Physics chapter 6-electrostatics-2017

阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.tw/
6 靜電學 Electrostatics
靜電學 ELECTROSTATICS
高中物理
OCTOBER, 2017
版權說明：
 笑話集中的圖片來自彎彎的部落
格，Mr. Pig 漫畫集來自
http://godpig.com/blog/
 部分圖片來自各版本教科書或網
路，版權仍屬原創者所有
 講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)
本章的目標
1.理解電荷與電量的差異
2.理解兩個點電荷相互作用力量值及兩者距離的關係
3.理解電力線/電場的概念
4.說明帶電質點在電場中的受力與運動軌跡的關係
5.理解電位能、電位及電位差
6.區分點電荷與帶電平行板造成的電場/電位能/電位
差的不同。
兩個金屬球是因為什麼原因產生類似閃電的電弧？本章將給予解答

6-2 靜電學 Electrostatics
REVIEW AND SUMMARY

6-3靜電學 Electrostatics
6.1 電荷與電量
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 區分物質的電中性、負電、正電，並能夠找出額外
電荷數量。
2. 區分導體、絕緣體、半導體、超導體
3. 解釋如何讓導體藉由靜電感應帶電
4. 理解在任何獨立物理過程中，電荷總量不會發生改
變
電的認知
1.電(electricity)的字義為希臘文琥珀(electron)，因為用毛皮摩擦過
的琥珀可以吸引很輕的小物體。
2.電荷的命名(富蘭克林,Benjamin Franklin)
 玻璃棒與絲絹摩擦，玻璃棒所帶的電稱為正電 (Positively
Charged)
 塑膠棒與毛皮摩擦後，塑膠棒所帶的電稱為負電
(Nagatively Charged)
 同性相斥、異性相吸
3.電荷守恆 charge conservation
 任何一個孤立的系統中，電荷的總和是不變的。
 不論是物理變化、化學變化或是核反應均成立
 當產生一個正電荷，必然產生一個負電荷，任何一個孤立系統
的總電荷量維持不變
導體、半導體、絕緣體及超導體
1.絕緣體 insulators：物質中的帶電質點無法自由移動稱為絕緣體
如：玻璃、橡膠、乾燥的木材
2.半導體 Semiconductors：導電性在導體與絕緣體中間的物體，
導電性可由外界因素而改變如：矽、鍺
3.導體 Conductors：物體中具有可自由移動的帶電質點稱為導體
 金屬：擁有自由電子 電荷可以在物質內自由移動
 電解質水溶液：具有正、負離子而導電
 游離的氣體：具有正、負離子而導電
4.超導體 Superconductors:可視為完美導體，電子在材料中移動時
候沒有任何阻礙。
 指可以在在特定溫度以下，呈現電阻為零的導體。
 使超導體電阻為零的溫度，叫超導臨界溫度。
 零電阻和抗磁性是超導體的兩個重要特性。
圖 6-1 1748 年，班傑明·富蘭
克林將電荷分為「正」、
「負」，而且發現兩者的數
量是守恆的。1752 年，富蘭
克林進行了一項著名的實
驗：在雷雨天氣中放風箏，
以證明「雷電」是由電力造
成，更發明了避雷針。From
Wiki.
守恆定律是自然界最重要也
是最基本的定律，包括：
 物理範圍：能量守恆定
律、動量守恆定律、
角動量守恆定律、電荷
守恆定律
 化學範圍：質量守恆定
律

摩擦起電的現象
1.原子基本結構：質子、中子、電子
 當物體內質子與電子的數目相等時，則成電中性。
 若物體內質子與電子數目不相等時，則稱物體為帶電
體。
2.摩擦起電：電中性的兩物體互相摩擦時，原子獲得能量，使自
由電子從一物體轉移到另一物體(取決兩物體游離能的差異)
其中獲得電子者帶負電，失去電子者帶正電
兩者所帶的電量相等，但電性相反。
範例：
玻璃棒與絲絹：電子從玻璃棒移到絲捐。
塑膠棒與毛皮：電子從毛皮移動到塑膠棒。
靜電感應(electrostatic induction)的現象
1.金屬導體：帶電體接近導體時，導體上靠近帶電體的一端會產
生異性電，相距較遠的一會端會產生同性電，這種正、負電荷
分離的現象稱為靜電感應
2.絕緣體：帶電體接近絕緣體時，絕緣體上電子雖然無法自由移
動，離開原子的束縛，但仍會稍稍調整位置，使物體呈現極
化的現象
3.感應起電：利用靜電感應可使中性導體帶電，稱為感應起
電。
帶電體(正電)靠近 A、C 兩個互相接觸
的金屬球，會因為靜電感應的關係，
A 球右端出現負電荷集中的狀態、C
球左端出現正電荷集中的狀態。
帶電體保持原來位置，將 A、C 兩球
分離後，則 A 球、C 球各自帶不同電
性。
帶電體移走後，A、C 兩球電荷則呈現
平衡分佈。
+ -
+ -
+ -
+ -
++++++++++
導體
帶電體
圖 6-2 靜電感應
+++++++
絕緣體
帶電體
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
圖 6-3 絕緣體-極化

靜電感應原理的應用：驗電器
1.基本構造
 上端金屬球以導體棒接於下端，下端則掛上兩片薄的金箔。
 待測物接近金屬球時，如果待測物帶電則會使金箔產生感應
2.用途
檢驗待測物是否帶電
說明：
待測物帶電接近金屬球時則會使金箔產生感應電荷金箔張開
判別待測物所帶的電性。
說明：
當待測物與金箔互為異性電金箔張開角度變小
當待測物與金箔互為同性電金箔張開角度變大
3.總整理
帶電體靠近或接觸帶電體的電性
驗電器不帶電
(金箔垂閉)
金箔將張開帶電體帶電
金箔呈現垂閉中性體
驗電器帶電
(金箔打開)
金箔張開角度
變大
帶電體與驗電器帶
同性電
金箔張開角度
先變小再變大
帶電體與驗電器帶
異性電
電荷量子化(電荷的不連續性)
1.電荷觀念的演進
2.源自十九世紀末，J.J. Thomson 與 H.A.Lorentz 的理論
3.1909 年在 Millikan 的油滴實驗中，發現每個油滴所帶的電荷都
有一個「最大公約數」
最大公約數是電荷的基本單位:
-19
1e.c 1.60 10  (C)(庫侖)
電量的 SI 單位稱為庫侖，記為 C 。
電流體
的觀念
法拉第
電解定律
J.J. homson 的實驗
H.A.Lorentz 的理論
Millikan
油滴實驗
電荷的不連續性電荷的量子性
證實
圖 6-4 金箔驗電器

例題1.：感應起電
一個輕而未帶電的金屬小球乙，用一絕緣線懸掛著，如右圖所
示。若將一帶電的金屬球甲靠近乙，則下列敘述何者正確？(A)
乙先被甲排斥，然後被甲吸引與甲接觸 (B)乙被甲吸引，然後一
直保持與甲接觸 (C)乙先被甲吸引接觸甲，然後被甲排斥離開甲
(D)乙被甲排斥，不可能碰觸甲 (E)乙不受影響，保持不動。【89
推甄】
答：C
類題：如右圖所示，X 和 Y 為兩金屬球，X 球不帶電，Y 球上帶
有正電荷，懸掛之細線為絕緣體。今以下列兩種方式分別進行靜
電實驗：
(1)兩金屬球靠近碰觸，再分開後，X 球上電荷的性質為何？(A)-
(C)選一項
(2)兩金屬球靠近，但不碰觸，再分開後，X 球上電荷的性質為
何？(D)-(F)選一項）
(A)正電荷 (B)負電荷 (C)不帶電 (D)正電荷 (E)負電荷 (F)
不帶電。答：AF
1.有三個球 A、B、C，當 A、B 靠近時互相吸引，而 B、C 靠近
時互相排斥，則下列敘述何者正確？(A)A 球所帶之電必與 B 球
所帶之電異號 (B) B 球與 C 球皆必帶電 (C)A 球可能帶電亦
可能不帶電 (D)A、B、C 三球必皆帶電 (E)B 球與 C 球必
帶同性電。
2.金箔驗電器因帶電而箔片張開角度 θ ，一帶負電塑膠棒逐漸接
近，見金箔先閉合再張開，此時用手接觸驗電器頂球，先移去
手指再移開塑膠棒，則見金箔又張開 θ ′，此時 (A)θ ＞θ ′ (B)θ ′
＞θ (C)金箔帶負電 (D)金箔帶正電 (E)由手流至地球的為負電
荷。
範例演練
課後練習題
X Y

