Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.
Chuyên đề luyện thi đại học

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP
HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH
Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên
H...
⊻ Thể tích khối đa diện:

- Vchop =

1
B.h (B là diện tích đáy, h là chiều cao)
3

- VLT = B.h
Phần 2) Phương pháp xác địn...
Vì 2 mặt phẳng ( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc với đáy ABCD mà ( SBI ) và ( SCI ) có giao
tuyến là SI nên SI ⊥ ( ABCD ) ...
Có AC = A′C 2 − AA′2 = 9a 2 = 4a 2 = a 5 ⇒ BC = AC − AB 2 = 2a
2

VIABC =

1
1 4a 1
4
IH .dt ( ABC ) = . . .2a.a = a 3 ( đ...
Nhận xét: AI 2 + BI 2 =
Do đó BM ⊥ AI

a 2 2a 2
+
= a 2 = AB 2 , suy ra tam giác AIB vuông tại I .
3
3

(1)

Mặt khác: SA ...
Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = 3a, BC = 2a . Các
mặt bên đều hợp với đáy một góc 600...
Tam giác SOH vuông tại O , ta có: SO = OH tan 600 =

a 6
2

1
1
a 6 2a 3 3
Thể tích khối chóp SABC là: V = S ABC .SO = .2a...
- Hạ C ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ ∆C ' HA = ∆C ' HB = ∆C ' HC ⇔ HA = HB = HC
Suy ra H là tâm vòng trong ngoại tiếp tam giác ABC . Vì ...
S

B

C

120°
K
H

E
F
D

A

Gọi E là trung điểm của CD , F là trung điểm của ED
Với giả thiết SA = SB ta suy ra chân đườn...
Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằ...
S

A

D

H

O

B

C

Hạ SH ⊥ BD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ ∆SHA = ∆SHC ⇒ SA = SC
Từ giả thiết ta suy ra ∆ASC = ∆ADC = ∆ABC ⇒ OB = S...
VSA′B′C ′ SA′.SB′.SC ′
(1)
=
VSABC
SA.SB.SC
VSA′ABC A ' A
(2). Công thức (2) có thể mở rộng cho khối chóp bất kỳ.
=
VSABC
...
1
1
3
3
ˆ 1
Ta có V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD ) = SA. AD. AB.sinDAB = a.a.a.
= a3
3
3
3
2
6
V( SAB′C ′D′) =

3 3
a (đvtt)
18...
⇒

V( SMBCN )
V( SABCD )

=

=

V( SMBC ) + V( SMCN )
V( SABCD )

=

V( SMCN )
2V( SABC )

+

V( SMCN )
2V( SACD )

1.SM ....
Nối PI cắt SB tại E , nối PJ cắt SD tại F
Ngũ giác PEMNF là thiết diện của mặt phẳng ( PMN ) và hình chóp
3

CI = CB
CB C...
S

P
E
I

A

B

F
O

M
K

N

D

C

J

Ví dụ 6) Cho khối lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là...
Trong tam giác vuông AA ' K ta có: AK = AA '2 + A ' K 2 = a 2 +

Do đó: S AIJ

18a 2 a 34
=
16
4

1
1 3a 2 3a 2 3a 2 17
= ...
Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối đa diện ở phía dưới và phía trên mặt phẳng ( AEF )
Ta có: V1 = VAA ' IJ − 2VB ' ...
* Tính chất quan trọng cần nắm:

- Nếu đường thẳng ( d ) song song với mặt phẳng ( P ) thì khoảng cách từ mọi điểm trên ( ...
Ta có d B /( SAD ) = 3dG /( SAD ) = 3GH =

3GN .GS
GN + GS
2

2

=

a a 3
3 .
3 3
2
a a 3

  +
3  3 

2

=

a ...
ˆ
Gọi C ' M là đường cao của tam giác đều C ' A ' D ' thì C ' M ⊥ ( ADA ' D ') nên C ' AM = 300
Ta có C ' M =

3a
3 3a
⇒ A...
Cách 1: Coi B là đỉnh khối chóp BSAC từ giả thiết ta suy ra BS = BA = BC . Gọi O là chân
đường cao hạ từ B xuống mp ( SAC ...
Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang ABC = BAD = 900 ,
BA = BC = a, AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với ...
1
1
1
=
+
⇒ AH =
2
2
AH
AB
AS 2

AB. AS

=

a.a 2

AB 2 + AS 2
a 2 + 2a 2
2
a
2
SH
3 =2
2
2
⇒ SH = SA − AH =
a⇒
=
SB a 3 3...
Gọi M là trung điểm của AB , N là trung điểm của AE . Ta có BE song song với ( SCD ) ,

MN cũng song song với ( SCD ) . Ta...
 EP ⊥ BN
⇒ EQ ⊥ ( MNB) ⇒ d E /( MNB ) = EQ =
Hạ 
 EQ ⊥ MP
Ta có ∆EPF đồng dạng với ∆BHF ⇒

Tính được BH =

Suy ra: EP =...
Ví dụ 1) Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông AB = BC = a , cạnh
bên AA′ = a 2 . Gọi M là trung đ...
Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA ,...
ˆ
ˆ
Ta có SA ⊥ ( ABC ); ABC = 900 ⇒ SBA = 600 ⇒ SA = 2a 3
Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N suy ra N là trung...
Từ A ' hạ A ' K vuông góc B ' C ' , Hạ A ' H vuông góc với AK thì
A ' K.A ' A
2a
A ' H ⊥ ( AB ' C ') ⇒ d A '/( AB ' C ') =...
1
1 a 21 1
7a3
Ta suy ra VSABC = SH .S ∆ABC =
( ĐVTT)
. a.a.sin 600 =
3
3 3 2
12

- Tính khoảng cách:
Gọi E là trung điểm ...
 HK ⊥ CI
Dựng 
⇒ HR ⊥ ( FCI ) ⇒ d H /(CFI ) = HR =
 HR ⊥ FK

1
1
CD.HI
Ta có HK .CI = CD.HI ⇒ HK =
=
2
2
CI

Ta có FH =...
Gọi H là trung điểm AB, O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD ; SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng ...
S

N
A
M

K

D

F

H
E
B

Q

O

C

Chú ý: Trong bài toán này ta đã dựng đường cao NK để quy về bài toán cơ bản.

Phần 6
Cá...
AH =

1
1 2
BC =
a + 3a 2 = a Do đó A ' H = A ' A2 − AH 2 = a 3.
2
2

VA ' ABC =

1
a3
A ' H .S△ ABC =
3
2

Trong tam giác...
Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy ra AE =

a
2

Giả sử góc tạo bởi SM và DN là α ⇒ α = ( SM , ME ).
Ta có SA vuông ...
Do đó SI = SJ = SA sin 600 = a 3 và AI = AJ = SA cos 600 = a , từ đó HI = HJ
Suy ra AH là đường phân giác trong của góc A
...
Trong tam giác AMH ta có :
HM 2 = AH 2 + AM 2 − 2 AH . AM .cos 45 = 2a 2 +

4a 2
2a 1 10a 2
− 2 2a. .
=
9
3
9
2

7 2 10a 2...
S

O

M
A

E
D

K

N
I

B
C

V =

a3
6

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SE và SC ta có mặt phẳng ( ABMN ) là mặt phẳn...
Qua J kẻ đường thẳng Jy ⊥ ( SED ) thì Jy / / CE . Trong mặt phẳng (CEJ ) kẻ đường trung trực
của CE cắt Jy tại O là tâm mặ...
S

y

I

x

E
A

D

M

K

J

H

B
C
Gọi J, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Ta có
r=

AH ...
cos CID =

DI
a a 3 1
=
:
=
CI
3
2 2

- Tam giác vuông ACD có CD 2 = CA2 − DA2 = a
AE =

a 2
⇒ DE =
2

AE 2 − DA2 =

a
6

...
tại S và SA = SB =

3VSNAC
a 2
. Ta có d ( N / ( SAC )) =
. Kẻ HK ⊥ AC thì HK / / BD và
2
dt ( SAC )

a 14
1
7a2
ˆ
ˆ
KHO =...
( a + b) 2 N 2
=
4
4
3) Cho đường thẳng ∆ và một điểm M không thuộc ∆ . Khi đó với điểm N bất kỳ thuộc
∆ ta có MN ≥ MH tro...
3

 1 − sin 2 α 1 − sin 2 α

+
+ sin 2 α 
6
2
2
6
4a 1 − sin α 1 − sin α
4a
4a 6
2
2
2

 =
=
.
.
.sin α ≤
9
2
2
9 
...
Trong tam giác SMN kẻ đường cao MH thì MH ⊥ ( SBC )
Do đó: d ( A, ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) ) = MH = 2a

(

)

Giả sử α ...
Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc
với đáy. M là một điểm di động trên ...
⇒V ≤

a 2h
a 2h
a2
, đạt được khi
⇒ max V =
= x⇔ x =a.
12
12
x

Cách khác:
1
Thể tích khối chóp SABH là: V = S ABH .SA . M...
 BC ⊥ AC
Ta có: 
⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ AK
 BC ⊥ SA
Mặt khác: AK ⊥ SC

(1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: AK ⊥ ( SBC )
Do đ...

x 3
Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có cạnh SB = x , tất cả các cạnh còn lại bằng a  a >


3 


1. Tính thể tích khố...
Ta có: SA = SC = 1 nên HA = HC , suy ra H thuộc đường trung trực của đoạn AC
Mà ABCD là hình thoi nên BD là đường trung tr...
⇔1=

a ( x + y)

⇔ a 2 − xy = a ( x + y )

a − xy
2

(đpcm)

+) Tìm x, y để cho thể tích của khối chóp SAMN có giá trị bé ...
S

A

D

45°
N
B

M

C

Ví dụ 7) Cho tam giác đều OAB có cạnh AB = a . Trên đường d đi qua O và vuông góc với
mặt phẳng ( ...
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x +

a2
a2
6a 3
≥ 2 x.
= 2a ⇒ VABMN ≥
2x
2x
12

a2
a 2
Dấu bằng xảy ra khi x =
⇔x=
2x
2

...
ĐS: V =

4a 3 15
75

Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = 2a . Hai mặt
bên ( SAB ), ( ...
ĐS: V =

a3 6
12

Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A , AB = a . Mặt bên
qua cạnh huyền ...
ĐS: VSABCD =

a3
8

2a
. Trên đường thẳng
3
vuông góc với mặt phẳng ( P ) và đi qua giao điểm H của hai đường chéo của hìn...
Bài 17: Khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a . SA ⊥ ( ABCD ) ; SA = 2a . Gọi E , F là
hình chiếu của A trên SB và S...
ĐS: a )

2 57 a
3 3a 3
; b)
19
50

Bài 23: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng 2...
Bài 27: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có BB ' = a , góc tạo bởi BB ' và mặt phẳng

( ABC ) là 600, tam giác AB...
Bài 32: Cho hình chóp SABC có AB = AC = a ; BC =

a
; SA = a 3 ; góc SAB bằng góc SAC
2

và bằng 300. Tính thể tích của kh...
Bài 37: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, góc BAD bằng góc ABC và bằng
900; AB = BC = a ; AD = 2a . SA vuông ...
ĐS: V =

2a 3
27

Bài 43: Lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy là tam giác vuông AB = AC = a; AA1 = a 2. Gọi
M , N lần lượt là t...
Bài 47: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có các cạnh AB = AD = a; AA ' =

a 3
và góc
2

BAD = 600 . Gọi M và N lần lư...
2) Mặt phẳng ( ADM ) chia hình chóp ra làm hai phần, một phần là hình chóp SADMN có
V 5
thể tích V1 và phần còn lại có thể...
ĐS: V =

3a 3
cot α
2

Bài 57: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng

a 2 , đườ...
ĐS: VSABCD =

2a 3
a 7
, R=
12
8

Bài 62: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a , góc...
Bài 66: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là một tam giác vuông tại B, BAC = 60° ,
bán kính đường tròn nội tiếp ta...
Bài 71: Cho hình lăng trụ ABC . A1 B1C1 có M là trung điểm cạnh AB, BC = 2a, ACB = 900 và

ABC = 600 , cạnh bên CC1 tạo vớ...
ĐS: VNAC ' I =

a3
a 3
, d=
32
8

Bài 76: Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông với cạnh huyền BC = 2a ;
...
ĐS: VSABCD =

2 3a 3
3a
, d=
3
4

Bài 81: Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Gọi H là tâm của mặt
AD...
là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng ( SMN ) . Chứng minh rằng AD vuông góc SI
và tính theo a thể tích khối tứ di...
ĐS: V =

3a 3
a 21
,d =
36
7

Bài 91: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BAC = 600 , bá...
ĐS: V =

6a 3
a 6
, d=
3
2

Bài 96: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đáy là AB, CD . Biết
AB = ...
Nächste SlideShare
Wird geladen in …5
×

von

Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 1 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 2 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 3 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 4 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 5 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 6 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 7 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 8 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 9 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 10 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 11 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 12 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 13 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 14 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 15 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 16 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 17 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 18 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 19 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 20 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 21 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 22 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 23 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 24 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 25 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 26 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 27 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 28 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 29 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 30 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 31 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 32 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 33 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 34 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 35 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 36 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 37 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 38 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 39 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 40 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 41 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 42 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 43 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 44 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 45 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 46 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 47 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 48 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 49 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 50 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 51 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 52 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 53 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 54 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 55 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 56 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 57 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 58 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 59 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 60 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 61 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 62 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 63 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 64 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 65 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 66 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 67 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 68 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 69 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 70 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 71 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 72 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 73 Chuyên ð  hình không gian c  ði_n Slide 74
Nächste SlideShare
ôN thi cấp tốc số phức
Weiter
Herunterladen, um offline zu lesen und im Vollbildmodus anzuzeigen.

