 que llegara al suelo. Un hombre es incapaz de tal ha-
zafia porque la duracion de sus reflejos es superior a tal cen-
tesima.
Cite tres causas de
.imperfeccion de una medicion:
2. _1. _
3.
1.19. Se Haman ERRORES FORTUITOS, LOS ERRORES DEBIDOS A LA
IMPERFECCION del instrumento empleado, del metodo 0 del
observador.
La ligera diferencia entre el momenta de Hegada de un na·
dador y el instante en que el juez maniobra el cronometro es
un error fortuito; la pequefia cantidad (en mas 0 en menos)
en que la balanza del camicero no es bastante sensible para re-
velar es tambien un error fortuito.
• Milibar es la milcsima parte del bar, que a su vez es una unidad de pre-
si6n atmosfel'ica. que equivale a un mill6n de dinas pOl' cm2. El milibar
equivale a 3/4 del milimetro de mercurio. (N. del T.)
Explicacion: medida se sobrcnlien-
de cMregida, es decir. dcsprovisla de
error sistematico.
No
No existe
el instrumento el metodo
el observador

Indique, para cada uno de los siguientes errores, si se trata de
un error fortuito (F), de un error sistematico (S) 0 de una
falta de observaci6n (0):
Pequefias irregularidades de un reloj, _
Confusion entre la aguja de las horas y la de los minutos,
1.20. A. El carnicero no puede evitar que su balanza perm a-
nezca inerte cuando se Ie afiade un miligramo; si la sustituye
por una balanza de farmaceutico, no podra impedir que sea
insensible a una sobrecarga de 1/100 de miligramo. Se pue-
den reducir los errores fortuitos, pero NO SE PUEDEN EVITAR.
B. Si se sabe que un reloj se adelanta 5 minutos, se puede co-
rregir el error sistematico que de ello resulta. Por 10 contra-
rio, no se conocen los valores de los errores fonuitos debidos
alas pequefias irregularidades de funcionamiento; POR TANTO,
NO SE PUEDli;N CORREGIR.
Haga corresponder correctamente:
A. Los errores fortuitos. 1. Pueden evitarse.
B. Los errores sistematicos. 2. Pueden corregirse.
3. Son inevitables.
4. No se pueden corregir.
1.21. Tome una cuerda delgada 0 bramante fino y una regIa
graduada. Con ayuda de estos "instrumentos", trate de medir,
con precision de medio milimetro, la longitud de la siguiente
curva:
Efectue cinco mediciones, sin extrafiarse de encontrar cada
vez una respuesta ligeramente distinta de las demas.
Eseriba su serie de resultados:
Si ha contestado:
AI relea eJ cuadro 1.20A,
A2 reJea el cuadro 1.208,
83 relea el cuadro 1.14.
84 relea el cuadro I. I5.
________ mm mm mm lNo hay respuesta tipo.
lSi sus mediciones han sido bien hechas,
_______ mm mm. ehen estar comprendidas entre 12·1 mm
y 128 mm; pero no todas seran iguales.
1.22. Acaba de obtener una serie de medidas. <Por que estas
medidas son ligeramente distintas?
Trate de dar una respuesta tan precisa como sea posible: A causa de los errores
fortuitos

Si no sabe que contestarJ piense que sus medidas han sido
afectadas de errores y preguntese si estos tienen siempre e1
mismo valor; relea la pregunta y trate de contestarla.
1.23. Cuando midio la longitud de la curva, cometio errores
fortuitos: en ciertos lugares coloco la cuerda un poco al inte- ,
riar de la curva (error por defecto), mientras que en otros
sitios la coloco algo al exterior (error por exceso) .
En una serie de medidas, los errores fortuitos
A. Afectan a todas las medidas.
B. Afectan a una sola medida.
C. Tienen todos el mismo sentido.
D. Tan pronto tienen un sentido como el otro.
Escoja las respuestas correctas: _
1.24. Atribuya una 0 dos de las expresiones siguientes a los
ejemplos que se proponen mas abajo:
A. Afectan a todas las medidas de una serie.
B. Afectan a una medida solamente.
C. En el mismo sentido.
D. En sentidos diferentes.
Ejemplo 1: errores del cero de un termometro (errores siste-
maticos): _
Ejemplo 2: errores de apreciaclOn del momento preciso en
que un objeto cae y toca el suelo (errores fortuitos):
1.25. Cuando se han eliminado 0 corregido los errores siste-
maticos y las faltas de observacion de una medicion, se dice
que esta medicion ha sido bien hecha.
~Cual de las siguientes mediciones del punto de ebullicion
del alcohol esta bien hecha?
A. Se sumerge el termometro en el alcohol y se lee la indi-
cacion en el momenta en que el liquido hierve.
B. Se colocan el alcohol y el termometro en un balon (reci-
piente de vidrio de forma esferica) para que el instrumento
quede enteramente sumergido en el vapor (se evita asi el error
de la columna emergente), se calienta suavemente a bano de
Maria y cuando el liquido hierve, se observa el nivel del mer-
curio colocandose el observador de frente para evitar el error
de paralaje. Al terminar la operacion, se coloca el termometro
en hielo en fusion, para determinar el error del cero que se
deduce de la indicacion del termometro.
:bA/B
, La respuesta a cau.~a de Los ~rrOTes
no es bastante predsa. _g
La respuesta a cmua de IDS eTTOrtj
sislematicos es (aha pol'que un error
sistematico conducirla a medidas fal·
sas, pero iguaJes todas.
B es falsa: una falta de observacion
afecta llnicamente a una sola me-
dida.
C e, falsa: si un error afecta a to-
da, las medidas en e) mismo sentido,
se trata de un error sistematico.

1.26. UNA MEDICIONPRECISAES UNAMEDICIONBIEN HECHAEN
QUE LOS ERRORESFORTUlTOSHAN SIDOREDUCIDOSTANTOCOMO
ES POSIBLE.
Por ejemplo, una pesada efectuada con una balanza con £ric-
ciones muy reducidas y colocada al abrigo de las corrientes
de aire es una medicion precisa si la balanza marcaba cero
con los platillos vados. Para obtener una medida precisa de
temperatura, es necesario un termometro sensible; pero tam-
bien hay que corregir el error del cero.
Se mide la temperatura de ebullicion de la acetona con un
termometro con precision de una centesima de grado, se co-
rrige el error del cero y no se tiene en cuenta el error de la
columna emergente.
,El instrumento es preciso? _
,La medicion ha sido bien hecha? _
,La medicion ha sido precisa? ,,'
1.27. Se pueden efectuar pesadas muy precisas reduciendo 10
mas posible las fricciones en las balanzas; pero es imposible
eliminarlas completamente. Se pueden reemplazar los crono-
metradores por dispositivos eIectricos: el error, en vez de ser
de 1/10 de segundo, sera de 1/100 0 de 1/1 000, pero nunca
sera nulo. En -ningun caso es posible eliminar completamente
los errores fortuitos; tam poco es posible corregirlos porque se
ignora su valor exacto.
Escoja las respuestas correctas:
A. Es imposible conocer el valor ex acto de una magnitud
medida.
B. Una medida es un numero exacto.
C. Una medida es un numero afectado de incertidumbre.
1.28. Por tanto, las medidas estan generalmente afectadas de
incertidumbre. Asi, cuar.J.do se determina con el maximo de
precision la velocidad de la luz, se halla 299792.5 km/s, pero
no se esta seguro de que la lHtima cifra sea exact a a causa
de los ~
1.29.-' Sin embargo, existe un tipo particular de mediciones
que no son afectadas por errores fortuitos: si usted cuenta
cuatro monedas de un peso sin equivocarse, el numero obte-
nido no esta afectado de error.
La acci6n de contar se llama enllmeraci6n, y una ENUMERACION
NO ESTA.AFECTADADE INCERTIDUMBRE.
Ponga una X en las casillas de las magnitudes que no estan
afectadas de incertidumbre:
Si
No
No
Una medicion no es precisa si no ha
ido bien efectuada.
errores de medida es bueno tambien;
pero Ie falta precision.

La medidil de una temperatura
EI numero de alumnos de una clase
EI numero de monedas y de billetes que se hall an
en sus bolsillos
La suma de dinero que tiene en su cartera
La medida de la presion atmosferica.
1.30. UN NUMERO FIJADO ARBITRARIAMENTE NO ESTA TAMPOCO
AFECTADO DE INCERTIDUMBRE: el precio de un boleto del cine-
matografo, el numero de segundos de una hora, no estan afec-
tados de incertidumbre.
La presion atmosferica (A) es una magnitud que se mide con
ayuda de un barometro, mientras que la presion atmosterica
normal (N) es una presion fijada arbitrariamente en 760 mm
de mercurio.
Ponga una X en la respuesta correcta: A est:.afettada
de incertidumbre, Nesta afectada de incertidumbre,
___ A y N estan afectados de incertidumbre.
1.31. En la lista siguiente, ponga una X en las magnitudes
que estan afectadas de incertidumbre:
La duracion de la caida de un cuerpo 00
El numero de lados de un cuadrado 0
La temperatura de ebullicion del alcohol ~
EI precio de un coche 0
La velocidad de un coche []
EI numero de ruedas de un coche. 0
o
~
fiJlEl
IZlI8l
DO
enumeracion
enumeracion
lEJ
o
oIltplicad6n: N es un numero fijluio
aIbitIariamente.
I8l
o
l2J
o
[&J
o

Series
de mediciones
7 2.1. LEA EL RESUMEN I; COMPLETE LOS EJEMPLOS.
Pase despues al cuadro siguiente.
No hay respuesta.
'7 2.2. Los cuadros siguientes llevan la menClOn TEST. Tota-
lice las faltas que cometa en ellos, y en cada error consulte la
regIa indicada bajo la respuesta correcta en la columna de
laderecha. La mencion (3)2 significa que debe revisal' el resu-
men y leer el enunciado y los ejemplos de la regIa
7 2.3. lTEST! Se mide la duracion de la caida de una piedra
al fondo de un abismo y se leen 4.3 segundos en un crono-
metro que se adelanta 0.1 segundo pOl' minuto.
A. ~Cual es la medida bruta? _
B. ~EI error debido al cronometro que se adelanta es for-
tuito 0 sistematico? _
C. ~Se trata de un error pOl' exceso 0 pOl' defecto?
D. ~Se puede corregir este error? _
E. ~Fue afectada la medicion pOl' otros errores? _
F. ~Se pueden corregir todos los demas errores? _
G. ~C6mo se llaman los errores que no se pueden evaluar y
que se deben a la imperfeccion de los instrumentos 0 a
los observadores? '
7 2.4. lTEST! Se repite diez veces la medicion de la duracion
de la caida de la piedra al fondo del abismo.
A. ~Afecta el error sistematico (adelanto del cronometro) a
todas las medidas? ,
A. 4.3 segundos
(I )2
B. sistematico
(1)9 B
C. POl' exceso
(1)4.
D.' Si
(1)14.
E. Si
(I) 13.
F. No
(I )14.
G. Enores fortuitos
(1)11.

