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Cours econometrie-uqam-st-2-v2

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Cours econometrie-uqam-st-2-v2

  1. 1. ` ´Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Mod`les de pr´vision e e Partie 2 - s´ries temporelles e Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012
  2. 2. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Plan du cours• Motivation et introduction aux s´ries temporelles e• M´thodes de lissage e◦ Mod`les de r´gression (Buys-Ballot) e e◦ Lissage(s) exponentiel(s) (Holt-Winters)• Notions g´n´rales sur les processus stationnaires e e• Les processus SARIM A◦ Les mod`les autor´gressifs, AR(p), Φ(L)Xt = εt e e◦ Les mod`les moyennes mobiles, M A(q) (moving average), Xt = Θ(L)εt e◦ Les mod`les autor´gtressifs et moyenne mobiles, ARM A(p, q), e e Φ(L)Xt = Θ(L)εt◦ Les mod`les autor´gtressifs, ARIM A(p, d, q), (1 − L)d Φ(L)Xt = Θ(L)εt e e◦ Les mod`les autor´gtressifs, SARIM A(p, d, q), e e (1 − L)d (1 − Ls )Φ(L)Xt = Θ(L)εt◦ Pr´vision avec un SARIM A, T XT +h e
  3. 3. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(p) - autor´gressif ` l’ordre p e e aOn appelle processus autoregressif d’ordre p, not´ AR (p), un processus estationnaire (Xt ) v´rifiant une relation du type e p Xt − φi Xt−i = εt pour tout t ∈ Z, (1) i=1o` les φi sont des r´els et (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 . (1) est u e´quivalent ` l’´crituree a e Φ (L) Xt = εt o` Φ (L) = I − φ1 L − ... − φp Lp uRemarque : En toute g´n´ralit´, supposons Φ (L) Xt = µ + εt . Il est possible de e e ese ramener ` un processus (1) centr´ par une simple translation : on pose a eYt = Xt − m o` m = µ/Φ (1). En effet, Φ (L) m = Φ (1) m. u
  4. 4. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(p) - autor´gressif ` l’ordre p e e aSi Φ(L) = 1 − (ϕ1 L + · · · + ϕp L) et que |z| ≤ 1 ⇒ Φ(z) = 0 (les racines de Φ sontde module strictement sup´rieur ` 1 ), (Xt ) admet une repr´sentation M A(∞) i.e. e a e +∞ +∞ Xt = ak εt−k o` a0 = 1, ak ∈ R, u |ak | < +∞. k=0 k=0On sait que Φ(L)Xt = εt , donc Xt = Φ(L)−1 (εt ).
  5. 5. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Autocorr´lations d’un processus AR(p), h → ρ(h) eLe processus (Xt ) s’´crit e Xt = φ1 Xt−1 + φ2 Xt−2 + ... + φp Xt−p + εt . (2)En multipliant par Xt , on obtient 2 Xt = φ1 Xt−1 Xt + φ2 Xt−2 Xt + ... + φp Xt−p Xt + εt Xt = φ1 Xt−1 Xt + φ2 Xt−2 Xt + ... + φp Xt−p Xt +εt (φ1 Xt−1 + φ2 Xt−2 + ... + φp Xt−p + εt ) = φ1 Xt−1 Xt + φ2 Xt−2 Xt + ... + φp Xt−p Xt + ε2 t + [φ1 Xt−1 + φ2 Xt−2 + ... + φp Xt−p ] εt ,d’o`, en prenant l’esp´rance u e γ (0) = φ1 γ (1) + φ2 γ (2) + ... + φp γ (p) + σ 2 .
  6. 6. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Autocorr´lations d’un processus AR(p), h → ρ(h) eLe derni`re terme ´tant nul e e E ([φ1 Xt−1 + φ2 Xt−2 + ... + φp Xt−p ] εt ) = 0car εt est suppos´ ind´pendant du pass´ de Xt , {Xt−1 , Xt−2 , ..., Xt−p , ...}. De e e eplus, en multipliant (2) par Xt−h , en prenant l’esp´rance et en divisant par γ (0), eon obtient p ρ (h) − φi ρ (h − i) = 0 pour tout h > 0. i=1
  7. 7. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Autocorr´lations d’un processus AR(p), h → ρ(h) eProposition 1. Soit (Xt ) un processus AR (p) d’autocorr´lation ρ (h). Alors e ..   . ρ (p − 1)     ρ (1)  1 ρ (1) ρ (2) φ1   ..   ρ (2)     ρ (1) 1 ρ (1) . ρ (p − 2)   φ2    ρ (3)   ..   ρ (2) ρ (1) 1 . ρ (p − 3)   φ3     =    . . .. .. .. ..  .  .  .     . . . .  .       ρ (p − 1)   .. ..   φp−1     . . 1 ρ (1)     ρ (p) φp ρ (p − 1) ρ (p − 2) ρ (p − 3) ρ (1) 1Ce sont les ´quations de Yule-Walker. De plus les ρ(h) d´croissent e eexponentiellement vers 0.