3.握住附於未帶電的金屬球甲之絕緣柄，使甲與已帶電之驗電器
頂的金屬球乙相接觸，則：(A)驗電器中之金屬箔所張角度增大
(B)前述角度減小 (C)甲之體積越大，則上述角度變化越大 (D)
上述角度變化只與甲之質料有關，與其體積無關。【大學聯考
題】
4.金箔驗電器的管徑接地，若將帶負電物體接近頂球則：(A)頂球
帶負電 (B)金箔帶負電 (C)頂球帶正電 (D)金箔張開 (E)金箔閉
垂。
5.下列有關帶電體的敘述何者正確？(A)帶電體間之作用力，為各
個帶電質點間電力之向量和 (B)中性體彼此靠近時，無電力是
因其上無淨帶電質點 (C)摩擦起電時，一物體失去負電荷，另
一物體失去正電荷 (D)使一物體帶正電，必須由此物體移去電
子 (E)摩擦起電時，各物體中的質子數不變。
題組
富蘭克林為研究雷電現象，設計了如圖 3 所示的裝置。他將
避雷針線路與接地線分開，並在分開處裝上帽形的金屬鐘 A
與 B，兩鐘之間另以絲線懸吊一個金屬小球 C，A 鐘下方另
以導線連接兩個很輕的金屬小球，形成驗電器 D。當避雷針
上空附近的雲不帶電時，三個小球均靜止下垂。依據以上所
述，並假設驗電器周圍的空氣不導電，試回答 6-7 題。【98
學測】
6. 當低空帶電的雲接近避雷針頂端時，下列有關小球 C 的
敘述，何者正確？ (A)小球會保持靜止下垂，不會擺動
(B)小球會在 A 與 B 間擺動，來回撞擊 A 與 B (C)小球
會先擺向 A，撞到 A 後被 A 吸住，不再分離 (D)小球會先
擺向 B，撞到 B 後被 B 吸住，不再分離
7. 驗電器 D 的兩個小球原本靜止下垂，互相接觸。當避雷針因
為帶有負電的雲接近，而出現尖端放電時，下列有關驗電器
上兩個小球的敘述，何者正確？ (A)兩個小球會帶負電而
分離，並保持張開，不相接觸 (B)兩個小球會帶正電而分
離，並保持張開，不相接觸 (C)兩個小球會帶負電而分離，
在張開後會再次下垂，並互相接觸 (D)兩個小球會帶正電
而分離，在張開後會再次下垂，並互相接觸
練習題答案
1.BCE 2.BDE 3.BC 4.CE 5.ABDE 6.B 7.
接地線
AB
C
D
避雷針

6.2 庫侖定律
學習目標
1. 知道庫侖定律只能適用質點或是可以被當成質點
的物體(ex.球體)
2. 說明兩個點電荷間相互作用力的量值與兩者距離、
兩者電荷電量的關係。
3. 應用向量解釋三個以上的電荷系統的電力總和
4. 應用庫侖定律解決力學-靜力平衡，等速率圓週運
動、簡諧運動的相關問題
庫侖定律 Coulomb's law
1. 1785 年，庫侖仿照卡文迪西扭秤實驗之方法確定電荷間的力與
距離的關係
與兩者電量乘積成正比，與兩者間的距離平方成反比
力的方向在兩者所連成的連心線，為一種連心力
異性電，為吸引力
同性電，為排斥力
僅適用在點電荷或球型帶電體
說明：若帶電體體積極大或不規則，則另一帶電體靠近時
候，電荷會重新分佈，導致兩者間的靜電作用力不滿足庫侖
定律 (大學電磁學範圍)
作用範圍：自原子核外之距離到無窮遠處均適用
2. 作用力大小：
1 2 1 2
2 2
0
1
4
q q q q
F k
r r
 
 
k 為一個常數，在真空中的值約為 8.99.0×109
N ∙ m /C 1
說明：基於歷史因素-
0
1
4
k

 ，其中，ε0 為真空中的電容率
Permittivity of free sapce
1
k 是庫倫常數或靜電常數，有些書本會寫 k=9.0×109
N ∙ m /C
圖 6-5 夏爾·奧古斯丁·德·庫侖
（Charles Augustin de
Coulomb，1736 年－1806
年），法國物理學家、軍事
工程師、土力學奠基人
庫侖是法國的一位軍官，原
來是從事摩擦力和扭轉方面
的實驗研究，力學中摩擦力
和正向力成正比的關係就是
他最早提出來的。由於他的
這些研究，1781 年當選法國
科學院的院士。後來他轉而
研究電學，利用他發明的扭
力計來測量二個電荷之間的
力，1785 年證實了電荷間平
方反比的關係，還發現力的
大小和二電荷的乘積

空間有多重電荷時，單一電荷所受的力為合力，需用向量計算
庫倫靜電力向量 1 2 1 2
2 2
0
1
ˆ ˆ
4
q q q q
F k r r
r r
 
 

 
圖 6-7 電荷 q1 的合力為 F
F
F
庫侖靜電力與牛頓萬有引力的比較(侷限高中物理範圍)
1. 相同點：
 超距力，力的大小與距離平方成反比，均為保守力
說明：
重力：重力位能
靜電力：電位能
遵守「力學能」守恆電位能+動能=定值
2. 相異點：
 庫侖靜電力因為物體帶電的特性造成，萬有引力因物體
具有質量的特性造成
 庫侖力有吸引力、排斥力，萬有引力只有吸引力
 庫侖靜電力的量值與帶電體所在的介質(環境)有關，而萬有
引力與物體所在的環境無關。(大學電磁學)
說明：
電容率又稱為介電常數，會隨環境/介質而改變。
r 距離 r
電力
r 距離 r
重力
圖 6-6 當年的實驗設備圖

例題2.：萬有引力與庫侖靜電力的比較-基本題
已知質子的質量為 1.7×10-27
kg 、電子的質量為 9.1×10-31
kg，則質
子與電子間庫侖力大小為其間萬有引力大小的幾倍？
Hint:請學會使用工程計算機，在大學的日子，你會快樂點^0^
解：
答：2.21039
倍
類題：兩點電荷分別為 q14107
庫侖、q2-2107
庫侖，二者相
距 3 公尺，求受力大小？答：-810-5
牛頓
例題3.：與靜力平衡的概念的結合
質量各為 m1、m2 電量各為 q1、q2 兩帶電球 A 與 B 分別以長 L 的
輕繩懸起，如右圖所示，球 A 可自由擺動，球 B 則固定不能運動:
求 (l)A 被 B 斥開的距離 x (2)A 所受之靜力 Fe (3)OA 繩之張力 T?
解：
答： 1 2 1 2 1
3 3 1
1 1
(1) (2) (3)
kq q L kq q L m g
m g
m g m g L
類題：如圖兩小球帶電量各為-q 與+q，當靜力平衡時二球相距
r，兩球質量均為 m，繩長 L 與鉛直線夾角為 θ，則 q 等於?答：
tanmg
r
k


範例演練

B
A

例題4.：庫侖靜電力連結等速率圓週運動
電子以相同的軌道半徑繞 H+
與 He2+
原子核做等速率圓週運
動，求繞 He2+
的電子與繞 H+
的電子之(1)速率比 (2)週期比。
解：
答：(1) 2 ：1 (2)1： 2
類題：質量 m 及 2m 的 A、B 兩小球相距 r，各帶有 Q 及Q 的電
量，繞其共同質心轉動，若重力不計，則 A 球的動能為？答：
r
kQ
3
2
例題5.：庫侖靜電力連結 SHM
A、B 各為帶電量為 Q 的點電荷，固定不動且相距 2r，另一質量
m，電量 q 的點電荷在 AB 中點 C 沿 AB 線上作振幅 x 的 S.H.M，
且 x << r ，則其振動週期為何？
解：
答：
3
2mr
kQq

類題：圓環半徑為a，在軸線上距環心 3d a 處有電荷Q，，若
環上帶電量為q，則(1)電荷Q受力多大？(2)若 x << a，電荷Q可
做週期運動，求其週期?答：(1) 2 2 3/2
( )
kQqx
F
a x


