Matemática Financeira 02

Washington Franco Mathias
José Maria Gomes
Matemática
Financeira
Com + de 600 exercícios
resolvidos e propostos
Material de Apoio (Portal Atlas)
5a
Edição
SÃO PAULO
EDITORA ATLAS S.A. – 2008

2 Matemática Financeira • Mathias e Gomes
Capitalização contínua
Admitamos uma importância de $ 1.000,00, que pode ser aplicada por 1 ano à
taxa de 12% a.a. nas seguintes hipóteses de capitalização:
– anual
– semestral
– trimestral
– mensal
– diária
Vejamos o montante que resulta em cada uma das hipóteses de capitalização:
Capitalização Montante ($)
Anual 1.120,00
Semestral 1.123,60
Trimestral 1.125,51
Mensal 1.126,83
Diária 1.127,47
Constatamos que o valor do montante aumenta à medida que aumentamos o nú-
mero de capitalizações de uma dada taxa nominal. À primeira vista parece, inclusive,
que o valor do montante cresce indefinidamente, à medida que as capitalizações vão
sendo feitas com maior freqüência. Vejamos então o que ocorre quando admitimos
uma capitalização horária:
Ch
= 1.000
×
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
×⎝ ⎠
24 365
0,12
1
24 365
Ch
≅ 1.000 (1 + 0,000013699)8760
Ch
≅ 1.127,49
Este resultado nos permite inferir que o valor do montante não cresce indefini-
damente com a freqüência de capitalização, tendendo para um limite. E, de fato, se
admitirmos uma capitalização infinitamente grande, ou seja, que a capitalização seja
feita em intervalos de tempo infinitesimais, teremos o montante como sendo:
C ≅ $ 1.127,50

Material de Apoio (Portal Atlas) 3
Cálculo do montante em capitalização contínua
Seja: Cnk
= C0
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
kn
i
k
Cnk
= C0
Fazendo-se:
k’ =
k
i
temos: Cnk
= C0
1
1
k ni
k
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
'
'
Cnk
= C0
⎡ ⎤⎛ ⎞
+⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
1
1
nik
k
'
'
Se: k k→ ∞ ⇒ → ∞'
Então: C’n
=
→∞ →∞
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞
= +⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
'
0
' '
1
lim( ) lim 1
'
nik
nk
k k
C C
k
C’n
= C0
1
lim 1
nik
k k→ ∞
⎡ ⎤⎛ ⎞
+⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
'
' '
Demonstra-se em cálculo que:
1
lim 1
k
k k→ ∞
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
'
'
= e
Onde e é um número irracional que serve de base para os logaritmos naturais ou
neperianos (e = 2,718281828459...)
Portanto, tem-se: C’n
= C0
eni
A taxa i é chamada taxa instantânea e a notação comumente adotada é a letra
grega δ (delta). Escrevemos então.)
C’n
= C0
enδ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
1
k
i
⋅
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
k
ni
i

O conceito de capitalização contínua perde muito do seu significado nas aplica-
ções práticas, e por isto raramente é usado. Porém, existem ocasiões em que se admite
que os fluxos monetários não são devidos ou recebidos em dado instante, mas que
se encontram distribuídos no tempo. É o caso, por exemplo, da geração de lucro na
operação de uma empresa, que ocorre ao longo do ano e que pode ser associado a
um fluxo uniforme. O mesmo se dá com o desgaste dos equipamentos (depreciação)
e, como as entradas de caixa são constituídas de lucros gerados mais depreciação, po-
demos dizer que este é um fluxo que pode ser considerado uniformemente distribuído
no tempo.
Neste caso, e no tratamento matemático de certos modelos decisórios, o conceito
de capitalização contínua é muito útil.
Exemplo: Calcular o montante que resulta quando $ 1.000,00 são aplicados à
taxa de juros de 12% a.a. por um prazo de 4 anos e com capitalização
contínua. Comparar o resultado obtido com o resultante da aplicação
nas mesmas condições em juros compostos.
Resolução: Capitalização contínua
C’n
= C0
enδ
onde: C0
= 1.000,00
n = 4 anos
δ = 12% a.a.
Então: C’n
= 1.000,00 e 4 x 0,12
C’n
= 1.000,00 e 0,48
In (C’n
) = In (1.000,00) + 0,48
In (C’n
) = 6,907755 + 0,48
In (C’n
) = 7,387755
∴ C’n
≅ $ 1.616,07
Nota: É comum indicarem-se os logaritmos na base e por In e os logaritmos na base
10 por log.
Capitalização em juros compostos:
Cn
= C0
(1 + i)n
onde: C0
= 1.000,00
n = 4 anos
i = 12% a.a.