12 Gefällt mir

Teilen

Herunterladen, um offline zu lesen

Chuyên ð hình không gian c ði_n

Herunterladen, um offline zu lesen

Chuyên ð hình không gian c ði_n

  1. 1. Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên Hình không gian là bài toán không khó trong đề thi TSĐH nhưng luôn làm cho rất nhiều học sinh bối rối. Thông qua chuyên đề này tôi hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn bản chất của bài toán để từ đó tìm ra chìa khóa giải quyết triệt để dạng toán này Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán ⊻ Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có: - b = c tan B , c = b tan C , AH 2 = HB.HC - 1 1 1 = + ⇒ AH = 2 2 AH AB AC 2 AB. AC AB 2 + AC 2 A B H C ⊻ Trong tam giác thường ABC ta có: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A;cos A = b2 + c2 − a2 . 2bc Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c và góc B, C: - S ∆ABC = 1 1 1 ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2 - S = p.r (Trong đó p là nữa chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) - S= abc 4R NGUYỄN TRUNG KIÊN 1
  2. 2. ⊻ Thể tích khối đa diện: - Vchop = 1 B.h (B là diện tích đáy, h là chiều cao) 3 - VLT = B.h Phần 2) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp: Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao. Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến. Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau đó. - Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy. - Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy. Sử dụng các giả thiết mở: - Hình chóp SABCD có mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng tạo với đáy góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác trong góc BAC - Hình chóp SABCD có SB = SC hoặc SB, SC cùng tạo với đáy một góc α thì chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC Việc xác định được chân đường cao là yếu tố đặc biệt quan trọng để giải quyết các câu hỏi trong bài toán hình không gian cổ điển - Phần 3: Các bài toán về tính thể tích A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao: Để giải quyết tốt dạng bài tập này các em cần nắm chắc các dấu hiệu để xác định đường cao và sử dụng các công thức 1 + Vchóp = B.h 3 + VLT = B.h Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có AB = AD = 2 a, CD = a . Góc giữa 2 mặt phẳng ( SCB ), ( ABCD ) bằng 600. Gọi I là trung điểm AD biết 2 mặt phẳng ( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc với đáy ABCD . Tính thể tích khối chóp SABCD . HD giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’2 mặt phẳng ( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc với đáy ABCD ’’ NGUYỄN TRUNG KIÊN 2
  3. 3. Vì 2 mặt phẳng ( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc với đáy ABCD mà ( SBI ) và ( SCI ) có giao tuyến là SI nên SI ⊥ ( ABCD ) . Kẻ IH ⊥ BC ta có góc giữa 2 mặt phẳng ( SCB ), ( ABCD ) là 1 ˆ SHI = 600 . Từ đó ta tính được: IC = a 2; IB = BC = a 5; S ( ABCD ) = AD ( AB + CD ) = 3a 2 2 1 a 2 3a 2 2S 2 2 IH .BC = S ( IBC ) = S ( ABCD) − S ( ABI ) − S (CDI ) = 3a − a − = nên IH = ∆IBC = 2 2 2 BC 3 3 3 15 3 a . Từ đó tính được VSABCD = a . 5 5 S A B I D H C Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn B ' C ' , I là giao điểm của BM và B ' C . Tính thể tích khối chóp IABC theo a HD giải: Dấu hiệu để nhận biết đường cao trong bài toán này là:’’ I nằm trong mặt bên ( BCC ' B ') vuông góc với đáy ( ABC ) ’’ Ta có: - ABCA ' B ' C ' là lăng trụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy. I ⊂ ( B ' BC ) ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH ⊥ BC thì IH ⊥ ( ABC ) và I chính là trọng tâm tam giác BB ' C ' ⇒ IH CI 2 4a = = ⇒ IH = BB ' CB ' 3 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN 3
  4. 4. Có AC = A′C 2 − AA′2 = 9a 2 = 4a 2 = a 5 ⇒ BC = AC − AB 2 = 2a 2 VIABC = 1 1 4a 1 4 IH .dt ( ABC ) = . . .2a.a = a 3 ( đvtt) 3 3 3 2 9 C' A' M B' I O C A H B Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a và vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC . Chứng minh rằng mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( SMB ) . Tính thể tích khối tứ diện ANIB . Lời giải: +) Chứng minh ( SAC ) ⊥ ( SMB ) . Ta có: AC = AB 2 + BC 2 = a 2 + 2a 2 = a 3; BM = AB 2 + AM 2 = a 2 + 2a 2 a 6 = 4 2 Gọi O = AC ∩ BD ;do I là giao điểm của hai đường trung tuyến AO và BM nên là trọng tâm của tam giác ABD . Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có: AI = 2 1 a 3 2 a 6 AO = AC = ; BI = BM = 3 3 3 3 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN 4
  5. 5. Nhận xét: AI 2 + BI 2 = Do đó BM ⊥ AI a 2 2a 2 + = a 2 = AB 2 , suy ra tam giác AIB vuông tại I . 3 3 (1) Mặt khác: SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ BM (2) Từ (1) và (2) suy ra BM ⊥ ( SAC ) +) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Ta thấy khối chóp ANIB cũng chính là khối chóp NAIB Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Điểm N nằm trong mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với đáy ( ABCD ) ’’ Do NO là đường trung bình của tam giác SAC nên ta có: NO / / SA và NO = 1 a SA = 2 2 Do đó NO là đường cao của tứ diện ANIB Diện tích tam giác đều AIB là: S AIB 1 1 a 3 a 6 a2 2 = AI .BI = . = 2 2 3 3 6 1 1 a 2 2 a a3 2 Thể tích khối tứ diện ANIB là: V = S AIB .NO = . = 3 3 6 2 36 S N M A D I O B C NGUYỄN TRUNG KIÊN 5
  6. 6. Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = 3a, BC = 2a . Các mặt bên đều hợp với đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp SABC Lời giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Hình chóp có các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy hình chóp’’ Từ đó ta có lời giải sau: Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) và I , H , J lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC , CA . Theo định lý ba đường vuông góc ta có: SI ⊥ AB, SJ ⊥ AC , SH ⊥ BC Suy ra: SIO, SJO, SHO lần lượt là góc hợp bởi các mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) và mặt đáy Theo giả thiết ta có: SIO = SJO = SHO = 600 Các tam giác vuông SOI , SOJ , SOH bằng nhau nên OI = OJ = OH Do đó O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Mặt khác: ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến Suy ra A, O, H thẳng hàng và H là trung điểm của BC Tam giác ABH vuông tại H , ta có: AH = AB 2 − BH 2 = 9a 2 − a 2 = 2a 2 Diện tích tam giác ABC là: S ABC = Ngoài ra: S ABC = pr , với p = ⇒r= 1 1 BC . AH = .2a.2a 2 = 2a 2 2 2 2 1 ( AB + AC + BC ) = 4a và r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC . 2 S ABC 2a 2 2 a 2 = = = OH p 4a 2 NGUYỄN TRUNG KIÊN 6
  7. 7. Tam giác SOH vuông tại O , ta có: SO = OH tan 600 = a 6 2 1 1 a 6 2a 3 3 Thể tích khối chóp SABC là: V = S ABC .SO = .2a 2 2. = 3 3 2 3 S I A B O H J C Ví dụ 5) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A AB = a 3, AC = a . Biết đỉnh C ' cách đều các đỉnh A, B, C và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt 6a phẳng (C’AC) bằng .Tính thể tích khối chóp A ' ABC ' theo a và tính cosin góc tạo bởi mặt 15 phẳng ( ABB ' A ') và mặt phẳng đáy ( ABC ) . Giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Đỉnh C ' cách đều các đỉnh A, B, C ⇔ C ' A = C ' B = C ' C ’’ C' B' A' N H B C M I A K NGUYỄN TRUNG KIÊN 7
  8. 8. - Hạ C ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ ∆C ' HA = ∆C ' HB = ∆C ' HC ⇔ HA = HB = HC Suy ra H là tâm vòng trong ngoại tiếp tam giác ABC . Vì tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC . Ta có: d B /( ACC ') = 2d H /( ACC ') . Hạ HM ⊥ AC , HN ⊥ C ' M ⇒ HN ⊥ ( ACC ') ⇒ d H /( ACC ') = HN = Ta có: HM = 1 3a d B /( ACC ') = . 2 15 1 a 3 AB = ⇒ C ' H = a 3 từ đó tính được CC ' = 2a. 2 2 1 1 1 1 a3 Có VA ' ABC ' = VLT = C ' H .dt ( ABC ) = .a 3. .a 3.a = 3 3 3 2 2 1 AC suy ra I 2 là trung điểm của AB . Tam giác ABC vuông tại A nên KI ⊥ AB ⇒ Góc tạo bởi ( ABB ' A ') và - Hạ A ' K ⊥ ( ABC ) thì C ' HKA ' là hình chữ nhật . Gọi I = HK ∩ AB thì OI / / = đáy ( ABC ) là A ' IK Ta có: cos A ' IK = IK = IK . Tính được A' I 1 a a 13 IK 13 ⇒ cos A ' IK = = HK = ; A ' I = IK 2 + A ' K 2 = 2 2 2 A'I 13 Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành AB = 2a, AD = a, BAD = 600 SAB là tam giác đều . Gọi H là trung điểm của AB , K là hình chiếu vuông góc của H lên mặt a 15 phẳng ( SCD ) . Tính thể tích khối chóp SABCD biết HK = và điểm K nằm trong tam 5 giác SCD Giải: Bài toán này được cho theo kiểu giả thiết mở. Dấu hiệu để tìm ra đường cao khối chóp là:’’ SAB là tam giác đều Tức là SA = SB '' NGUYỄN TRUNG KIÊN 8
  9. 9. S B C 120° K H E F D A Gọi E là trung điểm của CD , F là trung điểm của ED Với giả thiết SA = SB ta suy ra chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABCD thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB Nói cách khác chân đường cao hạ từ S lên ( ABCD ) thuộc đường thẳng chứa HF Hạ HK ⊥ SF ⇒ HK ⊥ ( SCD ) Ta có: VSABCD = 2VSHCD = 2 HK .dt ( SCD ) 3 Ta cần tính diện tích tam giác SCD Ta có: dt ( SCD ) = 1 SF .CD; 2 Mà SF = SK + KF ; SK = SH 2 − HK 2 ; KF = HF 2 − HK 2 SH là đường cao tam giác đều SAB suy ra: SH = a 3, HF là đường cao tam giác đều HDE suy ra: HF = a 3 3 15a Thay số ta có: SF = 2 10 Vậy: VSABCD = 2 a. 3 1 3 15a 3a3 . . .2a = 3 5 2 10 5 NGUYỄN TRUNG KIÊN 9
  10. 10. Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3 khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 và SAB = SCB = 900 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . Giải: Đây là bài toán dễ làm cho học sinh bối rối khi xác định đường cao hình chóp. S K C H A B  AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ ( SHA) ⇒ AB ⊥ HA . Hạ SH ⊥ ( ABCD ) vì   AB ⊥ SA Chứng minh tương tự ta có BC ⊥ HC ⇒ HABC là hình vuông. Ta có HC ⊥ BC kẻ HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ HK = a 2 Mặt khác ta có: 1 HK 2 = 1 HC 2 + 1 HS 2 ⇒ SH = HK .HC HC 2 − HK 2 =a 6 1 1 3a 2 6a 3 Thể tích khối chóp VSABC = SH .S ∆ABC = a 6. = 3 3 2 2 Ví dụ 8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SA = SB = a , SD = a 2 và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Giải: NGUYỄN TRUNG KIÊN 10
  11. 11. S A D H O B C Hạ SH ⊥ BD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ ∆SHA = ∆SHC ⇒ SA = SC Từ giả thiết ta suy ra ∆ASC = ∆ADC = ∆ABC ⇒ OB = SO = OD ⇔ ∆SBD vuông tại S Tính được BD = a 3, SH = SB.SD SB 2 + SD 2 1 1 a 6 a2 3 VSABCD = SH .S ABCD = . . = 3 3 3 2 = a 6 ,suy ra tam giác ABC là tam giác đều 3 2a 3 6 2 Chú ý: Ta có thể tính thể tích theo cách: VSABCD = 2VCSBD = CO.S ∆SBD 3 Trong ví dụ này chìa khóa để giải quyết bài toán là phát hiện ra tam giác SBD vuông tại S Các em hãy rèn luyện dạng toán này qua bài tập sau: ‘’Cho hình chóp SABCD có cạnh SD = x ( x > 0) , các cạnh còn lại của hình chóp bằng nhau và bằng a ( x > 0) . Tìm x biết thể tích khối chóp SABCD bằng 2a3 .’’ 6 B. Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì ta phải tìm cách phân chia khối đa diện đó thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích của nó hoặc sử dụng công thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thông qua 1 khối đa diện trung gian đơn giản hơn. Các em học sinh cần nắm vững các công thức sau: NGUYỄN TRUNG KIÊN 11