(2)
3
2
ma
T
kQq


1. A、B 、C 三帶電體所帶之電量之比為 1：2：3，但電性各
為正、正、負，故當 A、C 相距 10 釐米固定時，若欲 B 受
力為零，則 B 應放在 A、C 連線上距 C 處多遠？
2. 甲、乙、丙三個點電荷受靜電力交互作用，已知甲受的合力
為 2i

牛頓，乙受的合力為 j

3 牛頓，其中 i

與 j

分
別代表沿 +x 軸與 +y 軸的單位向量，則丙所受的合力為何?
3. 正方形之兩對角處各置電荷 Q，餘二角各置電荷 q，若 Q 上
靜電力為零，則 Q 與 q 間之關係為何？
4. 如圖所示，在 y 軸上與原點 O 相距 a 之兩點，各置電量均為
+Q 之固定點電荷。今在 x 軸上與 O 點相距 3 a 之 P 點，有
一電量為 –q 的點電荷，其所受的靜電力為何？
5. 帶有相等電量之兩小球，質量都是 m 公斤，以兩長各為 L 公
尺的細線，同懸於一點，兩球因電力作用，彼此相距 x 公尺
後靜止，若 x  L，則每一個小球所帶之電量若干？
6. 一力常數為 a 的彈簧兩端各帶有＋q 和－q 的小球，兩球與
彈簧為絕緣，彈簧因電力而被壓縮成長度 L，則彈簧原長為
若干？
7. 於邊長  正三角形三頂點各置一電荷，其電量分別為 Q、
2Q、2Q ，則電荷 Q 所受的靜電力量值為何？
8. 假定在每邊邊長為 10-8
(cm)之正方形四角上各置一質子，則
每一質子所受到靜電力的大小為多少牛頓？
9. 設大小相同 A、B 二導體球分別帶電量 qA、qB，二者相同 r
時，相互作用排斥力為 2F，今將二球接觸後，將其分開相距
2r 時二者之斥力為
9
16
F，則二球最初所帶電量之比為若干？
10. 有 A、B 兩個點電荷，A 的電量為 +9e，B 的電量為 -4e，兩
電荷相距為 L，今將第三個點電荷 C（電量為 -e）放在 A、
C 電荷的連線上。若 C 所受的靜電力為零，則 A、C 間的距
離為何？（e 表示電子電量）
11. 兩個帶相同電量的質點 A、B，以絕緣細線懸掛後，其平衡
的位置如右圖所示，則 (1)左、右兩線上的張力之比為何？
(2)A、B 兩質點的重量之比為何？
課後練習題
a3
a
a
x
y


O
P

12. 兩大小相同之氣球各帶有 Q 的同性電，如右圖，物體質量
m，繩子之張角 60，則：(A)兩球互相作用之電力為
3
mg
(B)電力為
2 3
mg
(C)繩子之張力為
3
mg
(D)張力為
2
3
mg
。
13. 承上題，若每一氣球之重量為 mg/4，則每一球所受之浮力為
_____。
14. 承 12.題，若電量改為 3q，則繩之夾角變為_____。
15. 如圖所示，電量各為q1 及q2，質量
各為 m1 及 m2 之 A 和 B 二通草球，若
各以等長之絲線共懸於一點，受靜電
力排斥而分開，平衡時兩線與鉛垂線
之夾角各為 1 及 2，則 m1 及 m2 的大
小關係為何
16. A、B 兩電荷之電量各為+4e、-9e，相距 d，今置另一電荷 C
於 AB 連線上，使整個系統靜電平衡，則應(A)QC ＝-9e，在
AB 延長線上距 B 為 2d 處 (B)QC =-36e，在 AB 延長線上距
A 為 2d 處(C)Qc＝－4e/9，在 AB 延長線上距 B 為 3d 處
(D)QC＝9e/4，在 AB 延長線上距 A 為 3d 處 (E)QC＝4e/9，
在 AB 線段上距 B 為 d/3 處
17. 電量分別為+q 與-q 的兩點電荷相距 2d，今在兩者連線的延
長線上距連線中點為 r 處( r > d)，置電量為+Q 的點電荷:
求其所受電力若干?
18. 如圖所示，在一直線上有兩個點電荷。電量為
+4Q的點電荷固定於x = 5a，電量為-Q的點電荷
固定於x = 9a。將一點電荷+Q置於直線上何處
時，此+Q電荷所受的靜電力為零？(A) 3a(B) 7a
(C) 11a (D) 13a (E) 15a 【95學測】
練習題答案
1.
13
310

cm 2. ji

32  3. qQ 22 4.
a
kQq
4
3
2
，向-x
軸 5.
13
2
( )
2
mgx
kL
6.
2
2
kq
aL L＋
7.
2
2
2 3kQ

8. 4.4×10-8
9. 1：
2 或 2：1 10. 3L 11.(1)
1
3
(2)
1
3
12.BC 13. 3mg/4
14.120 度 15. 16.B 17. 3
4kQqd
r
18.D
60 LL
m
1
2m1
m2
x
10a5a0 15a
+4Q -Q

6.3 電場與電力線
學習目標
1. 解釋在電場中的任意位置，放置一個小型測試正電
荷，電場與靜電力之間的關係
2. 計算在環繞帶電粒子周遭空間中的任意位置的電
場大小及方向
3. 瞭解電力線，包含從哪裡開始，到哪裡結束及如何
表示
4. 瞭解電力線疏密程度不同，電場強度就不相同
5. 瞭解靜電平衡的意義
6. 瞭解帶電平行板形成均勻電場
7. 應用帶電平行板的特性，驗證帶電粒子在均勻電場
中的運動模式
電場 Electric Field，符號 E
1.物理意義：
 帶電體(可以是帶電粒子，或是帶電金屬板)其靜電力所能到
達的作用範圍成為電場。
 任何帶電體都會在空間中建立自己的電場，此時該帶電體稱
為場源
 「場」概念提出者：法拉第
2.電場強度：在某一空間中，放置一單位正電荷(或稱測試電荷)，
若此電荷受到電力 F 作用，則該位置的單位正電荷 q 所受到的
靜電力，稱為該位置的電場強度。
F
E
q



單位：牛頓/庫侖
 電場是向量場，具有方向性，以測試電荷(正電荷) 受力方向
為該處電場方向
說明：
 空間中某位置的電場強度及性質只和場源有關，與放入的電
荷量值及電性無關。
舉例：在該處放置 q 或 2q，該處電場E依然是不變。
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
F
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E
P
P
圖 6-8 電場與電力之間的關係
上圖：帶正電的測試電荷放在帶電
物體附近的 P 點上，可知靜電力 F
作用在測試電荷上
下圖：可視為帶電物體在 P 點上產
生的電場 E

電場線 Electric Field Lines 又稱電力線 Line of Electric Force
1.1840 年前後，法拉第(Michael Faraday)提出電力線模型以模擬
電場的概念。
說明：將空間中彼此鄰近、而電場方向相同的各點連接起來的
曲線或直線即為電力線
2.性質
電場本身是肉眼無法看到，因為他不是物質，是一種抽象的
物理概念
電力線被用來解釋電場分佈的最佳方法，並非真實存在的線
條-描述庫侖靜電力的作用的方向、範圍
 電力線由正電荷出發，終止於負電荷，但屬於非
封閉曲線
圖 6-11 空間中同時具備正、負電荷的電場(電力線)分佈圖。
在電力線上各點的切線方向為該點的電場方向，
電力線不一定為電荷在電場中的運動軌跡。
電力線不會相交，空間中同一位置的電場方向只能有一個
電荷所發出或終止的電力線數量於其電量成正比關係
說明：電力線越密集代表電荷電量越大，該電荷造成的電
場強度也越大
電力線垂直帶電導體表面。
PhET Explorations: Electric Field of Dreams
Charges And Fields_電荷與電場
短網址：https://goo.gl/Su56q9
圖 6-9
圖 6-10 2q 與-q 電荷的之間電力線

點電荷 Q 建立的電場
1.數學定義：點電荷 Q 在距離 r 處的電場 2
F kQ
E
q r
 


單位：牛頓/庫侖
3.性質
 點電荷的電場強度與點電荷的電量成正比並與距離平
方成反比
 若 Q 為正電荷，產生的電場其方向指向外電場向外發散
 若 Q 為負電荷，產生的電場其方向指向內電場向內收斂
 電場強度是電荷自身所建立的性質，與是否有其他電荷存在
無關。
例題6.：電場的向量性質
邊長為 d 的正四邊形，其四個頂點各置點電荷－q、q、2q 及 q（如
圖所示），則四邊形中點 O 處電場之量值為______（以 q，d 及庫
侖定律比例常數 k 表示之）。
解：
類題：如下圖所示，正三角形 ABC 之各邊長為 a，P 為重心。若
在頂點 A、B、C 各置一電量均為 q 之電荷，則 P 點之電場之量值
若干？?
r
距離 r
電場
範例演練
2q
q -q
q
圖 6-12
上圖：正電荷電場呈現發散
下圖：負電荷電場呈現收斂