Nestas condições:
C4
= 1.000,00 (1,12)4
C4
≅ $ 1.573,52
Como se esperava o montante obtido quando se fez capitalização contínua
(1.616,07) é maior que o obtido através de juros compostos (1.573,52). Este fato
torna conveniente a determinação de uma taxa de juros efetiva que permita fazer-se
a equivalência entre a capitalização contínua e a composta.
Obs.: Um outro modo de visualizar-se o processo de capitalização contínua é o racio-
cínio feito através de juros simples.
Seja: J = Cin
Em um período muito pequeno (Δn), podemos escrever que o juro (ΔJ), que tam-
bém é um valor pequeno, é dado por:
ΔJ = Ci Δn
Por exemplo, aplicando-se $ 1.000,00 à taxa de juros simples de 10% a.a., por 1
dia, teremos:
ΔJ = 1.000 × 0,10 ×
1
365
= $ 0,27
Sabemos que o montante, em juros simples, é dado por:
N = C (1 + in)
N = C + Cin
Nestas condições, um acréscimo pequeno no montante (ΔN) pode ser expresso do
seguinte modo:
ΔN = Ci Δn
Fazendo-se com que o acréscimo seja cada vez menor, até tomar-se infinitesimal-
mente pequeno o período de capitalização (dn), teremos também acréscimos infinite-
simais ao montante (dN), já que ambos são proporcionais:
dN = Cidn
Como o diferencial do montante é um acréscimo infinitesimal ao capital, podemos
fazer:
dC = Cidn
dC
C
= idn
d (InC) = idn

Para obter o valor do montante temos de integrar esta expressão. Ou seja, temos
de calcular a soma de seus infinitos termos e, nestas condições, estaremos fazendo
uma capitalização contínua. A integração deve ser feita entre o principal (C0
) e o mon-
tante (C’n) para o primeiro membro e entre a data de aplicação (zero) e de recebimen-
to (n) para o segundo membro:
=∫ ∫0
'
0
( )
C n n
C
d lnC idn
In (C’n
) – In (C0
) = in
In
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠0
'nC
C
= in
=
' inn
o
C
e
C
∴ C’n
= C0
ein
Taxa efetiva em capitalização contínua
Já foi visto que:
if
+ 1 = 1
k
i
k
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
onde i é a taxa de juros nominal e if
é a taxa efetiva.
Temos: if
+ 1 =
Fazendo:
k
i
= k’
temos: if
+ 1 =
1
1
k i
k
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
'
'
No limite, fazendo-se k’ → ∞, colocamos if
= δ, que é a taxa de juros instantânea:
'
1
1 lim 1
ik
k k
δ
→ ∞
⎡ ⎤⎛ ⎞
+ = + =⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
'
'
ei
Portanto:
δ = ei
– 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
1
k
i
⋅
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
k
i
i

Podemos escrever também:
δ + 1 = ei
In (δ + 1) = Inei
i = In (δ + 1)
Deste modo, pode-se calcular a taxa efetiva (δ) que resulta quando se capitaliza
uma taxa nominal (i) de modo contínuo e vice-versa.
Exemplo: Dada a taxa de juros nominal de 12% a.a., determinar a taxa efetiva
instantânea.
Resolução: δ = ei
– 1
δ = e0,12
– 1
δ ≅ 1,1275 – 1
δ ≅ 0,1275 ou δ ≅ 12,75% a.a.
Obs.: Existe também um outro problema: dada a taxa efetiva (i), poderemos querer
determinar a taxa instantânea (δ) que lhe seja equivalente.
Sendo: if
+ 1 = 1
k
i
k
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 + ( )= +
1/
1
k
f
i
i
k
i
k
= (1 + if
)1/k
– 1
i = k [(1 + if
)1/k
– 1]
1/
[(1 ) 1]
1
k
fi
i
k
+ −
=
Portanto:
→∞
⎡ ⎤
⎢ ⎥+ −
δ = = +⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1/
(1 ) 1
lim (1 )
1
k
f
k
i
In i
k
Logo:
δ = In (1 + if
)