  12. 12. VSA′B′C ′ SA′.SB′.SC ′ (1) = VSABC SA.SB.SC VSA′ABC A ' A (2). Công thức (2) có thể mở rộng cho khối chóp bất kỳ. = VSABC SA S C' A' B' A C B ˆ Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD = 600 , SA vuông góc với đáy ABCD , SA = a . Gọi C ' là trung điểm của SC , mặt phẳng ( P ) đi qua AC ' song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp tại B ', D ' . Tính thể tích khối chóp SABCD HD giải: Để xác định mặt phẳng ( P ) các em cần tính chất: ’’Mặt phẳng ( P ) song song với đường thẳng ∆ thì mặt phẳng ( P ) sẽ cắt các mặt phẳng chứa ∆ (nếu có) theo giao tuyến song song hoặc trùng với ∆ ’’ Gọi O là giao 2 đường chéo ta suy ra AC ' và SO cắt nhau tại trọng tâm I của tam giác SAC Từ I thuộc mặt phẳng kẻ đường thẳng song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp tại B ', D ' là 2 giao điểm cần tìm. Ta có: SC ′ 1 SD′ SB′ SI 2 = ; = = = SC 2 SD SB SO 3 Dễ thấy V( SAB′C ′D′) = 2V( SAB′C ′) ;V( SAB′C ′) = 2V( SABC ) ⇒ VSAB′C ′D′ VSAB′C ′ SA.SB′.SC ′ 1 = = = VABCD VSABC SA.SB.SC 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN 12
  13. 13. 1 1 3 3 ˆ 1 Ta có V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD ) = SA. AD. AB.sinDAB = a.a.a. = a3 3 3 3 2 6 V( SAB′C ′D′) = 3 3 a (đvtt) 18 S D' C' I A' D A O B C Ví dụ 4) (Dự bị A 2007) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB hợp với đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy M sao cho AM = a 3 . Mặt 3 phẳng ( BCM ) cắt SD tại N . Tính thể tích khối chóp SBCMN HD giải: Ta cần tính chất: ’’Mặt phẳng ( P ) song song với đường thẳng ∆ thì mặt phẳng ( P ) sẽ cắt các mặt phẳng chứa ∆ (nếu có) theo giao tuyến song song hoặc trùng với ∆ ’’ Từ đó có lời giải như sau: Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N là giao điểm cần tìm, góc tạo bởi SB và ABCD là SBA = 600 . Ta có SA = SB.tan 60 = a 3 . Từ đó suy ra SM = SA − AM = a 3 − a 3 2 3 SM SN 2 =a ⇒ = = 3 3 SA SD 3 Dễ thấy V( SABCD ) = V( SABC ) + V( SACD ) = 2V( SABC ) = 2V( SACD ) ; V( SBCMN ) = V( SMBC ) + V( SMCN ) NGUYỄN TRUNG KIÊN 13
  14. 14. ⇒ V( SMBCN ) V( SABCD ) = = V( SMBC ) + V( SMCN ) V( SABCD ) = V( SMCN ) 2V( SABC ) + V( SMCN ) 2V( SACD ) 1.SM .SB.SC 1.SM .SC.SN 1 2 5 + = + = 2.SA.SB.SC 2.SA.SC.SD 3 9 9 1 1 2 3 3 Mà V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD ) = a 3a .2a = a 3 3 3 ⇒ V( SMBCN ) = 10 3 3 a 27 S N M D A O B C Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC . Chứng minh mặt phẳng ( MNP ) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Lời giải: Trong bài toán này ta thấy:’’Mặt phẳng ( MNP ) chứa đường thẳng MN / / BD nên mặt phẳng ( MNP ) sẽ cắt mặt phẳng ( SBD) theo giao tuyến song song với BD ’’ Từ đó ta có lời giải sau: Gọi I , J , K lần lượt là giao điểm của MN và CB, CD, CA NGUYỄN TRUNG KIÊN 14
  15. 15. Nối PI cắt SB tại E , nối PJ cắt SD tại F Ngũ giác PEMNF là thiết diện của mặt phẳng ( PMN ) và hình chóp 3  CI = CB CB CD CO 2   2 Gọi O = AC ∩ BD ; do BD / / MN nên ta có: = = = ⇒ 3 CI CJ CK 3  CJ = CD   2 Vì P là trung điểm của SC nên ta có: d ( P, ( ABC ) ) = 1 d ( S , ( ABC ) ) 2 1 1 1 Do đó: VPCIJ = SCIJ .d ( P, ( ABC ) ) = . CI .CJ .sin BCD.d ( P, ( ABC ) ) 3 3 2 1 3 3 1 = . CB. CD.sin BCD. d ( S , ( ABC ) ) 6 2 2 2 9 1  9 =  .CB.CD.sin BCD.d ( S , ( ABC ) )  = VSABCD 16  3  16 VIBEM IB IE IM 1 1 1 1 = . . = . . = VICPJ IC IP IJ 3 2 3 18 ⇒ VIBEM = 1 1 1 VICPJ = VPCIJ = VSABCD 18 18 32 Tương tự VJDFN = 1 1 VPCIJ = VSABCD 18 32 Gọi V1 là thể tích phần khối chóp giới hạn bởi mặt phẳng ( PMN ) và mặt phẳng đáy của hình chóp ta có: V1 = VPCIJ − (VIBEM + VJDFN ) = 9 1  1  1 VSABCD −  VSABCD + VSABCD  = VSABCD 16 32  32  2 1 Gọi V2 là thể tích phần còn lại của khối chóp thì V2 = VSABCD 2 Vậy V1 = V2 . NGUYỄN TRUNG KIÊN 15
  16. 16. S P E I A B F O M K N D C J Ví dụ 6) Cho khối lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của C ' B ' và C ' D ' . 1) Dựng và tính diện tích thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mặt phẳng ( AEF ) 2) Tính tỉ số thể tích của hai phần khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng ( AEF ) Lời giải: 1) Dựng và tính diện tích thiết diện: Kéo dài EF cắt A ' B ' và A ' D ' lần lượt tại I và J Nối AI và AJ cắt BB ' và DD ' lần lượt tại P và Q Ngũ giác APEFQ là thiết diện của mặt phẳng ( AEF ) và hình lập phương Gọi O = A ' C '∩ B ' D ' và K = IJ ∩ A ' C ' Do B ' D '/ / IJ nên ta có: Suy ra: IJ = B ' D ' A ' B ' A ' D ' A 'O 2 = = = = IJ A' I A' J A' K 3 3 3a 2 3 3a 3 3a 2 B'D' = ; A' I = A' B ' = A ' J ; A ' K = A 'O = 2 2 2 2 2 4 Do PB '/ / AA ' nên ta có: ( PB ' IP IB ' 1 1 a = = = ⇒ PB ' = AA ' = = QD ' AA ' IA IA ' 3 3 3 ) Ta có: S APEFQ = S AIJ − S PIE + SQJF = S AIJ − 2 S PIE NGUYỄN TRUNG KIÊN 16
  17. 17. Trong tam giác vuông AA ' K ta có: AK = AA '2 + A ' K 2 = a 2 + Do đó: S AIJ 18a 2 a 34 = 16 4 1 1 3a 2 3a 2 3a 2 17 = IJ . AK = . . = 2 2 2 4 8 Trong tam giác PIE kẻ đường cao PH thì PH / / AK và PH = Mặt khác: IJ = A ' I 2 = 1 a 34 AK = 3 12 3a 2 1 a 2 ⇒ IE = IJ = 2 3 2 Diện tích tam giác PIE là: S PIE = Vậy S APEFQ = S AIJ − 2 S PIE = 1 1 a 2 a 34 a 2 17 . IE.PH = . = 2 2 2 12 24 3a 2 17 a 2 17 7 a 2 17 − = 8 12 24 A D O B C Q D' P J A' O' B' I E K F C' H 2) Tính tỉ số thể tích: VAA ' IJ = VB ' PIE 1 1 3a 3a 3a 3 A ' A. A ' I . A ' J = .a. . = 6 6 2 2 8 1 1 a a a a3 = B ' P.B ' I .B ' E = . . . = 6 6 3 2 2 72 Do tính đối xứng của hình lập phương nên ta có: VB ' PIE = VD ' QJF NGUYỄN TRUNG KIÊN 17
  18. 18. Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối đa diện ở phía dưới và phía trên mặt phẳng ( AEF ) Ta có: V1 = VAA ' IJ − 2VB ' PIE = 3a 3 2a 3 25a 3 − = 8 72 72 V2 = VABCDA ' B ' C ' D − V1 = a 3 − Vậ y 25a 3 47 a 3 = 72 72 V1 25 = V2 47 Phần 4: Các bài toán về khoảng cách trong không gian A. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Để giải quyết nhanh gọn bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh cần nắm chắc bài toán cơ bản và các tính chất sau ⊻ BÀI TOÁN CƠ BẢN Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy ABC . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) (Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của khối chóp) ⊻ PHƯƠNG PHÁP - Hạ AM vuông góc với BC , AH vuông góc với SM suy ra AH vuông góc với ( SBC ) . Vậy khoảng cách từ A đến ( SBC ) là AH - Ta có 1 1 1 = + ⇒ AH = 2 2 AH AM AS2 S AM . AS AM 2 + AS 2 H C A M B NGUYỄN TRUNG KIÊN 18
  19. 19. * Tính chất quan trọng cần nắm: - Nếu đường thẳng ( d ) song song với mặt phẳng ( P ) thì khoảng cách từ mọi điểm trên ( d ) đến mặt phẳng ( P ) là như nhau - Nếu AM = k BM thì d A/( P ) =| k | d B /( P ) trong đó ( P ) là mặt phẳng đi qua M - Nếu a , b là hai đường thẳng chéo nhau. Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa b và ( P ) / / a thì d a /b = d a /( P) = d M ∈a /( P ) Trên cơ sở các tính chất trên ta luôn quy được khoảng cách từ một điểm bất kỳ về bài toán cơ bản. Trong 1 số trường hợp khi việc tìm hình chiếu khó khăn, thì ta nên sử dụng công thức 1 3V V = B.h ⇒ h = 3 B Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABD . Mặt bên SAB tạo với đáy một góc 600. Tính theo a thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAD Lời giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , E là hình chiếu của G lên AB . Ta có: SG ⊥ AB; GE ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SGE ) ˆ ⇒ SAG = 600 ˆ ⇒ SG = GE. tan SEG = 3GE Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABD ⇒ GE = 1 a BC = 3 3 1 a3 3 ⇒ VSABCD = SG.S ABCD = 3 9 Hạ GN vuông góc với AD , GH vuông góc với SN NGUYỄN TRUNG KIÊN 19
  20. 20. Ta có d B /( SAD ) = 3dG /( SAD ) = 3GH = 3GN .GS GN + GS 2 2 = a a 3 3 . 3 3 2 a a 3    + 3  3  2 = a 3 2 S A D H G E B N C M Trong bài toán này G là chân đường cao của khối chóp. Để tính khoảng cách từ B đến ( SAD) ta đã quy bài toán về trường hợp cơ bản là tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( SAD) Ví dụ 2) Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A′B ′C ′D ′ có đáy ABCD là hình thoi , AB = a 3 , ∠BAD = 1200 . Biết góc giữa đường thẳng AC ′ và mặt phẳng ( ADD ′A′) bằng 300 .Tính thể tích khối lăng trụ trên theo a. và khoảng cách từ trung điểm N của BB ' đến mặt phẳng (C ' MA) . Biết M là trung điểm của A ' D ' Giải: Ta có VABCD. A ' B 'C ' D ' = AA '.S ABCD (1). Đáy ABCD là hình thoi gồm 2 tam giác đều ABC , ACD nên: S ABCD = 2S∆ABC (a 3) = 2. 4 2 3 3 3a 2 = (2) 2 NGUYỄN TRUNG KIÊN 20
  21. 21. ˆ Gọi C ' M là đường cao của tam giác đều C ' A ' D ' thì C ' M ⊥ ( ADA ' D ') nên C ' AM = 300 Ta có C ' M = 3a 3 3a ⇒ AM = C ' M .cot 300 = ⇒ A' A = 2 2 Thay (2),(3) vào (1) ta có: VABCD. A ' B 'C ' D ' = AM 2 − A ' M 2 = a 6 (3) 3 3a 2 9 2a 3 . .a 6 = 2 2 Ta có d N /(C ' MA) = d K /(C ' MA) với K là trung điểm của DD ' (Vì K và N đối xứng nhau qua trung điểm O của AC ' ’) Từ K hạ KH vuông góc với AM thì 1 KH ⊥ ( AC ' M ) ⇒ d K /( C ' MA) = KH ; KH . AM = dt ( AA ' D ' D ) − dt ( AA ' M ) − dt ( MD ' K ) − dt ( AKD ) 2 3 3a 1 3a 1 a 6 3a 1 a 6 6 ⇒ KH . = a 6.a 3 − a 6. − . . − . .a 3 ⇒ KH = a 4 2 2 2 2 2 2 2 2 Vậy d N /( C ' MA) = 6 a 2 C' D' M A' H B' K O N B D C A Trong bài toán này việc nhìn ra AK là đường cao của khối chóp AKC ' M để quy khoảng cách về bài toán cơ bản là yếu tố quan trọng quyết định thành công. Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi 2 mặt phẳng SBC và ABC là 600. Các tam giác SBC và ABC là các tam giác đều cạnh a . Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng SAC . (Đề dự bị khối A 2007) HD giải: NGUYỄN TRUNG KIÊN 21
  22. 22. Cách 1: Coi B là đỉnh khối chóp BSAC từ giả thiết ta suy ra BS = BA = BC . Gọi O là chân đường cao hạ từ B xuống mp ( SAC ) . O chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SAC . Gọi M là trung điểm BC ta có SM ⊥ BC ; AM ⊥ BC . góc tạo bởi 2 mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) là SMA = 600 ⇒ SM = AM = AS = a 3 . 2 Bây giờ ta tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tam giác SAC Tam giác SAC cân tại C nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trên trung trực của SA là CN ( N là trung diểm của SA ). Kẻ trung trực của SC cắt trung trực của SA tại O là điểm cần tìm 2  SA  3a 2 SC −  a2 −   2  16 = 13 = SC a 4 2 cos SNC = NC = SC SC 2a 4a 2 3a 2 ⇒ OC = = ; BO = BC 2 − OC 2 = a 2 − = . 13 13 13 cos SNC Ở cách giải này ta đã sử dụng dấu hiệu ‘’ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy’’ S P N O C A M B 1 2a 3 Cách 2: V( SABCD ) = 2V( SABM ) = 2 BM .dt ( SAM ) = AM .MS .sin 600 = a 3 dt ( SAC ) 3 3.2 16 3V 1 1 13 3 39a 2 3a = CN . AS = . a. a= ⇒ d ( B, ( SAC ) = ( SABC ) = 2 2 4 2 16 dt ( SAC ) 13 NGUYỄN TRUNG KIÊN 22
  23. 23. Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang ABC = BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 , gọi H là hình chiếu của A lên SB . Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) (TSĐH D 2007) HD giải: Cách 1: Dựa vào tam giác ∆SHA ∼ ∆SAB ⇒ SH SA SH SA2 2 = ⇒ = = SA SB SB SB 2 3 Ta sẽ tìm cách quy khoảng cách từ H đến ( SCD ) thành khoảng cách từ A lên ( SCD ) Ta có d H /( SCD ) = 2 1 1 1 d B /( SCD ) . Lại có BF = AF ⇒ d B /( SCD ) = d A/( SCD ) ⇒ d H /( SCD ) = d A/( SCD ) 3 2 2 3 Tính được AC = CD = a 2 ⇒ ∆ACD vuông tại C . Ta kẻ AC. AS a AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ ( SCD ) ⇒ d A/( SCD ) = AK = = a ⇒ d H /( SCD ) = 2 2 3 AC + AS S D A K H D A B C F B C Trong cách giải này ta đã quy về bài toán cơ bản: Tính khoảng cách từ chân đường cao A lên mặt phẳng ( SCD ) . Cách 2: Ta có AC = a 2; SD = SA2 + AD 2 = a 6; SC = SA2 + AC 2 = 2a . Ta cũng dễ dàng tính được CD = a 2 . Ta có SD 2 = SC 2 + CD 2 nên tam giác SCD vuông tại C . NGUYỄN TRUNG KIÊN 23