  8. 8. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Autocorr´lations d’un processus AR(p), h → ρ(h) ePreuve : ∀h > 0, ρ(h) − ϕ1 ρ(h − 1) − · · · − ϕp ρ(h − p) = 0. Le polynˆme ocaract´ristique de cette relation de r´currence est : e e p p−1 p ϕ1 ϕp−1 ϕp p 1 z − ϕ1 z − · · · − ϕp−1 z − ϕp = z 1− − · · · − p−1 − p = z Φ( ), z z z zavec Φ(L)Xt = εt etΦ(L) = 1 − ϕ1 L − · · · ϕp Lp .Proposition 2. Pour un processus AR (p) les autocorr´lations partielles ψ sont enulles au del` de rang p, ψ (h) = 0 pour h > p. aPreuve : Si (Xt ) est un processus AR(p) et si Φ(L)Xt = µ + εt est sarepr´sentation canonique, en notant ψ(h) le coefficient de Xt−h dans eEL(Xt |Xt−1 , . . . , Xt−h ) alors, Xt = µ + ϕ1 Xt−1 + · · · + ϕp Xt−p + εt ∈L(1,Xt ,...,Xt−p )⊂L(1,Xt ,...,Xt−h )
  9. 9. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Autocorr´lations d’un processus AR(p), h → ψ(h) e... de telle sorte queEL(Xt |Xt−1 , . . . , Xt−h ) = µ + ϕ1 Xt−1 + · · · + ϕp Xt−p + EL(εt |Xt−1 , . . . , Xt−h ) = µ + ϕ1 Xt−1 + · · · + ϕp Xt−p + 0Aussi, si h > p, le coefficient de Xt−h est 0. Et si h = p, le coefficient de Xt−p estϕp = 0.Proposition 3. Pour un processus AR (p) les autocorr´lations partielles ψ est enon nulle au rang p, ψ (p) = 0.
  10. 10. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(1) - autor´gressif ` l’ordre 1 e e aLa forme g´n´ral des processus de type AR (1) est e e Xt − φXt−1 = εt pour tout t ∈ Z,o` (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 . uRemark si φ = ±1, le processus (Xt ) n’est pas stationnaire. Par exemple, pourφ = 1, Xt = Xt−1 + εt peut s’´crire e Xt − Xt−h = εt + εt−1 + ... + εt−h+1 , 2et donc E (Xt − Xt−h ) = hσ 2 . Or pour un processus stationnaire, il est possible 2de montrer que E (Xt − Xt−h ) ≤ 4V (Xt ). Puisqu’il est impossible que pour touth, hσ 2 ≤ 4Var (Xt ), le processus n’est pas stationnaire.Ici, si φ = 1, (Xt ) est une marche al´atoire. e
  11. 11. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012)Remark si |φ| < 1 alors on peut inverser le polynˆme, et o ∞ −1 Xt = (1 − φL) εt = φi εt−i (en fonction du pass´ de (εt ) ). e (3) i=0Proposition 4. Si (Xt ) est stationnaire, la fonction d’autocorr´lation est edonn´e par ρ (h) = φh . ePreuve : ρ (h) = φρ (h − 1)> X=arima.sim(n = 240, list(ar = 0.8),sd = 1)> plot(X)> n=240; h=1> plot(X[1:(n-h)],X[(1+h):n])> library(ellipse)> lines(ellipse(0.8^h), type = ’l’,col="red")
  12. 12. ` ´Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(1) - autor´gressif ` l’ordre 1 e e a
  13. 13. ` ´Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(1), ρ(1) et ρ(2) e
  14. 14. ` ´Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(1), ρ(3) et ρ(4) e
  15. 15. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(1) - autor´gressif ` l’ordre 1 e e a> X=arima.sim(n = 240, list(ar = -0.8),sd = 1)
  16. 16. ` ´Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(1), ρ(1) et ρ(2) e
  17. 17. ` ´Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(1), ρ(3) et ρ(4) e
  18. 18. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(1) - autor´gressif ` l’ordre 1 e e aConsid´rons un processus AR(1) stationnaire avec φ1 = 0.6. e> X=arima.sim(n = 2400, list(ar = 0.6),sd = 1)> plot(X)
  19. 19. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(1) - autor´gressif ` l’ordre 1 e e a> plot(acf(X),lwd=5,col="red")> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")