B. ,Tiene el error sistematico el mlsmo sentido en todas las
medicibnes? _
C. ,Afectan los errores fortuitos a todas las mediciones?
D. ,Las afectan en el mismo sentido? _
E. ,Son los resultados de las mediciones rigurosamente igua-
les entre si? _
F. ,Se llega a determinar la duraci6n de la caida exactamen-
te, sin la menor incertidumbre? _
~ 2.5. jTEST! Las enumeraciones y los valores fijados arbitra-
riamente afectados pOl' errores, mientras que
son/no son
las mediciones afectadas pOI' errores.
~ 2.6. jTEST! En la lista siguiente, ponga una X en los cua·
dros que se refieren a las magnitudes que son afectadas de
incertidumbre:
- El numero de lados de un hexagono
- La altura de la torre Eiffel
- La superficie de Mexico
- El precio de un boleto de ferrocarril
- La masa de un atomo de carbono fijada
arbitrariamente en 12 unidades
- La temperatura de ebullici6n de la acetona.
~ 2.7. Halle el total de sus errores en los tests precedentes.
6 errores 0 mas: el test quiza Ie sorprendi6 0 usted no se adap-
t6 bien al metodo. Ahora que ya Ie es familiar, repase el
capitulo 1, cuadro pOI'cuadro, diciendose que para saltar bien,
a veces hay que retroceder.
4 0 5 errores: esta bien, pero para seguir con exito el curso,
debe releer el resumen 1, rehaciendo los ejemplos.
Si sigue la via relampago) repase el capitulo 1 enteramente.
1 0 3 errores: jesta muy bien!
o errores: usted asimi16 excepcionalmente bien la matetia.
jContinue asH
Usted ha visto que la medici6n de una magnitud esta afectada
de errores que pueden ser eliminados, evaluados y corregidos
(faltas de observaci6n, errores sistematicos); pero tambien esta
afectada de errores imposibles de evitar 0 de determinal' (erro-
res fortuitos.) A causa de estos ultimos, las medidas quedan
afectadas de incertidumbre y cuando 'Se repite varias veces la
misma medici6n, se pueden obtener numeros ligeramente dis-
tintos. ,Entre que limites esta la magnitud comprendida con
B. Sf
(1)9 c.
C. Si
(1)13 A.
D. No
(1)13 B.
Eo No
(I) 13.
F. No
(I) 19.
no son
(1)23.
son
(1)20.

certeza?, ,cmil es la diferencia entre estos limites y cmil el
promedio de las medidas?
Vamos a tratar de contestar a estas preguntas en el capitulo 3.
Si sigue la via reldmpago '7 ,pase al resumen 2, si no,
continue con el cuadro 2.8, que sigue inmediatamente.
2.8. Llamaremos valor a TODO NUMERO QUE SE ATRIBUYA A
UNA MAGNITUD.
Se puede estimar en 300 m la longitud del navio France; este
numero es un valor atribuido a la longitud de tal buque.
A. El valor del pie ingles ha sido fijado arbitrariamente en
0.3048 m.
B. La medici6n experimental de la velocidad del sonido en
el aire seco y a 0° C proporciona el valor: 331 m/s.
Ponga una X en el cuadro que contenga la respuesta correcta:
A. Es un valor afectado de incertidumbre 0
I
B. Es un valor afectado de incertidumbre. (iJ
2.9. A causa de los errores fortuitos, toda medida esta alec-
tada de incertidumbre; por tanto, no es posible conocer el
valor exacto de una magnitud.
Hay, pues, que conformarse con NUMEROS OBTENIDOS EFECTUAN-
DO MEDICIONES BIEN HECHAS.
Estos numeros se Haman VALORES POSIBLES de la magnitud.
Por ejemplo, una serie de resultados de mediciones bien he-
chas de la temperatura de ebullici6n del alcohol da:
78.4
78.5
78.3
78.4
78.5 78.5
78.4") 78.6
78.4
78.5
78.6
78.4 ce.
Cada uno de estos numeros es un valor posible de la tempe-
ratura de ebullici6n del alcohol. C6mo se podria hallar un
valor posible suplementario? Efectuando una medici6n
mas
2.10. ,Un valor posible de una magnitud:
• esta afectado de incertidumbre? _
• esta afectado de errores sistematicos? _
• esta afectado de errores fortuitos? _
2.11. Si millones de ge6grafos midieran uno tras otro la lon-
gitud del rio Nilo, obtendrian un gran numero de valores
posibles de esta longitud.
Se podria imaginar que se repite esta medici6n un numero Hi-
mitado de veces: la operaci6n se Hamada serie ilimitada de
mediciones.
Si U
No·
Si U
• Un ,'alor posible se obtiene COil
una medicion bien hecha (ningull
error sistematico. sino errores for-
luitos).
•• Un lalor posible se obliene con
una medkion y toda medicion (ex-
cepto las cnurneraciolles) e5la afec-
tada de errores fortuitos y, por con-
siguiente, de incrftidumbrc.

Existen juegos (como la "petanque" en Francia) en 10s cuales
gana el jugador que deja su bola mas pr6xima que la de sus
contrincantes a otra mas chica, que hace de meta.
Si varios de estos jugadores no se pusieran de acuerdo sobre
quien ganaba, podrian efectuar una _
de mediciones. Cada numero obtenido seria un valor posible:
el conjunto de 10s numeros obtenidos en una serie ilimitada
de mediciones es el conjunto de 10s de
la magnitud medida.
2.12. ,Que es el conjunto de 10s valores posibles de una mag-
nitud?
2.13. Supongamos que se efectt'la una serie ilimitada de me-
diciones de la 10ngitud de un rio y que se encuentra una serie
de numeros comprendidos entre 123 km y 127 km, ambos
incluso. El conjunto de valores posibles esta formado con estos
dos numeros y con todos 10s numeros intermedios.
Cite cuatro valores posibles:
2.14. Llamaremos LlMITES DE LOS VALORES POSIBLES al menor
y al mayor de 10s valores posibles.
Asi, en el ejemplo precedente 10svalores posibles estaban com-
prendidos entre 123 km y 127 km, ambos incluso.
El limite inferior de 10s valores posibles era: _
El limite superior de 10s valores posibles era: __ < '
2.15. Una serie ilimitada de mediciones bien hechas ha dado
los resultados siguientes:
131 mm
limite
superior
Para obtener el limite 127, hay que restar al prome-
dio. Para obtener el limite 131, hay que _
al promedio.
127
limite
inferior
129
promedio
2.16. Serie ilimitada de mediciones desprovistas de errores
sistematicos.
Limite superior
61.8 s
O.3--l
61.2 61.5
Lseparaci6n O.3.-J Lseparaci6n
Es el conjunto de 10s nu-
meros obtenidos al efectuar
una serie ilimitada de me·
diciones (bien hedIas) de la
magnitud.
Sl1 respuesta es correct a si los cuatro ni.
eros estan comprendidos entre 123 k
• 127 km, ambos induso.
123 km
127 km
2
afiadir 2

El limite inferior y el limite superior estin separados del pro-
medio en una cantidad _
2.17. En una serie ilimitada de mediciones, el numero que
hay que afiadir 0 restar al promedio para obtener los limites
se llama incertidumbre absoluta.
127 128 129 130 131 mm
limite promedio limite
inferior I L superior
L__-2 ----l +2 I mm
2.18. Supongamos que una serie ilimitada de mediciones bien
hechas de la velocidad del sonido en aire seco a 0° da, en
--cada caso, uno de los numeros siguientes como medida:
promedio
331.2 331.3 331.4 331.5 331.6 331.7 mj&
El-_1I_m-_t
El valor promedio es m/s.
Los dos limites son m/s y m/s.
La incertidumbre absoluta vale m/s.
2.19. El numero que hay que sumar 0 restar al promedio de
una serie ilimitada de mediciones para obtener los limites
de 10s valores posibles se llama _
2.20. Si, en una serie ilimitada de mediciones, los limites son
2.43' y 2.47 mm, esto significa que la longitud medida esta
comprendida con seguridad entre mm y mm.
2.22. Serie ilimitada de mediciones.
Promedio: 25.4 m/s.
Incertidumbre absoluta: 0.3 m/s.
El conjunto de los valores posibles de la magnitud esta com-
prendido entre m/s y m/s incluso.
331.4
331.1 331.7
0.3
incertidumbre
absoluta
Es el numero que hay que
sumar a restar al promedio
(de una serie ilimitada de
mediciones) para obtener
los limites de los valores
posibles.

2.23. Para encontrar los limites entre los cuales esta segura-
mente comprendida la magnitud que se mide, habria que efec-
tuar una serie ilimitada de mediciones bien hechas. Practica-
mente, esto no es realizable, pero el calculo estadistico ha
mostrado que una serie de 10 a 20 mediciones bien hechas
proporciona una buena estimacion de los limites de los valo-
res posibles y de la incertidumbre absoluta.
Llamaremos SERlENORMALDE MEDICIONESA UNASERlEDE POR
LO MENOSDIEZMEDICIONESEXENTASDE ERRORSISTEM4TICO.
Indique en cual(es) caso(s) se trata de una serie nQrmal de
medidones:
__ Serie de 15 mediciones de la temperatura de fusion de
la naftalina con un termometro al que no se Ie ha verificado
el cero.
__ Serie de 3 mediciones de la velocidad de la luz segun
un metodo que excluye los err ores sistematicos.
__ Serie de 20 mediciones de la duracion de la oscilaci6n
de un pendulo con un cronometro que no se adelanta ni se
retrasa.
2.24. Dos condiciones deben cumplirse para que una serie
de mediciones sea normal:
1.
2.
2.25. Si no se comete error sistematico alguno cuando se mide
una magnitud, el valor que se obtiene es un valor posible
de la magnitud. ,Que puede dedI' de los numeros obtenidos
al efectuar una serie normal de mediciones? _
2.26. Los numeros obtenidos al efectuar una serie normal de
mediciones de una magnitud se llaman MEDIDASde la mag-
nitud.
Midiendo 10 veces la temperatura de ebulliciOI:l de un liquido,
se determina despues de la correccion de los errores siste-
maticos:
63.4
63.7
63.5
63.4
63.4
63.6
63.6
63.1
63.5
63.2 DC.
Cada uno de estos numeros se llama, pues, _
de la magnitud (temperatura de ebullici6n del liquido) .
2.27. En el ejemplo precedente, la mayor medida hallada fue
63.7 °C; pero nada permite afirmar que si se efectuaran otras
o En una serie normal. las me-
iciones deben eSiar exentas de error
istematico.
oSe necesitan 10 mediciones po
o menos.
Se necesitan pOl' 10 menos
10 mediciones.
ebe estar exenta de error
istematico.
on valores posibles de la
magnitud,
IlOrque se obtienen con mediciones des-
provistas de error sistematico.

mediciones bien hechas, no se encontraria para una de ellas
63.8 °e.
,Es necesariamente la medida mayor de una sene normal el
mayor valor posible de la magnitud? _
2.28. En una serie ilimitada de mediciones, la mayor y la
menor son los limites de los valores posibles. ,Ocurre 10 mis-
mo en una serie normal de mediciones? . ,Por que?
2.29. Sin embargo, si se mide una 0 dos decenas de veces la
longitud de la curva del capitulo 1 sin cometer ningun error
sistematico, se determina una serie de resultados que estan
todos comprendidos entre 127 mm y 131 mm.
,Hay muchas probabilidades de que una medici6n suplemen-
taria de una medida inferior a 127 mm 0 superior a 131 mm?
2.30. En una serie normal de mediciones, es posible que una
medici6n suplementaria de un valor inferior a la menor de
las medidas 0 superior a la mayor; pero es pro-
bable. poco/bastante/muy
2.31. Recorte las paginas 15 y 16 siguiendo el punte,ado y con-
servelas cuidadosamente; las necesitara hasta que acabe este
curso. Examine, de la tabla I, el cuadro A, que contiene los
resultados obtenidos repitiendo II veces la medici6n de la
longitud de una linea curva semejante a la del capitulo 1.
,Puede usted afirmar con certeza que 128 mm, por ejemplo, es
el resultado que representa la_medida exacta? _
2.32. Ninguna de las mediciones de una serie normal repre-
senta con seguridad el valor exacto de la magnitud porque
esta no puede conocerse a causa de los
2.33. Observe la tabla 1, cuadro B.
Si entre los resultados, usted debiese escoger uno solo para
representar a la medida, ,cual escogeria de preferencia:
127, 129 0 131 mm? _
131 mm
medida
superior
medida
inferior
No
Una medici6n stlplementa-
ria podria dar un valor
mayor 0 .:tnenor.
1:'0 e5 impo5iblc; pcro dcspues de diel
medkiones, es poco probable que la
siguiente sea mayor 0 menor que roda.
as demas.
Si contestara 51, 10 mismo pod ria
deeir de 130 rom. Pcro 13 longi!U9
no puedc wetir a la veZ J 28 Y 130
rom.
Si no pudo (Ontesrar () si rcspondi6
1270 131, no se inquiete;los cuadros
siguicotes Ie. expliearfm Ja sele{'d6"
que baY que hacer.

