Resumen de las principales relaciones métricas en el triángulo

1. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO
PROFESOR: ALBERTO ATOCHE LÓPEZ

2. L
2
PROYECCIONES
Se llama proyección ortogonal de un punto sobre una
recta, al pie de la perpendicular trazada desde el punto a
la recta.
P
P´
P´ = Proyección de P sobre la recta L

3. L
3
PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO
La proyección de un segmento AB sobre una recta L es el segmento cuyos
extremos son las proyecciones de los extremos de AB sobre L.
A
B
C D
E
F
H
A´ B´ C´ D´ E´ G H´

4. SON EXPRESIONES QUE RELACIONAN
LAS MEDIDAS DE LOS ELEMENTOS DE
LOS
TRIÁNGULOS
4

5. 5
ELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULO
Cuando en un triángulo rectángulo se traza la altura relativa a
la hipotenusa, se forman los siguientes triángulos semejantes:
A
B
C
AHB ∼ BHC ∼ ABC
H
h
α
α
a
b
c
β
β
m n
α h n a
β m h c
α h n a
⊥ c a b
β m h c
⊥ c a b
= =
= =
= =
Efectuando los productos cruzados entre colores iguales se
tendrá …

6. 1) TEOREMA DEL CATETO
n m
c
A
C
B
b
a
a2
=mc
b2
=nch
6

7. 2) TEOREMA DE PITAGORAS
n m
c
A
C
B
b
a
a2
+b2
=c2h
7
Sumando las dos relaciones
del Teorema del Cateto:

8. 3) TEOREMA DE LA ALTURA
n m
c
A
C
B
b
a
h2
=mn
h
8

9. 4) TEOREMA DEL PRODUCTO DE
CATETOS
n m
c
A
C
B
b
a
ab=ch
h
9

10. 5) TEOREMA DE LA INVERSA DE LOS CATETOS
n m
c
A
C
B
b
a
h
1 1 1
a2
b2
h2
+ =
10

11. 1) Hallar el valor de “x·” en la figura
10
A
C
B
x
8
a)10 b)8 c)5 d)6 e)9
solución
11

12. 2) Hallar el valor de “x·” en la figura
9
A
C
B
x
a)11 b)15 c)12 d)9 e)6
16
solución
12

13. 3) Hallar el valor de “x·” en la figura
4
x
a)12 b)7 c) 9 d)8 e)11
6
solución
13

14. 4) Hallar el valor de “x·” en la figura
8
A
C
B
a)12 b)14 c)10 d)16 e)18
x
12
solución
14

15. 5) Hallar el valor de “x·” en la figura
A
C
B
24
a)6,72 b)6 c)5,36 d)1,5 e)6,3
25
x
solución
15

16. Ejercicio 1
Utilizando el teorema de
Pitágoras:
x2
+82
= 102
x2
=102
- 82
x2
=100-64
x2
=36
x=6
Respuesta: d)6ir a ejercicio 2
16

17. Ejercicio 2
c=9+16=25
Utilizando el teorema del
cateto:
x2
=(9)(25)
x2
=225
x=15
Respuesta: b)15
ir a ejercicio 3
17

18. Ejercicio 3
Utilizando el teorema del
cateto:
62 = 4x
36= 4x
4x=36
x=9
Respuesta: c)9
ir a ejercicio 4
18

19. Ejercicio 4
Utilizando el teorema de
la altura:
122
=8x
144=8x
8x=144
x=18
Respuesta: e)18
ir a ejercicio 5
19

20. ◦ Ejercicio 5
Utilizando el teorema de Pitágoras
y2
+242
= 252
y2
=252
- 242
y2
=49
y=7
Usando el teorema del producto del cateto
(7)(24)=25x
168=25x
x=6,72
Respuesta: a)6,72
20

21. HACIENDO USO DEL TEOREMA DE
PITÁGORAS, SE PUEDEN HALLAR:
LAS RELACIONES MÉTRICAS EN
LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

22. 1) TEOREMA DE EUCLIDES
I
a2
=b2
+ c2
– 2bp
c2
=a2
+ b2
– 2bm
22

23. 2) TEOREMA DE EUCLIDES
II
a2
=b2
+ c2
+ 2bp
23

24. 3) TEOREMA DE LA MEDIANA
a2
+c2
=2BM2
+ b2
/2
24

25. 4) TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
BD2
= a.c – m.n
25

26. 5) TEOREMA DE LA BISECTRIZ
EXTERIOR
BD2
= m.n – a.c
26

27. 6) TEOREMA DE STEWART (CEVIANA)
d2
a = nc2
+ mb2
- nma
27

28. 7) TEOREMA DE HERÓN (ALTURA)
28
)cp)(bp)(ap(p
b
2
h −−−=
2
cba
p
++
=

29. 29
TRIÁNGULOS NOTABLES
Son aquellos que:
Son triángulos rectángulos
Las medidas de sus ángulos son enteros
Las relaciones entre sus lados son fracciones
30° - 60°
A
B
C
∆ ABC = equilátero
H
30°
60°60°
L
LL
2
L
2
3L
También se presenta
30°
60°
L
2L3L
30°
60°
L
3
L
3
2L

30. 30
45° - 45°
A B
CD
ABCD = cuadrado
45°
45°
L
L2L
también puede ser
45°
45°
L
2
L
2
L

31. 31
15° - 75°
A
B
C
15°
15°
M
L
H
h
30°


 = 2
L
en el BHM, h =
4
L
2
2/L
2
==
4
L
h =
)26L( +
)26L( −

32. 32
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
Son aquellos triángulos rectángulos cuyas longitudes de
lados son números enteros
En general, los lados de los triángulos pitagóricos
obedecerán a la siguiente forma
nm⋅
2
nm 22
+
2
nm 22
−
Donde m y n son
números impares
primos entre sí.

33. 33
Ejemplos
3
5
4
5
13
12
7
25
24
9
41
40

34. 34
11
61
60
8
17
15
20
29
21
33
65
56
12
37
35
39
89
80
etc……