  20. 20. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(1) - autor´gressif ` l’ordre 1 e e aConsid´rons un processus AR(1) stationnaire avec φ1 = −0.6. e> X=arima.sim(n = 2400, list(ar = -0.6),sd = 1)> plot(X)
  21. 21. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(1) - autor´gressif ` l’ordre 1 e e a> plot(acf(X),lwd=5,col="red")> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")
  22. 22. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(1) - autor´gressif ` l’ordre 1 e e aConsid´rons un processus AR(1) presque plus stationnaire avec φ1 = 0.999. e> X=arima.sim(n = 2400, list(ar = 0.999),sd = 1)> plot(X)
  23. 23. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(1) - autor´gressif ` l’ordre 1 e e a> plot(acf(X),lwd=5,col="red")> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")
  24. 24. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(2) - autor´gressif ` l’ordre 2 e e aCes processus sont ´galement appel´s mod`les de Yule, dont la forme g´n´rale est e e e e e Xt − φ1 Xt−1 − φ2 Xt−2 = 1 − φ1 L − φ2 L2 Xt = εt pour tout t ∈ Z,o` (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 , et o` les racines du polynˆme u u ocaract´ristique Φ (z) = 1 − φ1 z − φ2 z 2 sont suppos´es ` l’ext´rieur du disque e e a eunit´, de telle sorte que le processus soit stationnaire. Cette condition s’´crit e e   1 − φ1 + φ2 > 0   1 + φ1 − φ2 > 0   φ2 + 4φ2 > 0,  1
  25. 25. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(2) - autor´gressif ` l’ordre 2 e e aLa fonction d’autocorr´lation satisfait l’´quation de r´curence e e e ρ (h) = φ1 ρ (h − 1) + φ2 ρ (h − 2) pour h ≥ 2,et la fonction d’autocorr´lation partielle v´rifie e e   ρ (1) pour h = 1   2 2 ψ (h) = ρ (2) − ρ (1) / 1 − ρ (1) pour h = 2   0 pour h ≥ 3. `A partir des ´quations de Yule Walker, la fonction d’autocorr´lation v´rifie la e e erelation de r´curence e   ρ (0) = 1 et ρ (1) = φ / (1 − φ ) , 1 2  ρ (h) = φ1 ρ (h − 1) + φ2 ρ (h − 2) pour h ≥ 2,
  26. 26. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(2) - autor´gressif ` l’ordre 2 e e a> X=arima.sim(n = 2400, list(ar = c(0.6,0.4)),sd = 1)> plot(acf(X),lwd=5,col="red")> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")
  27. 27. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(2) - autor´gressif ` l’ordre 2 e e a> X=arima.sim(n = 2400, list(ar = c(0.6,-0.4)),sd = 1)> plot(acf(X),lwd=5,col="red")> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")
  28. 28. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(2) - autor´gressif ` l’ordre 2 e e a> X=arima.sim(n = 2400, list(ar = c(-0.6,0.4)),sd = 1)> plot(acf(X),lwd=5,col="red")> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")
  29. 29. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le AR(2) - autor´gressif ` l’ordre 2 e e a> X=arima.sim(n = 2400, list(ar = c(-0.6,-0.4)),sd = 1)> plot(acf(X),lwd=5,col="red")> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")
  30. 30. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le M A(q) - moyenne mobile d’ordre q eOn appelle processus moyenne mobile (moving average’) d’ordre q, not´ M A (q), eun processus stationnaire (Xt ) v´rifiant une relation du type e q Xt = εt + θi εt−i pour tout t ∈ Z, (4) i=1o` les θi sont des r´els et (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 . (4) est ´quivalent u e ea e` l’´criture Xt = Θ (L) εt o` Θ (L) = I + θ1 L + ... + θq Lq . uRemarque : Contrairement aux processus AR (p), les processus M A (q) sonttoujours des processus stationnaires (si q < ∞ ou si la s´rie des θk est absolument econvergente si q = ∞).
