arc047

ARC047解説
A:タブの開きすぎ

A-問題概要
● L個以上タブを開くとクラッシュして、タブが1
個に減ってしまうブラウザがある
● 初めタブは1個だとして、そのあとの「タブを
開く」「タブを閉じる」の履歴が与えられるの
で、クラッシュの回数をもとめよ。

A-考察
● タブの個数以外気にしなくて良い。

A-解法
● タブの個数を変数で管理しておく。

A-解法
● タブを閉じるとき
– 変数の値を1減らす

A-解法
● タブを開くとき
– タブの個数がL個未満ならば、変数の値を1増やす

A-解法
● タブを開くとき
– タブの個数がL個未満ならば、変数の値を1増やす
– タブの個数がL個ならば変数の値を1にして、ク
ラッシュの回数を1増やす

ARC047解説
B:同一円周上

B-問題概要
● 格子点上の点が N 個与えられる。
● 全ての点からのマンハッタン距離が等しい格子
点上の点Pを1つもとめよ
● N ≦ 10^5
● -10^9 ≦ 座標の値 ≦ 10^9

B-考察
● ある点からマンハッタン距離が等しい点の集合
はどのようなものか？

B-考察
点P

B-考察
点Pからマンハッタン距離3の点

B-考察
→45度傾いた正方形の外周になる

B-考察
→45度傾いた正方形の外周になる
● この正方形の大きさがわかれば、点Pのおおよ
その見当がつく。

B-45度傾ける
● 45度傾いた状態で扱うのはわかりづらいの
で、もとに戻すために、X,YではなくX+Y,X-Y
で各点を表してみる。
● すると軸に平行な正方形がでてくる。
→

B-考察
● (回転後の)X座標の最大値と最小値の差、と
（回転後の）Y座標の最大値と最小値の差のう
ち大きい方が、正方形の１辺の長さと一致す
る。

B-確認
● 4辺の内全ての辺から1つ以上残っている場合
– Xの最大値と最小値の差も、Yの最大値と最小値の
差も一辺の長さと一致する。

B-確認
● 4辺の内3つの辺から1つ以上残っている場合
– Xの最大値と最小値の差か、Yの最大値と最小値の
差の大きい方が一辺の長さと一致する。

B-確認
● 4辺のうち向かい合う2辺について1つ以上残っ
ている場合
差の大きい方が一辺の長さと一致する。

B-確認
● 4辺のうちとなりあう2辺について1つ以上残っ
ている場合
差の大きい方が一辺の長さと一致しない？？？

B-確認
● 4辺のうちとなりあう2辺について1つ以上残っ
ている場合
差の大きい方が一辺の長さと一致する点Pがある。

B-考察
● 1辺の長さについては、X座標の最大値と最小
値の差とY座標の最大値と最小値の差をみて、
大きい方をとればよい。
● １辺の長さをDとする。与えられたX座標、最
大最小をXmax,Xminで表し、点PのX座標、Y座
標をPx,Pyとすると
Xmax-Px, Px -XminのいずれかがD/2と一致す
る。
– Y座標も同様
● よってDの値と全体のX座標、Y座標の最大最小
から点Pの候補が有限個に決まる

B-考察
● さきほどの考察は45度回転した後の世界での
計算である。
● 回転後のXやYの値は、回転前のX+YやX-Yの値
と対応するので、実装するときはその値でプロ
グラムを組まなければならない。

B-解法
● 与えられた点について(X+Y)の最大値と最小値
の差、（X-Y）座標の最大値と最小値の差を求
め、大きい方をDとする
● 先ほどの考察を使ってPx,Pyの値を有限個にし
ぼりこむ
● そのうちすべての点とのマンハッタン距離が等
しい点を挙げれば良い

ARC047解説
C:N!÷K番目の単語

C-問題概要
● [1,2,..,N]を並び替えたものを「単語」という
● 単語のうち辞書順で小さい方から N! / K番目
(1-index)のものを求めよ
● K ≦ N ≦ 10^5