De 1as tres medidas que Ie fueron propuestas para represen-
tar el resultado, habia que escoger el _
2.35. Vamos a tratar de comprender 10 que conduce a esco-
ger el promedio para representar el resultado de una serie
de mediciones.

,
"
fuera
Si usted ajusta una cuerda delgada sobre una linea curva, no
podra conseguirlo de una manera perfecta y se desbordara a
veces un poco por el exterior de la curva: usted cometera
asi un error por . En otros 1ugares se
excesojdefecto
desbordara un poco por el interior de la curva y cometera un
error por " En el extremo de 1a curva,
podd sobrepasar ligeramente su trazo y cometer asi un error
por 0, por 10 contrario, co1ocar 1a cner-
da sin llegar al extremo exacto del trazo; en este caso come-
ted un error por _
cTienen los errores por defecto mas, menos 0 1as mismas pro-
babilidades de producirse que los errores por exceso?
2.36. En la mayoria de los casos, los errores fortuitos por de-
fecto tienen tantas probabilidades de producirse como los
crrores fortuitos por exceso.
Ademas, en la mayoria de los casos, no hay razon para que
los errores por defecto sean mayores 0 menores que los erro-
res por exceso.
Por consiguiente, en la mayoria de los casos, los errores for-
tuitos por defecto y los err ores fortuitos por exceso tienden a
2.37. Si los errores fortuitos por defecto y los errores fortui-
tos por exceso tienden a equilibrarse, el valor exacto lmscado
en una serie de mediciones tiene mas probabilidades de que-
dar proximo:
a la medida mayor,
al promedio aritmetico,
a la medida menor.
exceso
cl camino es mas largo, la longilud ob-
tcnida es, pues, demasiado grande.
compensarse, destruirse,
equilibrarse, igualarse,
valer igual.
no, porquc en este caso IDS erro-
res por defeclo hubiesen sido mas
importantes.
no, plies en cste caso 10s crrorcs
por exceso hubiesen sido mas im-
portante •.

2.38. Cuando los errores fortuitos tienden a .compensarse, e1
promedio de las medidas de una serie normal
es el valor exacto de la magnitud,
esta proximo al valor exacto,
tiene muchas probabilidades de estar proximo al valor
exacto.
2.39. Si se lanza cuatro veces al aire una moneda, no es del
todo improbable que se obtengan 3 caras y una cruz (rela-
cion 3 a 1). Por 10 contrario, si se lanza 100 veces, es mucho
mas improbable que se obtengan 75 caras y 25 cruces (misma
relacion) .
Escoja las respuestas exactas:
__ Cuanto mayor sea la serie, mas se diferencia el numero
de caras del de cruces.
__ Cuanto mayor sea la serie, mas probabilidades hay de
que las caras compensen aproximadamente las cruces.
__ Cuanto mayor sea una serie de medidas, mas probabi-
lidades hay de que los errores por defeeto compensen los erro-
res por exceso.
2.40. En una serie de medidas, el valor que tiene mas pro-
babilidades de estar proximo a la magnitud medida es el
Para que esto ocurra, es necesario que las mediciones esten
desprovistas de error , que se
hayan realizado en gran y que los erro-
res fortuitos tiendan a
2.41. RECORDATORIO: Para calcular el promedio aritme-
tico de una serie de medidas, hay que:
- Sumar todas las medidas;
-- dividir la sum a entre el m'tmero de medidas.
Ejemplo: Calculo del promedio aritmetico de las cinco medi-
das siguientes:
suma de las medidas
numero de medidas
24.5 + 24.2 + 24.3 +
no, porque no se esta segura de
que 108 errores se bayan com·
pensado.
sistematico
numero
compensarse
121.7
5

2.42. Calcule el promedio aritmetico de las medidas S1-
guientes:
suma de las medidas
numero de medidas
2.43. Lea la regIa (2)1l, complete el ejemplo que Ia acom-
pafia y efectue despues el ejercicio siguiente:
Calcule, mediante el procedimiento que juzgue mas camodo,
el promedio de las medidas siguientes:
302
301
304
305
303 304
302 304
304
303 mm
2.44. Calcule el promedio aritmetico de las medidas S1-
guientes:
2.45. Calcule, como qUlera, el promedio de Ias medidas S1-
guientes:
52.3
52.5
52.1
52.2
52.2
52.4
52.2
52.4
52.3
52.6 m
2.46. En el ejemplo precedente, Ias medidas eran 52.1,52.2
52.6 myel promedio 52.32 m.
Las medidas no tienen mas que una cifra decimal, mientras
que el promedio tiene 2.C:IH"~ Generalmente no es uti! que
el promedio sea mas preciso que las medidas; asi pues, vamos
a redondearlo suprimiendo Ia cifra decimal sobrante, 10 que
da
Medidas: 304 304 303 302 ...
Promedio: 303.2
Promedio redondeado: _
1036
10

2.48. Hay que redondear el promedio al mismo orden que
tenga La ultima cifra significativa de las medidas.
Medidas:
Promedio:
1.24
1.25234
EI orden de la ultima cifra significativa de las medidas es el
de las ; el promedio debera ser redondeado
al orden de las 10 que da l. 1. .I •
2.49. El promedio debe ser redondeado optimamente (es de-
cir, por defecto si la primera cifra significativa suprimida es
inferior a 5, 0 por exceso si es igual 0 superior a 5).
Medidas: 42.32... 564.... 2.15 ...
Promedios: 42.3084 562.75 2.1653
Promedios redondeados:
Medidas Promedios Promedios redondeados
624 627 ... °C 625.24 ° C 625 ° C
216 215 .. . mm 217.21 mm --- mm.
41.85 41.81 .. . s 41.8372 s --- s.
Si ha cometido mas de tres errores en los cuadros de test
(principio del capitulo), lea el resumen 2, sin completar los
ejemplos.
centesimas
centesimas 1.25
217
41.84

Incertidumbre absoluta
y resultado
de una serie normal
de mediciones
Atribuya correctamente dos de las proposiciones que siguen:
A. Afectan a todas las mediciones de una serie;
B. Se producen en el mismo sentido;
C. Se producen a veces en un sentido, a veces en el otro;
a cada uno de los terminos siguientes:
An AC
Reglas: 0)7 a 0)13.
3.2. REVISI6N.
Atribuya correctamente uno de los terminos siguientes: faIta
de observacion, error sistematico, error fortuito:
C. Mala apreciacion del extrema superior del mercurio en
un termometro.
faIta de observacion
Reglas~0)7 a (1)13.
'7 3.3. Los cuadros que siguen llevan la mencion TEST.
Totalice Ios errores que cometa en eHos y, a cada error, con-
suIte la regIa indicada bajo la respuesta correcta. La mencion .
(3)2 significa que debe usted consultar el resumen y
leer el enunciado y los ejemplos de la regIa _

". 3.5. jTESTI Todos los valores que se podrian obtener efec-
tuando una serie ilimitada de mediciones bien hechas de una
magnitud, forman el conjunto de los _' _
de la magnitud medida.
El menor valor que se obtendria en una sene ilimitada de
mediciones bien hechas, se llama _
de los valores posibles, mientras que el mayor se llama
'13.6. iTEST! ,Que es la incertidumbre absoluta en una serie
ilimitada de mediciones?
Si no sabe que contestar) pase al cuadro 3.7 sin mirar la respues-
ta exacta y despues regrese al cuadro 3.6; si todavia no acierta,
cuentese un error y mire la respuesta.
'13.7. jTEST! Millones de observadores que miden una dura-
cion con un cronometro exacto, obtienen alguno de los resul-
tados siguientes:
Los limites de los valores posibles son y ,
La incertidumbre absoluta vale:
". 3.8. jTEST! Valor promedio de una serie ilimitada de me·
diciones: 427 mg. Incertidumbre absoluta: 2 mg. La magni-
tud est;.con seguridad comprendida entre y _
que son, por tanto, los de los valores po-
sibles.
'13.9. JTEST! Para que una serie de mediciones sea una sene
normal, precisa de dos condiciones:
p-------------------------
'13.10. Si despues de haber efectuado una serie normal de me-
diciones se efectua otra medicion suplementaria, ,es posible
Un nllmero que se puede
obtener al efectuar una
medicion bien hecha de la
magnitud.
() un valor que se puede obtener...
RegIa (2)5.
Es el numero que es pre-
ciso sumar 0 restar al pro-
, medio para obtener 105 Ii-
mites de los valores posi-
bles.
24.3 s 24.7 s
0.2 s
425 429
regIa (2)11
limites
regIa (2)7
P las mediciones deben ser
numerosas
o debc contener por 10 menos 10 me·
diciones, D toda respucsta cqui'3Iente.
2~ las mediciones deben es-
tar exentas de error siste-
chico

que sehalle un numero inferior a la medida menor 0 superior
a la mayor? _
,Es probable?
~ 3.11. ,Puede usted designar, en una serie de mediciones, el
valor exacto de la magnitud? _' .
,Por que?
~ 3.12. Si los errores fortuitos de una serie normal de medi-
ciones se deben verdaderamente al azar, ,que se puede decir
de los errores por defecto y de los errores por exceso? Tien·
den a _
,Cual es el numero que mejor representa el resultado de la
medicion? _
,Es el valor exacto? _
,. 3.13. jTEST!
He aqui una serie de medidas:
36.4
36.4
36.3
36.6 mm
36.4
36.2
36.6
36.4
36.5
36.2
Caleule su promedio aritmetico: . _
Redondee correctamente este promedio: _
,. 3.14. Totalice sus faltas en los cuadros de test.
Si ha cometido:
7 errores 0 mas: es preferible reiniciar el capitulo 2 leyendo
todos los cuadros.
4 a 6 errores: esta bien; pero para hacerlo mejor todavia:
• Relea el resumen 2 y los ejemplos si sigue la via normal.
• Reinicie el capitulo 2 por via normal si usted sigue la via
reldmpago.
3 errores 0 menos: esta muy bien, siga as!.
Para hallar el valor de la incertidumbre absoluta en la me-
dida de una magnitud haria falta, en principio, realizar una
serie ilimitada de mediciones y determinar el promedio de las
medidas. La separacion 0 desviacion entre este promedio y la
medida menor hallada debe ser igual a la separacion entre
la medida mayor y dicho promedio: representa la incertidum-
bre absoluta. Sin embargo, hemos visto en el capitulo prece-
dente, que una serie normal de medidas representaba aproxi-
madamente el conjunto de valores posibles; en este capitulo
veri como, estudiando las desviaciones entre el promedio y
cada medida, se puede estimar la incertidumbre absoluta; vera
Si
No
RegIa (2) 15
No
RegIa (2)li
Porque es imposible medir
exactamente una magnitud.
o a causa de 10s errores fortuitos, {) por·
que loda. la. medicione. e.lan afecladas
de enorcs.
el promedio (aritmetico)
No
(porqne la compensaci6n de Ius errores
no c. perfeela, sino que se debe al
alar) .
36.41 mm
Regia (2)21
36.4 mm
RegIa (2)20