  24. 24. 1 1 1 = + ⇒ AH = 2 2 AH AB AS 2 AB. AS = a.a 2 AB 2 + AS 2 a 2 + 2a 2 2 a 2 SH 3 =2 2 2 ⇒ SH = SA − AH = a⇒ = SB a 3 3 3 2 3 =a 1. AB.( BC + AD ) 1 a2 dt ( BCD ) = dt ( ABCD ) − dt ( ABD ) = − AB. AD = ; 2 2 2 1 dt ( SCD ) = SC.CD = a 2 2 2 V( SHCD ) SH .SC.SD 2 1 1.a 2.a 2 2 3 = = ;V( SBCD ) = SA.dt ( BCD ) = = a V( SBCD ) SB.SC.SD 3 3 3.2 6 V( SHCD ) = 3V( SHCD ) 2 3 1 a 2 3 = a .3 2 = a .Ta có d ( H /( SCD )) = 9 9 dt ( SCD ) a 2 3 Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang ABC = BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= a 2 , góc tạo bởi SC và ( SAD) bằng 300.Gọi G là trọng tâm tam giác ( SAD) . Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( SCD ) Giải: S H G N A D M O B C Kẻ CE vuông góc với AD thì E là trung điểm của AD và CE ⊥ ( SAD ) ˆ ⇒ CSE = 300 ⇒ SE = CE. tan 60 = a 3 ⇒ SA = a 2 NGUYỄN TRUNG KIÊN 24
  25. 25. Gọi M là trung điểm của AB , N là trung điểm của AE . Ta có BE song song với ( SCD ) , MN cũng song song với ( SCD ) . Ta có ND = GS = 3 AD 4 2 2 2 2 3 1 MS ⇒ dG /( SCD ) = d M /( SCD ) = .d N /( SCD ) = . d A/( SCD ) = d A/( SCD ) 3 3 3 3 4 2 Vì tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với ( SAC ) . Hạ AH vuông góc với SC thì AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d A/( SCD ) = AH = SA.SC SA2 + SC 2 =a (Ta cũng có thể lập luận tam giác SAC vuông cân suy ra AH = a ) Trong bài toán này ta đã quy khoảng cách từ G đến ( SCD ) thành bài toán cơ bản là tính khoảng cách từ A đến ( SCD ) Ví dụ 6) Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh huyền BC = a 2 cạnh bên AA ' = 2a, biết A ' cách đều các đỉnh A, B, C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA ', AC . Tính thể tích khối chóp C ' MNB và khoảng cách từ C ' đến mặt phẳng ( MNB ) Giải: - Tính thể tích: Vì A ' cách đều A, B, C nên chân đường cao hạ từ A ' lên mặt phẳng ( ABC ) là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi H là trung điểm của BC suy ra A ' H ⊥ ( ABC ) 1 Gọi K = MN ∩ AC ' ⇒ AK = C ' K ⇒ VC ' MNB = 3VAMNB 3 1 Gọi E là trung điểm của AH ⇒ ME ⊥ ( ABC ) ⇒ VMANB = ME.dt ( ANB ) 3 Tính được: ME = 1 1 a 14 a 14 A' H = = 2 2 2 4 1 a 14 a 2 14a 3 14a 3 Suy ra: VMANB = . . Vậy VC ' MNB = . = 3 4 4 48 16 - Tính khoảng cách: dC '/( BMN ) = 3d A/( BMN ) . Gọi F là trọng tâm tam giác ABC. Ta có: AE = 1 1 3 3 1 AH = . AF = AF ; EF = AF ⇒ d A/( BMN ) = 3d E /( BMN ) 2 2 2 4 4 NGUYỄN TRUNG KIÊN 25
  26. 26.  EP ⊥ BN ⇒ EQ ⊥ ( MNB) ⇒ d E /( MNB ) = EQ = Hạ   EQ ⊥ MP Ta có ∆EPF đồng dạng với ∆BHF ⇒ Tính được BH = Suy ra: EP = EP.EM EP 2 + EM 2 EP EF BH .EF = ⇒ EP = BH BF BF a 2 1 1 2 1 a 2 a 5 ; EF = AF = . AH = AH = ; BF = 2 4 4 3 6 12 3 a 5 ⇒ EQ = 20 EP.EM EP 2 + EM 2 Vậy dC '/( BMN ) = 3d A/( BMN ) = 12d E /( BMN ) = A' = a 14 4 71 3a 14 4 71 C' M B' M Q I K N N A C E A E C P H H B B B. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến hành theo trình tự sau: - Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên b đến mp(P) - Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã trình bày ở mục A. NGUYỄN TRUNG KIÊN 26
  27. 27. Ví dụ 1) Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông AB = BC = a , cạnh bên AA′ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA′B′C ′ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và B ' C .(TSĐH D2008) HD giải V ( ABCA′B′C ′) = S .h = a 3 2 . 2 Tính khoảng cách Gọi N là trung điểm của BB ' ta có B ' C song song với ( AMN ) . Từ đó ta có: d ( B′C , AM ) = d ( B′, ( AMN )) = d ( B, ( AMN ))  BK ⊥ AM 1 1 1 1 1 1 Kẻ  ⇒ BH ⊥ ( AMN ) . Ta có: mà = + = + 2 2 2 2 2 BH BN BK BK BA BM 2  BH ⊥ NK a 1 1 1 1 ⇒ BH = ⇒ = + + 2 2 2 2 BH BN BA BM 7 chính là khoảng cách giữa AM và B’C. C' A' B' N H A K C M B Chú ý 1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều kiện B’C song song với (AMN). Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy nghĩ điều này Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P) cũng bằng khoảng cách từ B đến (P)) NGUYỄN TRUNG KIÊN 27
  28. 28. Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC . Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC . (TS B2007) HD giải: Gọi P là trung điểm của SA , ta có tứ giác MPNC là hình bình hành. Nên MN / / PC . Từ đó suy ra MN / /( SAC ) . Mặt khác BD ⊥ ( SAC ) nên BD ⊥ PC ⇒ BD ⊥ MN . Ta có: d MN / AC = d MN /( SAC ) = d N /( SAC ) = E 1 1 1 d ( B, ( SAC )) = BD = a 2 2 4 2 S P M A D O B K C N ( Chú ý việc chuyển tính khoảng cách từ N đến (SAC) sang tính khoảng cách từ B đến (SAC) giúp ta đơn giản hoá bài toán đi rất nhiều. Các em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán này để vận dụng) Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = BC = 2a, hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) cùng vuông góc với đáy ABC . Gọi M là trung điểm của AB , mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N . Biết góc tạo bởi ( SBC ) và ( ABC ) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SBCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a (TSĐH A 2011) Giải NGUYỄN TRUNG KIÊN 28
  29. 29. ˆ ˆ Ta có SA ⊥ ( ABC ); ABC = 900 ⇒ SBA = 600 ⇒ SA = 2a 3 Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N suy ra N là trung điểm của AC Từ đó tính được V = 3a 3 - Kẻ đường thẳng ( d ) qua N song song với AB thì AB song song với mặt phẳng ( P ) chứa SN và ( d ) nên khoảng cách từ AB đến SN cũng bằng khoảng cách từ A đến ( P ) . Dựng AD vuông góc với ( d ) thì AB / /( SND ) , dựng AH vuông góc với SD thì AH ⊥ ( SND ) ⇒ d AB / SN = d A/( SND ) == AH = SA. AD SA2 + AD 2 = 2a 39 13 S H D N C A M B Ví dụ 4) Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A AB = a, AC = 2a, AA ' = a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB ' và BC . Giải: Ta có BC song song với mặt phẳng ( AB ' C ') chứa AB ' nên d BC / AB ' = d BC /( AB ' C ') = d B /( AB ' C ') = d A '/( AB ' C ') (vì A ' B, AB ' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) NGUYỄN TRUNG KIÊN 29
  30. 30. Từ A ' hạ A ' K vuông góc B ' C ' , Hạ A ' H vuông góc với AK thì A ' K.A ' A 2a A ' H ⊥ ( AB ' C ') ⇒ d A '/( AB ' C ') = A ' H = = 3 A ' K 2 + A ' A2 (Rõ ràng việc quy về bài toán cơ bản có vai trò đặc biệt quan trọng trong các bài toán tính khoảng cách, các em học sinh cần chú ý điều này) Ví dụ 5) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc AB sao cho HA = −2 HB . Góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC theo a . Giải: S K F H B A M E D C - Tính thể tích: Vì SH ⊥ ( ABCD ) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng ( ABCD ) . Góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( ABCD ) là SCH = 600 . Xét tam giác BHC theo định lý hàm số cosin ta có HC 2 = HB 2 + BC 2 − 2 HB.BC.cos HBC = HB 2 + BC 2 − 2 HB.BC.cos 600 = Suy ra HC = a2 a 1 7a2 + a 2 − 2. .a. = 9 3 2 9 a 7 a 7 a 21 ⇒ SH = HC .tan SCH = . 3= 3 3 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN 30
  31. 31. 1 1 a 21 1 7a3 Ta suy ra VSABC = SH .S ∆ABC = ( ĐVTT) . a.a.sin 600 = 3 3 3 2 12 - Tính khoảng cách: Gọi E là trung điểm của BC , D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD Ta có AD / / BC nên d SA/ BC = d BC /( SAD ) = d B /( SAD ) = 3 d H /( SAD ) 2  HF ⊥ AD Kẻ  ⇒ HK ⊥ ( SAD ) ⇒ d H /( SAD ) = HK  HK ⊥ SF Trong tam giác vuông SHF ta có Mặt khác ta có HF = Suy ra HK = 1 1 1 = + ⇒ HK = 2 2 HK HF HS 2 HF .HS HS 2 + HF 2 2 2a 3 3a AE = = 3 3 2 3 HF .HS HS 2 + HF 2 = 3a a 21 . 42 3 3 = a 12 3 2 21 2 a + a 9 9 3 42 42 Vậy d SA/ BC = . a= a 2 12 8 Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . SA vuông góc với đáy góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( SAB ) là 300. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của BC và SD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DE và CF Giải: CB ⊥ AB ˆ Vì  ⇒ CB ⊥ ( SAB ) ⇒ CSB = 300 ⇒ SB = BC.cot 30 = a 3 ⇒ SA = a 2 CB ⊥ SA Từ C dựng CI song song với DE ta có CI = DE = a . Ta có mặt phẳng (CFI ) chứa CF và 2 song song với DE Ta có d DE / CF = d DE /(CFI ) = d D /(CFI ) = 1 d H /(CFI ) với H là chân đường cao hạ từ F lên AD 2 NGUYỄN TRUNG KIÊN 31
  32. 32.  HK ⊥ CI Dựng  ⇒ HR ⊥ ( FCI ) ⇒ d H /(CFI ) = HR =  HR ⊥ FK 1 1 CD.HI Ta có HK .CI = CD.HI ⇒ HK = = 2 2 CI Ta có FH = HK .HF HK 2 + HF 2 3 a. a 2 3  a2 +  a  2  2 = 3a 13 a 2 3a . 2 13 a 2 3 31 ⇒ HR = = 2 2 2 31  a 2   3a    +   2   13  S F A R D H I K B E C Trong bài toán này ta đã tạo ra khối chóp FHCI để quy về bài toán cơ bản là : Tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI). Việc làm này giúp bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều Ví dụ 7) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Biết AC vuông góc với SD tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC Giải: - Tính thể tích khối chóp SABCD NGUYỄN TRUNG KIÊN 32
  33. 33. Gọi H là trung điểm AB, O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD ; SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) AB 3 = a 3. 2 và SH = Gọi M là trung điểm của SB thì góc tạo bởi OM và AC cũng là góc tạo bởi SD và AC . Suy ra MOC = 900 . Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ MC 2 = BC 2 + MB 2 = BC 2 + a 2 . OM 2 = 1 1 1 1 1 SD 2 = SC 2 = ( BC 2 + 4a 2 ), OC 2 = AC 2 = ( BC 2 + 4a 2 ) 4 4 4 4 4 Như vậy tam giác MOC vuông cân tại O ⇒ MC 2 = 2OC 2 ⇔ BC 2 + a 2 = 1 ( BC 2 + 4a 2 ) 2 ⇔ BC 2 = 2a 2 ⇒ BC = a 2. Thể tích hình chóp S.ABCD là 1 1 1 2a 3 6 VS . ABCD = S ABCD .SH = AB. AD.SH = 2a.a 2.a 3 = 3 3 3 3 - Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD,SC: Gọi N là trung điểm của SA thì SC / /( BDN ) ⇒ d SC / BD = d SC /( BDN ) = dC /( BDN ) = d A/( BDN ) Kẻ NK / / SH ⇒ NK ⊥ ( ABCD) ⇒ d A/( BDN ) = 2d K /( BDN )  KE ⊥ BD ⇒ KF ⊥ ( BDN ) ⇒ d K /( BDN ) = KF = Kẻ   KF ⊥ NE Có KN = KE.KN KE 2 + KN 2 a 3 3 3 AB. AD 6a , KE = AQ = . = 2 4 4 AB 2 + AD 2 4 Thay số ta tính được KF = Vậy d ( BD, SC ) = 2 KF = a 6 6 a 6 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN 33
  34. 34. S N A M K D F H E B Q O C Chú ý: Trong bài toán này ta đã dựng đường cao NK để quy về bài toán cơ bản. Phần 6 Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian. Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b. Khi đó góc tạo bởi a và b cũng chính là góc tạo bởi b và c. Hoặc ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt nhau lần lượt song song với a và b. Sau đó ta tính góc giữa c và d theo định lý hàm số côsin cos A = b2 + c2 − a 2 hoặc theo hệ thức lượng 2bc trong tam giác vuông. Ví dụ 1) Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A ' lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của cạnh BC , Tính theo a thể tích khối chóp A ' ABC và tính côsin góc tạo bởi AA ' và B ' C ' . (TSĐH A 2008) HD giải : Gọi H là trung điểm của BC . Suy ra A ' H ⊥ ( ABC ) và NGUYỄN TRUNG KIÊN 34
  35. 35. AH = 1 1 2 BC = a + 3a 2 = a Do đó A ' H = A ' A2 − AH 2 = a 3. 2 2 VA ' ABC = 1 a3 A ' H .S△ ABC = 3 2 Trong tam giác vuông A ' B ' H ta có HB ' = A ' B 2 + A ' H 2 = 2a nên tam giác B ' BH cân tại a 1 B ' . Đặt α là góc tạo bởi AA ' và B ' C ' thì α = B ' BH ⇒ cos α = = 2.2a 4 Tel 0988844088 A' C' B' A C H B Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA = a, SB = a 3 mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và tính cosin góc tạo bởi SM và DN . Hd giải: Hạ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) SH cũng chính là đường cao khối chóp SBMDN . Ta có SA2 + SB 2 = AB 2 ⇒ ∆SAB vuông tại S ⇒ SM = AB a 3 = a ⇒ ∆SAM là tam giác đều ⇒ SH = 2 2 Dễ thấy S BMDN = 1 1 3a 3 S ABCD = 2a 2 . Do đó V(SBMDN)= VSBMND = SH .S BMDN = 2 3 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN 35