例題7.：環狀物體的電場計算
半徑為 a 的金屬圓環，均勻分布電荷於環上，其電量為 Q。試求
(1)垂直於環面通過環心的線上，距環心為 r 處之 P 點的電場。
(2)若 r >> a，則結果為何？
(3)在環中心 C 點處的電場。
(4)若 r << a，將電量為－q（與 Q 異號）、質量為 m 的質點由 P 點
釋放，則其作簡諧運動的週期為何？
解：
答：
3
2 2 3/2 2
(1)E= (2) (3)0 (4) 2
( )
kQr kQ ma
E T
r a r kQq
 

1. 在 y 軸上 y= a 及 y= –a 處各置一電量為 q 及 –q 二點電荷，
則在 y 軸上 y=b ( -a < b < a)處的電場為何 ?
2. 電量分別為 q 以及 nq(n 為一正數)的 A、B 兩電荷，相距 L
處。在 A 和 B 連線上的電場為零處與 A 點的距離為何?
3. 兩個大小相同的水銀球，各帶不同電性之電荷，球表面之電
場大小分別為 E 及 2E。今將兩水銀球合成一大水銀球，則此
大水銀球表面之電場強度大小為何?
4. 兩帶電量均為 +q 庫侖之固定點電荷相距 2L 米，試回答下
列問題：(1)在連線中央垂直線上距中點 x 米處之電場強度為
何？(牛頓/庫侖) (2)承(a)若 x>>L ，則(1)將為何？
5. 如右圖，將點電荷 4Q 固定於原點
O，另一點電荷 –Q 固定於 C 點
（坐標 x＝3a），則下列關於電力線
的敘述何者正確？ (A)在 A 點(x＝
a)及 B 點(x＝2a)附近的電力線密度相等 (B)如將一電子靜置
於 x-y 平面上任意一點，則電子會受電場作用沿著通過此點
課後練習題

的電力線運動至原點 (C)所有電力線都由原點出發並終止於
C 點 (D)在 D 點( x = 6a)電場為零，故該點不會有電力線通
過 (E)在這兩個點電荷的中垂面上各點的電力線均與 x 軸平
行。
6. 已知當一圓周的四分之一均勻帶有電荷 q 時，圓心的電場量
值為 0.50 V/M。若此圓周的一半均勻帶有電荷 2q，另一半均
勻帶有電荷- 2q，則圓心的電場量值為若干 V/M？ (A)1.4
(B)1.6 (C)1.8 (D)2.0 (E)2.2 [91.指定科考]
7. 點電荷Q、Q及 Q （Q 與 Q 均為正）分別位在一個正三角形
的三個頂點上，如右圖所示。若正
三角形中心處的電場為零，則Q與
Q間的關係為下列何者？(A)
2Q Q  (B)Q Q  (C)
3
2
Q Q 
(D) 3Q Q  (E) 2Q Q  。[93.指定
科考]
他山之石-大陸高考
8. 關於同一電場的電場線，下列表述正確的是(A)電場線是客觀
存在的 (B)電場線越密，電場強度越小 (C)沿著電場線方
向，電勢越來越低 (D)電荷在沿電場線方向移動時，電勢
能減小
9. 如圖所示，在光滑絕
緣水平面上放置 3 個
電荷量均為 q  0q
的相同小球，小球之
間用彈性係數均為 0k
的輕質彈簧絕緣連接。當 3 個小球處在靜止狀態時，每根彈
簧長度為 l。已知靜電力常量為 k ，若不考慮彈簧的靜電感
應，則每根彈簧的原長為
(A) 2
0
2
2
5
lk
kq
l  (B) 2
0
2
lk
kq
l  (C) 2
0
2
4
5
lk
kq
l  (D) 2
0
2
2
5
lk
kq
l 
練習題答案
1. j
ba
bakq 
)(
)(2
22 2
22


2.
1n
L
3.
2
23
E
4. 22 2 3
2 2
(1) (2)
( )
kqx kq
xx L
5.D 6.A 7.B 8.C 9.C
qqq
l
k0
l
k0

均勻帶電的無限大金屬平板
1.無限大均勻帶電的平板在其周圍所產生的電場量值為「定值」
和位置無關
說明：電場的量值和平板上電荷面積密度 成正比：
4
2
2
kQ
E k
A

  
圖 6-13 左：均勻帶正電的金屬平板的電場/電力線示意圖。
右：均勻帶負電的金屬平板的電場/電力線示意圖。
均勻帶電的雙平行金屬板間的電場
1.電場僅存於兩平行電板之間的區域，為均勻電場（理論），
平行電版外側無任何電場。
且電場強度： 4E k 
說明：
2.帶電質點在均勻電場中的運動
說明:
置入一帶電質點 q，若不考慮其重力，故其必為等加速度運
動，運動軌跡為直線或拋物線，如下圖所示。
加速度： .
F qE
a const
m m
  
圖 6-14 平行帶電板的實際電
場分佈圖。平行電版邊緣的電
場並非穩定值，而是在平行電
版中央區域才可以視為均勻電
場
+ + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
圖 6-15 帶電質點在均勻電場中
的運動

3.帶電平行金屬板應用
 噴墨印表機噴頭
例題8.：電荷在均勻電場的運動-直線等加速度運動-標準題
真空匣內有一對平行金屬板帶等量異性電荷相距 d，兩板間的電
場強度 E，有質量 m 的質點帶有電量–q，自靜止離開負板飛越兩
板空隙抵達正板，設不考慮重力作用，求：(1)抵達正板時的動
能？ (2)抵達正板時的動量大小？ (3)抵達正板時的速度大小？
(4)由負板到正板歷時若干?
答：(1)qEd (2) mqEd2 (3)
m
qEd2
(4)
qE
md2
類題：一質子與一 α 質點同時均勻電場的正極板由靜止釋放，在
不計重力及空氣阻力的影響下，求兩者 (1)在板間所受電力大小之
比？ (2)在板間加速度大小之比？ (3)抵達負極板時速率之比？
(4)在板間所經歷時間之比？答：(1) 1 : 2 (2)2 : 1 (3) 2 : 1 (4)1: 2
類題：兩荷等量異性電荷之平板間，H+
與 H+
皆由靜止起動自正板
向負板運動，則 (A)二者於運動期間所受電力大小為 1 : 1 (B)加
速度大小為 4 : 1 (C)到達負板瞬間動能比為 1 : 1 (D)運動中所受
衝量大小比為 1 : 2 (E)達負板所需時間比為 1 : 2。答：全
範例演練

例題9.：電荷在均勻電場的運動-拋體運動-標準題
如圖所示，一質量為 m、電量為 +q 之質點，以速度 v0 沿 x 軸射
入長度為 L，內部電場為 E 的平行電板中。平行電板所帶的電量
相等但電性相反，若忽略重力的影響，則
(1)質點的加速度為何？
(2)在電場中的運動歷時多少？
(3)當其自平行板射出時的 y 坐標為何？
(4)承上題，質點獲得多少動能？
解：
答：
2 2 2 2
2 2
0 0 0
(1) (2) (3) (4)
2 2
k
qE L qEL q E L
a t y E
m v mv mv
   
類題：如圖所示，設兩個水平平行金屬板中的電場為 E，兩板距
離為 d，板長為 L。一個質量為 m、電荷為 q（q>0）的粒子，以
水平方向射入兩板之間，且剛進入電場區域時，與兩板等距離。
如果不考慮重力，為了使粒子在運動中不至於撞到金屬板，其初
速率至少需為__________。答：
qE
L
md
例題10.：均勻電場的靜力平衡-基礎題
如右圖，質量為 m 的帶電小球，以長為 L 的絕緣細線懸吊於均勻
電場 E 內。小球平衡時，細線與鉛垂方向成 37°角，小球所帶電
量為何？
解：
答：
3
4
mg
E
d
L
q