  31. 31. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le M A(q) - moyenne mobile d’ordre q eLa fonction d’autocovarariance est donn´e par e γ (h) = E (Xt Xt−h ) = E ([εt + θ1 εt−1 + ... + θq εt−q ] [εt−h + θ1 εt−h−1 + ... + θq εt−h−q ])  2  [θ + θ h h+1 θ1 + ... + θq θq−h ] σ si 1 ≤ h ≤ q =  0 si h > q,avec, pour h = 0, la relation γ (0) = 1 + θ1 + θ2 + ... + θq σ 2 . 2 2 2Cette derni`re relation peut se r´´crire e ee q γ (k) = σ 2 θj θj+k avec la convention θ0 = 1. j=0
  32. 32. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le M A(q) - moyenne mobile d’ordre q eD’o` la fonction d’autocovariance, u θh + θh+1 θ1 + ... + θq θq−h ρ (h) = 2 2 2 si 1 ≤ h ≤ q, 1 + θ1 + θ2 + ... + θqet ρ (h) = 0 pour h > q.Proposition 5. Si (Xt ) est un processus M A(q), γ (q) = σ 2 θq = 0, alors queγ (k) = 0 pour k > q.
  33. 33. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le M A(1) - moyenne mobile d’ordre 1 eLa forme g´n´rale des processus de type M A (1) est e e Xt = εt + θεt−1 , pour tout t ∈ Z,o` (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 . Les autocorr´lations sont donn´es par u e e θ ρ (1) = , et ρ (h) = 0, pour h ≥ 2. 1 + θ2On peut noter que −1/2 ≤ ρ (1) ≤ 1/2 : les mod`les M A (1) ne peuvent avoir de efortes autocorr´lations ` l’ordre 1. e a> X=arima.sim(n = 240, list(ma = 0.8),sd = 1)> plot(X)> n=240;h=1> plot(X[1:(n-h)],X[(1+h):n])> library(ellipse)> lines(ellipse(.8/(1+.8^2)), type = ’l’,col="red")
  34. 34. ` ´Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le M A(1) - moyenne mobile d’ordre 1 e
  35. 35. ` ´Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le M A(1) - moyenne mobile d’ordre 1 e
  36. 36. ` ´Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le M A(1) - moyenne mobile d’ordre 1 e
  37. 37. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le M A(1) - moyenne mobile d’ordre 1 e> X=arima.sim(n = 2400, list(ma = .7),sd = 1)> plot(acf(X),lwd=5,col="red")> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")
  38. 38. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le M A(1) - moyenne mobile d’ordre 1 e> X=arima.sim(n = 2400, list(ma = -0.7),sd = 1)> plot(acf(X),lwd=5,col="red")> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")
  39. 39. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le M A(2) - moyenne mobile d’ordre 2 eLa forme g´n´rale de (Xt ) suivant un processus M A (2) est e e Xt = εt + θ1 εt−1 + θ2 εt−2 pour tout t ∈ Z,o` (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 . uLa fonction d’autocorr´lation est donn´e par l’expression suivante e e  2 2  θ1 [1 + θ2 ] / 1 + θ1 + θ2 pour h = 1   ρ (h) = 2 2 θ2 / 1 + θ1 + θ2 pour h = 2   0 pour h ≥ 3, 
  40. 40. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le M A(2) - moyenne mobile d’ordre 2 e> X=arima.sim(n = 2400, list(ma = c(0.7,0.9)),sd = 1)> plot(acf(X),lwd=5,col="red")> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")
  41. 41. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le M A(2) - moyenne mobile d’ordre 2 e> X=arima.sim(n = 2400, list(ma = c(0.7,-0.9)),sd = 1)> plot(acf(X),lwd=5,col="red")> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")
  42. 42. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le M A(2) - moyenne mobile d’ordre 2 e> X=arima.sim(n = 2400, list(ma = c(0.7,-0.9)),sd = 1)> plot(acf(X),lwd=5,col="red")> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")
  43. 43. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le ARM A(p, q) eOn appelle processus ARM A (p, q), un processus stationnaire (Xt ) v´rifiant une erelation du type p q Xt − φi Xt−i = εt + θi εt−i pour tout t ∈ Z, (5) i=1 j=1o` les θi sont des r´els et (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 . (5) est ´quivalent u e ea e` l’´criture   Θ (L) = I + θ L + ... + θ Lq 1 q Φ (L) Xt = Θ (L) εt o` u  Φ (L) = I − φ1 L − ... − φp LpOn supposera de plus de les polyˆmes Φ et Θ n’ont pas de racines en module ostrictement sup´rieures ` 1, et n’ont pas de racine commune. On supposera de e aplus que θq = 0 et φp = 0. On dira dans ce cas que cette ´criture est la forme eminimale.