C-考察1
● 単語の中で辞書順X番目(0-index)のものを求め
るにはどうすればいいか？

C-考察1
● 単語の中で辞書順X番目(0-index)のものを求め
るにはどうすればいいか？
→ 1文字目から順番に決めていけば良い

C-X番目の求め方
● 1文字目が1であるような単語はいくつある
か？
– 2文字目以降の並びを考えると(N-1)!通り
● 1文字目が2であるような単語はいくつある
か？
– 同様に(N-1)!通り
● X番目の単語の1文字目は何か？
– 上の考察より、[X / (N-1)!] + 1
– []はガウス記号

C-X番目の求め方
● 1文字目が求まった！→Aとする
● つぎにもとめるべきものは？
[1,2,..., A-1, A+1,...N]を並び替えたものの中で
X % (N-1)!番目の物
● さきほどと同様の計算で求めることが出来る。
● 順番に繰り返せばすべての桁の値が決まる。
● 以降は[X / (N-1)!] + 1ではなくて[X / (N-1)!] +
1番目に小さい値であることに注意

C-部分点
● いまのような計算方法でN!/K番目の値をもとめ
る。
● N ≦ 20なのでN!/Kは64bit整数に収まるので、
様々な言語で扱える。

C-考察2
● Nが大きいと N!/Kを陽に持つことは出来な
い。

C-考察2
い。
● やりたい操作は
– (N-1)!で割る
– その余りを求める

C-考察2
い。
● やりたい操作は
– (N-1)!で割る
– その余りを求める
実際にやってみる

C-考察2
● N!/Kを(N-1)!で割った商は
– (N/K)×(N-1)! ÷ (N-1)!　の商
– → N÷K　の商
● N!/Kを(N-1)!で割ったあまりは
– (N/K)×(N-1)! ÷ (N-1)!　のあまり
– → 「N÷Kのあまり」÷ K × (N-1)!
– これは整数÷K×(N-1)! の形をしている

C-考察2
● このあと2桁目を求めるときに
– 整数÷K×(N-1)! を (N-2)!で割った商と余り
を求めることになる。商は先ほど同様に簡単に
求めることができ、あまりは
– 整数÷K×(N-2)!
になる。

C-考察2まとめ
● 1桁目を求めるときに扱う値が 1÷K×N!
● 2桁目を求めるときに扱う値が整数÷K×(N-1)!
:

C-考察2まとめ
● 1桁目を求めるときに扱う値が 1÷K×N!
:
赤字の整数だけ保存しておくだけで済む

C-解法
● 部分点1と同じ解法を、N!/Kを陽に持たずに計
算する。
● 保存しておく整数はあまり大きくならないこと
が保証される。
– 考察すると整数÷K ≦ N となることがわかる
● 残っている数字の中でX番目に小さいものをも
とめる作業はBIT上の二分探索で実装できる
→計算量O(Nlog^2N)　満点獲得

ARC047解説
D:ナナメクエリ

D-問題概要
● 全てのマスが0に初期化されたN×Nの方眼紙上
で以下のクエリをQ個処理せよ。
● 1:A≦ X+Y ≦ Bとなるマス(X,Y)にCを足す
● 2:A≦ X-Y ≦ Bとなるマス(X,Y)にCを足す
● 3:A≦X≦ B,C≦Y≦Dとなるマス(X,Y)の範囲内の
最大値とその個数を求める
● N,Q≦5,000

D-部分点解法
● N ≦ 50
● 指示通りシミュレートする
● 一度のクエリで参照する必要のマスは最大で
2500個程度
● 充分少ないので間に合う
● O(N^2Q）10点獲得

D-考察
● sum[i] := 「X+Y=iとなるマス(X,Y)にクエリ1で
足された値の総和」
● dif[i] := 「X-Y=iとなるマス(X,Y)にクエリ2で足
された値の総和」
という2つの変数を用意する。
● sum[X+Y]とdif[X-Y]がわかればマス(X,Y)の値も
すぐわかる。