tam bien algunas propiedades de este nllmero, y finalmente
aprendera a expresar el resultado de una medici6n indieando
entre que limites puede uno eonfiar en el.
Si sigue la via reldmpago) pase al resumen 3) St no es asi)
siga con el cuadro 3.15.
3.15. En una serie normal de medidas, se llama separacion 0
desviaci6n de una medida el resultado de restar esta medida
del promedio aritmetieo. He aqui dos medidas extraidas de
una serie normal: ... 38.8 s 38.7 s
Promedio de la serie: 38.6 s.
La desviaci6n de la medida A es: 38.8 - 38.6
La desviaei6n de la medida B es: _
3.16. La desviaci6n de una medida es un numero concreto,
es decir, un numero aeompafiado de una _
3.17. He aqui algunas medidas de volumen de una serie nor-
mal, euyo promedio es 120 em3, determine sus desviaeiones:
Medidas: 123 em3 121 em:! 120 em3 122 em3•
Separaeiones:
3.18. Medida: 117 emS.
Promedio aritmetico: 120 em3
•
Desviaci6n: Medida Promedio:
3.19. Una sene normal de medidas tiene por promedio
260 mg.
He aqui varias medidas: Busque sus desviaeiones:
262 mg
259 mg
260 mg
258 mg
3.20. RECORDATORIO: el m6dulo (Hamado tambien valor
absoluto) de un numero algebraieo es este numero, privado
de su signo. La desviaci6n absoluta de una medida es el m6-
dulo de su desviaci6n.
Ejemplos: Desviaci6n: -2 mm; desviaei6n absoluta: 2 mm
Desviaei6n:, -1 mm; desviaei6n absoluta:
Desviaci6n: (+) 1 mm; desviaci6n absoluta: 1 mm
Desviaci6n: (+) 2 mm; desviaci6n absoluta: _
117 em3 - 120 em:! =
-3 em3
negativo
2 mg
-1 mg
o mg
-2 mg

3.21. He aqui alg-unas medidas de velocidad de una serie
normal cuyo promedio aritmetico es 186 km/h. Cakule, para
cada una de ellas, la desviacion y la desviacion absoluta.
Medidas: 185 km/h 188 km/h 186 km/h 184 km/h
Desviaciones:
Desviaciones absolutas: _
3.22. La incertidumbre absoluta es el numero que hay que
sumar 0 restar al promedio para obtener los limites de los
valores posibles, es decir, los valores entre los cuales la mag·
nitud esta ciertamente comprendida.
Esta proposicion es rig-urosamente cierta:
En una serie normal de mediciones
En una serie ilimitada de mediciones
En ambos casos
(Pong-a una X en la linea que conteng-a la circunstancia a la
cual conviene la proposicion.)
3.23. Tiene listed razon, para encontrar la incertidumbre ab·
soluta de una mag-nitud, en principio habria que efectuar una
serie ilimitada de mediciones.
En la practica, tal cosa es imposible y habra que adoptar una
solucion aproximada.
Recuerde que en una serie normal de medidas, es .fiuy poco
probable que una medida suplementaria sea superior a la ma·
yor medida obtenida 0 inferior a la menor y es aun menos
probable que esta medida -muy diferente de las demas- sea
la mas proxima al valor exacto.
Asi pues, se puede considerar que en una serie normal de me·
didas, el numero que hay que sumar 0 restar a (0 de) el pro-
medio para obtener la medida que se separa mas, es una buena
estimaci6n de La incertidumbre absoluta.
3.24. Su respuesta no era totalmente exacta; la incertidum·
bre absoluta ha sido definida para el caso de una serie ilimi-
tada de mediciones y no para el caso de una serie normal de
mediciones.
En efecto, para conocer de manera indiscutible los limites de
los valores posibles, habria que hacer una serie ilimitada
de mediciones, porque nunca se puede estar seg-uro de que
una medicion suplementaria no daria un resultado superior
o inferior a los que ya se han obtenido. Sin embarg-o, si se
lleva a cabo una serie normal de mediciones (10 mediciones
I km/h 2 km/h 0 km/h
2 km/h
-1 km/h 2 km/h 0 km/h
-2 km/h
Si ha contestado:
[gJ pase al cuadro 3.24.
[gJ pase al cuadro 3.23.
~ pase al cuadro 3.24.

por 10 menos), esta eventualidad es poco probable y todavia
es menos probable el que esta medida, muy diferente de las
demas, sea la mas aproximada al valor exacto.
Por tanto, se puede considerar que en una serie normal de
medicionesJ el numero que hay que sumar 0 que restar al pro-
medio obtenido, para obtener la medida que mas se separa
de ella, es una buena estimaci6n de la incertidumbre absoluta.
3.25. En una serie ilimitada de medidas, el numero que hay
que anadir 0 que restar para obtener el valor que mas se
separa del promedio
la incertidumbre absoluta.
En una serie normal de medidas, el numero que hay que ana-
dir 0 restar para obtener la medida que se separa mas que
ninguna del promedio
3.26. Cuando usted dispone de una serie normal de medi-
das, ~puede usted hallar:
- El valor preciso de la incertidumbre absoluta? _
- Una estimaci6n de la incertidumbre absoluta? _
3.27. He aqui una serie normal de medidas:
21.4 21.4 21.5 21.5 121.61 121.61
121.91
promedio mm.
21.7 21.7 21.8
medida que mas se desvia
Estimaci6n de la incertidumbre absoluta:
3.28.
Medidas:
Promedio:
Desviac:ones: -0.2
Desviaciones
absolutas: 0.2 0.1 0 0.1 0.1 0.3 mm
La incertidumbre absoluta es igual a , la mayor
desviaci6n absoluta es igual a
~Que comprueba usted?
21.7 21.7
21.6 mm
o +0.1
3.29. La desviaci6n absoluta es un numero aritmetico (es de-
dr, sin signo) y concreto (es decir, provisto de una unidad).
No
e necesitaria una serie ilimitada de me·
didas.
Sf
por(IUe el numero que hay que suma
o restar al promedio para obtener la me
dida que se desvia mas, tampoco e
cxacto.
0.3 mm
0.3 mm
Que son iguales.

,Que puede usted decir de la incertidumbre absoluta (que es
la mayor desviacion absoluta)?
que es tambien un nt'nnero
___________________________ , aritmetico concreto.
3.30. La incertidumbre absoluta debe ser expresada en la
misma unidad que la magnitud. La incertidumbre en una
longitud expresada en mm debe tambien expresarse en mm;
la incertidumbre en una duracion de segundos debe expre-
sarse en
3.31. Consulte la tabla 2. El promedio de esta serie de me-
didas vale _
La mayor desviacion absoluta vale _
La incertidumbre absoluta vale, pues, _
299 792.5 km/s
2.5 km/s.
2.5 km/s
3.32. Consulte la tabla 3.
Promedio de las medidas: _
Halle la medida que mas se desvia del promedio: _
8.19 mA
0.12 mA
0.12 mA
La mayor desviacion absoluta vale _
La incertidumbre absoluta vale: _
3.33. En una serie normal de mediciones, la magnitud me-
dida esta casi seguramente comprendida entre los dos valores
siguientes: promedio _
y promedio _
Si no lo entiende) relea el cuadro 3.25.
- incertidumbt"e absoluta
+ incertidumbre absolllta
3.34. En la expresion Ipromedio ± incertidumbre absoluta I
- una parte representa el valor que tiene mas probabilida-
des de estar cercano a la magnitud medida: es el promedio
- una parte representa los limites entre los cuales esta caSl
seguramente comprendida la magnitud; es + incertidumbre absoluta
3.35. La expreslOn Ipromedio ± incertidumbre absoluta I
e') un buen medio de representar el resultado de la medicion.
Asi, si una serie normal de medidas ha dado pOl' promedio
436 mm Y pOl' incertidumbre absoluta 2 mm, el resnltado que-
dara expresado como: ± mm.
3.36. Promedio: 436 kg; incertidumbre absoluta: 3 kg.
Resultado: _

3.37. Promedio: 78 km/h; incertidumbre absoluta: 0.5 km/h.
Resultado: _
3.38. Consulte la tabla 2.
Promedio: _
Incertidumbre absoluta: _
Resultado: _
3.39. Resultado de una serie normal de mediciones de una
longitud: 25.6 ± 0.2 mm.
Esto significa que la longitud esta casi seguramente compren-
dida entre y mm.
3.40. iATENCI6N! En 10 siguiente, trataremos con series de
cinco mediciones. ESTASSERIESNOSONSERIESNORMALESporque
no contienen bastantes mediciones, y si las tratamos como ta-
les, es para no hacer pesada su tarea con dlculos demasiado
largos.
Para hallar la incertidumbre absoluta de una serie de me-
didas:
A. Determine el promedio aritmetico.
B. Halle la medida mas pequeiia y la mas grande.
C. Determine las desviaciones absolutas de estas dos medidas.
D. La incertidumbre absoluta es igual a la mayor de estas
desviaciones.
Duraci6n: 12.3 12.5 12.5 12.2 12.5 s.
A. Promedio aritmetico: _
B. La medida menor: . La mayor: _
C. Desviaciones absolutas: _
D. Incertidumbre absoluta: _
3.41. He aqui una serie de medidas de masa:
34.2 34.5 34.1 34.5 34.3 mg.
Busque la incertidumbre absoluta y escriba el resultado.
- Determine primero el promedio (redondeelo correctamente):'
- Halle despues la desviaci6n absoluta de la medida menor
y la de la mayor (notara que tales desviaciones son iguales:
una y otra representan la incertidumbre absoluta).
Resultado: _
3.42. Halle la incertidumbre absoluta y escriba el resultado
de la serie siguiente de medidas:
210 215 212 210 212 km/h.
Resultado: _
299 792.5 km/s
2.5 km/s
299 792.5 ± 2.5 km/s
12.4 s
12.2 s 12.5 s
0.2 s 0.1 s
0.2 s
34.3 mg
RegIa: (2)20 A.
0.2 mg
34.3 ± 0.2 mg'
3 km/h
212 ± 3 km/h

Si experimenta dificu1tadesJ aqui tiene alguna ayuda: calcule
primero el promedio, busque la medida mayor y la menor y
calcule la desviaci6n absoluta de cada una de ellas.
3.43. Consulte la tabla 8 (medida de un volumen).
Resultado: _
Si ha cometido mas de tres errores en los cuadros de test, al
principio del capitulo, lea el resumen 3 sin fijarse en los
ejemplos.