  36. 36. Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy ra AE = a 2 Giả sử góc tạo bởi SM và DN là α ⇒ α = ( SM , ME ). Ta có SA vuông góc với AD (Định lý 3 đường vuông góc ) suy ra SA ⊥ AE ⇒ SE = SA2 + AE 2 = a 5 a 5 Tam giác SME cân tại E nên cos , ME = AM 2 + ME 2 = 2 2 SM 5 α= 2 = ME 5 S A E D H M B N C Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = 3a, AC = 4a . Cạnh bên SA = 2a, SAB = SAC = 600 . Tính thể tích khối chóp SABC và cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và AC Giải: Lời giải: Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) Kẻ HI ⊥ AB; HJ ⊥ AC ; do tam giác ABC vuông tại A nên HI / / AJ và HJ / / AI Theo định lý ba đường vuông góc ta có: SI ⊥ AB và SJ ⊥ AC Hai tam giác vuông SIA và SJA bằng nhau, vì có SA là cạnh chung và SAB = SAC = 600 NGUYỄN TRUNG KIÊN 36
  37. 37. Do đó SI = SJ = SA sin 600 = a 3 và AI = AJ = SA cos 600 = a , từ đó HI = HJ Suy ra AH là đường phân giác trong của góc A Vậy tứ giác AIHJ là hình vuông cạnh bằng a . Khi đó AH = a 2 Tam giác SHA vuông tại H, ta có: SH = SA2 − AH 2 = 4a 2 − 2a 2 = a 2 Diện tích tam giác ABC là: S ABC = 1 1 AB. AC = 3a.4a = 6a 2 2 2 1 1 Thể tích khối chóp VSABC = SH .S ABC = a 2.6a 2 = 2 2a 3 (đvtt) 3 3 S M J A I C H B - Tính góc tạo bởi 2 đường thẳng: ( ) ( ) Kí hiệu ϕ là góc tạo bởi 2 đường thẳng AC , SB . Kẻ IM / / SB ⇒ AC , SB = IH , IM = ϕ Tính được SB = SI 2 + IB 2 = 3a 2 + 4a 2 = a 7 Mặt khác IM AM AI 1 a 7 2 = = = ⇒ IM = , AM = a SB AS AB 3 3 3 Do SH = AH = a 2 ⇒ ∆SHA vuông cân tại H . NGUYỄN TRUNG KIÊN 37
  38. 38. Trong tam giác AMH ta có : HM 2 = AH 2 + AM 2 − 2 AH . AM .cos 45 = 2a 2 + 4a 2 2a 1 10a 2 − 2 2a. . = 9 3 9 2 7 2 10a 2 a + a − IH 2 + IM 2 − HM 2 9 9 = 7 ⇒ cos ϕ = 7 Ta có cos HIM = = 2 IH .IM 7 7 a 7 2.a. 3 2 PHẦN 7) CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Để giải quyết tốt dạng bài tập này học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản sau: ** Nếu I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SA1 A2 .. An thì tâm I cách đều các đỉnh S ; A1; A2 ..... An - Vì vậy tâm I thuộc trục đường tròn đáy là đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy A1 A 2 ... An (đường thẳng này song song với đường cao khối chóp) (Phải chú ý việc chọn mặt đáy cần linh hoạt sao cho khi xác định trục đường tròn đáy là đơn giản nhất) - Tâm I phải cách đều đỉnh S và các đỉnh A1; A2 ..... An nên I thuộc mặt phẳng trung trực của SAi đây là vấn đề khó đòi hỏi học sinh cần khéo léo để chọn cạnh bên sao cho trục đường tròn đã xác định và cạnh bên đồng phẳng với nhau để việc tìm I được dễ dàng ** Trong một số trường hợp đặc biệt khi khối chóp có các mặt bên là tam giác cân, vuông, đều ta có thể xác định 2 trục đường tròn của mặt bên và đáy . Khi đó tâm I là giao điểm của 2 trục đường tròn. Nếu hình chóp có các đỉnh đều nhìn cạnh a dưới một góc vuông thì tâm mặt cầu là trung điểm của cạnh a. ** Khi tính toán cần lưu ý các công thức: S= abc abc ; a = 2 R sin A,... ⇒R= 4R 4S Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB = BC = a; AD = 2a .Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD và SA = a . Gọi E là trung điểm của AD .Tính thể tích khối chóp SCDE và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó. HD giải: NGUYỄN TRUNG KIÊN 38
  39. 39. S O M A E D K N I B C V = a3 6 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SE và SC ta có mặt phẳng ( ABMN ) là mặt phẳng trung trực của SE . Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE là giao điểm của mặt phẳng ( ABMN ) và trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE . Gọi ∆ là đường thẳng qua trung điểm I của CD và song song với SA .Gọi K là trung điểm của AB thì KN //AM vì KN và ∆ đồng phẳng suy ra KN ∩ ∆ = O là điểm cần tìm Tam giác OIK vuông cân nên OI = IK = Ta có OC 2 = OI 2 + IC 2 = BC + AD 3a ; = 2 2 9a 2 2a 2 11a 2 a 11 + = ⇒ R = OC = 4 4 4 2 Trong ví dụ này ta dựng mặt phẳng trung trực của SE để tận dụng điều kiện tam giác SAE vuông cân ở A Nếu biết chọn đỉnh và đáy hình chóp hợp lý ta có một cách giải khác đơn giản hơn như sau: Ta coi SED là mặt đáy của khối chóp CSED . Gọi J là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SED . Thì J nằm trên đường trung trực Kx của ED . Vị trí J được xác định theo hệ thức JE = R1 = SE.ED.SD a.a 2.a 5 a 10 = = 4 S∆SED 2.a.a 2 NGUYỄN TRUNG KIÊN 39
  40. 40. Qua J kẻ đường thẳng Jy ⊥ ( SED ) thì Jy / / CE . Trong mặt phẳng (CEJ ) kẻ đường trung trực của CE cắt Jy tại O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Ta có bán kính mặt cầu là CE 2 a 2 10a 2 11a 2 11a 2 R = OE = OJ + JE = + R1 = + = ⇒R= 4 4 4 4 2 2 2 2 2 x S J O A y E K D I C B Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a; AD = a 2 góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( ABCD ) bằng 600. Gọi H là trung điểm của AB . Biết mặt bên ( SAB ) là tam giác cân tại đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp SABCD và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAHC Giải: - Ta có SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .Kẻ HM vuông góc với AC thì góc tạo bởi (SAC) và ˆ (ABCD) là SMH = 600 BC a a 2 a 6 a 2 ˆ Có HM = AH sin HAM = AH = = ; SH = HM tan 600 = AC 2 a 3 6 2 VSABCD 1 a3 = SHdt ( ABCD ) = 3 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN 40
  41. 41. S y I x E A D M K J H B C Gọi J, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Ta có r= AH .HC. AC AH .HC. AC 3a 3 = = . 4 S AHC 2 S ABC 4 2 Kẻ đường thẳng ∆ qua J và ∆ // SH . Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. AHC là giao điểm của đường trung trực đoạn SH và ∆ trong mặt phẳng (SHJ). Ta có IH = IJ 2 + JH 2 = Suy ra bán kính mặt cầu là R = a SH 2 + r2 . 4 31 . 32 Ví dụ 3) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, DA = DB = a 3 , CD vuông góc ˆ với AD .Trên cạnh CD kéo dài lấy điểm E sao cho AEB = 900 .Tính góc tạo bởi mặt phẳng ( ABC ) và mặt phẳng ( ABD) . Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCE Giải: - Gọi I là trung điểm của AB thì CI vuông góc với AB và DI vuông góc với AB . Nên góc tạo bởi ( ACD) và ( ABD) là CID .Do hai tam giác ACD và BCD bằng nhau nên a 3 a2 a2 a2 2 2 2 BDC = ADC = 90 ⇒ CD ⊥ ( ABD ) ⇒ CD ⊥ DI ; CI = ; DI = DA − AI = − = 2 3 4 12 0 NGUYỄN TRUNG KIÊN 41
  42. 42. cos CID = DI a a 3 1 = : = CI 3 2 2 - Tam giác vuông ACD có CD 2 = CA2 − DA2 = a AE = a 2 ⇒ DE = 2 AE 2 − DA2 = a 6 2 . Tam giác ABE vuông cân, do đó 3 ; ∆ACE có AD là đường cao và a2 CD.DE = = DA2 ⇒ ∆ACE vuông tại A . 3 Tương tự ta có tam giác BCE vuông tại B . Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE có CE là đường kính tâm I của mặt cầu là trung điểm của CE . Bán kính 3 a  a 6 1 1 2 4 4  a 6  π a3 6 R = (CD + DE ) =  a + ⇒ V = π R3 = π  =  = 2 2 3 4 3 3  4  8 6     E D C A I B Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và đường cao là SH với H thỏa mãn HN = −3HM trong đó M , N là trung điểm của AB, CD . Mặt phẳng ( SAB ) tạo với đáy ABCD góc 600. Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng ( SAC ) và xác định thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra H là trung điểm của MO và MH = a a 3 a ; AB ⊥ HM ⇒ AB ⊥ SM ⇒ SMH = 600 ⇒ SH = ⇒ SM = ⇒ ∆SAB vuông cân 4 4 2 NGUYỄN TRUNG KIÊN 42
  43. 43. tại S và SA = SB = 3VSNAC a 2 . Ta có d ( N / ( SAC )) = . Kẻ HK ⊥ AC thì HK / / BD và 2 dt ( SAC ) a 14 1 7a2 ˆ ˆ KHO = KOH = 450 ⇒ SK = ⇒ dt ( SAC ) = AC.SK = 8 2 8 1 3 3 a 21 VSNAC = SH .dt ( NAC ) = a ⇒ d ( N / ( SAC )) = 3 48 14 Trục đường tròn đáy là đường thẳng ( d ) qua O và / / SH ⇒ d ⊂ ( SMN ) . Vì tam giác SAB vuông cân tại S nên trục d’ của tam giác SAB qua M và vuông góc với SAB . Theo trên ta có ( SAB ) vuông góc với ( SMH ) nên kẻ HE vuông góc với SM thì HE ⊥ ( SAB ) nên d '/ / HE . Như vậy d '∩ d = I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD . Ta có a 3 a 2 a 2 7a 2 a 21 ˆ ⇒ R 2 = IA2 = OA2 + OI 2 = + = ⇒R= OMI = 300 ; OI = OM tan 30 = 6 2 12 12 6 4π Thể tích khối cầu là: V = 3 3  a 21  3 7 21   6  = π a 54 .    S A D E M O H N K C B I PHẦN 8. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Để giải quyết tốt dạng toán này học sinh cần lưu ý các tính chất và các bất đẳng thức cơ bản: 1) sin ϕ , cos ϕ ∈ [ − 1;1] 2) Nếu tích ab = M không đổi và a, b > 0 thì a + b ≥ 2 ab = 2 M , a + b không đổi và NGUYỄN TRUNG KIÊN 43
  44. 44. ( a + b) 2 N 2 = 4 4 3) Cho đường thẳng ∆ và một điểm M không thuộc ∆ . Khi đó với điểm N bất kỳ thuộc ∆ ta có MN ≥ MH trong đó H là hình chiếu vuông góc của M lên ∆ 4) Cho đường tròn (C ) và dây cung AB cố định. Khi đó khoảng cách từ điểm M bất kỳ a, b > 0 ab ≤ thuộc đường tròn đến dây cung AB là lớn nhất khi M thuộc đường thẳng qua tâm của đường tròn và vuông góc với dây cung AB .... Ví dụ 1) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C và SA vuông góc với đáy SC = c . Hãy tìm góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) để thể tích khối chóp lớn nhất. Lời giải: ( ) Giả sử α 00 < α < 900 là góc hợp bởi hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC )  BC ⊥ AC Ta có:  ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ SC  BC ⊥ SA Do đó: SCA = α Trong tam giác vuông SAC , ta có: BC = AC = SC cos α = a cos α ; SA = SC sin α = a sin α ( ) 1 1 1 Thể tích khối chóp SABC là: V = S ABC .SA = a 3 cos 2 α .sin α = a 3 1 − sin 2 α .sin α 3 3 3 Đặt t = sin α , do 00 < α < 900 nên 0 < sin α < 1 ⇒ t ∈ ( 0;1) ( ) ( ) 1 1 1 Ta có: V = a 3 1 − t 2 t , t ∈ ( 0;1) ;V ' = a 3 1 − 3t 2 ⇒ V ' = 0 ⇔ t = 3 3 3 Lập BBT ta thấy: max V = 1 1 2a 3 3  1  , khi t = ⇔ sin α = ⇒ α = arcsin   27 3 3  3 Cách khác: Theo BĐT Cauchy ta có: V2 = ( 1 6 1 a cos 4 α .sin 2 α = a 6 1 − sin 2 α 9 9 ) 2 .sin 2 α NGUYỄN TRUNG KIÊN 44
  45. 45. 3  1 − sin 2 α 1 − sin 2 α  + + sin 2 α  6 2 2 6 4a 1 − sin α 1 − sin α 4a 4a 6 2 2 2   = = . . .sin α ≤ 9 2 2 9  3 243      ⇒V ≤ 2a 3 3 27 ⇒ max V = 2a 3 3 1 − sin 2 α 1  1  , đạt được khi: = sin 2 α ⇔ sin α = ⇒ α = arcsin   27 2 3  3 S A B α C Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng 2a . Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp nhỏ nhất? Lời giải: Gọi O = AC ∩ BD và M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC Do AD / / ( SBC ) nên d ( A, ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) )  BC ⊥ MN Ta có:  ⇒ BC ⊥ ( SMN )  BC ⊥ SN Mà BC ⊂ ( SBC ) nên ( SBC ) ⊥ ( SMN ) theo giao tuyến SN NGUYỄN TRUNG KIÊN 45
  46. 46. Trong tam giác SMN kẻ đường cao MH thì MH ⊥ ( SBC ) Do đó: d ( A, ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) ) = MH = 2a ( ) Giả sử α 00 < α < 900 là góc hợp với mặt bên ( SBC ) và đáy hình chóp thì SMN = α . Trong tam giác vuông MHN , ta có: AB = MN = MH 2a = sin α sin α Trong tam giác vuông SON , ta có: SO = ON tan α = a a .tan α = sin α cos α Thể tích khối chóp SABCD là: 1 1 4a 2 a 4a3 4a 3 V = S ABCD .SO = . 2 . = = 3 3 sin α cos α 3sin 2 α .cos α 3 1 − cos2 α cos α ( ) Đặt t = cos α , do 00 < α < 900 nên 0 < cos α < 1 ⇒ t ∈ ( 0;1) Ta có: V = V'= ( 4a 3 ) 3 1− t2 t ( , t ∈ ( 0;1) ) ;V ' = 0 ⇔ t = 4a3 3t 2 − 1 ( 3 t − t3 ) 2 1 3 Lập BBT ta thấy: min V = 2a 3 3 , khi t = 1 3 ⇔ cos α = 1 3 ⇒ α = arccos 1 3 S D N A C M O B NGUYỄN TRUNG KIÊN 46