D-考察
● sum[X+Y]とdif[X-Y]がわかればマス(X,Y)の値も
すぐわかる
● クエリ1とクエリ2はO(N)で処理できる
● 問題はクエリ3

D-考察
● クエリ3の範囲のなかでとりうるX-Yの値は連
続している。
● 右図のような範囲の場合
X-Yは-3～2の値を取る

D-考察
● X-Yの値を決めてやると、X+Yの値の範囲も決
まり、1個飛ばしの値をとる。
● X-Y = -1とする
X+Yは1～５の奇数をとる

D-考察
● X-Yを決めた時に、その中で最大の値を持つマ
スは、適切な範囲のsumの最大値 + dif[X-Y]と
なる。
● X-Y=-1ならば
max{sum[1],sum[3], sum[5]}
+dif[-1]
が右線上の最大値である

D-偶奇でわける
● さきほどの考察で、X-Yを固定した時のX+Yの
取りうる値の範囲が連続だったら、bitやセグ
メントツリーをつかってO(logN)で最大値を求
めることが出来る。
● X+Yの範囲は連続ではないものの2飛ばしであ
るため、2つセグメントツリーを作ってX+Yが
奇数のものと偶数のものを分けて管理すれば、
きっちり連続した区間になってくれる。

D-部分点2まとめ
● sum[i]やdif[i]を使ってマスの値を保存する
● クエリ1,2は愚直にO(N)でsumやdifを更新
● クエリ3の時はdif[X-Y]を全通り試して、各X-Y
に対して対応するX+Yに値の範囲をもとめ、セ
グメントツリーで最大値とその個数をもとめ
る。
● O(NlogNQ) 30点獲得

D-考察
● クエリの範囲が正方形である時を考える
● 偶奇は別々に考えていいので今回は奇数だけ考
える
● 部分点2で注目したX+Yの範囲をよく見てみる

D-考察
● X-Y = -3のときX+Yの範囲は[3]

D-考察
● X-Y = -1のときX+Yの範囲は[1,3,5]

D-考察
● X-Y = 1のときX+Yの範囲は[1,3,5]

D-考察
● X-Y = 1のときX+Yの範囲は[1,3,5]
● X-Y = 3のときX+Yの範囲は[3]

D-観察
● 出てきた範囲の種類は
– [3]
– [1,3,5]
● これを8×8で実験した場合だと
– [7]
– [5,7,9]
– [3,5,7,9,11]
– [1,3,5,7,9,11,13]
となる

D-考察
● 良い順番で処理するとX+Yの範囲は増えるだけ
になる。
– 値が増えるだけならセグメントツリーをつかわなく
ても随時maxをとるだけで最大値がわかる
● 正方形のクエリならば一辺の長さに対する線形
時間で処理することが出来る。

D-考察
● クエリの範囲が長方形の時は？
– 正方形に分割してやれば良い。

D-考察
● クエリの範囲が長方形の時は？
– 正方形に分割してやれば良い。
● どうやって分割する？
– ユークリッドの互助法の要領でできるだけ大きい正
方形を削り取るように分割していく

D-計算量
● １辺がXの正方形のクエリを処理するのにO(X)
の時間がかかる
● タテとヨコの和がSの長方形から先ほどの方法
で1辺がXの正方形を剥ぎとった時、のこる長
方形のタテとヨコの和はS-X以下になる
● よって、全て正方形に分割し終えたときの総計
算量はO(S)＝O(N)となり無事に線形時間で処
理が終わる。

D-満点まとめ
● 部分点2同様にsumとdifを作る。
● 正方形のクエリならば線形時間で解ける。
● 長方形のクエリでも正方形に分割すると線形時
間でとける。
● O(NQ)　満点

D-満点別解(紹介のみ)
● 部分点2でセグメントツリーを使うかわりにス
ライド最小和を使うことで、logを一つ取るこ
とが出来る。
● hashmap(sortされていない代わりにアクセス
が定数時間であるmap)を使えば最大値の個数
を数えるのが線形時間でできるようになる

arc047

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