Notaciones,
Ilmites e intervalo
de confianza
,. 4.1. REVISIoN.
En la lista siguiente, ponga una X en las Hneas de las magni-
tudes que estan afectadas de incertidumbre.
• La distancia de Mexico, D. F., a Guadalajara. j2g
• El numero de alumnos de una dase. 0
• El precio de una cajetilla de cigarros. 0
• La duracion de una carrera. ~
• El numero de lados de un rombo. 0
f 4.2. REVISIoN.
Si los resultados de una serie ilimitada de mediciones estan
todos comprendidos entre 41.2 mg y 41.6 mg (induso), estos
dos numeros son los de los valores po-
sibles.
limites
RegIa: (2)7
f 4.3. REVISIoN.
Para que una serie de mediciones
preciso que las mediciones sean _ numerosas (10 por 10 me-
y nos; en numero de 10... )
exentas de error sistema-
tico.
,. 4.4. Lea el resumen 3, completando los ejemplos. Pase des-
pues al cuadra siguiente.
,. 4.5. iTEST! La mejor determinacion hasta hoy de la velo-
cidad de la luz en el vacio:
Promedio aritmetico: 299 792.5 km/s.
Incertidumbre absoluta: 0.2 km/s.
Resultado de estas mediciones: _
299 792.5 ± 0.2 km/s
Regia: (3)9

La velocidad de la luz esta ciertamente comprendida entre
_______ km/s y km/s.
)- 4.6. jTEST! Medidas de una duraci6n:
25.4 25.1 25.4 25.5 25.3 S.
Promedio (redondeado): _
La serie no es normal (muy pocas mediciones); hemos
querido simplificarle los cdlculos.
)- 4.7. jTEST! Medidas de un espesor:
1.04 1.01 1.06 1.08 1.06 mm.
Pronaedio: _
Menor medida: _
Mayor medida: _
Resultado: _
La serie no es normal (muy pocas mediciones); hemos que-
rido simplificarle los cdlculos.
)- 4.8. jTESTI Tabla 3 (hoja que usted ha desprendido).
Incertidumbre absoluta _
Resultado: _
cEntre que valores se puede considerar que esta comprendida
con certeza la magnitud? ' y _
cQue se puede decir del valor 8.31 mA?, ces el valor exacto
de la magnitud medida?
4.9. Halle el total de sus errores desde el princlplO del test.
Si ha cometido:
5 errores 0 mas: para seguir el resto del curso sin dificultad,
debe repasar el capitulo 3 leyendo todos los cuadros.
299792.3 299792.7
RegIa. (3) III B.
QI -Q2 Ql Q2 -Q2s
RegIa: (3) 4.
0.1 0.2 0.1 0.2 0.2 s
Regia: (3}4.
0.2 s
Regia: (3)6.
25.3 ± '0.2 s
RegIa: (3)9.
1.05 mna
1.01 mm
1.08 mm
0.04 mm
Regia: (3}8 DE.
1.05 ± 0.04 mm
Regia: (3}9.
Medida que mas se desvia del pro-
medio: 8.19. Su desviacion vale:
8.31 - 8.19 = 0.12.
Regia: (3}8.
8.31 ± 0.12 mA
Regia: (3) 9.
8.19 8.4;~
Regia: (3) 10 B.
No
Es el valor mas represen-
tativo (0 eL mas probable).
Regia: (3)10 B.

3 0 4 errores: esta bien; mas para mantenerse a un nivel ele-
vado, debe releer el resumen 3 con sus ejercicios si sigue la
via normal; repase el capitulo precedente por via normal si
sigue la via relampago.
2 errores 0 menos: es excelente; puede seguir adelante.
,. 4.10. Ya ha visto como puede determinarse la incertidumbre
absoluta en una serie normal de medidas.
Con frecuencia, hay que utilizar el resultado de la medicion
en ciertos calculos; entonces, se debe introducir tambien en
esos calculos el valQr de la incertidumbre absoluta; sabe usted
que es ventajoso manejar los calculos utilizando simbolos en
vez de numeros; asi pues, aprendera a atribuir los simbolos
adecuados alas nociones que acaba de aprender.
Nos preguntaremos tambien que semejanza hay entre los va-
lores obtenidos en una serie normal de mediciones y los limi-
tes de los valores posibles.
Si sigue la via relampago) consulte el cuadro 5.1) si no es asi)
pase al cuadro 4.11.
No hay respuesta.
4.11. Se acostumbra representar la incertidumbre que haya
en una magnitud por el simbolo Il (delta) colocado delante
de la letra que representa la magnitud.
Asi, la incertidumbre en la longitud L estara simbolizada
par ilL.
La incertidumbre en la velocidad "v" sera simbolizada por
Il _
La incertidumbre en la duracion "t" sera simbolizada por
4.12. ilL se lee delta (maytiscula) ele y significa incertidum-
bre absoluta en la magnitud L.
Ilt se lee y significa _
__________ en la magnitud _
4.14. EI promedio aritmetico de una serie de medidas de la
longitud 1 se representa por 1m, es decir, por el simbolo 1 afec-
tado del subindice m.
De igual manera, el promedio aritmetico de una serie de me·
didas de la temperatura t se representa por el simbolo _
delta te
incertidumb1'e absoluta t
inceTtidumbre absolllla en
la magnitud G.

4.15. El promedio aritmetico de una serie de medidas del
peso P de un objeto se representa por el simbolo _
4.16. Tabla 1 (medida de la longitud L de una linea).
Lm = ------
Halle AL. AL = ------
4.17. Tabla 4: duraci6n (simbolo t) de una caida.
tm = . At = _
Resultado de la medici6n: tm ± At =
4.18. El promedio aritmetico de una serie de medidas de la
magnitud G se representa por , la incertidumbre ab-
soluta por y el resultado por _
4.19. Resultado de las mediciones de una distancia d = 76.4 ±
± 0.1 m.
__ = 76.4 m. = 0.1 m.
4.20. Se llama limite superior del resultado de una serie nor-
mal de mediciones el promedio aritmetico aumentado de la
incertidumbre absoluta.
LfMITE SUPERIOR DEL RESUL TADO: Gm + AG
promedio incertidumbre
ab",luta
Medida de una longitud: L = 129 ± 2 mm.
Limite superior del resultado: 129 + 2 = 131 mm.
Medida de una duraci6n: t = 16.2 ± 0.2 s.
Limite superior del resultado:
4.21. 1m = 8.31 mA, AI = 0.12 mA.
Limite superior del resultado: mA.
4.22. El limite superior del resultado se representa por el
simbolo de la magnitud afectado del subfndice "max".
Asi, el limite superior del resultado de la medici6n:
-- De una longitud L se representa por Lm ••••
- De un volumen V se representa par Vmax,
- De una altura H se representa par _
4.23. Medida de una duraci6n: t = 16.2 ± 0.2 s.
tm = 16.2 s. tmax = _
129 mm
2mm
RegIa: (5)8.
16.2 s 0.2 s
16.2 ± 0.2 s

4.24. Medida de un volumen: V 312 ± 5 cm3
Vm = cm3• aV = cm3•
Vmax = cm3•
4.25. Se llama limite inferior del ,'esultado de una serie de
mediciones el promedio disminuido de la incertidumbre ab-
soluta.
I LIMITE INFERIOR DEL RESULTADO: Gm - toG
Lm = 129 mm, aL = 2 mm.
Limite inferior del resultado: 129 mm - 2 mm = 127 mm.
tm = 16.2 s at = 0.2 s
Limite inferior del resultado: s.
4.26. Para hallar el limite inferior del resultado, hay que
_________ la incertidumbre absoluta del promedio.
Para hallar el limite superior del resultado, hay que _
______ la incertidumbre absoluta al promedio.
4.27. Resultado: 186 ± 3 km.
Los limites del resultado anterior son y
4.28. El limite inferior del resultado se representa pOI' el
simbolo de la magnitud con el subindice "min".
Asi, el limite inferior del resultado de la medici6n:
- de una duraci6n t se representa pOI' tm!n.
- de un peso P se representa pOI' _
4.29. El limite inferior del resultado de la medici6n de una
magnitud cualquiera de simbolo G tendra pOI'simbolo ;
su limite superior tendra pOI' simbolo _. _
4.30. Serie de mediciones de un volumen V.
El promedio de 10s volumenes hallados tiene pOI' simbolo
____ , la incertidumbre absoluta , el limite infe-
rior del resultado y el limite superior _
4.31. Serie de mediciones de una magnitud cualquiera de
simbolo G.
EI promedio de las medidas halladas tiene par simbolo _
la incertidumbre absoluta , el limite inferior del re-
sultado y el limite superior _
4.32. Medida de una altura: H = 253 ± 2 m
Hm = 253 ill, AH ' m,
312 5
317
restar
(retirar, sustraer)
sumar (afiadir)
183 km
189 km

4.33. Para toda magnitud G: Gmax = Gm _
Gmin = Gm ------
4.34. El eonjunto de los valores eomprendidos entre los limi-
tes del resultado (incluidos ambos Hmites) se llama intervalo
de confianza de la medida.
Ejemplo: medida de un volumen: V = 634 ± 3 em3•
Los limites del resultado son: Vmin = em3
y Vmax = em3•
El intervalo de eonfianza de esta medida es el eonjunto de
valores eomprendidos entre y em3•
4.35. Medida de la velocidad de la luz:
299 792.5 ± 2.5 km/s.
El eonjunto de valores eomprendidos entre 299790 Y
299 795 km/s se. llama _
de la medida.
4.36. El menor valor del intervalo de confianza es el limite
inferior del resultado, mientras que el mayor valor es el
______________ del resultado.
4.37. El intervalo de eonfianza puede senalarse eon la nota·
cion siguiente: {Gm1n ... Gmax unidad }.
AS1pues, el intervalo de eonfianza de la medida:
48.5 ± 0.2s (Gm1n = 48.3 s; Gm"x = 48.7 s)
se notara {48.3 ... 48.7 s }.
De igual manera, el intervalo de eonfianza de la medida
175 ± 3 m se notara _
4.38. Intervalo de eonfianza: {Gmin
v = 331 ± 1 m/s
Vmin = Vrnax
Intervalo de eonfianza:
4.39. V = 458 ± 5 em3
Intervalo de eonfianza: _
4.40. En una serie normal de medieiones, hay muy poeas pro-
babilidades de que el valor real de la magnitud medida sea
mayor que el limite superior del resultado, 0 menor que el
limite inferior del resultado. Por tanto, se puede admitir que
el intervalo de confianza es una buena estimaci6n del con·
junto de los valores posibles.
1 = 426 ± 2 mm.
Intervalo de eonfianza: {424 ... 428 mm }.
631
637
330 m/s 332 m/s
{330 .. , 332 m/s }

Se puede estimar razonablemente que el conjunto de los va·
lores posibles es {____ _ mm }.
4.41. S = 210 ± 4 cm2 (resuItado de una serie normal).
Intervalo de confianza _
Estime el conjunto de los valores posibles:
4.42. Se puede pensar razonablemente que el intervalo de
confianza de una serie normal de mediciones es una buena
estimacion del con junto de los valores posibles.
Se puede estimar razonablemente que los limites de los valo-
res posibles son aproximadamente iguales a los _
4.43. Llamaremos extension del intervalo de confianza a la
diferencia entre su limite superior y su limite inferior.
Intervalo de confianza Extension del intervalo de confianza
{ 873 877 mm}
{ 68.2 68.6 s}
4.44. Tabla I. Gmax = 131 mm
Gmin = 127 mm
Extension del intervalo de confianza:
4.45. Gmu = 152 s Gmin = 150 s.
Intervalo de confianza:
Extension del intervalo de confianza: _
4.46. Gmu = Gm + .6.G.
Gmin = Gm - .6.G.
Reste:
Gmax - Gmin = ------
4.47. Gmix - Gmin = 2.6.G
La extension del intervalo de confianza es igual al _
de la _
,4.48. Incertidumbre absoluta: 3 mm.
4.49. Extension del intervalo
de confianza
6 mm
5 kmjs
Hmites del intervalo de con-
fianza 0 limites del resul-
tado
{ 150 .. , 152 s }
2 s
Si contcst6 0, recuerde Que restar
C<luivale a !umar camhiando 105 sig-
nos: G m se transforma en - G m Y
-c.G en +c.G.
doble
incertidumbre absoluta

