Este documento presenta los conceptos básicos de la transformada de Laplace, incluyendo su definición, propiedades como la linealidad y orden exponencial, transformadas inversas comunes, tablas de Laplace y ejemplos resueltos. El objetivo es mostrar cómo se puede usar la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias.

1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
Aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales ordinarias
Transformada de Laplace
GRUPO #1:
ROMMEL TORRES
CRISTIAN TUITICE
JOSÉ ZURITA
18 de abril del 2013
La Transformada de Laplace, Definición, Propiedades (Linealidad, Orden Exponencial, etc.)
Transformadas de Funciones Básicas, La Transformada Inversa, Tabla de Laplace.

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Contenido
1. INTRODUCCION..............................................................................................................3
2. DEFINICION BASICA......................................................................................................4
2.1. Transformadas de funciones básicas............................................................................4
3. PROPIEDADES.................................................................................................................5
3.1. Linealidad ....................................................................................................................5
3.2. Orden exponencial .......................................................................................................5
4. TRANSFORMADA INVERSA.........................................................................................6
4.1. Transformadas inversas comunes ................................................................................6
5. TABLAS DE LAPLACE ...................................................................................................7
6. EJERCICIOS RESUELTOS ..............................................................................................8
7. EJERCICIOS PROPUESTOS..........................................................................................12
8. CONCLUSIONES............................................................................................................13
9. RECOMENDACIONES ..................................................................................................13
10. BIBLIOGRAFIA............................................................................................................13

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1. INTRODUCCION
En cálculo elemental aprendimos que la diferenciación e integración son transformadas,
esto significa, en términos aproximados, que estas operaciones transforman una función en
otra. Por ejemplo, la función f(x) = se transforma, a su vez, en una función lineal y una
familia de funciones polinomiales cubicas mediante las operaciones de diferenciación e
integración: ˄ , además estas dos transformadas poseen la
propiedad de linealidad.
En esta sección se dan algunos pasos hacia una investigación de como se puede usar la
transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones para una función
desconocida. Se empieza el análisis con el concepto de Laplace inversa o, con mas
precisión; la inversa de una transformada de Laplace F(s).
Resolver ecuaciones mediante la transformada de Laplace se requiere evaluar una
transformada de Laplace inversa; esto, a su vez, requiere con frecuencia operaciones
algebraicas sutiles y la descomposición de una expresión racional en fracciones parciales.
“Un tipo especial de transformada integral llamada Transformada de Laplace”

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2. DEFINICION BASICA
Si f (t) esta definida cuando , la integral impropia , se define como
un límite:
.
Si existe el límite, se dice que la integral existe o que es convergente; si no existe el límite,
la integral no existe y se dice que es divergente. En general, el límite anterior existe solo
para ciertos valores de la variable s. La sustitución K(s, t) = , proporciona una
transformación integral muy importante.
Transformada de Laplace
Sea f una función definida para Entonces se dice que la integral.
Es la transformada de Laplace de f, siempre que converja la integral.
2.1. Transformadas de funciones básicas
a)
c)
e)
g)
b) para n=1, 2, 3,…
d)
f)

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3. PROPIEDADES
3.1. Linealidad
En el curso elemental de cálculo aprendimos que la diferenciación y la integración
transforman una función en otra función; por ejemplo, la función f(x) = 2 se transforma,
respectivamente, en una función lineal, una familia de funciones. Polinomiales cúbicas y en
una constante, mediante las operaciones de diferenciación, integración indefinida e
integración definida:
, ,
Además, esas tres operaciones poseen la propiedad de linealidad. Esto quiere decir que
para cualesquier constantes y ,
Siempre y cuando exista cada derivada e integral.
Si f(x, y) es una función de dos variables, una integral definida defcon respecto a una de las
variables produce una función de la otra variable; por ejemplo, al mantener “y” constante,
De igual forma, una integral definida como , transforma
una función f (t) en una función de la variables. Nos interesan mucho las transformadas
integrales de este último tipo, cuando el intervalo de integración es no acotado.
3.2. Orden exponencial
Se dice que f es de orden exponencial c, si existe constantes c, M > 0 y T > 0 tal que
, para toda t > T.
Si f es una función creciente, entonces la condición , t > T, simplemente
expresa que la grafica de f en el intervalo no crece mas rápido que la grafica de la
función exponencial , donde c es una constante positiva.

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4. TRANSFORMADA INVERSA
Si F(s) representa la transformada de Laplace de una función f (t), es decir
, se dice entonces que f (t) es la Transformada de Laplace inversa de
F(s) y se escribe
4.1. Transformadas inversas comunes
a)
c)
e)
g)
b)
d)
f)

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5. TABLAS DE LAPLACE

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6. EJERCICIOS RESUELTOS
1) Evaluar
2) Evaluar
evaluado de 0 hasta ∞
3) Probar que para s>0
4) Evaluar

9. 9
5) Evaluar
6) Evaluar:
7) Resuelva utilizando Transformada de Laplace
Al transformar la función y sus derivadas primera y segunda, y al reemplazar los valores inicales
tenemos.

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8) Resuelva Mediante Laplace
9) Resolver mediante Laplace

11. 11
10) Resolver Mediante Laplace

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7. EJERCICIOS PROPUESTOS
*Hallar las transformadas de Laplace de las siguientes funciones:
1)
2)
3)
4)
5)
*Resolver las siguientes transformadas inversas
6)
7)
8)
9)
10)

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8. CONCLUSIONES
La integral impropia , se define como un límite:
.
La transformada de Laplace es de gran importancia como herramienta para solución
de ecuaciones diferenciales
La transformada inversa es la resolución mediante procesos contrarios de una
transformada de Laplace y su resultado es la función
9. RECOMENDACIONES
Repasar conceptos de variables impropias
Conocer el origen de la tabla de Laplace y no solo aplicarla sin sentido
Repasar definiciones de concurrencia
10. BIBLIOGRAFIA
 SPIEGEL, MURRAY R. Ecuaciones diferenciales aplicadas. Traducido por Henry
Rivera García. 3ra edición. México: Prentice-Hall Hispanoamérica, S.A. 1983.
ISBN 968-880-053-8.
 SIMMONS, GEORGE F. Ecuaciones diferenciales. Con aplicaciones y notas
históricas. Traducido por Lorenzo Abellanas Rapun. 2da edición. España: McGraw-
Hill Interamericana de España, S.A.U. 1998. ISBN 84-481-0045-X.
 Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Zill, Dennis G. Thomson-
2002.
 Ecuaciones diferenciales. Edwards, C. Henry. Pearson-1991.
 Ecuaciones diferenciales: un enfoque de modelado. Ledder, Glenn. McGraw-Hill-
2006