類題：帶等量異性電的二平行金屬板，板面鉛直而立，在二板間
以絕緣細線懸吊一質量 m，帶電量+q 的小球，發現絲線與鉛直線
之夾角為 θ，則二板間的電場強度大小為何? 答：
q
mg tan
例題11.：均勻電場的力學能守恒
質量為 m 的帶電小球，以長為 的絕緣細線懸吊於垂直水平
面的兩平板之間。平行板內有一均勻電場（垂直板面），強
度為 E。小球平衡時，細線與鉛垂方向成 （如圖），此時細
線的張力為 T。若將小球移至使細線與鉛垂方向成 角，然
後將小球由靜止釋放，小球擺至最低點 O 時，速度恰為零，
則下列敘述何者正確？
(A)小球帶正電
(B)小球所帶電量為 tan
mg
q
E
 ，g 為重力加速度
(C)張力 sin cosT mg qE   。
(D)若 角為 600
，則 角為 300
(E) 小球擺至最低點 O 時，加速度值為零。
答：ABD
課後練習題
m

1. 兩平行金屬板上帶電量各為+Q 和–Q，兩板距離為 d。(1)若
將兩板電量增為 2 倍，則兩板間的電場強度變為幾倍?(2)若
電量保持不變，但將兩板距離增為 2 倍時，則兩板間電場強
度變為幾倍?
2. 一質子以垂直電場方式射人兩平行帶等量異性電之金屬板
間，當穿出電場時，其偏離原射線之距離為 dp。若改用同能
量之 α 粒子，偏離之距離變為 dα，則 dp/ dα 之值為何?
3. 一質子與一 α 質點同時從均勻電場的正極板由靜止釋放，在
不計重力及空氣阻力的影響下，求兩者：(1)在板間所受電力
大小之比? (2)在板間加速度大小之比? (3)抵達負極板時速
率之比? (4)在板間所經歷時間之比?
4. 右圖真空匣內兩無限大的平行金屬板，
帶等量異性電荷，板間電場大小為 E，
今在其間將一質量 m，帶電量+q 之點電
荷以初速 v，逆電場方向拋出，若考慮
重力時，求此質點上升的最大高度。
5. 一帶正電之粒子及一中性粒子同時同地以相同初速被拋入一
水平均勻電場中。設粒子運動方向與電場方向平行而反向，
而帶電粒子最遠運動至 20 公分後不再前進而開始後退，則
此時中性粒子已運動多少距離？
6. 帶異性等量電荷的二平行導體板間有一均勻電場，一電子被
帶負電之板釋放，在 1.510-8
秒後抵達相隔 2.0 公分之正電
板。兩板間電場強度值為若干？
7. 帶等量異性電荷之兩平行金屬板間有均勻電場 E 向下，不考
慮重力，一帶正電 Q 的粒子由下方金屬板邊被斜向拋出(初
速 v，仰角 θ)，恰可飛出長 L 的金屬板，則此粒子可上升的
最大高度為何？最高點時電力對粒子的瞬時功率為何？
8. 質子與 質點以相同之初動能 E，垂直射入兩平行金屬板間
之均勻電場中,當離開平板時，質子動能變為 2E，則 質點
離開平板時之動能為若干?
9. 一質量為 1 克的小球以長細線懸起而成一秒擺(週期 2 秒)，
若此球帶有正基本電荷的電量，且將此擺置於一均勻強電場
(方向向地心)，擺的週期變為 1.5 秒，若該處的重力強度大小
為 10 牛頓/公斤，則此電力場之電場強度大小應為若干﹖
他山之石-大陸高考
+ + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - -

10. 如圖所示，相距為 d 的平行金屬
板 A、B 豎直放置，在兩板之間
水準放置一絕緣平板。有一品質
m、電荷量 q（q>0）的小物塊在
與金屬板 A 相距 l 處靜止。若某
一時刻在金屬板 A、B 間加一電
壓，小物塊與金屬板只發生了一
次碰撞，碰撞後電荷量變為 q，
並以與碰前大小相等的速度反方向彈回。已知小物塊與絕緣
平板間的動摩擦因素為 μ，若不計小物塊電荷量對電場的影
響和碰撞時間。則
（1）小物塊與金屬板 A 碰撞前瞬間的速度大小是多少？
（2）小物塊碰撞後經過多長時間停止運動？停在何位置？
靜電平衡 electrostatic equilibrium
練習題答案
1.(1)2 倍 (2)1 倍 2.
2
1
3.(1)1：2 (2)2：1 (3) 2 ：1
(4)1： 2 4.
)(2
2
qEmg
mv

5.40 公分 6.103
牛頓/庫侖
7. tan
4
L
， 0 8. 2
2
222
2
q
mv
LEq
EK  9. 4.86×1016
N/C
10.(1) gl (2)時間為
1
4
g
，停在2l 處或距離 B 板為2l

1.一孤立導體帶電後，其最後淨電荷互相排斥而分布於導體表面
稱為靜電平衡
說明：
當導體處於靜電平衡時，導體內部的電場必定為零，內部
無電力線，不然導體內的自由電子將會繼續受力作用。
電荷在導體表面上的電場(電力線)方向必垂直表面，不然
自由電子在依然沿導體表面移動。
帶電實心導體球或帶電金屬球殼-電量為 Q，半徑為 R 的金屬球
1.球體外側(r > R)： 2
Q
E k
r

電荷均勻分佈在球殼表面視為點電荷
2.球體表面： 2
Q
E k
R

3.球體內部( r < R)  0E 
說明：內部無電荷，故無電場
範例演練
圖 6-16 達成靜電平衡的帶電導體，
電荷分佈在導體表面上，導體內部
電場=0
圖 6-17 實心導體球的電場分佈

例題12.：同心球殼的電場
電中性的金屬球殼內外半徑各為 R1 和 R2，今在其球心處置一點
電荷+Q，如圖所示，則
(1)在 A、B、C 各點處的電場強度為何？
(2)若將球殼接地，則各點的電場強度又為何？
答：(1) 2 2
( ) 0A B C
A E
kQ kQ
E E
r r
  發散 E (2)
2
0A B C
C
kQ
E E
r
  E
類題：兩個同心的空心金屬球半徑各為 R1、R2(R1<R2)，小球
帶電量-Q，大球帶電量 Q，彼此絕緣，請依下列條件求距球
心 r 處的電場大小？(1) r < R1 (2)R1 < r < R2 (3) r >R2
答：(1)0 (2) 2
kQ
r
(3)0
例題13.：感應電場
一不帶電之中空金屬球殼外徑為 R，中心位於 O 點。今在球殼外
距球心距離為 d 處放置一點電荷Q（Q0），則金屬球上會產生
感應電荷（如右圖所示）。所有感應電荷在球心 O 點處產生之電
場其量值及方向為：(A) 2
R
kQ
，方向向右 (B) 2
R
kQ
，方向向左 (C)
2
d
kQ
，方向向左 (E)0。【82 日大】 C
課後練習題
R
O
d

R1
R2
A
B
C

1.達成靜電平衡時，下列哪些區域的電場為零?(A)帶電金屬球的
內部 (B)均勻帶電之絕緣體內部 (C)帶等量異性電之兩平行金
屬板的內側 (D)帶等量同性電之兩平行金屬板的外側 (E)兩等
量同性電之點電荷連線的中點處。
2.如圖，兩同心金屬球殼半徑分別為 r1 與 r2 帶正電荷，電量為 Q1
與 Q2，求下列各點之電場強度：(A)球心 A 點 (B)內球面 B 點
(C)距球心 R1（r1R1r2）之 C 點 (D)外球面 D 點 (E)距球心
R2（R2r2）之 E 點。
答案
ADE 0; ; ; ;
科學小故事：靜電屏蔽electrostatic shielding- How Faraday Cages Work
表演時先請幾位觀眾進入籠體后關閉籠門，
操作員接通電源，用放電杆進行放電演示。
這時即使籠內人員將手貼在籠壁上，使放電
杆向手指放電，籠內人員不僅不會觸電，而
且還可以體驗電子風的清涼感覺。
這就是靜電屏蔽效應(Shielding effect)-導體
內部若有空穴，則在空穴中感覺不到存在於
導體外部的靜電場。
在電子儀器中，為了免受靜電干擾，常利用
接地的儀器金屬外殼作屏蔽裝置。法拉第籠
的演示說明了高壓作業人員帶電工作的原
理。高壓帶電操作員的防護服是用金屬絲製
成的，當接觸高壓線時，形成了等電位，使得作業人員的身體沒有電流通過，起
到了很好的保護作用。如汽車就是一個法拉第籠，由於汽車外殼是個大金屬殼，
形成了一個等位體，當駕駛員在雷雨天行駛時，車裡的人不用擔心遭到雷擊。
A
B
C D EQ1
Q2