Exemplo: Sendo dada a taxa de juros efetiva de 12% a.a., determinar a taxa ins-
tantânea que lhe é equivalente.
Resolução: δ = In (1 + if
)
δ = In (1 + 0,12) ≅ 0,1133
δ ≅ 11,33% a.a.
O número e
O número e, sendo irracional (como o número π), só pode ser expresso precisa-
mente como o limite de uma série infinita e convergente ou como o limite de uma
fração contínua.
O leitor poderá obter o valor de i e com a precisão desejada através da série seguinte:
= + + + + + +
1 1 1 1 1
1 . . .
1! 2! 3! 4! 5!
e
Exemplo: e = 1 +
1
1!
= 2
e = 1 + + =
1 1
2,5
1! 2!
e = 1 + + + ≅
1 1 1
2,67
1! 2! 3!
e = 1 + + + + ≅
1 1 1 1
2,7083
1! 2! 3! 4!
E procedendo deste modo, poder-se-á obter o valor de e com a aproximação de-
sejada.
1.2 Inflações elevadas e hiperinflação
Quanto mais elevada é a taxa de inflação, maior é a necessidade de indicadores
que permitam fazer a correção da perda do valor da moeda.
As forças econômicas que causam inflações elevadas num país (da ordem de 20%
a 30% ao ano) tendem a ser instáveis. Como resultado, podemos ter uma taxa de in-
flação em elevação constante ou, então, uma taxa oscilante. Neste último caso, a taxa
de inflação pode ser de 30% a.a., num dado ano e passar para 100% no ano seguinte,
para cair a 50% no terceiro ano.
Nestas condições, é impossível fazer previsões, o que torna necessário usar o jul-
gamento ou apelar para indicadores físicos, como a quantidade de insumos requerida
para a produção de um dado bem, por exemplo.

A América Latina tem-se caracterizado por uma “cultura inflacionária”, onde as
inflações elevadas têm sido mais a norma do que a exceção. Como pode ser visto
no Quadro 1.
Quadro 1 Inflação na América Latina.
País Período Taxa anual equivalente
Argentina 1947-1960
1960-1974
27% a.a.
27% a.a.
Brasil 1947-1960
1960-1974
16% a.a.
36% a.a.
Chile 1947-1960
1960-1971
31% a.a.
25% a.a.
Uruguai 1949-1960
1960-1970
11% a.a.
49% a.a.
Fonte: Jones (1982).
Quando a taxa de inflação passa a crescer de modo explosivo, diz-se que existe
uma hiperinflação. Nestas condições, os preços passam a crescer por um fator de 10,
de 100 ou mais em um único ano.
Diz-se que um país está em hiperinflação quando a taxa de inflação ultrapassa
a marca dos 50% num mês e fica acima deste percentual por vários meses seguidos.
Esta, pelo menos, têm sido a experiência histórica recente.
O Quadro 2 contém algumas das hiperinflações conhecidas.
Quadro 2 Incidência da hiperinflação.
País Período (19XX) Taxa média mensal
Número de meses
de hiperinflação
Áustria out./21 a ago./22 47,1% 11
Alemanha ago./22 a nov./23 322% 16
China (Xangai) ago./48 a abr./49 400% –
China (Chunking) ago./48 a abr./49 298% –
Grécia nov./43 a nov./44 365% 13
Hungria mar./23 a fev./24 46% 10
Hungria ago./45 a jul./46 19.800% 12
Polônia jan./23 a jan./24 81,4% 11
Rússia dez./21 a jan./24 57% 26
Fonte: Jones (1982) e Cagan (1973).