  47. 47. Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. M là một điểm di động trên cạnh CD, H là hình chiếu của đỉnh S lên BM . Tìm vị trí của điểm M trên CD để thể tích khối chóp SABH là lớn nhất. Lời giải: S A B H D C M Đặt CM = x ( 0 < x ≤ a ) , ta có: BM = a 2 + x 2 1 1 a2 S ABM = S ABCD − S BCM = a 2 − a ( a − x ) − ax = 2 2 2 Mặt khác: S ABM = a2 1 2S BM . AH ⇒ AH = ABM = 2 BM Trong tam giác vuông ABH , ta có: BH = Diện tích tam giác ABH là: S ABH a2 + x2 AB 2 − AH 2 = a 2 − a +x 2 2 = 1 1 a2 ax = AH .BH = . . = 2 2 a2 + x2 a2 + x2 1 a3hx Thể tích khối chóp SABH là: V = S ABH .SA = 3 6 a2 + x2 ( Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a4 ax a2 + x2 a3 x a2 + x2 ) a 2 + x2 a2 a2 x 1 = +x≥2 .x = 2 a ⇒ 2 ≤ x x x a + x 2 2a NGUYỄN TRUNG KIÊN 47
  48. 48. ⇒V ≤ a 2h a 2h a2 , đạt được khi ⇒ max V = = x⇔ x =a. 12 12 x Cách khác: 1 Thể tích khối chóp SABH là: V = S ABH .SA . Mà SA không đổi nên thể tích V lớn nhất khi 3 S ABH lớn nhất. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: a 2 = AB 2 = AH 2 + BH 2 ≥ 2 AH .BH ⇒ S ABH = ⇒ max S ABH = 1 a2 AH .BH ≤ 2 4 a2 , đạt được khi AH = BH , suy ra tam giác ABH vuông cân tại H . Khi đó 4 M ≡D Vậy M ≡ D thì thể tích khối chóp S ABH lớn nhất và thể tích lớn nhất đó là: 1 a2h . V = S ABH .SA = 3 12 Ví dụ 4) Cho đường tròn tâm O đường kính AB nằm trong mặt phẳng ( P ) và một điểm C di động trên đường tròn. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( P ) tại A lấy một điểm S . Mặt phẳng ( Q ) qua A vuông góc với SB tại H cắt SC tại K . Tìm vị trí của điểm C để thể tích khối chóp SAHK lớn nhất. Lời giải: S K H O B A C NGUYỄN TRUNG KIÊN 48
  49. 49.  BC ⊥ AC Ta có:  ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ AK  BC ⊥ SA Mặt khác: AK ⊥ SC (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra: AK ⊥ ( SBC ) Do đó: AK ⊥ SB và AK ⊥ HK  SB ⊥ AH Từ đó ta có:  ⇒ SB ⊥ ( AHK )  SB ⊥ AK Tam giác SAB vuông cân tại A nên H là trung điểm của SB Ta có: SB = SA 2 = 2 R 2 ⇒ AH = 1 SB = R 2 2 1 Thể tích khối chóp SAHK là: V = S SAHK .SH . 3 Do SH không đổi nên VSAHK lớn nhất khi S AHK lớn nhất Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 2 R 2 = AH 2 = AK 2 + HK 2 ≥ 2 AK .HK ⇒ S AHK = ⇒ max S AHK = 1 R2 AK .HK ≤ 2 2 R2 , đạt được khi AH = HK = R 2 Trong tam giác vuông SAC , ta có: Đặt ϕ = BAC , ta có: cos ϕ = 1 AK 2 = 1 2 SA + 1 AC 2 ⇔ 1 R 2 = 1 4R 2 + 1 AC 2 ⇒ AC = 2R 3 3 AC 3 = AB 3 Vậy có hai vị trí của điểm M trên đường tròn sao cho cos ϕ = 3 thì thể tích khối chóp SAHK 3 đạt giá trị lớn nhất. Khi đó: max VSAHK = R3 2 . 6 NGUYỄN TRUNG KIÊN 49
  50. 50.  x 3 Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có cạnh SB = x , tất cả các cạnh còn lại bằng a  a >   3    1. Tính thể tích khối chóp theo a và x 2. Xác định x để khối chóp có thể tích lớn nhất. Lời giải: S A D O B H C 1) Tính thể tích khối chóp: Tứ giác ABCD có các cạnh đều bằng nhau và bằng a nên là hình thoi. Gọi O = AC ∩ BD Hai tam giác SAC và ABC bằng nhau vì có AC là cạnh chung và SA = SC = BA = BC = a Do đó: OB = OD = OS Suy ra tam giác SBD vuông tại S Từ đó BD = SB 2 + SD 2 = x 2 + a 2 Trong tam giác OAB vuông tại O , ta có: AC = 2OA = 2 AB 2 − OB 2 = 2 a 2 − Diện tích hình thoi ABCD là: S ABCD = ( ) 1 2 x + a 2 = 3a 2 − x 2 4 1 1 AC .BD = 3a 2 − x 2 . x 2 + a 2 2 2 Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD NGUYỄN TRUNG KIÊN 50
  51. 51. Ta có: SA = SC = 1 nên HA = HC , suy ra H thuộc đường trung trực của đoạn AC Mà ABCD là hình thoi nên BD là đường trung trực của AC , tức H thuộc BD Tam giác SBD vuông tại S , ta có: SH .BD = SB.SD ⇒ SH = SB.SD = BD ax x + a2 2 Thể tích khối chóp SABCD là: 1 1 ax 1 3a 2 − x 2 . a 2 + x 2 . = ax 3a 2 − x 2 VABCD = S ABCD .SH = 3 6 a2 + x2 6 2) Xác định x để khối chóp có thể tích lớn nhất. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: VSABCD ⇒ max VSABCD = Vậy khi x = 1 a  x 2 + 3a 2 − x 2  a 3 2 2 = ax 3a − x ≤  =  4 6 6 2   a3 a 6 , đạt được khi x 2 = 3a 2 − x 2 ⇔ x = . 4 2 a 6 thì thể tích của khối tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất. 2 Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SA = a; M và N là hai điểm lần lượt di động trên cạnh BC và CD sao cho góc MAN = 450 . Đặt BM = x và DN = y ( 0 ≤ x ≤ a;0 ≤ y ≤ a ) . Chứng minh rằng a ( x + y ) = a 2 − xy . Tìm x, y sao cho thể tích của khối chóp SAMN có giá trị bé nhất. Lời giải: +) Chứng minh a ( x + y ) = a 2 − xy Goi BAM = α ; DAN = β thì α + β = 450 , với 0 ≤ α , β ≤ 450 Ta có: tan α = x y ; tan β = a a x y + tan α + tan β Mặt khác: tan (α + β ) = ⇔ tan 450 = a a x y 1 − tan α .tan β 1− . a a NGUYỄN TRUNG KIÊN 51
  52. 52. ⇔1= a ( x + y) ⇔ a 2 − xy = a ( x + y ) a − xy 2 (đpcm) +) Tìm x, y để cho thể tích của khối chóp SAMN có giá trị bé nhất: Ta có: AM = a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 α = a a ; AN = a 2 + y 2 = a 2 + a 2 tan 2 β = cos α cos β 1 1 a3 2 0 Thể tích khối chóp SAMN là: V = S AMN .SA = AM . AN .sin 45 .SA = 3 6 12 cos α cos β Ta có: α + β = π 4 ⇒β = π 4 − α nên 2 π  cos α .cos β = cos α .cos  − α  = cos α ( cos α + sin α ) 4  2 ( ) 2 2 cos 2 α + sin α .cos α = (1 + cos 2α + sin 2α ) 2 4 2 1 2 1 π  = + sin  2α +  ≤ + 4 2 4 4 2  = Do đó: V ≥  2 −1  3 a3 2 = a  2 1  3   12  +   4 2   2 −1  3 π π  , đạt được khi sin  2α +  = 1 ⇔ α = = β ⇒ min V =   3 a  4 8    ⇔ x = y = a tan π 8 = Vậy khi ⇔ x = y = ( ( ) 2 −1 a ) 2 − 1 a thì thể tích khối chóp SAMN nhỏ nhất. NGUYỄN TRUNG KIÊN 52
  53. 53. S A D 45° N B M C Ví dụ 7) Cho tam giác đều OAB có cạnh AB = a . Trên đường d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng ( OAB ) lấy một điểm M với OM = x . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB . Đường thẳng EF cắt d tại N . 1. Chứng minh rằng AN ⊥ BM 2. Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. Giải: 1. Chứng minh: Chứng minh rằng AN ⊥ BM  AF ⊥ OB Ta có  ⇒ AF ⊥ (OBM ) ⇒ AF ⊥ BM  AF ⊥ OM Mặt khác BM ⊥ AE ⇒ BM ⊥ ( AEF ) ⇒ BM ⊥ AN 2. Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. Thể tích tứ diện ABMN là 1 VABMN = VMOAB + VNOAB = (OM + ON ).S ∆OAB 3 Ta thấy rằng ∆OMB ∼ ∆OFN ⇒ ON OF OF .OB a 2 = ⇒ ON = = OB ON OM 2x 1 a2  a2 3 Do đó VABMN =  x + . . 3 2x  4   NGUYỄN TRUNG KIÊN 53
  54. 54. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x + a2 a2 6a 3 ≥ 2 x. = 2a ⇒ VABMN ≥ 2x 2x 12 a2 a 2 Dấu bằng xảy ra khi x = ⇔x= 2x 2 M F E B O A N MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên bằng a 7 , góc tạo bởi 2 mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC theo a . ĐS: V = 3a 3 ˆ ˆ ˆ Bài 2: Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a và ASB = BSC = CSA = 600 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( SBC ) 1) Chứng minh rằng SH là phân giác của góc BSC 2) Tính thể tích khối tứ diện SABC ĐS: V = a3 2 12 Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a , góc hợp bởi mặt bên và đáy là 600. Tính thể tích của khối chóp đã cho. NGUYỄN TRUNG KIÊN 54
  55. 55. ĐS: V = 4a 3 15 75 Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = 2a . Hai mặt bên ( SAB ), ( SAD ) cùng vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. 1) Tình thể tích của khối chóp 2) Tính góc tạo bởi 2 mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) 2a 3 15 ĐS: V = ; ϕ = arctan 15 3 Bài 5: Cho đường tròn đường kính AB = 2 R nằm trong mặt phẳng ( P ) và một điểm M nằm trên đường tròn đó sao cho ABM = 300 . Trên đường thẳng vuông góc với ( P ) tại điểm A lấy điểm S sao cho SA = 2 R . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SM 1) Chứng minh rằng SB vuông góc với mặt phẳng ( AHK ) 2) Gọi I là giao điểm của HK với ( P ) . Hãy chứng minh IA là tiếp tuyến của đường trong đã cho. 3) Tính thể tích của khối chóp SAHK 2R3 3 ĐS: V = 15 Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Trên AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc ACM = α . Hạ SN vuông góc với CM 1) Chứng minh N luôn luôn thuộc một đường tròn cố định và tình thể tích tứ diện SACN theo a và α 2) Hạ AH vuông góc với SC và AK vuông góc với SN . Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng ( AHK ) và tính độ dài đoạn HK ĐS: V = 2 3 a cos α a sin 2α ; HK = 6 1 + sin 2 α Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , AC = a, AB = 2a , cạnh SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SAB ) và mặt phẳng ( SBC ) bằng 600. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC . Chứng minh rằng AK vuông góc với HK và tính thể tích khối chóp SABC NGUYỄN TRUNG KIÊN 55
  56. 56. ĐS: V = a3 6 12 Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A , AB = a . Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy , hai cạnh bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 600. Hãy tính thể tích của khối chóp SABC ĐS: V = a3 6 6 Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC , CD . Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP ĐS: V = a3 3 96 Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi O là tâm của đáy, I là trung điểm của AB . Góc hợp bởi SC và đáy là α . 1) Tính thể tích của khối chóp SABCD theo a và α 2) Tính thể tích khối tứ diện SOCD theo a và α 3) Tính khoảng cách từ I đến mặt bên ( SCD ) . Suy ra thể tích khối tứ diện SICD ĐS: VSABCD a3 5 a3 5 a 5 tan α a3 5 = tan α ;VSOCD = tan α ; d = ;VSICD = tan α 6 24 12 5 tan 2 α + 4 Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với đáy, góc ASC = 900 và SA tạo với đáy một góc ϕ . Tính thể tích của khối chóp SABCD ĐS: VSABCD a3 2 = sin 2ϕ 6 Bài 12: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo AC và BD là 600, các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh a . Tính thể tích của khối chóp theo a . NGUYỄN TRUNG KIÊN 56
  57. 57. ĐS: VSABCD = a3 8 2a . Trên đường thẳng 3 vuông góc với mặt phẳng ( P ) và đi qua giao điểm H của hai đường chéo của hình thoi trên Bài 13: Trong mặt phẳng ( P ) cho hình thoi ABCD có AB = a và BD = người ta lấy điểm S sao cho SB = a 1) Chứng minh rằng tam giác SAC là tam giác vuông 2) Tính thể tích của khối chóp SABCD 3) Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD) vuông góc với nhau ĐS: VSABCD = 4a 3 3 27 ˆ Bài 14: Cho hình chóp SABC có cạnh SA = a và SB + SC = 3a . Góc BAC = 900 và BSC = CSA = ASB = 600 . Tính thể tích khối chóp SABC theo a . ĐS: VSABC a3 2 = 12 Bài 15: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với đáy một góc 600. Mặt phẳng ( P ) chứa cạnh AB và tạo với đáy một góc 300 cắt SC , SD lần lượt tại M , N 1) Tính theo a tứ diện tứ giác ABMN 2) Tính thể tích khối chóp SABMN theo a ĐS: S ABMN = 3a 2 3 a2 3 ;VSABMN = 8 16 Bài 16: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng 2a , và cạnh bên SA = a 5 . Mặt phẳng ( P ) chứa cạnh AB và vuông góc với mặt phẳng ( SCD ) cắt SC và SD lần lượt tại C ' và D' 1) Tính diện tích tứ giác ADC ' D ' 2) Tính thể tích hình đa diện ABCDD ' C ' 3a 2 3 5a 3 3 ĐS: S ABC ' D ' = ;VABCDD'C' = 2 6 NGUYỄN TRUNG KIÊN 57