6.4 電位能、電位、電位差
學習目標
1. 瞭解靜電力是保守力並且靜電力做功會導致位能
產生變化。
2. 瞭解電荷在已知電場中任兩點之間移動，靜電力做
功與路徑無關。
3. 瞭解電位能、電位的定義及相互關係。
4. 轉換焦耳與電子伏特兩種不同的能量單位。
5. 在已知電場中，電荷從最初位置移動到最後位置，
應用兩位置之間的電位差、電荷電量、電位能變化，
及靜電力做功的相互關係
6. 瞭解等位面並能描述它與電力線之間的關係
7. 依據電場方向判斷電位是降低或是升高
8. 從電場-位置關係圖，計算某個位置區間的電位差
電位能 Electric Potential Energy
1.意義：靜電力為保守力，因此電荷在電場中就具有電位能，而移
動電荷位置所產生的能量變化，可視為電場對電荷作功
2.電位能的一般式(點電荷的電位能)
定義：將電荷 q，從無窮遠處(零位能)緩慢並且均速移動至場
源 Q 的距離 r 時，靜電力所做的功的負值就是電位能。同
時，也可稱外力反抗靜電力所需作的功稱為該電荷在該處的
電位能。
e
kQq
U
r

說明：
令無窮遠處的電位能當零
根據功能原理：施外力 F 使電荷 q 從無窮遠處等速移動到距
離 r 處外力抵抗庫侖靜電力作功
r
2
kQq
W r
r
  
F
r

q
2
q1
q
3
3. 性質
位能是兩物體或兩帶電體是共同擁有，缺一不可
系統的電位能是可以累加的（因為位能是純量）。
2 3 3 11 2 k q q k q qk q q
U
r r r
    
  
在無窮遠處時，電位能為零，且都與距離成反比
電荷在電場中移動時，其電位能變化與移動前後的位置
有關，與路徑無關
例題14.：點電荷的電位能-基礎題
點電荷 Q 帶電量 2104
庫侖，另一點電荷 q 帶電量 4103
庫
侖，求二者相距 r3 公尺時之互斥力？及電位能？
解
答：(1) 800 牛頓 (2) 2400 焦耳
類題：在一正方形 ABCD 各角上分別有+q、+q、-q、-q 的點電
荷，而正方形邊長為 a，則(1)四電荷間的總電力位能為何﹖　(2)
將Ａ點的電荷移到無窮遠處至少需作功若干﹖答：
2
2kq
a
 ,
2
2
kq
a
類題：在 A、B 兩點各固定一個電子，設此兩個電子的電位能為
U1，今引入另一電子至 A、B 中點，而這三個電子的總電位能為
U2，則 2
1
U
U
為若干？答：5
範例演練
圖 6-18 系統電位能是可累加的

例題15.：帶電質點系統的力學能守恆、動量守恆
設原子核質量 M，帶電 Q，在距其極遠處，一帶電質點質量 m，
帶正電 q，以初動能 Ek 向 M 做正向碰撞。(1)假設只有庫侖力作
用，求兩者最近距離，設原子核恆靜止；(2)若原子核原為靜止，
但可自由移動，則又如何？
解：
答：(1) (2)
k k
kQq m M kQq
E M E


類題 15-1：A 和 B 兩質點各帶有電量+2.0×10-6
C 和-5.0 × 10-6
C，
彼此相距 5.0 m。今將 A 質點固定，B 質點由靜止釋放，當兩者相
距 2.0 m 時，則 B 質點的動能為何？
類題 15-2：具有動能 5.01019
J 的  質點自無窮遠處正面射向
一原為靜止的質子，當兩者相距最近時，求(1)總動能(2)電位能
(2)兩者速度(3)相對於質心的總動能 (4)此最小距離為若干？答：
(1) 41019
J (2) 11019
J (3) 均為 9.8103
m/s (4) 0 (5)
4.6109
m
類題 15-3：總電量 Q 均勻分佈
於一半徑為 R 的固定圓環上，
今將一帶有 q 電量的質點 A，
以 v0 的速率由環心 O 垂直於環
面向 E 射出（如圖），q 與 Q 符
號相異，質點 A 沿 OE 軸運動時可達的最遠點為 P，而 OP= 3 R
(a)質點 A 從 O 向 E 射出時，速率最小要若干，才可達無限遠
處？(b)今將質點 A 改為一質量相同，但電量為-q 的另一質點
B。當質點 B 從 O 處，由靜止狀態逐漸加速向 E 運動時，試求它
到達 P 點時的速率。答：(a) 2 ov ；(b)v0
PR
O E

例題16.：靜電系統的力學能守恆＆動量守恆
兩點電荷，荷電量各為 +Q 與 +q，質量各為 M 與 m，兩者原
相距 r，由靜止釋放，當兩者相距 2r 時，兩者的動能各為何?
解：
類題 16-1：質量比為 1：2，荷電量分別為 q1 及 q2 之正負質點 A
與 B，自甚遠處由靜止起動，受電力作用相吸，當它們運動至相
距 r 時，A 質點所具動能為何？答： 1 22
3
kq q
r
類題 16-2：帶正電荷的甲、乙兩粒子，質量分別為 m1、m2，電
荷分別為 q1、q2，被置於 x 軸上，距離為 d。今若同時讓這兩個
粒子由靜止釋放，重力影響不計，則乙粒子最後的速率為
__________。答： 1 2 1
1 2 2
2
( )
kq q m
d m m m
例題17.：類原子結構的帶電質點系統的能量關係
在單電子離子中(原子序 Z)，設電子繞核以半徑為 r 作等速率圓周
運動，電子電量以 e 表示，求：(1)電子的動能　(2)系統的位能 (3)
系統的力學能　(4)電子的游離能(束縛能)
答：
2 2 2 2
(1) (2) (3) (4)
2 2 2
ke ke ke ke
r r r r
 
這類型題目和第七章非常類
似，包含束縛能、脫離能等
等的題目都需要大家多練
習；
最大的不同在於電荷有正負
之分，這和重力位能中的題

1. 荷電量＋2e，初動能為 Eα（甚遠處）之 α 質點正對原子序為
75 之某種重原子核發射，設原子核之位置固定，則兩者的最
靠近距離為多少？
2. 如右圖所示，正方形邊長為 a，四頂點各
有電量＋q、－q、＋q 及－q 之質點，選
無窮遠處為零位面，此系統之電位能若
干？
兩等質量質點，各帶有異性電荷，相距
L，從靜止釋放至相距 L/2 時，各具有速
度 v，今改為將其中一個固定，另一個仍由靜止釋放至相距
L/2 時，其速度為若干？
3. 正方形 ABCD 之每邊長為 0.20 米，在其三頂點 B、C、D 分
別置有三個點電荷 Q。設 Q＝3.×10-6
庫侖，則欲將一帶有
5.0×10-7
庫侖電荷的質點 q 由 A 點移至正方形之中心點 O 所
需作之功約為多少？
4. 一固定之均勻帶電圓環，半徑為 R，帶電量為＋Q。另有一點
電荷質量為 m，帶電量為－q，被侷限在圓環的中心垂直軸上
運動。若點電荷在離圓環中心 8 R 處被釋放，則點電荷到達
環心時之速率為何？
5. 一固定之均勻帶電圓環，半徑為
R，帶電量為 Q(Q＞0)。另有一點
電荷質量為 m，帶電量為－q(q＞
0)，在通過圓環中心的垂直軸上，
與圓環中心相距 8 R，則 (1)點電
荷與帶電圓環的靜電位能為何？ (2)若帶電質點由靜止中釋
放，則點電荷到達環心時，其動能增加多少？ (3)點電荷到達
環心時之速率為何？
6. 有一平行板，兩個電極板的間
距為 d，每一個正方形電極板的
長均為 L，V 為兩個電極板間的
電位差，如右圖所示。電子從
電容器左端的正中央以初速 v0
射入，其方向平行於電極板之
一邊，並打在圖上的 D 點。電子的電荷以－e 表示，質量以
m 表示，重力可不計。回答下面各問題：【94.指考】
課後練習題