Extension del intervalo
de confianza
___ mg
2 km
3 mg
km
4.51. Medida de un area:
S: 3 726 3 725 3 728
Sm: _
3728
~S = _
Limite inferior del resultado: Smin =
Limite superior del resultado: Smax =
Dado que esta serie contiene solo cinco medidas, ,se puede
decir que el intervalo de confianza es una muy buena esti-
maci6n del conjunto de valores posibles?
,Por que? _
4.52. Consulte la tabla 5, que Ie da una serie normal de me-
didas de una masa M.
Mm
= ~M =
Resultado de la medicion: _
Limite inferior del resultado: _
Limite superior del resultado: _
Intervalo de confianza: _
Se puede afirmar, con muy pocas probabilidades de equi-
vocarse, que la magnitud medida esta comprendida entre
------- y -------
Si. ha cometido mas de dos errores en los cuadros de test (prin-
cipio del capitulo), lea las partes encuadradas del resumen 4,
del final del libro, sin leer ni completar los ejemplos.
3 726 mm2
3 mm2
Regia: (2)22 RegIa: (~) II.
3726 ± 3 mm2
3723 mm2
RegIa: (4)5.
3729 mm2
Regia: (4)4.
{ 3 723 ... 3 729 mm2 }
Regia: (4) 9.
6 mm2
RegIa: (4)13 A.
No
Es una estimacion medio-
cre, porque la serie no con·
tiene bastantes medidas
para ser una serie normal.
310.6 mg 0.4 mg
Regia: (3)8.
310.6 ± 0.4 mg
310.2 mg
RegIa: (4)5.
31l.0 mg
Regia: (4)4.
{310.2 .. , 311.0 mg}
RegIa: (4)9.
0.8 mg
Regia: (4) 13.
310.2 mg 311.0 mg
Regia: (4) IIA.

Series de mediciones
iguales. Igualdad entre
105 Ilmites de
las incertidumbres
'1 5.1. REVISION.
,Bajo que condicion el intervalo de confianza de una serie
de mediciones es una buena estimacion del conjunto de valo-
res posibles de la magnitud?
La serle de mediciones
debe ser normal (0 a con-
dicion de que las medicio-
nes sean numerosas y exen-
tas de error sistematico) .
7 5.2. LEA EL RESUMEN 4, AL FINAL DEL UBRO, COMPLETANDO LOS
EJEMPLOS.
No hay respuesta.
7 5.3. JTEST! He aqui una serie de mediciones de un area s.
S: 346 344 344 347 340 343 345 cm2
Sm: (redondee).
Incertidumbre absoluta: as = _
344 cm2
Reglas: (4}2 y (2}21.
4 cm2
Regia: (5}8.
Limite inferior del resultado: _
Limite superior del resultado: _
344 ± 4 cm2
Regia: (5}9.
340 cm2
Regia: (4}S A.
348 cm2
Regia: (4)4 A.
{340 ... 348 cm~ }
Regia: (4) 9.
8 cm2
Regia: (4)15 A.
7 5.4. (fEST! En una serie de mediciones de un volumen V,
se atribuye al promedio de las medidas el simbolo _ Vm
Regia: (4}2.
aVRegia: (4) I. _~~_

_________ ; el limite superior del
resultado , y su limite inferior _
,. 5.5. jTEST! Medida de un volumen: V = 214 ± 2 m3
214 m3 2 m3
.,. 5.6. iTEST! Despues de una serie normal de mediciones, se
encuentra que la temperatura de fusion de la plata es
960.7 ± 0.2 DC.
960.7 es el de las medidas afectadas.
0.2 es la _
960.5 es el del resultado.
960.9 es el _
El conjunto de los valores comprendidos entre 960.5 y 960.9
es el y es una buena es·
timacion del conjunto de los
la magnitud.
7 5.7. iTEST! Consulte la tabla 7, que representa una sene
normal de medidas de una duracion (t). No olvide indicar la
unidad en sus respuestas.
tm = At
7 5.8. iTEST!
Incertidumbre absoluta: 2 mm.
'7 5.9. jTEST!
Limites del resultado de la medida de un volumen:
724 cm3 y 730 em3
•
Ineertidumbre absoluta: _
7 5.10. Cuente las faltas que hizo en los cuadros de test. Si ha
eometido:
6 errores 0 mas: neeesita haeer una revision; pero si retrocede
es para saltar mejor: repase el capitulo 4.
Vmltx
Regia: (4)48.
Vmln
Regia: (4)5 B.
Vm
RegIa: (4)2.
AV
Regia: (4)1.
VmJx
RegIa: (4)4 B'.
Vn1ln
Regia.: (4)5 B.
promedio
Regia: (2) 19.
incertidumhre ahsoluta
RegIa· (3)5.
limite inferior
Regia: (4)5 A.
limite superior
Regia: (4)4 A.
intervalo de confianza
Regia: (4)8.
valores posibles
Regia: (4)10.
10.3 s 0.2 s
Regia: (4) 2. RegIa: (4) 1.
10.1 s 10.5 s
Regia: (4)4. Regia (4)5.
{ 10.1 10.5s}
Regia: (4)9.
4 mm
RegIa: (4) 13.
3 cmS
Rel<'la: (4}13 B.
Si ha contestado 6 ems es que ha
confnndido la extensiOn del interva-
10 de confianza con Ja incertidumhre
ahsoluta.
727 ± 3 cm3
Regia: (3)9,

3 a 5 errores: esta bien; pero para prosegulf con mejores reo
sultados:
• Relea el resumen 4 al final del libro y los ejemplos si sigue
la via normal;
• Repase el capitulo precedente 'por via normal si sigui6 la
via relampago.
2 errores 0 menos: usted asimi16 la materia particularmente
bien. Continue as!.
~ 5.11. Ocurre a veces, cuando se efectua una serie de medi-
ciones, que se obtiene siempre el mismo resultado. ,Que debe
tomarse en este caso como incertidumbre absoluta? Podra com-
probar que esta circunstancia se produce cuando se utiliza un
instrumento poco preciso e incluso llegara a preguntarse 10
que es exactamente la precisi6n de un instrumento de medi-
ci6n. Analizando el sentido de esta palabra, precisi6n, es como
descubriri la respuesta a la pregunta que usted se formu16.
En fisica, con frecuencia se encuentra uno obligado a com-
parar resultados de mediciones; por ejemplo, a preguntarse si
realmente dos resultados son iguales. ,C6mo podra decidir
cuando cada resultado esta afectado de incertidumbre? Al ter-
minar este capitulo, podra contestar a esta importante pre-
gunta.
Si sigue la via relampago, consulte el cuadro 6.1, si no, pase
al cuadro 5.12.
5.12. Para modificar el equilibrio de una balama, hay que
afiadir 2 mg en uno de los platillos. La indicaci6n minima (0
umbral) de esta balanza es 2 mg. Para modificar el equilibrio
de otra balanza, hay que afiadir 5 mg en uno de los platillos.
El umbra 1 de esta balanza es _
Nota. Con frecuencia se designa como sensibilidad el umbral
de indicaci6n de una balanza; pero, con todo rigor, tal deno-
minaci6n es impropia.
5.13. Cuando se miden dos objetos con una regIa graduada
en milimetros, se necesita, entre estos dos objetos, una dife-
rencia de 0.5 mm para poder obtener dos medidas diferentes.
EI umbra 1 de indicaci6n de la regIa es _
5.14. Para que un term6metro de dos indicaciones distintas,
es necesario que este sumergido en dos medios cuyas tempe-
raturas difieran, por 10 menos, en 0.5 DC.
Se puede decir que 0.5 °C es el _
del term6metro.

5.15. Tome una regIa graduada y mida cinco veces con todo
cuidado la altura de esta pagina, con precision de un mill·
metro:
5.16. Cuando se efectua una serie de mediciones con un ins-
trumento poco preciso, suele ocurrir que se encuentran re-
sultados _
5.17. Si encuentra usted diez veces 240 g, utilizando una ba-
lanza cuyo umbral de indicacion es de 0.5 g, puede estar se-
guro de que la masa medida no sobrepasa g y
que no es inferior a g.
240 240 240 240 240
0241 241 241 241 241
o 239 239 239 239 239
ig.uales
240.5
239.5
En efe<:to, si la masa sobrepasara 240.5 It
la balanza euyo umbral es 0.5 g no hu
biera indicado 240. sino un numero suo
perior. Por ejemp]o. si la masa hubier
sido 240.7 11', la balanza no hubiera ill
dieado 240 11', sino 241 g.
5.18. Por 10 contrario, si mide una masa con una balanza cuyo
umbra 1 de indicacion es 0.5 g Y si halla 240 g, cpuede estar
seguro de que esta masa no es de 240.2 g 0 de 239.7 g?____ No
l':1l efeeto, si la balaoza tielle por umbral
.5 g. hay que coloear al mellOs 0.5 II'
ara desviarla: eualldo se pollen 240.2 g,
a balanza indica 240 porque los 0.2 II'
ue sobrepasan los 240 son insuficient
ara haeer que el fiel de ]a balanza
desvie.
5.19. Indicacion Indicacion Indicacion
precedente siguiente
239.5 g 240 g 240.5 g
Los valores posibles estan comprendidos entre g
y g.
Se puede, pues, escribir que el resultado de la medicion es
igual a ± g.
5.20. Mediciones con ayuda de una balanza:
-- Umbral de indicacion: 0.5 g.
- Incertidumbre absoluta de la medida: 0.5 g.
En una serie de mediciones que dan todas el mismo resultado,
la incertidumbre absoluta es igual al _
_________ del instrumento.
5.21. He aqui un fragmento de la gradua-
cion de un termometro. Esta graduacion
e.'i.ci. (}'H.u.ada ~'{ .'{am.,..
Llamaremos division al intervalo entre estos
trazos.
Asi, el intervalo entre el trazo 70 y el trazo
71 es una
Raye la division entre 74 y 75.
Cada division, en la figura, vale °C.
239.5
240.5

5.22. Si no trata de leer entre
dica como longitud del objeto:
Fig. 7.
I.
•• 1
A: mm B: mm C: mm.
Para que la regIa Ie indique 1 mm mas, es preciso que el
objeto sobrepase la mitad de la graduacion (0.5 mm): el um-
bral de la regIa es mm.
5.23. Si se utiliza un instrumento provisto de una escala, sin
tratar de leer entre las gTaduaciones, el umbral de indicacion
es igual al _
5.24. Un transportador esta graduado de grado en gTado. Si
se utiliza sin tratar de leer entre las graduaciones, el umbral
de indicae ion es igual a grado.
5.25. Si se utiliza un instrumento provisto de una escala,
sin tratar de leer entre las graduaciones y si, en una serie de
mediciones, se encuentran resultados iguales, la incertidumbre
absoluta en esta serie de mediciones es igual a _
5.26. Serie de mediciones de la temperatura de una sala efec-
tuada con ayuda de un termometro graduado en DC, de grado
en grado, sin leer entre los trazos:
21°C 21 °C 21°C 21 °C 21°C
Resultado de la medicion:
5.27. Dos series de numeros tienen un valor comun 51 se
encuentra el mismo numero en ambas series. Asi 4 9 6 8 Y
7 5 6 3 tienen un valor comun que es 6.
De igual manera, 82 83 84 85 Y 85 86 87 tienen un _
__________ que es _
5.28. Considere el intervalo entre los numeros 7 y 10 Y el
intervalo entre los numeros 9 y 12.
~Tienen valbres comunes? _
valor de media division 0
a la mitad de una division,
etc.
1
2 (0 0.5)
la mitad de una divisi()11
(es aceptable decir la mitad
de una graduacion).
0.5 °C
21 ± 0.5 °C
valor comun
85