Na hiperinflação, o valor da moeda cai rapidamente porque a população perde a
confiança na mesma. Isto pode ocorrer, por exemplo, se o governo gasta mais do que
arrecada e passa a emitir moeda para financiar o seu déficit orçamentário. Pode ser
também que o governo esteja se financiando com títulos, porém estes títulos perderam
a credibilidade e a população só aceita ficar com os títulos por um prazo muito curto.
O importante, qualquer que seja a causa, é que uma situação de hiperinflação pro-
voca uma fuga para ativos reais, como ouro, dólar e bens (terrenos, automóveis etc.).
Correção monetária
Histórico
A correção monetária, ou indexação, foi introduzida no Brasil pela equipe econô-
mica do governo que se iniciou em 1964. A idéia era corrigir ou minorar as distorções
que a inflação provocava na economia e, com isto, garantir a colocação de títulos da
dívida pública. A Introdução da correção monetária foi, então, um instrumento auxiliar
na estratégia gradualista de combate à inflação. Porque, segundo se dizia, uma políti-
ca ortodoxa de combate à inflação (tratamento de choque) seria política inviável para
a nossa economia na época.
Primeiramente foram criadas as Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional
(ORTN), que desempenharam um papel importante no financiamento não inflacionário
do déficit federal, pois foi restabelecida a confiança nos títulos da dívida pública. De-
pois, foram estabelecidas normas para a correção monetária dos débitos fiscais, do ati-
vo imobilizado, das depreciações, do capital de giro, dos títulos da dívida pública etc.
Foi criado o Banco Nacional da Habitação (BNH, já extinto) para operar financia-
mentos habitacionais com fundos do FGTS (Fundo de Garantia do Tempo de Serviço).
O BNH também começou a operar empréstimos com correção monetária, o que con-
tribuiu para generalizar a idéia de indexação da economia.
No início, os coeficientes de correção eram estabelecidos pelo Conselho Nacional
de Economia, que depois foi extinto. A partir de 1967 os coeficientes passaram a ser
fixados pelo Ministério do Planejamento, também depois extinto.
Ao longo do tempo, todo o processo de correção acabou, de certo modo, vincu-
lado aos índices de variação das ORTN. A variação das ORTN passou a desempenhar o
mesmo papel que já desempenhava o índice 2 (o IGP-DI: índice geral de preços – dis-
ponibilidade interna) como medida de inflação. O próprio valor da Unidade Padrão de
Capital (UPC), do BNH, ficou definido como o valor da ORTN do mês inicial de cada
trimestre civil.
A UPC passou a ser a unidade-padrão para os cálculos de financiamentos e amor-
tizações do Sistema Financeiro Habitacional (SFH), ou seja, do sistema ligado ao BNH.
Por outro lado, a ORTN passou a ser a unidade-padrão para os financiamentos feitos
para o setor industrial pelo Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico (o BNDE