  58. 58. Bài 17: Khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a . SA ⊥ ( ABCD ) ; SA = 2a . Gọi E , F là hình chiếu của A trên SB và SD . I là giao điểm của SC và ( AEF ) . Tính thể tích khối chóp SAEIF . 16a 3 ĐS: 45 Bài 18: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 đáy là tam giác đều. Mặt phẳng ( A1BC ) tạo với đáy 1 góc 300 và tam giác A1BC có diện tích bằng 8a 2 . Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS: 8 3a 3 Bài 19: Khối lăng trụ ABCA1B1C1 có đáy là tam giác vuông cân, cạnh huyền AB = 2a . Mặt phẳng ( AA1B ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , AA1 = a 3 ; góc A1 AB nhọn, góc tạo bởi ( A1 AC ) và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS: V = 3 5 3 a 10 Bài 20: Cho hình chóp tam giác đều SABC đỉnh S , độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC . Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng mặt phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) . ĐS: S = a 2 10 16 Bài 21: Cho hình chóp SABC có SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tam giác ABC có AB = BC = 2a , góc ABC = 1200 . Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng ( SBC ) . ĐS: Bài 22: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC a) Tính khoảng cách t ừ A đến mặt phẳng ( SBC ) b) Tính thể tích của khối chóp ABCMN . NGUYỄN TRUNG KIÊN 58
  59. 59. ĐS: a ) 2 57 a 3 3a 3 ; b) 19 50 Bài 23: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng 2a . Góc giữa các mặt bên và mặt đáy là α . a) Tính thể tích khối chóp theo a và α b) Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ nhất. 4a 3 3 ĐS: ; cos α = 2 3cos α .sin α 3 Bài 24: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = a 2 , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC , I là giao điểm của BM và AC . a) Chứng minh rằng mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( SMB ) . b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB . ĐS: V = a3 2 36 Bài 25: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , AA ' = 2a , A ' C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A ' C ' , I là giao điểm của AM và A'C a) Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( IBC ) ĐS: V = 4a 3 2a 5 ;d = 9 5 Bài 26: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB = AD = 2a , CD = a , góc giữa 2 mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD . Biết 2 mặt phẳng ( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , tính thể tích khối chóp SABCD theo a . ĐS: V = 3 15 3 a 5 NGUYỄN TRUNG KIÊN 59
  60. 60. Bài 27: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có BB ' = a , góc tạo bởi BB ' và mặt phẳng ( ABC ) là 600, tam giác ABC vuông tại C và góc BAC =600. Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a . ĐS: V = 9a 3 208 Bài 28: Trong không gian cho hình chóp tam giác đều SABC có SC = a 7 . Góc tạo bởi ( ABC ) và ( SAB ) =600. Tính thể tích khối chóp SABC theo a . ĐS: V = 3a 3 Bài 29: Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a , góc ABC = a 3 . M là trung điểm của AD . ( P ) là 2 mặt phẳng qua BM và song song với SA , cắt SC tại K . Tính thể tích khối chóp KABCD . 600, SO vuông góc với đáy ( O là tâm mặt đáy), SO = ĐS: V = a3 6 Bài 30: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = a 2, CD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 3 2a. Gọi K là trung điểm AB . a) Chứng minh rằng ( SAC ) vuông góc với ( SDK ) b) Tính thể tích khối chóp CSDK theo a ; tính khoảng cách từ K đến ( SDC ) . ĐS: V = 2a 3 ; h = 3 5a 10 Bài 31: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm O của tam giác ABC . Một mặt phẳng ( P ) chứa BC và vuông góc với AA ' cắt lăng trụ theo 1 thiết diện có diện tích a2 3 . Tính thể tích khối 8 lăng trụ ĐS: V = a3 3 12 NGUYỄN TRUNG KIÊN 60
  61. 61. Bài 32: Cho hình chóp SABC có AB = AC = a ; BC = a ; SA = a 3 ; góc SAB bằng góc SAC 2 và bằng 300. Tính thể tích của khối chóp theo a . a3 ĐS: V = 16 Bài 33: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD cạnh đáy bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên ( SCD ) bằng a 3 . 6 a) Tính khoảng cách từ tâm của mặt đáy đến mặt bên ( SCD ) b) Tính thể tích của khối chóp SABCD . a 3 a3 3 ĐS: a ) ; b) 4 6 Bài 34: Cho hình chóp SABC có đường cao AB = BC = a ; AD = 2a . Đáy là tam giác vuông cân tại B . Gọi B ' là trung điểm của SB, C ' là chân đường cao hạ từ A xuống SC .Tính thể tích khối chóp SAB ' C ' . a3 ĐS: 36 Bài 35: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC a) Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và B ' C . a3 2 a 7 ĐS: a ) ; b) 2 7 Bài 36: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA = a ; SB = a 3 và mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng đáy. M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và BC . Tính thể tích khối chóp SBMDN và góc giữa ( SM ; ND ) . ĐS: V = a 3a 3 5 ; cos ϕ = 3 5 NGUYỄN TRUNG KIÊN 61
  62. 62. Bài 37: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, góc BAD bằng góc ABC và bằng 900; AB = BC = a ; AD = 2a . SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA; SD . Tính thể tích khối chóp SABCD và khối chóp SBCMN . ĐS: a )a 3 ; b) a3 3 Bài 38: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a ; AC = a 3. và hình chiếu vuông góc của A ' trên ( ABC ) là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp A ' ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA ' và B ' C ' . a3 1 ĐS: V = ;cos α = 2 4 Bài 39: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC , CD . Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP . ĐS: V = a3 3 96 Bài 40: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và góc BAC = 1200 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 . Chứng minh rằng MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A1MB) ĐS: d = a 5 3 Bài 41: Cho hình chóp SABC có góc giữa 2 mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng 600 . Các tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a . Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng ( SAC ) ĐS: d = 3 13a 13 Bài 42: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O , SA vuông góc với đáy SA = a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC . Chứng minh SC ⊥ ( AHK ) và tính thể tích khối chóp OAHK NGUYỄN TRUNG KIÊN 62
  63. 63. ĐS: V = 2a 3 27 Bài 43: Lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy là tam giác vuông AB = AC = a; AA1 = a 2. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA1 và BC1 . Chứng minh rằng MN là đoạn vuông góc chung của AA1 và BC1 . Tính thể tích khối chóp MA1BC1 ĐS: V = a3 3 12 Bài 44: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a . M là trung điểm của cạnh AA1 .. Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa BM , B1C ĐS: d = a 10 30 Bài 45: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B , AB = BC = AD =a. 2 Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) a ĐS: h = 3 Bài 46: Cho hình chóp SABC mà mỗi mặt bên là 1 tam giác vuông. SA = SB = SC = a . Gọi M , N , E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC , BC , D là điểm đối xứng của S qua E , I là giao điểm của AD và SMN a) Chứng minh rằng AD vuông góc với SI b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI a3 ĐS: V = 36 NGUYỄN TRUNG KIÊN 63
  64. 64. Bài 47: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có các cạnh AB = AD = a; AA ' = a 3 và góc 2 BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A ' D ' và A ' B ' . Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng ( BDMN ) và tính thể tích khối chóp ABDMN ĐS: V = 3a 3 16 Bài 48: Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh a và điểm K thuộc cạnh CC ' sao 2a cho: CK = . Mặt phẳng α đi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành 2 3 khối đa diện. Tính thể tích của 2 khối đa diện đó. ĐS: V1 = a3 2a 3 ;V2 = 3 3 Bài 49: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, AB = BC = a , BAD = ABC = 900 , AD = 2a , SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, AD . Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp SBCNM theo a ĐS: VSBCNM = a3 3 Bài 50: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SC vuông góc SM SN với đáy và SC = 2a . Hai điểm M , N thuộc SB và SD sao cho = = 2 . Mặt phẳng MB ND ( AMN ) cắt SC tại P . Tính theo a thể tích của khối chóp SAMPN ĐS: VSAMPN = 2a 3 9 Bài 51: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , đường cao SA = a . M là ( ) một điểm thay đổi trên SB , đặt SM = x 0 < x < a 2 . Mặt phẳng ( ADM ) cắt SC tại N . 1) Tứ giác ADMN là hình gì? Tính diện tích của tứ giác này theo a và x NGUYỄN TRUNG KIÊN 64
  65. 65. 2) Mặt phẳng ( ADM ) chia hình chóp ra làm hai phần, một phần là hình chóp SADMN có V 5 thể tích V1 và phần còn lại có thể tích V2 . Xác định giá trị của x để 1 = V2 4 ĐS: S ADNM = ( 1 2a + x 2 4 ) x2 − a 2 x + a2 ; x = 2a 2 3 Bài 52: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA ' B ' C ' D ' có chiều cao bằng a . Mặt phẳng ( A ' BD ) hợp với mặt bên ( ABB ' A ') một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. ĐS: V = 2a 3 Bài 53: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Khoảng cách từ AA ' đến mặt bên BCC ' B ' bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABC ') và bằng a . Mặt phẳng ( ABC ') hợp với đáy một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ đó. ĐS: V = 4a 3 3 Bài 54: Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A . Mặt bên ( ABB ' A ') là hình thoi cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên ( ACC ' A ') tạo với đáy một góc α . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a và α a3 ĐS: V = sin α 2 Bài 55: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O . Hình chiếu của A ' trên mặt phẳng ( ABC ) là O . Khoảng cách giữa AA ' và BC là a và góc giữa hai mặt phẳng ( ABB ' A ') và ( ACC ' A ') bằng α . Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' ĐS: V = 2a 3 tan 3 3 tan 2 α 2 α 2 −1 Bài 56: Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, BC = 2a . Mặt bên ( ABB ' A ') là hình thoi, mặt bên ( BCC ' B ') nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt phẳng này hợp với nhau một góc α . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. NGUYỄN TRUNG KIÊN 65
  66. 66. ĐS: V = 3a 3 cot α 2 Bài 57: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng a 2 , đường chéo AC bằng a 7 biết tam giác AO ' C là tam giác vuông tại O ' ( O ' là tâm hình thoi A ' B ' C ' D ' ).Tính thể tích của khối hộp ĐS: V = 7 3 a 4 Bài 58: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SC . Biết góc tạo bởi đường thẳng BM và ND là 600 . Tính thể tích khối chóp SABCD ĐS: V = 30a 3 30a 3 hoặc V = 6 18 Bài 59: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B có AB = BC = a; AD = 2a , SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SB tạo với ( SAC ) góc 600. Gọi O là giao điểm AC và BD . Giả sử mặt phẳng ( P ) qua O song song với SC cắt SA ở M . Tính thể tích khối chóp MBCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( SCD ) . ĐS: VMBCD 6a 3 a 2 , d M /( SCD ) = = 54 6 Bài 60: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh AA ' = a . Đường thẳng B ' C tạo với đường thẳng AD một góc 600 , đường chéo B ' D tạo với mặt bên ( BCC ' B ') một góc 300 . Tính thể tích khối chóp ACB ' D ' và cosin góc tạo bởi AC và B ' D ĐS: VACB ' D ' 1 3a 3 , cos ( AC , B ' D ) = = 27 4 7 Bài 61: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a góc BAD = 600 . Đỉnh a S cách đều các điểm A, B, D . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) bằng . Tính thể 2 tích khối chóp SABCD và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SOAB NGUYỄN TRUNG KIÊN 66