5.29. Supongamos que se haya encontrado como resultado de
la medicion de una longitud A: 64 ± 1 m y de una longi-
tud B: 65 ± 1 m.
(Es posible que B = 65 m? _
(Es posible que A = 64 + 1 65 m? _
(Es posible que A = B? _
5.30. A = 64 ± 1 m B = 65 ± 1 m
Es posible que A = B, porque uno de 10s valores posibles
de A (65 m) es igual a otro valor posible de B (65 m).
Dos magnitudes afectadas de incertidumbre pueden ser igua-
les si dos de sus son _
5.31. El intervalo de confianza es una estimacion razonable
del conjunto de los valores posibles.
(Como se podria saber si los valores posibles de dos magni-
tudes tienen un valor comt'm? _
5.32. Dos resultados de mediciones son iguales entre los li-
mites de las incertidumbres, si sus intervalos de confianza tie-
nen por 10 menos un valor comlin.
Resultados Intervalo de confianza
A = 129 ± 2 mm 127 . " 131 mm
B = 128 ± 2 mm 126 . . . 130 mm
(Tienen los dos intervalos de confianza alglin valor comlin?
~Son iguales Ios dos resultados entre Ios limites de Ias incer-
tidumbres? _
5.33. A B
cSe puede decir que 30 ± 2 = 33 ± 2 entre Ios limites de
Ias incertidumbres de medida?
Valores posibles de A: 28. .. 29... 30... 31... 32
Valores posibles de B: 31 ... 32 ... 33 ... 34 ... 35
En Ios dos intervalos de confianza, se encuentran Ios valores
___ y (y todos los valores intermedios). Los dos
intervalos de confianza valores comunes;
5.34. Si no comprende la pregunta siguiente 0 si no puede
contestarla, pase directamente al cuadro 5.36.
El conjunto de elementos que pertenecen al mismo tiempo a
Ios conjuntos A y B se llama de A
y de B y se representa por A B.
valores posibles iguales
(0 comunes)
Viendo si sus intervalos de
confianza tienen un valor
comun (0 cualquier otra
:respuesta equivalente.J·
Si ha for..testado no, escriba 105 va~
lores entero. entre 127 y 131, de.-
pu •• entre 126 y 130 Y yea si en-
cuentra, sl 0 no, un mismo numcro.
en la. dos serie •.
31 32
tienen
interseccion
n

5.35. G = G' entre 10s limites de las incertidumbres si, y
solamente si:
{ Gmin ... Gmax } { G'min ... G'max} :;C 0
Interval0 de signo Intervalo de
confianza de G conveniente confianza de G'
Fig. 8. Gm Gm + t1G
j I AIG~ EAr
1
G'm - t1G' G'm
Gm Gm + t1G
:-1 I A1G+ iGm - t1G' G'm
Gm Gm + t1G
-r-1
~ iC
G'm - t1G
1
G'm
5.36. Examine 10s 3 casos A, B Y C, representados en la figu-
ra 8 e indique en las lineas siguientes uno de 10s signos:
< (inferior);
En A: Gm + .6.G G'm - .6.G',
En B: Gm + .6.G G'm - .6.G',
En C: Gm + .6.G G'm - .6.G~
5.37. Examine 10s tres casos de la figura 8 en que Gm < G'm'
Indique con una X, en las lineas, 10s casos de la figura 8 en
10s que se puede decir que G y G' son iguales entre 10s limi·
tes de las incertidumbres de medida (par 10 menos un valor
comlin):
5.38. Observe la figura 8.
G = G' entre 10s limites de las incertidumbres de medida
si, y solamente si:
Gm + .6.G G'm - .6.G' con G'm > Gm.
un .igno que
represente dos
po.ibilidade.

5.39. G:::::;G' '" si, y solamente si:
Gm + AG ~ G'm - AG',
• Utilizamos el signo :::::;para representar la igualdad entre 105 Hmites de
las incertidumbres.
5.40. Hemos considerado dos magnitudes G y G' con Gm <
< G'm y hemos encontrado que G :::::;G' si, y solamente si,
Gm + AG + AG' ~ G'm'
Dos magnitudes son iguales entre los limites de las incerti-
dumbres de medida si, y solamente si, e1 promedio menor
(Gm) aumentado en las dos incertidumbres absolutas (AG y
AG') es 0 al promedio ma-
yor (G'm)'
5.41. Para saber si dos magnitudes son iguales entre los limi·
tes de las incertidumbres, primero hay que hallar el prome-
dio menor.
En 731 ± 2 y 729 ± 2, el promedio menor es 729.
En 854 ± 2 y 857 ± 2, el promedio menor es _
5.42. En 48.2 ± 0.3 y 48.1 ± 0.4, las dos incertidumbres ab-
solutas son 0.3 y 0.4.
En 516 ± 2 y 518 ± 3, las dos incertidumbres absolutas son
--y~-
5.43. En 425 ± 4 y 424 ± 3, las dos incertidumbres son
___ y mientras que el promedio menor es _
5.44. Para decidir si dos magnitudes son iguales entre los Ii-
mites de las incertidumbres de medida, es necesario:
A. Sumar las dos incertidumbres al promedio menor;
B. Comparar la suma asi obtenida con el promedio mayor.
623 ± 2 :::::;625 ± 3? 425 ± 4 :::::;430 ± 5?
mJnor t mlyor mJnor t mtyor
promedio promedio
A. 623 + 2 + 3 = 628
B. Hay que comparar
628 con 625
A. 425 + 4 + 5 = 434
B. Hay que comparar
5.45. Si la suma hallada es igual 0 superior al promedio ma-
yor, las dos magnitudes son iguales entre los Iimites de las
incertidumbres de medida.
434 430
(0 430 cOn 434)

,623 ± 2 ;:::;625 ± 3?
Suma: 623 + 2 + 3 = 628
Promedio mayor: 625
La suma es superior a1 pro-
medio mayor
,425 ± 4 ;:::;430 ± 5?
Suma: 425 + +
Promedio mayor:
La suma es
Por tanto, 1as dos magni-
tudes son igua1es entre 10s
limites de 1as incertidum-
bres de medida.
al promedio mayor.
Luego, 1as dos magnitudes
_____ igua1es entre 10s
oon/no IOn
limites de 1as incertidumbre
de medida.
5.46. ,Es 518 ± 2 ;:::;521 ± 3?
El promedio menor es _
Suma del promedio menor con 1as incertidumbres:
+ -- + -- = ------
Promedio mayor: _
La suma calculada es al promedio mayor;
inferior/ igual/ superior
luego ambas magnitudes iguales entre 10s
5.47. ,76.8 ± 0.3 ;:::;77.2 ± 0.3?
Promedio menor: _
Suma del promedio menor y de 1a5incertidumbres: _
Promedio mayor: _
Conclusion: 1as magnitudes iguales entre
lIOn/no lIOn
10s limites de 1as incertidumbres.
5.48. ,27.1 ± 0.2 ;:::;26.6 ± 0.2?
Suma: _
Promedio mayor : _
Conclusion: dentro de 105 limites de
igualdad/diferencia
1as incertidumbres.
5.49. Cuando 1a suma del promedio menor y de 1as dos in-
certidumbres es igua1 al promedio mayor, 1as dos magnitudes
son tambien iguales entre 10s limites de 1as incertidumbres
de medida.
,2.48 ± 0.03 ;:::;2.54 ± 0.()3?
Promedio menor:
Suma: _
4 5 434
430
2 3
521
supenor
76.8
77.4
77.2
27
27.1
diferencia
2.48
2.54

Promedio mayor: _
Conclusion:
incertidum bres.
2. ~
igua1dad
5.50. Indique, en la tercera columna, "~" si a ~ b Y "~"
en e1 caso contrario:
A B ~ 0 ~~
127 ± 2 129 ± 2 ~
63.2 ± 0.3 63.7 ± 0.2 ~~
261 ± 1 265 ± 1 ~
0.45 ± 0.01 0.47 ± 0.01 ~~
Si cometio>un error, relea el cuadro
5.35 y yea todos 108 cuadros inter-
medi08. Si no ha cometido ning(m
error, pUede detenerse aqui.
Si cometio maS de tres errores en 10s cuadros de test (princi-
pio del capitulo), lea las partes encuadradas del resumen 5,
a1 final del libro, sin leer ni completar 10s ejemplos.

La incertidumbre
relativa
'1 6.1. REVISION.
,Bajo que condiciones una serie de mediciones proporciona
una serie normal de medidas?
f 6.2. REVISIoN.
Examine la serie de medidas de la tabla 8. Escriba el resul-
tado de la medicion:
'1 6.3. LEA EL RESUMEN 5, AL FINAL DEL LIBRO, COMPLETANDO LOS
EJEMPLOS.
- La serie debe contener
por 10 men os 10 me-
didas.
- Las mediciones deben es-
tar desprovistas de error
sistematico.
725 ± 4 cm3
Reglas: (8)8. (3) 11.
medida menor: 722 em'
la mayor: 729 em'
separaci6n mayor: 4 em'
Limite inferior: 721 cm:!
Limite superior: 729 cmll
Regia: (4)6.
{721 ... 729 cm3 }
Reglas: (4)8 (4)9.
-- que esta casi seguramen-
te comprendida entre
721 y 729 cm3,
- y que tiene mas proba-
bilidades de estar proxi-
ma a 725 cm3
que a cual-
quier otro valor.