que, depois passaria a ser BNDES, com o “S” significando “Social”) e pelos demais
bancos repassadores.
A partir de agosto de 1968 foi introduzida a taxa flexível de câmbio, também
conhecida como processo de minidesvalorização cambial. Com isto, a taxa cambial,
que mede a relação entre o cruzeiro e as outras moedas, passou a variar em intervalos
curtos e não regulares de tempo. Nestas condições, as mudanças nos valores da taxa
de câmbio passaram a compensar, aproximadamente, as diferenças entre as inflações
interna e externa. Uma medida da inflação externa é dada pela inflação americana.
Uma medida melhor da inflação externa pode ser obtida considerando-se uma média
ponderada das inflações dos principais países com os quais o Brasil mantém comércio:
Estados Unidos, Comunidade Econômica Européia e Japão.
Assim, a indexação acabou difundindo-se por toda economia brasileira, o que
introduziu mais um complicador em nosso já complexo quadro de regulamentação.
Indexação e decisões econômicas
Em 1985, algumas correntes de economistas teorizaram que a inflação brasileira
era “inercial”, ou seja, perpetuada pelos próprios mecanismos de indexação difundi-
dos na economia nos últimos 20 anos.
Estas idéias obtiveram uma aceitação imediata entre os políticos e a elite, por-
que prometiam um ajuste indolor. Foi um grande experimento econômico, que se
consubstanciou nos chamados planos de ajuste heterodoxos ou, mais popularmente,
“congelamentos”.
No período de 1985/1990 tivemos seis Ministros da Fazenda, dez Presidentes do
Banco Central cinco planos de ajustes, com resultados duvidosos, porque a inflação
voltou a subir depois de cada plano (v. Gráfico 1).
Tivemos também, no período, quatro unidades Monetárias diferentes. Em cada
plano foram introduzidas regras novas de indexação, como as “tablitas”, regulamen-
tações sobre as regras de correção dos contratos, mudanças nos critérios para cálculo
dos índices etc. A ORTN foi substituída pela OTN (Obrigação do Tesouro Nacional) que,
por sua vez, foi substituída pelo BTN (Bônus do Tesouro Nacional).
O custo social destes planos ainda não foi estimado.
Deve-se dizer que a correção monetária foi extinta em janeiro de 1989, para ser
reintroduzida logo em seguida com a retomada da inflação. Foi extinta novamente
em fevereiro de 1991 e, em seu lugar, foi colocada a TR (Taxa Referencial de Juros) e a
TRD (Taxa Referencial de Juros Diária) como indicadores da taxa de juros semelhantes à
prime rate americana e à LIBOR inglesa. Porém, quem abrisse o jornal em dezembro de
1991 encontraria uma enorme variedade de indexadores como: o INPC do IBGE, o IGP
e o IGP-M da FGV, o IPC da FIPE, o ICV do DIEESE, o ICVM da Ordem dos Economistas, a
TR e a TRD, a cotação do dólar (no câmbio oficial, no turismo e no paralelo), a cotação
do ouro, a BTNF atualizada pela TRD etc.

A complexidade decorrente desta multiplicidade de índices faz com que seja reco-
mendável um exame cuidadoso de qualquer operação financeira sujeita a indexação.
Gráfico 1 INFLAÇÃO / IGP – E OS PLANOS NO BRASIL
Plano Cruzado
(%)
100
80
60
40
20
0
J M J S D M J S D M J S D M J S D M J S D M J S
86 87 88 89 90 91
Plano Bresser
Flexibilização
Plano Verão
Plano Collor I
Liberação de preços
Plano Collor II
Funaro
27/2/86
Bresser
29/4/87
Mailson
5/1/88
Zélia
15/3/90
Marcilio
10/5/91

Tabelas Financeiras
As tabelas financeiras apresentadas a seguir se destinam à complementação do
aprendizado, ou seja, são auxiliares na resolução dos problemas e exemplos pro-
postos, sendo portanto muito simplificadas, quer quanto às taxas apresentadas, quer
quanto ao número de períodos considerados.
(1 + i)n
= montante de 1, à taxa i pelo prazo n
Cálculo de montante e de valor atual
Este fator é utilizado para cálculo do montante de um capital aplicado à taxa i
pelo prazo n. Em termos genéricos, pode-se dizer que este fator é o elo entre o capital
aplicado e o montante.
1º Exemplo: O capital de $ 2.000,00 é aplicado por 12 meses, à taxa de 0,5% a.m.
Qual é o montante?
Resolução: C0
= 2.000
i = 0,5% a.m.
n = 12 meses
Cn
= ?
Cn
= C0
(1 + i)n
Entrando na tabela para i = 0,5%, encontramos, para n = 12, o fator (1 + i)n
=
1,061 678.