(1) 求電子打到 D 點瞬間的動能 K。（以 m，e，v0 及 V 表示）
(2) 試問電子的初速 v0 至少必須大於何值，電子才能避開電極
板，逸出電容器外？（以 e，m，L，d 及 V 表示）
7. 點電荷 +Q 及-Q(Q>0)位在同一平面上，+Q 的位置固定，-Q
的質量為 m，且和 +Q 的距離為 b。-Q 電荷以垂直於兩電荷
連線的方向射出。回答下列各問題：
(1).若點電荷-Q 以 v 射出，繞 +Q 作半徑為 b 的等速率圓周運
動，如右圖(a)所示，令
0
1
4
k

 為庫侖定律中的比例常數，
求 v。 (2)若-Q 電荷以 v0 射出，則循一橢圓軌跡運動，如右圖
(b)所示。令-Q 距離+Q 的最遠點為 A 點，且令 A 點與 +Q 電
荷間的距離為 a，說明點電荷-Q 相對於點電荷 +Q 的角動量
是守恆的理由，並求出此角動量的量值與方向。 (3).承第 2
小題，若
2
0
3
2
kQ
v
mb
 ，求-Q 在 A 點的速率(以 v0 及數字表示)
及 a 的大小(以 b 及數字表示)。 [97.指定科考]
答案
v 0.104 焦耳
(1)
(2) (1) (2) (3)

電位(Electric Potential)
1. 定義：在電場中，將單位正電荷由無窮遠處等速移至電場中某
點，外力抵抗靜電力所作之功，即為該點的的電位：
( ) eU
V r
q
 單位：J/C=V（伏特）
說明：
在電位能的式子中，如果我們將 q 視為單位正電荷（＋1 庫
侖）
這和前面討論電場時的方法一樣
不論該處是否有電荷 q 存在，都分布了一個純量的物理量
1( ) ( )
( ) ( )q CkQq U r kQ
U r V r
r q r

   
結論：可看成場源電荷 Q 形成一個純量形式的物理量，因此當
場源變成均勻帶電金屬板時，也會形成電位
2.性質
 電位是純量，可為正、負或零也是相對量，
因此必須先定義零電位。
說明：
由點電荷造成的電場，無窮遠處的電位可視為 0
由帶電均勻金屬板造成的電場，負電荷處的電位可視為 0
 電荷自然移動方向：朝電位能減少的趨勢移動
說明：
正電荷：由高電位移動低電位
負電荷：由低電位移動高電位
電子伏特 electron volt-eV
微觀狀態的電位能單位-

3. 帶電荷 Q 並呈現靜電平衡的金屬球(半徑 R)的電位
 球體外：
kQ
r R V
r
 
 球體內： E=0
kQ
r R V
R
   定值
說明：
靜電平衡時，電荷不會移動，故導體內部電場為零，因此電荷
均勻分佈在導體表面，代表導體內部不存在電位差，也就是說
導體內部應該是等電位的
等位線/面(Equipotential Line/Surface):
1.定義：將鄰近及相等電位的點連成線或面，非真實存在的線或
面
2.性質：
 彼此不相交、不相切
 與電力線的切線方向垂直
 等位線的分佈與帶電體形狀有關
圖 6-19 點電荷造成的等位線(虛線)、電力線(實線) 右圖：電偶極造成的等位線(虛線)、電力線(實線)

圖 6-20 均勻帶電金屬板產生的電場，將使等位線均勻分佈
例題18.基礎題
起電器上產生的 109
庫侖之電荷，會使半徑 10 公分之絕緣導體
球的電位升若干伏特？
解：
答：90V
類題：一半徑為 0.5 公尺的金屬球體，置於乾燥空氣中，充電於
其上使電壓達 60 萬伏特而無放電現象產生，則此球的帶電量為
何？答：3.3×10−5
庫侖
例題19.多點電荷的電位及能量
如圖所示，正三角形 ABC 之各邊長為 a，P 為重心。若在頂點 A、
B、C 各置一電量均為 q 之電荷，則(1)P 點之電位若干？(2)若 P 點
有一靜止電荷 Q，則 Q 脫離 P 點而遠走時，其動能最大為若干？
.
範例演練

類題：二點電荷q 與q 相距 2d，求：(1)在二電荷連線的中垂線
上，距連線中心點為 r 處的電位？(2)距二者連線中點距離 r 之延
長線之一點較靠近q 之電位？ (3)若 r  d，則(1)與(2)之答案又
各為何？答：(1) 0 (2) 22
2
dr
kdq


(3) VA0， VB 2
2
r
kdq
例題20.：特殊形狀物體的電位計算
有一均勻帶電的圓環，半徑為 R，其總電量為 Q。求(1)在此中垂
軸上距環面為 x 處(2)環心處 (3)距環心甚遠處的電位各若干?
答： 2 2 1/2
(1) (2) (3)
( )
kQ kQ kQ
R x R x
例題21.：空心導體球的電位分佈
有一空心導體球，內半徑為 a，外半徑為 2a ，在球心處有一點電
荷＋Q，求距離球心(1)a/2 (2)a (3)3a/2 (4)2a (5)3a 位置的電位
答：
3
(1) (2) (3) (4) (5)
2 2 2 2 3
kQ kQ kQ kQ kQ
a a a a a
類題：兩同心導體薄球殼，各帶正電荷q1、q2，半徑分別為 r1，
r1
r2
A
B
C

r2 ( r1 < r2 ) 求下列各點的電位：(1) r < r1 (2) r1 < r < r2 (3) r >
r2 答： 1 2 1 2 1 2
1 2 2
( )
(1) (2) (3)
kq kq kq kq k q q
r r r r r

 
電位差(Electric Pontential Difference)
1.定義：在相同電場中，任兩點的電位的差值
2 1V V V  
2.物理意義：在相同電場中，將單位正電荷由 A 點等速移至另一
B 點，外力抵抗靜電力所作之功，即為 A、B 兩點間的電位差
ΔV
W
V
q

 
3.點電荷電場中的電位差：    
1 1
A B
A B
V V r V r kQ
r r
 
     
 
說明：
在某處放置一個電荷 Q，則由電位的公式可知
SA 電位為
A
kQ
r
、SB 電位為
B
kQ
r
在 SA 上的任一點與 SB 上的任一點之間存在電位差
4.均勻電場中(兩平行帶電金屬板)的電位差
說明：
正電荷 q 從高電位落至低電位電位降低 V E d   

當電場 E 為定值電壓 V 大小與間距 d 成正比
當電壓 V 為定值電場 E 大小與間距 d 成反比
rA
rB
A
A
Q
V k
r

B
B
Q
V k
r

+
+
+
+
+
-
-
-
-
-

5.電位差的性質
 只需要考慮兩點之間的位置，不考慮移動的過程與路徑
 任兩點之間若存在電位差(電壓)電荷放置其間一定會移
動
兩點之間也存在電場驅使電荷移動移動過程中，能
量也會改變
 反過來說：若無電位差，則電荷呈現靜電平衡狀態
6.電位差的應用
電子學、電路學、電力學、電機學之基礎：電流來自電位差
電力學：探討大電流(強電), 高功率的電路為主的科學，電力
領域分成電力系統、電機機械及電力電子等三大領域, 並大量
地應用於發電、供電、輸電、配電、電能轉換、電力使用及
電力轉換器等相關技術。
電路學：以克希荷夫定律（Kirchhoff's rules）為基礎，探討電
子元件之「電壓」與「電流」關係。
電子學：作用於包括主動電子元器件，例如真空管、二極
體、三極體、積體電路，和與之相關的無源器件電路的互連
技術。
補充說明：以上學門並沒有誰包含誰的順序問題，而是人類
科學文明發展過程中必然出現的分支，是可以互相支援。
生物科學：動物細胞的內部與外部處於不相等的電位，這是
因為細胞內外液體中不同的離子濃度
大學普物的觀點
配合微積分(數學觀點)，
電位為電場對路徑的積分
結果電場可視為電位對
路徑的微分結果
說明
根據定義可得電位能
所以：

神經脈衝(nerve impulse)：沿軸突(Axon)傳播(Na+離子濃度的
不同而造成)
圖 6-21 神經元結構、作用電位 From 網路/From Google Search
醫學：心電圖(ElectrocardiographyEKG)
說明：
心臟生物電由心臟竇房結産生，在心臟內按一定的路徑和時程
傳播，引起心臟有節律的活動，完成心臟的生理功能。
2
圖片來自網路搜尋，版權依然歸屬原出版社及相關著作權人