  44. 44. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le ARM A(p, q) eProposition 6. Soit (Xt ) un processus ARM A (p, q), alors les autocovariancesγ (h) satisfont p γ (h) − φi γ (h − i) = 0 pour h ≥ q + 1. (6) i=1Proposition 7. Soit (Xt ) un processus ARM A (p, q), alors les autocorr´lations eγ (h) satisfont p γ (h) − φi γ (h − i) = σ 2 [θh + h1 θh+1 + ... + hq−h θq ] pour 0 ≤ h ≤ q, (7) i=1o` les hi correspondent aux coefficients de la forme M A (∞) de (Xt ), u +∞ Xt = hj εt−j . j=0
  45. 45. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le ARM A(p, q) eRemarque : La variance de Xt est donn´e par e 2 2 1 + θ1 + ... + θq + 2φ1 θ1 + ... + φh θh 2 Var (Xt ) = γ (0) = 2 − ... − φ2 σ o` h = min (p, q) . u 1 − φ1 p
  46. 46. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le ARM A(1, 1) eSoit (Xt ) un processus ARM A (1, 1) d´fini par e Xt − φXt−1 = εt + θεt−1 , pour tout t,o` φ = 0, θ = 0, |φ| < 1 et |θ| < 1. Ce processus peut de mettre sous forme uAR (∞), puisque −1 (1 − φL) (1 + θL) Xt = Π (L) Xt = εt ,o` u h Π (L) = (1 − φL) 1 − θL + θ2 L2 + ... + (−1) θh Lh + .. ,aussi  +∞  π =1 0 Π (L) = πi Li o` u  πi = (−1)i [φ + θ] θi−1 pour i ≥ 1. i=0
  47. 47. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le ARM A(1, 1) eLa fonction d’autocorr´lation s’´crit e e   ρ (1) = (1 + φθ) (φ + θ) / 1 + θ2 + 2φθ  ρ (h) = φh ρ (1) pour h ≥ 2,et la fonction d’autocorr´lations partielles a le mˆme comportement qu’une e emoyenne mobile, avec comme valeur initiale aψ (1) = ρ (1).
  48. 48. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le ARM A(1, 1) e> X=arima.sim(n = 2400, list(ar=0.6, ma = 0.7),sd = 1)> plot(acf(X),lwd=5,col="red")> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")
  49. 49. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le ARIM A(p, d, q) eD´finission l’op´rateur ∆ par ∆Xt = Xt − Xt−1 , i.e. e e   ∆X = X − X t t t−1 = (1 − L) Xt  ∆d Xt = (1 − L)d XtUn processus (Xt ) est un processus ARIM A (p, d, q) - autor´gressif moyenne emobile int´gr´ - s’il v´rifie une ´quation du type e e e e d Φ (L) (1 − L) Xt = Θ (L) εt pour tout t ≥ 0o` u   Φ (L) = I − φ L − φ L2 + ... − φ Lp o` φ = 0 u p 1 2 p  Θ (L) = I + θ1 L + θ2 L2 + ... + θq Lq o` θq = 0 usont des polynˆmes dont les racines sont de module sup´rieur ` 1, ... o e a
  50. 50. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le ARIM A(p, d, q) e... et o` les conditions initiales u Z−1 = {X−1 , ..., X−p , ε−1 , ..., ε−q }sont non-corr´l´es avec ε0 , ..., εt , ... et o` le processus (εt ) est un bruit blanc de ee uvariance σ 2 .Remarque : Si les processus ARM A peuvent ˆtre d´finis sur Z, il n’en est pas e ede mˆme pour les processus ARIM A qui doivent commencer ` une certaine date e a(t = 0 par convention), avec des valeurs initiales (q valeurs pour les εt , et p + dpour Xt ).Proposition 8. Soit (Xt ) un processus ARIM A (p, d, q) alors le processus ∆d Xt converge vers un processus ARM A (p, q) stationnaire.