Então:
Cn
= 2.000 (1 + 0,005)12
Cn
= 2.000 (1, 061678)
Cn
≅ $ 2.123,36
2º Exemplo: Quanto deve ser aplicado à taxa de 2% a.t. para que após 36 trimestres
se tenha o montante de $ 12.000,00?
Resolução: Cn
= 12.000
i = 2% a.t.
n = 36 trimestres
C0
= ?
Cn
= C0
(1 + i)n
C0 =
(1 )
n
n
C
i+
Para i = 2% e n = 36, temos: (1 + i)n
= 2,039887
C0 =
12.000
2,039887
C0
≅ $ 5.882,68
Cálculo de (1 + i)n
para períodos não constantes na tabela
Considerando a propriedade de, na multiplicação de potências de mesma base,
somarem-se os expoentes, temos que:
am + j
= am
. aj
Deste modo pode-se calcular o fator para um dado n, tomando-se dois ou mais
fatores cuja soma de períodos a que se referem seja igual a n.
Exemplo: Calcular (1 + 0,02)70
Resolução: Na tabela de 2% temos o fator para n = 60 e para n = 72. O cálculo
para n = 70 pode ser feito de diversos modos:
a) 1,02)70
= (1,02)60
. (1,02)10
, visto que 70 = 60 + 10
(1,02)70
= (3,281031) (1,218994) ≅ 3,999557
b) (1,02)70
= (1,02)35
. (1,02)35
, visto que 70 = 35 + 35
(1,02)70
= (1,999890) (1,999890) ≅ 3,999560

c) (1,02)70
= (1,02)72
. (1,02)– 2
, pois 70 = 72 – 2
(1,02)70
=
4,161140
1,040400
= 3,999558
Observação: A diferença entre os resultados se deve a aproximações nos valores ta-
belados.
(1 + i)1/k
– Taxas equivalentes
Para facilitar interpolações exponenciais no cálculo de períodos não inteiros, fo-
ram tabeladas as taxas equivalentes mais usuais, sendo as taxas apresentadas em sua
forma percentual.
Exemplo: Calcular o montante referente à aplicação de $ 5.000,00 por 3 anos e 4
meses, à taxa de 20% a.a.
Resolução: C0
= 5.000
i = 20% a.a.
n = 3 anos e 4 meses
Cn
= ?
Cn
= C0
(1 + i)n
Cn
= 5.000 (1 + 0,20)3
(1+ iq
),
onde
iq
= taxa equivalente quadrimestral
Na tabela de 20%, tem-se:
(1,20)3
= 1,728000
iq
= 6,265857% a.q.
Portanto, Cn
= 5.000(1,728)(1,06265857) = $ 9.181,37
an i
– Valor presente à taxa i de “n” anuidades unitárias, imediatas,
postecipadas e periódicas
O fator n i
a é a soma de uma progressão geométrica de n termos e razão (1 + i)– 1
,
sendo o 1º termo igual a (1 + i)–1
e o último (1 + i)– n
. Portanto:
n i
a =
1 (1 ) n
i
i
−
− +

1º Exemplo: Calcular o valor presente (valor ou preço a vista) de 24 prestações men-
sais de $ 100,00, a taxa de 2,5% a.m.
Resolução:
Temos que:
P = ?
0 1 2 3 22 23 24 Meses
100 100 100 100 100 100
R = 100
i = 2,5% a.m.
n = 24 meses
P = ?
P = ⋅ n i
R a
P = ⋅ 24 2,5
100 a
Na tabela de 2,5%, encontramos:
24 2,5
a = 17,884986
P = 100(17,884986)
P = $ 1.788,50
2º Exemplo: Calcular o preço a vista de um carro que é vendido em 12 prestações
trimestrais de $ 5.000,00, considerando-se que a taxa contratada fora
de 8% a.t.?
Resolução: R = 5.000
i = 8% a.t.
n = 12 trimestres
P = ?
P = ⋅ n i
R a
P = ⋅ 12 8
5.000 a
P = 5.000(7,536078= $ 37.680,39
3º Exemplo: Uma geladeira é vendida por $ 10.000,00 a vista ou em 12 prestações
mensais de $ 1.065,52 sem entrada. Qual é a taxa de juros mensal
cobrada?