'f 6.4. jTESTl Se lee varias veces la velocidad de un coche en
el medidor de velocidades.
Cada vez se halla 80 km/h. Se acelera ligeramente y se com-
prueba que hay que alcanzar la velocidad de 82 km/h para
que se mueva la aguja.
,CmU es la incertidumbre absoluta sobre la medida?
Justifique: _
76.5. jTESTI Se efectua una serie de mediciones y se obtienen.
resultados iguales. ,Por que? _
~ 6.6. jTESTI Un termometro de qUlmlca esta graduado de
grado en grado. Se Ie utiliza sin tratar de leer entre las gra-
duaciones y se halla, midiendo el pun to de ebullicion del
cloroformo, 62°C para cada medida (error del cero corre-
gido). Incertidumbre absoluta: _
Resultado de la medicion:
., 6.7. jTEST! Indique si los resultados que se indican, de las
mediciones efectuadas, son iguales 0 diferentes entre los limi-
tes de las incertidumbres de medida:
86 ± 2 mm y 87 ± 2 mm _
iguales/difer<ntes
573 ± 1 m y 575 ± 2 m _
48.2 ± 0.5 m y 47.1 ± 0.4 m _
19.8 ± 0.3 m y 20.4 ± 0.4 m _
~ 68. Cuente cuantos errores ha cometido desde el principio
del capitulo (cuadros de test). Si ha cometido:
4 errores 0 mas: necesita hacer una revision; pero si retrocede,
sera solo para saltar mejor; repase el capitulo 5.
2 0 3 errores: esta bien; pero, para mejorar todavia mas:
• Relea el resumen 5 y los ejemplos si sigue la via normal;
• Repase el capitulo precedente por via normal si sigue la via
reldmpago.
I error 0 ninguno: ha asimilado excepcionalmente bien la
materia anterior.
• ,Como podremos evaluar la precision de una medicion?
• ,Que es una medicion precisa, una medicion corriente y
una evaluacion rudimentaria?
Aprendera a contestar estas preguntas.
S.i sigue la via relampago, consulte el resumen 6, al final del
libro, si no, pase al cuadra 6.9.
2 km/h
Reglas: (5)1 a (5)3.
1a incertidumbre absoluta
es igual al umbral de indi-
cacion.
o la aguja ha permanecido en 80 km/"
wando se ha pasado por todas las V/."-
locidades intermedias entre 80 v 82
km/h; luego. no '"' puede estar seg-um.
wando indica 80 km/h, de que la 'e-
locidad no tiene uno de esos valores
intermedios.
POI-que el instrumento que
se utiliza es poco preciso.
RegIa: (5 )2_
0.5 °C
Regia: (5)4.
62 ± 0.5 "C
RCKla: (3)11.
iguales
Reglas: (5)6 y (5)'1
iguales
diferentes
iguales

6.9.
A. Velocidad de la luz (determinada por Froome en 1958):
299 792.5 ± 0.2 km/s.
B. Duracion de un movimiento (determinada por un estu-
diante en una sesion de trabajos practicos): 16.2 ± 0.2 s.
,eual de estas determinaciones es la mas precisa? _
6.10. Dos medidas que ofrecen la misma incertidumbre abso-
luta no son por fuerza igua1mente precisas. ,Basta la incer-
tidumbre abso1uta para evaluar 1a precision de una medida?
6.11. Hemos examinado dos medidas que tienen 1a misma in-
certidumbre absoluta:
De estas dos medidas, A es mucho mas precisa, porque 1a in-
certidumbre absoluta (0.2) se refiere a un numero mucho ma-
yor (299 792.5 en vez de 16.2).
Por tanto, se puede decir que la incertidumbre en
es re1ativamente mas pequena.
Para evaluar 1a incertidumbre relativamente a 1a magnitud
medida, se podrci hallar el cociente de la incertidumbre abso-
luta dividida entre el promedio.
A. 2990;~2.5 ;::::0.00000067 (medida precisa),
0.2 _ 0.012
16.2 -
6.12. Se llama incertidumbre relativa de una medida al co-
ciente de la incertidumbre absoluta dividida entre el pro-
medio.
As!, la incertidumbre relativa en la medida 357 ± 2 mm es
l' 2
e COClente357'
Igualmeme, la incertidumbre relativa en la medida 16.2 ± 0.2 s
A
Tnccrli<lumbrc absolma de 0.2 CII terca
de 300000.
pequeno
grande
0.2
16.2

Incertidumbre re1ativa
(no elect"e el cllculo)
0.12
8.31
6.14. El cociente de la incertidumbre absoluta entre el pro-
medio se llama de la
medida.
6.15. La incertidumbre re1ativa de la medida Gm ± AG es
AG
el cociente ---.
6.17. RECORDATORIO: cuando se dividen dos numeros que
miden magnitudes de la misma naturaleza, e1 cociente se ex-
presa por un numero sin unidad, es decir, por un numero
abstracto. Asi, si se dividen los numeros que expresan la lon-
gitud (10 em) de un rectangulo y su altura (5 em), se obtiene
un numero abstracto (2).
Igualmente, si se divide el numero que expre-sa la incerti-
dumbre absoluta de una 10ngitud (6 mm) entre esta 10ngitud
(200 mm), se halla un numero abstracto _
6.18. La incertidumbre absoluta y el promedio estin expre-
sados en la misma unidad.
La ineertidumbre relativa, que es el cociente de ambos, es
un numero _
6.19. La incertidumbre absoluta es un numero concreto, mien-
tras que la ineertidumbre relativa es un numero _
2
129
0.05
4.38
AG
Gm
5i contest';' 0.03 0000, recll<;rdeque
la incenidull1bre absoillra y'la mag·
nilud eSllm eJl:presadasen la mistna
unidad: su coriente es un numero
abstracto, es dedr. sin unidad.
abstracto
o sin unidad

6.20. d = 836 ± 2 m
6.21. En los cuadros que siguen, designaremos a la incerti·
dumbre relativa de la magnitud G, por RG•
La incertidumbre relativa en el volumen V sera designada
por _
6.22. En el simbolo RG que representa la incertidumbre re-
lativa de una magnitud G, el simbolo que designa esta mag-
nitud (G) se coloca como subindice, es decir
6.23.
Longitud
Incertidumbre absoluta de esta longitud: _
Incertidumbre relativa de esta longitud: _
Simbolo
1
6.25. Si nos ocupamos de cierta magnitud G
aG
RG =
Gm
RG es de la magnitud G.
aG es de la magnitud G.
Gm es de las medidas de la magnitud G.
6.26. Cuando se calcula una incertidumbre relativa, siempre
hay que detenerse en la segunda cifra significativa.
Medida
129 ± 2 mm 2
129 ;::.:;;0.016
0.3
56.7
6.27. Calcule (con la regIa):
t = 14 ± 0.5 °C Rl = _
2
836
. d 2
51 h3 contesta 0 836 ffi, ucl'a a leer
el cuadro 6.17.
I
231
incertidumbre relativa
incertidumbre absoluta
pr0medio
0.036 (0 0.035)
Si cOOlest.O 0.035 7 0 0.035 71. lea la
regia (6 •

6.28. Para que la incertidumbre relativa sea igual a 1, es ne·
cesario que la incertidumbre absoluta sea igual a 1a magni-
tud misma. Una medida tan burda es excepcional; genera1-
mente, 1a incertidumbre abso1uta es menor que 1a magnitud
y 1a incertidumbre re1ativa es que 1.
6.29. En 10s c:Hcu10s, es generalmente practico:
• Expresar la incertidumbre relativa con ayuda de un fac-
tor 10-'1;
• Leer este factor as!: milesimas.
Una incertidumbre re1ativa de 0.024 se escribira: 24 X 1Q-ll;
Y se leed.: 24 milesimas.
Una incertidumbre relativa de 0.007 se expresara escribiendo:
_______ y se 1eera: 7 X 1O~1
fi.30. Transcriba, utilizando e1 factor 10-'1:
8 milesimas _
21 mi1esimas _
0.7 mi1esimas _
8 X 10-11
21 X 10-'1
0.7 X 1(}->1
6.31. 0.025 puede transcribirse
6 X 1Q-'l puede 1eerse 6 _
25
mi1esimas
6.32. 8.31 ± 0.12 A
Para hallar 1a incertidumbre re1ativa en mi1esimas, hay que:
• Multip1icar 1a incertidumbre abso1uta (0.12) por 1 000 10
que da _
• Dividir entre e1 promedio (8.31), 10 que arroja:
• Multiplicar par el factor 10-'1:
120
14
14 X 10...;{
6.33. t = 62 ± 0.5 °C.
CaIcule 1a incertidumbre re1ativa expresada en milesimas.
Si no sabe como hacer} lea la indicacion siguiente:
Multiplique 1a incertidumbre abso1uta por 1000, divida e1
producto entre el promedio y co10que el factor lQ-'l.
6.34. CaIcule la incertidumbre relativa, expresada en mi1esi-
mas, de L = 28 ± 0.5 mm.
RI. = _
10 que se lee _
18 X 1O~1
18 milesimas

6.35. R
v
= 1 000 .6.G X 1O~.
Gm
Para hallar la incertidumbre relativa de una magnitud G, di-
rectamente expresada en milesimas, hay que:
• Multiplicar la por 1 000; i.l1Ce.rti~ulllhTe.ab$Qluta
• Dividir entre el ptQlllediQ
Xl~
6.36.
t
nl =
Calcule la incertidumbre relativa en miIesimas:
16.2 ± 0.2 s Rt
2.453 ± 0.001 g __ Rm = _
12 X
0.41 X l~
6.37. La incertidumbre relativa permite evaluar la preeisi6n
de una medida: si la incertidumbre relativa es muy pequeiia,
la medida es muy _
6.38. La incertidumbre permite evaluar
la preeisi6n de una medida, mientras que la incertidumbre
_________ sola no es sufieiente.
6.39. Para determinar cuM de las dos medidas es la mas pre-
eisa, primero hay que calcular la _
La medida mas precisa es aquella cuya _
es la mas _
incertid-qmbre relativa ~
incertidumb:re relativa
or;.
Plquena
6.40. He aqui dos medidas; determine cuM es la mas pre-
eisa (calcule primero las incertidumbres relativas en miIesimas).
A = 250 ± 2 g Incertidumbre relativa:
2 000 l~ 8 X 10-3
250
8 000 10~ = 6.7 X 10-3
1200
B
d.lculo respueSla
La mas preeisa es _
6.41. Determine cual de las dos medidas siguientes es la mas
preeisa.
A: 3.27 ± 0.02 mm _
B: 410 ± 3 km _
La mas preeisa es
RA = 6.1 X 1(}--'I
Ra= 7/5 X 1O~'I
A

Comprendida entre I y 50 milesimas:
Inferior a I milesima:
Superior a 50 milesimas:
medida corriente,
medida precisa,
medida rudimentaria.
Califique correctamente las medidas siguientes:
A. Profundidad de un pozo: 35 ± 5 m (incertidumbre rela-
tiva: 140 X IQ-3); medida _
n. Temperatura de la clase: 20 ± 0.5 DC (incertidumbre re-
lativa: 25 X IQ-3); medida _
C. Velocidad del sonido: 331.36 ± 0.02 m/s (incertidumbre
relativa: 0.060 X IQ-3); medida _
D. Velocidad de la luz: 299792.5 ± 0.2 kmls (incertidumbre
relativa: 0.00067 X 10-3); medida
E. Velocidad de una corriente de agua: 0.48 ± 0.04 mls (in-
certidumbre relativa: 83 X 10-3); medida _
F. Altura de la pagina: 240 ± I mm (incertidumbre relativa:
4.2 X IQ-3); medida _
6.43. Habitualmente, se estima que una medida es rudimen-
taria si la incertidumbre relativa es superior a _
6.44. Generalmente, se puede considerar que una medida es
precisa si la incertidumbre relativa es inferior a _
6.45. Temperatura de ebullici6n del alcohol: 78.5 ± 0.2 DC.
Cali.fique la medida y justifique su decisi6n:
Si no sabe como hacerlo, calcule primero la incertidumbre
relativa.
6.46. Nota: Se puede expresar la incertidumbre relativa en
porcentq.je: el porcentaje de incertidumbre es, por definici6n,
igual a 100 veces la incertidumbre relativa.
Incertidumbre relativa
0.023
0.04
15 X IQ-3
20 X IQ-3
Porcenta je de incertidumbre
Vl%
50 milesimas
(0 50 X IQ-3)
1 milesima
(0 I X 10-3)
medida corriente
Rt = 2.5 X IQ-3
(I < 2.5 < 50)

6.47. m = 125 ± 2 mg
Incertidumbre relativa en milesimas: Rm =
Incertidumbre relativa en porcentaje: Rm = %.
Califique la medida en cuanto a su precision: _
Si cometio mas de dos errores en los cuadras de test (principio
del capitulo), lea las partes encuadradas del resumen 6, al
final del libro, sin leer ni completar los ejemplos.
16 X 1<Hl
1.6
medida corriente

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