  67. 67. ĐS: VSABCD = 2a 3 a 7 , R= 12 8 Bài 62: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a , góc ABC = 600 .Góc giữa mặt phẳng ( A ' BD ) và ( ABCD ) bằng 600.Tính thể tích khối chóp C ' A ' AD và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD ' và A ' D theo a a3 a 3 ĐS: V = , d = 8 4 Bài 63: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , SAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SD tạo với ( SBC ) một góc α sao 2 . Gọi M là trung điểm của AB , mặt phẳng ( P ) qua M vuông góc với ( SAD) 5 cắt SA, SD, CD lần lượt ở N , E , F . Tính thể tích khối chóp SMNEF và xác định tâm , tính bán cho cos α = kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAMC theo a . ĐS: VSMNEF = 3a 3 93a , R= 8 6 Bài 64: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, CD . Hình chiếu của S trên ABCD trùng với giao điểm của AN và BM . Tính thể tích chóp SBCNM cùng khoảng cách giữa 2 đường thẳng BM và SC biết đường cao SH = 2a . ĐS: VSBMNC 5 2a 3 , = 24 Bài 65: Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , đường cao SE với E là trung điểm cạnh BC và SE = CE = 2a . Gọi M , N là trung điểm của SE , CE . Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho ACD = α và ( 450 < α ≤ 900 ) . Gọi H là hình chiếu của S lên CD a) Tính thể tích tứ diện EHMN theo a và α b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SACD theo a khi thể tích tứ diện EHMN lớn nhất. 1 4 160 5 3 ĐS: V = − .a 3 .cos 2α , V = π R 3 = πa 6 3 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN 67
  68. 68. Bài 66: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là một tam giác vuông tại B, BAC = 60° , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng a , khoảng cách giữa hai đường thẳng A′B và AC bằng ( a 3+ 3 4 ) . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' ĐS: Bài 67: Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C cạnh huyền bằng a 2 . Mặt phẳng ( A ' AB ) vuông góc với đáy ABC , AA ' = a 3 , góc A ' AB là góc nhọn. Biết mặt bên ( A ' AC ) tạo với đáy ABC một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ theo a và tính khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( A ' AC ) ĐS: VLT = 3 5 3 3a a , d B ,( A ' AC ) = 10 2 Bài 68: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA = a , Gọi M , N lần lượt là các điểm thuộc đoạn thẳng AB, AD sao cho AM = MB; DN = 3 AN ,biết MN vuông góc với SM , ∆SMC là tam giác cân tại S . Tính thể tích khối chóp SMNCD và khoảng cách giữa SA và CM ĐS: VSMCND = 11 3a 3 a 93 , d= 192 31 Bài 69: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, BC = 3a, AA′ = a và góc giữa A′B với mặt phẳng trung trực đoạn BC bằng 30°. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A′B, AC . ĐS: Bài 70: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D biết AB . Mặt bên SBC là tam giác đều cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông 2 góc với đáy. Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BC , SA theo AD = DC = a. ĐS: NGUYỄN TRUNG KIÊN 68
  69. 69. Bài 71: Cho hình lăng trụ ABC . A1 B1C1 có M là trung điểm cạnh AB, BC = 2a, ACB = 900 và ABC = 600 , cạnh bên CC1 tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 45 0 , hình chiếu vuông góc của C1 lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ACC1 A1 ). ĐS: V = 2 3a 3 . , tan(( ABC ); ( ACC1 A1 )) = 2 Bài 72: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Góc hợp bởi SC và mặt phẳng điểm của AC . Biết khoảng cách giữa SM và AB bằng ( SAB ) = 600 ; M là trung a 6 , tính thể tích khối chóp SABC 2 theo a . ĐS: V = a3 Bài 73: Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC là tam giác cân với SB = SC = a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết ASB = BSC = CSA = 600 . Tính thể tích khối chóp SABC ĐS: V = a3 2 8 Bài 74: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C ; đường thẳng BC ' tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 600 và AB = AA ' = a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BB ', CC ', BC và Q là một điểm trên cạnh AB sao cho BQ = a . Chứng minh 4 Chứng minh rằng ( MAC ) ⊥ ( NPQ ) và tính thể tích khối lăng trụ theo a ĐS: V = a 3 . 15 4 Bài 75: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của AA ', AB và BC . Biết góc tạo bởi (C ' AI ) và ( ABC ) bằng 600. Tính thể tích khối chóp NAC ' I và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN , AC ' NGUYỄN TRUNG KIÊN 69
  70. 70. ĐS: VNAC ' I = a3 a 3 , d= 32 8 Bài 76: Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông với cạnh huyền BC = 2a ; ABC = 600 . Mặt bên ( BCB ' C ') là hình thoi ( B ' BC < 900 )và vuông góc với đáy mặt bên ( ABB ' A ') tạo với đáy một góc 450 .Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ ĐS: V = 3 7a3 7 Bài 77: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 2 , BB ' = a 6 . Mặt phẳng ( P ) qua A vuông góc với A ' C cắt CC ', BB ' lần lượt tại M , N . Tính thể tích khối chóp ABCMN ĐS: V = 2 3 3 a 9 Bài 78: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 5a , AC = 4a SO = 2 2a và SO vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SC . Tính thể tích khối chóp SMBD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM 2 2a 3 2 6 ĐS: V = , d= a 3 3 Bài 79: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = 2a , SA vuông góc với đáy ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, BC , E là giao điểm của mặt phẳng ( DMN ) với SB . Biết DMN = 300 . Tính thể tích khối chóp SDMEN theo a. ĐS: 8a 3 9 Bài 80) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O biết AB = a; BC = a 3 , Tam giác SAO cân tại S , mặt bên SAD vuông góc với đáy ABCD . Biết SD hợp với đáy ABCD một góc 600. Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa SB và AC NGUYỄN TRUNG KIÊN 70
  71. 71. ĐS: VSABCD = 2 3a 3 3a , d= 3 4 Bài 81: Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Gọi H là tâm của mặt ADD ' A ' , K là hình chiếu của D lên BD ' . Tính thể tích tứ diện D ' DHK và khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( D ' A ' B ) ĐS: V = a3 a , d= 36 2 Bài 82: Cho hình chóp SABC có SC ⊥ ( ABC ) và tam giác ABC vuông tại B . Biết rằng AB = a, AC = a 3, ( a > 0 ) và góc giữa mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) bằng α với tan α = 13 . 6 Tính thể tích khối chóp SABC theo a ĐS: V = 2a 3 Bài 83: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tam giác ABD là tam giác đều.Gọi M , N là trung điểm của BC , C ' D ' . Biết MN vuông góc với B ' D hãy tính thể tích khối chóp DAMN và khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( AMN ) ĐS: VDAMN = 6a3 22 , d= a 24 11 Bài 84: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB, SD . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD biết AM vuông góc với CN ĐS: R = 3 10a 10 Bài 85: Cho hình chóp SABC mà mỗi mặt bên là một tam giácvuông, SA = SB = SC = a . Gọi M , N , E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC , BC , D là điểm đối xứng của S qua E ; I NGUYỄN TRUNG KIÊN 71
  72. 72. là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng ( SMN ) . Chứng minh rằng AD vuông góc SI và tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI ĐS: V = a3 36 Bài 86: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, BC = a và ABC = 1200 . Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh 2a và tạo với mặt đáy góc α . Biết hình chiếu vuông góc 1 của S trên mặt đáy nằm trong hình bình hành ABCD và cos α = . Tính thể tích khối chóp 3 S . ABCD cùng khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AD theo a ĐS: V = 2 2a 3 2 114 , d= 3 19 Bài 87: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền bằng 3a . Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mặt phẳng ABC là trọng tâm G của tam giác ABC cạnh bên SB = a 14 . Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) 2 3a 3 ĐS: V = ,d = a 3 4 Bài 88: Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC là tam giác cân SB = SC = a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Biết ASB = BSC = CSA = 600 . Tính thể tích khối chóp SABC 2a3 ĐS: V = 2 Bài 89: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có AC = a, CB = 2a, ACB = 1200 và đường thẳng A ' C tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') một góc 300 . Gọi M là trung điểm BB ' . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và tính khoảng cách giữa AM và CC ' theo a ĐS: V = 105a 3 a 21 d= 14 7 Bài 90: Cho lăng trụ đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và BAD = 600 , AC ' = 2a . Gọi O là giao điểm của AC và BD , E là giao điểm của A ' O và AC ' . Tính thể tích khối tứ diện EABD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BDE ) NGUYỄN TRUNG KIÊN 72
  73. 73. ĐS: V = 3a 3 a 21 ,d = 36 7 Bài 91: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BAC = 600 , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng A ' B và AC bằng ĐS: V = ( ) 3 −1 a 2 khoảng cách giữa hai đường thẳng a 15 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' 5 3 3 a 2 Bài 92: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC = 2a . Gọi M là trung điểm của BC , biết hai mặt phẳng ( AB ' M ) và ( BA ' C ') vuông góc với nhau. Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' và khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( AC ' M ) theo a . ĐS: V = 2a 3 , d = 2 6 a 3 Bài 93: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân tại C , đường thẳng BC ' tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') một góc 600 và AB = AA ' = a .Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BB', CC ', BC . Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , NP theo a ĐS: V = a 3 15 a 15 ,d = 4 5 Bài 94: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với SAB = SAC = 300 AB = AC = 2a, BC = a, SA = a 3 . Tính thể tích khối chóp SABC theo a ĐS: V = a3 4 Bài 95: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a và BAD = 600 các tam giác SAC , SBD cân tại S . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Biết hai mặt phẳng ( SDM ), ( SDN ) vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SMN ) theo a . NGUYỄN TRUNG KIÊN 73
  74. 74. ĐS: V = 6a 3 a 6 , d= 3 2 Bài 96: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đáy là AB, CD . Biết AB = 3a, AC = a 7, CD = a . Các mặt bên ( SAB ), ( SBC ), ( SAD ) cùng tạo với đáy một góc 600 . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABCD ) nằm trong hình thang ABCD . Tính thể tích khối chóp SABCD theo a ĐS: V = 3a 3 Do khuôn khổ thời gian có hạn nên không thể trình bày hoàn chỉnh mọi vấn đề về hình không gian. Vì vậy nếu có gì sai sót mong bạn đọc lượng thứ. Mọi đóng góp xin vui long gửi về: kiên.noiaybinhyen@gmail.com hoặc nguyentrungkien_ntk@yahoo.com HÀ NỘI MÙA KHAI TRƯỜNG 2012-2013 NGUYỄN TRUNG KIÊN NGUYỄN TRUNG KIÊN 74
  • CnLn3

    Jun. 27, 2021
  • TaLiuKim

    Jun. 29, 2019
  • nilincoln

    May. 14, 2019
  • KadoyaTsukasa1

    Apr. 3, 2016
  • ThnhPhc1

    Sep. 2, 2015
  • Trannhuhuynh

    Jul. 11, 2015
  • ngocmaithi5

    Mar. 23, 2015
  • ThanhKute97

    Oct. 10, 2014
  • 01695457031

    Sep. 10, 2014
  • 01695457031

    Sep. 10, 2014
  • nghianguyen9275

    Aug. 28, 2014
  • khanhngan1227

    Jul. 22, 2014

Aufrufe

Aufrufe insgesamt

22.235

Auf Slideshare

0

Aus Einbettungen

0

Anzahl der Einbettungen

2

Befehle

Downloads

346

Geteilt

0

Kommentare

0

Likes

12

×