  51. 51. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le mod`le ARIM A(p, d, q) eProposition 9. Soit (Xt ) un processus ARIM A (p, d, q) de valeurs initialesZ−1 , alors (Xt ) peut s’´crire sous la forme suivante, fonction du pass´ du bruit, e e t Xt = hj εt−j + h∗ (t) Z−1 , j=1o` les hj sont les coefficients de la division selon les puissances croissantes de Θ upar Φ, et h∗ (t) est un vecteur (ligne) de fonctions de tProposition 10. Soit (Xt ) un processus ARIM A (p, d, q) de valeurs initialesZ−1 , alors (Xt ) peut s’´crire sous la forme suivante, fonction du pass´ de Xt e e t ∗ Xt = πj Xt−j + h (t) Z−1 + εt , j=1o` les πj sont les coefficients (pour j ≥ 1) de la division selon les puissances u ∗croissantes de Φ par Θ, et h (t) est un vecteur (ligne) de fonctions de t quandtend vers 0 quand t → ∞.
  52. 52. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le(s) mod`le(s) SARIM A(s, p, d, q) eDe fa¸on g´n´rale, soient s1 , ..., sn n entiers, alors un processus (Xt ) est un c e eprocessus SARIM A (p, d, q) - autor´gressif moyenne mobile int´gr´ saisonnier - e e es’il v´rifie une ´quation du type e e Φ (L) (1 − Ls1 ) ... (1 − Lsn ) Xt = Θ (L) (1 − L)d εt pour tout t ≥ 0o` Φ (L) = I − φ1 L − φ2 L2 + ... − φp Lp (o` φp = 0) et u uΘ (L) = I + θ1 L + θ2 L2 + ... + θq Lq (o` θq = 0) sont des polynˆmes dont les u oracines sont de module sup´rieur ` 1, et o` les conditions initiales e a u Z−1 = {X−1 , ..., X−p , ε−1 , ..., ε−q }sont non-corr´l´es avec ε0 , ..., εt , ... et o` le processus (εt ) est un bruit blanc de ee uvariance σ 2 .
  53. 53. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le(s) mod`le(s) SARIM A(s, p, d, q) eLes deux formes les plus utilis´es sont les suivantes, e Φ (L) (1 − Ls ) Xt = Θ (L) εt pour tout t ≥ 0 d Φ (L) (1 − Ls ) (1 − L) Xt = Θ (L) εt pour tout t ≥ 0
  54. 54. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le(s) mod`le(s) SARIM A(s, p, d, q) eSoit S ∈ N{0} correspondant ` la saisonnalit´, et consid´rons le processus a e e Xt = (1 − αL) 1 − βLS εt = εt − αεt−1 − βεt−S + αβεt−S−1 .Les autocorr´lations sont donn´es par e e −α 1 + β 2 −α ρ (1) = 2 ) (1 + β 2 ) = 2 , (1 + α 1+α αβ ρ (S − 1) = , (1 + α2 ) (1 + β 2 ) −β 1 + α2 −β ρ (S) = 2 ) (1 + β 2 ) = 2 , (1 + α 1+β αβ ρ (S + 1) = , (1 + α2 ) (1 + β 2 )et ρ (h) = 0 ailleurs. On peut noter que ρ (S − 1) = ρ (S + 1) = ρ (1) × ρ (S) .
  55. 55. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le(s) mod`le(s) SARIM A(s, p, d, q) eSoit S ∈ N{0} correspondant ` la saisonnalit´, et consid´rons le processus a e e 1 − φLS Xt = (1 − αL) 1 − βLS εt ou Xt −φXt−1 = εt −αεt−1 −βεt−S +αβεt−S−1 .Les autocorr´lations sont donn´es par e e −α 1 + β 2 −α ρ (1) = 2 ) (1 + β 2 ) = 2 , (1 + α 1+α 2 α β − φ − φ (β − φ) / 1 − φ2 ρ (S − 1) = , 2 (1 + α2 ) 1 + (β − φ) / (1 − φ2 ) − 1 + α2 ρ (S) = ρS−1 , αavec ρ (h) = 0 pour 2 ≤ h ≤ S − 2, puis ρ (S + 1) = ρ (S − 1) etρ (h) = φρ (h − S) pour h ≥ S + 2. En particulier ρ (kS) = φk−1 ρ (S) .
