天下一プログラマーコンテスト2015 予選A E問題 解説

1. E問題 解説
「天下⼀一魔法使い」
天下⼀一プログラマーコンテスト2015 予選A

2. 問題概要
円周上にN個の点が等間隔で並んでいる
点をつないでいくつかの多⾓角形を作る
・各点はちょうど1つの多⾓角形に含まれなければならない
・多⾓角形の頂点数は全てK以上でなければならない
・多⾓角形がひとつながりになっていなければならない
このような点のつなぎ⽅方は何通りか？
3 ≦ N ≦ 400
3 ≦ K ≦ N

3. 部分点 1
N ≦ 50
N/3 < K

4. 部分点 1
N/3 < K
→ 多⾓角形は⾼高々2つしか作れない
N < 3K であり、多⾓角形を3つ以上作るには点が⾜足りない

5. 部分点 1
多⾓角形が１つの場合：１通り
多⾓角形が２つの場合：
「K頂点以上の多⾓角形を２つ作る場合の数」
（ひとつながりでないものも含めたもの）
から
「２つの多⾓角形が交差しない場合の数」
を引く

6. 部分点 1
・K頂点以上の多⾓角形を２つ作る場合の数
N個の点を2つのグループに分ける場合の数と同じ
ʻ‘Aʼ’とʼ’Bʼ’を合計N個並べる場合の数 / 2 と同じ
（２つのグループは区別しないため）
ʻ‘Aʼ’の個数を K から N-‐‑‒K まで試し、その和を取る
ʻ‘Aʼ’の個数がa個のときは、N C a
コンビネーションの計算にはパスカルの三⾓角形などを⽤用いれば良良い

7. 部分点 2
N ≦ 50
この部分点は、計算量量が多項式ならば満点解法よりも多少効
率率率が悪い部分があっても取ることができます

8. 満点解法
N ≦ 400
O(N^3) のアルゴリズムなら満点を取ることができます

9. 満点解法
「ひとつながりかどうかを無視した場合の数」
から
「ひとつながりでない場合の数」
を引く

10. 満点解法
説明のため、点の個数が i 個のときの答えを
A[i]
としておきます（忘れないでください）
（つまり、この問題⾃自体の答えは A[N] になります）

11. ひとつながりかどうかを無視した場合の数
N個の点をいくつかの「K個以上の点を含むグループ」に分
ける場合の数と同じ
dp[i] = i 個の点をいくつかの「K 個以上の点を含むグルー
プ」にわける場合の数
というDPを計算する

12. DPの計算
dp[i] = i 個の点をいくつかの「K 個以上の点を含むグルー
プ」にわける場合の数
追加する多⾓角形は真北北の点を含むようにすると、このように
重複なく計算できる
dp[0]
=
1
for
(i
:
0
~
N)
for
(j
:
K
~
N)
{
dp[i+j]
+=
dp[i]
*
(i+j-­‐1)
C
(j-­‐1)
}

13. ひとつながりかどうかを無視した場合の数
説明のため、
G[i] = dp[i]
= i 個の点をいくつかの「K 個以上の点を含むグル
ープ」にわける場合の数
としておきます（忘れないでください）

14. 真北北の点を含む連結成分に注⽬目して分割する
連結成分：ひとつながりになっている極⼤大な部分集合
ひとつながりでない場合の数

15. 各部分をそれぞれ円に直してみる
ひとつながりでない場合の数

16. ⾚赤：A[6]
⻘青：G[3]
緑：G[4]
灰：G[6]
これらを掛け合わせたものがこの分割での場合の数
（⾚赤のみひとつながりで、それ以外はなんでもよい）
ひとつながりでない場合の数

17. ある分割についての場合の数は
・A[(真北北の点を含む連結成分に含まれる点の個数)]
・分割された各部分について
G[(その部分に含まれる点の個数)]
を掛け合わせたもの
各分割に対してこれを⾜足し合わせれば、ひとつながりでない
場合の数が求まる
ひとつながりでない場合の数

18. DP[i][j] = i 個の点のうち j 個の点が真北北の点を含む連結成
分に含まれる場合の数 / A[j]
= i 個の点のうち j 個の点が真北北の点を含む連結成分に含まれるような分割につ
いて、真北北の点を含む連結成分以外のつなぎ⽅方の個数を⾜足し合わせたもの
というDPを計算する
DP
DP[0][0]
=
1
for
(i
:
0
~
N)
for
(j
:
0
~
i)
{
for
(k
:
0
~
N)
{
DP[i+k+1][j+1]
+=
DP[i][j]
*
G[k]
}
}

19. ・Gを前計算する
・DPを前計算する
・Aを⼩小さい⽅方から計算していく
・A[N] を出⼒力力する
答えの求め⽅方
A[0]
=
1
for
(i
=
1~N)
{
A[i]
=
G[i]
for
(j
:
1~(i-­‐1))
{
A[i]
-­‐=
DP[i][j]
*
A[j]
}
}

20. ・Gを前計算する ← O(N^2)
・DPを前計算する ← O(N^3)
・Aを⼩小さい⽅方から計算していく ← O(N^2)
となり、O(N^3) なので満点を得ることができる
計算量量