圖 6-22 From Google s
例題22.：靜電平衡概念-標準題
A 與 B 兩荷同性電之金屬球其電位分別為 V、5V，將其接觸後二
者電位皆變為 4V，求此二金屬球 A 與 B 的半徑比。
Hint：導體上的電荷不再移動，代表該導體上電位處處相等
答：1:3
換類題
類題：帶電量 Q 的水銀球，分離成三顆水銀珠，半徑比為 1:2:3，
求(1)各球表面的電位比(2)電荷密度比(3)電場強度比(4)帶電量比
範例演練

答：(1)1:1:1 (2)6:3:2 (3)6:3:2 (4)1:2:3
例題23.：電位差與靜力平衡
質量 m 的油滴恰在板距 d、電位差 V 的平行金屬板間靜止不
動，則油滴帶電量為？
解：
答：
mgd
V
類題：如圖，A、B 為兩個水平放置的平行帶金屬板，兩板間距
離為 d。板間有一正電荷質量 m、電量 q，處於平衡狀態，則兩
板間電位差及電位高低為：答：
mgd
q
，VA < VB
例題24.：均勻電板的電位差
如下圖所示，兩片帶電量相等、電性相反的平行金屬板，相距
d。已知兩板中電場為 E，若忽略重力的影響，則(1)兩板間電位
差為何？(2)一電荷 q 由靜止開始自上板向下板運動，到達下板時
的動能為何？
解：
類題：有兩大平行金屬板，相距 10 公分，分別載有等量而電性
相反的電荷，若一電子位於兩板間之中央位置時，受力恰為
3.21016
牛頓，則兩板間之電位差為？答：200V
類題：兩板間電位差 200 伏特，相距 10 ㎝，則(A)板間電場
2.0104
N/C (B)Vab600 伏特 (C)Vac800 伏特 (D)將
q3102
C 之電荷自 a→b→c 需作功 24 焦耳 (E)同(D)由 a→d
a
b
c
d
3㎝
4 ㎝
4㎝

需作功 24 焦耳。答：ACDE
1. 有彼此相距甚遠的甲、乙兩帶電金屬球，甲、乙兩球的半徑
各為 a 及 b。假設在無窮遠處電位為零，甲、乙兩球的電位
分別為 Va 及 Vb。今以一細長導線接觸兩球，使兩球成為等
電位後，再將此導線移開，則此兩球之電位為何？
2. 半徑比為 3：2 的二小銅球，帶電量之比為 6：1，相距為 d
時互吸之力為 F。二球之距離遠大於各球的球半徑，今使二
球接觸後再分開，使二球相距為 2d，則互斥之力為若干？
3. 半徑 a 帶電量 Q 之金屬球，與半徑 b 而不帶電之另一金屬球
連接，則 b 球最後之電量為若干？
4. 在邊長為  之正三角形的兩個頂點上各放置一個點電荷，測
得在第三個頂點上之電位為 0，電場大小為 2
kQ

，則此二點電
荷之乘積為若干？
5. 真空中一半徑為 R 的金屬導體球接
地，在球外與球心相距 2R 處有一
固定的點電荷 Q，靜電平衡時，導
體上全部的感應電荷量值－q 為
(A)0 (B)0＜q＜Q/4 (C)Q/4＜q＜Q (D)q＝Q (E)q＞Q。
6. 半徑為 0.5 公尺的球形金屬體，置於乾燥空氣中，並充靜電
於其上，使電壓（即球與地之電位差）達 60 萬伏特而無放
電現象產生，則此時此球所帶的淨電荷約多少？
7. 在正三角形 ABC 的頂點上，分別
有電量為－e、＋e、－2e 的點電
荷，則 (1)三角形重心 O 處的電位
為何？ (2)該電荷系統的靜電位能
為何？
8. 三個完全相同的導電球 A、B 及
C，其中 A、B 兩球均帶相等的電量，且位置固定，但 C 球
不帶電。已知 A、B 兩球之距離 d 遠大於球之半徑，其間的
靜電斥力為 F，則（電力常數 k） (1)A、B 兩球帶電量為
何？ (2)今將 C 球先與 A 球接觸，移開後再與 B 球接觸，然
課後練習題

後移到遠處，則三個球的電量各為何？ (3)最後 A、B 兩球
間之靜電力作用力量值為何？
9. 半徑為 r 的金屬球置於金屬球殼中，二者係同心，已知球殼
的內半徑為 2r，外半徑為 3r，金屬球荷＋Q 的電量，球殼
荷電量＋2Q，球心的電位為何?
10. 兩平行電極板 A 和 B，間隔為 2，電位
均保持為零。在其中央處放置一金屬網
狀的柵極 G，與兩電極板平行，電位保
持為 V。一電子質量為 m，帶電量－e，
從 A 極上出發(初速為零)，若以後一直
不會觸及 G（的金屬部分），則 (1)到達
G 及 B 時，速率分別為多少？ (2)由 A
至 B 所需時間多少？此電子到達 B 以後如何繼續運動？（重
力影響不計。電子不會被電極板 A、B 吸住。）
11. 帶電量一定之 A 銅球與不帶電之 B 銅球相觸後，分開至一定
距離(此距離遠大於兩球半徑)，若欲使兩球間互相作用之靜
電力為最大值，則 A、B 兩球之半徑比應為多少？
12. 帶電量 Q 之水銀球，分離成三顆水銀珠，半徑比為 1：2：
3，求各球表面上的(1)電位比；(2)電荷密度比；(3)電場強度
大小比；(4)帶電量比。
13. 一金屬球(半徑 10 公分)均勻帶電，距球心 40 公分處的電位
10 伏特，在此處靜止釋放一電子，當電子奔至球表面處的動
能為何?
14. 質子與 α 質點以相同之初動能 Ek，垂直射入以兩平行金屬板
間之均勻電場中。當離開平板時，質子動能變為 2Ek，則 α
質點離開平板時之動能為何?
15. 科學博覽會實驗者站在塑膠凳子上，以手指接觸高達上萬伏
特高電壓的金屬球，但見他頭髮直豎，人卻安然無恙。下列
的物理解釋何者正確？（應選兩項）(A) 手指接觸高電壓金
屬球後，頭髮帶同性電荷，所以頭髮直豎 (B) 手指接觸高
電壓金屬球後，頭髮與高電壓相斥，所以頭髮直豎 (C) 手
指接觸高電壓金屬球後，塑膠凳將身體電荷導入地面，故不
被電擊 (D) 身體雖與高電壓金屬球等電位，但因塑膠凳將
身體與地面隔絕，故不會
被電擊 (E) 人體為電的
不良導體，故不會被電擊
【96 學測】
16. 如圖所示，甲電荷＋q 與
乙電荷－q，兩者相距 4

a，若取兩電荷連線上之 s 點處的電位為零，則圖中距 O 點
2 a 之 P 點處的電位為何？（已知庫侖定律為 1 2
2
q q
F k
r

 ）
(A) 0 (B)
2
kq
a
(C)
2 2
kq
a
(D)
2
kq
a
 (E)
2
3
kq
a
。 [92.指定
科考]
17. 如右圖(a)所
示，半徑為 b
且位置固定的
細圓環上，帶
有總電量為
( 0)Q Q  的
均勻電荷，O
點為圓環的圓
心，z 軸通過 O 點且垂直於環面，P 點在 z 軸上，它與 O 點
的距離為 d。令
0
1
4
k

 為庫侖定律中的比例常數，距離 O
點無窮遠處的電位為零，則下列敘述哪些正確？
(A)圓心 O 點的電場量值為
kQ
b
(B)P 點的電場量值為
2 2
kQ
d b
(C)P 點的電位等於 2 2 3/2
( )
kQd
d b
(D)O 點的電位等
於
kQ
b
(E)質量為 m 的點電荷 ( 0)q q  從 O 點以初速
0
kQq
v
mb
 沿 z 軸射出，如右圖(b)所示，則此點電荷移動
3b 距離後，其速度減為零。[97.指定科考]
答案
(a) (b)

F Q －Q2
C 3.3×10-5
庫侖
，在 AB 間作週期性往復運動
1：1 (1)1：1：1 (2)6：3：2 (3)6：3：2 (4)1：2：3
30eV 5Ek AD E DE

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