  56. 56. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Le th´or`me de Wold e eTheorem 11. Tout processus (Xt ), centr´, et stationnaire au second ordre, peut eˆtre repr´sent´ sous une forme proche de la forme M Ae e e ∞ Xt = θj εt−j + ηt , j=0o`u• (εt ) est l’innovation, au sens o` εt = Xt − EL (Xt |Xt−1 , Xt−2 , ...) , u• EL (εt |Xt−1 , Xt−2 , ...) = 0, E (εt Xt−j ) = 0, E (εt ) = 0, E ε2 = σ 2 t (ind´pendant de t) et E (εt εs ) = 0 pour t = s, e• toutes les racines de Θ (L) sont ` l’ext´rieur du cercle unit´ : le polynome Θ a e e est inversible, ∞ 2– j=0 θj < ∞ et θ0 = 1,• les coefficients θj et le processus (εt ) sont uniques,• (ηt ) v´rifie ηt = EL (ηt |Xt−1 , Xt−2 , ...) . e
  57. 57. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Estimation d’un SARIMA : Box & JenkinsLa m´thdologie pour estimer un processus SARIMA est la suivante e• identification de l’ordre d : poser Yt = (1 − L)d Xt• identification de l’ordre S : poser Zt = (1 − LS )Yt• identification de l’ordre p, q tels que Φp (L)Zt = Θq (L)εt• estimer φ1 , · · · , φp et θ1 , · · · , θq• construite la s´rie (εt ), en d´duire un estimateur de σ 2 e e• v´rifier que (εt ) est un bruit blanc e
  58. 58. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Identification de l’ordre d d’int´gration eLe test de Dickey & Fuller simple, H0 : le processus suit une marche al´atoire econtre l’hypoth`se alternative H1 : le processus suit un mod`le AR (1) e e(stationnaire).– Yt = ρYt−1 + εt : on teste H0 : ρ = 1 (marche al´atoire sans d´rive) e e– Yt = α + ρYt−1 + εt : on teste H0 : α = 0 et ρ = 1 (marche al´atoire sans e d´rive) e– Yt = α + ρYt−1 + εt : on teste H0 : α = 0 et ρ = 1 (marche al´atoire avec e d´rive) e– Yt = α + βt + ρYt−1 + εt : on teste H0 : α = 0, β = 0 et ρ = 1 (marche al´atoire e sans d´rive) e
  59. 59. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Identification de l’ordre d d’int´gration eLe test de Dickey & Fuller augment´, H0 : le processus suit une marche al´atoire e econtre l’hypoth`se alternative H1 : le processus suit un mod`le AR (p) e e(stationnaire).– Φ (L) Yt = εt : on teste H0 : Φ (1) = 0– Φ (L) Yt = α + εt : on teste H0 : α = 0 et Φ (1) = 0– Φ (L) Yt = α + εt : on teste H0 : α = 0 et Φ (1) = 0– Φ (L) Yt = α + βt + εt : on teste H0 : α = 0, β = 0 et Φ (1) = 0Ces 4 cas peuvent ˆtre r´´crits en introduisant les notations suivantes, e ee p−1 Φ (L) = Φ (1) + (1 − L) Φ∗ (L) = Φ (1) − αi Li (1 − L) i=0o` α0 = Φ (1) − 1 et αi = αi−1 − φi = φi+1 + ... + φp , pour i = 1, ..., p. u
  60. 60. ` ´ Arthur CHARPENTIER - Modeles de previsions (ACT6420 - Automne 2012) Identification de l’ordre d d’int´gration eEn posant ρ = 1 − Φ (1), on peut r´´crire les 4 cas en ee(1) Yt = ρYt−1 + αi ∆yt−i + εt : on teste H0 : ρ = 1(2) Yt = α + ρYt−1 + αi ∆yt−i + εt : on teste H0 : α = 0 et ρ = 1(3) Yt = α + ρYt−1 + αi ∆yt−i + εt : on teste H0 : α = 0 et ρ = 1(4) Yt = α + βt + ρYt−1 + αi ∆yt−i + εt : on teste H0 : α = 0, β = 0 et ρ = 1> library(urca)> summary(ur.df(y=,lag=1,type="trend"))Il est aussi possible de laisser le logiciel choisir le nombre optimal de retard ` aconsid´rer (` l’aide du BIC, e.g.) e a> library(urca)> summary(ur.df(y=,lag=6,selectlags="BIC",type="trend"))

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