Resolução: P = 10.000
R = 1.065.52
n = 12 meses
i = ?
P = ⋅ n i
R a
10.000 = ⋅ 12
1.065,62 i
a
12 i
a =
10.000
9,385089
1.065,52
=
Procurando-se nas tabelas, tem-se:
12 4
a = 9,385074
Visto que 9,385074 ≅ 9,385089, pode-se concluir que a taxa cobrada é de 4% a.m.
Variações do fator n i
a
O valor de n i
a depende da taxa considerada e/ou do valor de n. Os efeitos indivi-
duais podem ser analisados do seguinte modo:
Variação na taxa de juros com n constante
Seja n = 12
Então 12 0
a = 12,000000
12 5
a = 8,863252
12 10
a = 6,813692
12 50
a = 1,984585
Vemos, por conseguinte, que mantendo-se n constante, o fator n i
a decresce com
o aumento da taxa de juros. Graficamente vem:
a
n i
n
0 i

Variação em n com a taxa de juros constante
Seja i = 10%
Então: 6 10
a = 4,355261
12 10
a = 6,813692
24 10
a = 8,984744
48 10
a = 9,896926
Concluímos que, mantendo-se i constante, o fator n i
a cresce com o aumento de n.
a
n i
1/i
0 n
−
( ) 1
n i
a – Prestações constantes, imediatas, postecipadas e
periódicas para o valor atual igual a 1, considerando-se a taxa de
juros i e n prestações
O fator −1
( )n i
a nada mais é do que o inverso de n i
a ,então:
−
−
= =
− +
1 1
( )
1 (1 ) nn i
n i
i
a
a i
Portanto, se temos o valor atual (preço a vista) e queremos encontrar o valor da
prestação, considerando-se a taxa i e o número de prestações n, basta multiplicar o
valor atual pelo fator −1
( )n i
a
1º Exemplo: Qual é a prestação mensal de um carro, cujo preço a vista é de $ 50.000,00,
se for contratada a taxa de 3,5% a.m. e o prazo for de 24 meses?
i = 3,5% a.m.
n = 24 meses
−1
24 3,5
( )a = 0,062273
R = −1
( )n i
P a
R = 50.000(0,062273) = $ 3.113,65

2º Exemplo: Um financiamento de $ 100.000,00 é concedido a uma firma, para ser
pago em 4 prestações semestrais iguais, a taxa de 20% a.s. Qual é o
valor das prestações?
i = 20% a.s.
n = 4 semestres
( 4 20
a )– 1
= 0,386289
R = −1
( )n i
P a
R = 100.000(0,386289)
R = $ 38.628,90
Variações do fator −
( ) 1
n i
a
De modo análogo ao apresentado no item anterior, pode-se analisar o efeito da
taxa ou do número de períodos mantendo-se uma variável constante e variando ape-
nas a outra. Assim:
Seja n = 12
Então: −1
12 0
( )a = 0,083333
−1
12 5
( )a = 0,112825
−1
12 10
( )a = 0,146763
−1
12 50
( )a = 0,503884
Portanto, mantendo-se n constante, o fator −1
( )n i
a cresce com o aumento da taxa
de juros. Graficamente tem-se:
(a
n i
1/n
0 i
)–1

Variação em n a taxa de juros constante
Seja i = 10%
Então: −1
6 10
( )a = 0,229607
−1
12 10
( )a = 0,146763
−1
24 10
( )a = 0,111300
−1
48 10
( )a = 0,101041
Concluindo-se que, mantendo a taxa constante, o fator −1
( )n i
a decresce com o
aumento do número de períodos.
(a
n i
i
0 n
)–1
Nota: Constata-se que as conclusões do item 4.1 são o inverso das conclusões
do item 3.1, o que é lógico, visto que
−1
( )n i
a =
1
n i
a
n i
s – Montante à taxa i de n prestações unitárias, imediatas,
postecipadas e periódicas
O fator n i
s é a soma de uma progressão geométrica de n termos, sendo o 1º ter-
mo igual a (1 + i)n – 1
, o último igual a 1 e a razão igual a (1 + i). Portanto:
(1 ) 1n
n i
i
i
+ −
=s
1º Exemplo: Qual é o montante de 60 depósitos mensais de $ 200,00, se o banco
pagar 2% a.m. sobre o saldo credor?
Resolução:
0 1 2 3
200
58 59
200 200 200 200 200
60 Meses
S = ?

R = 200
i = 2% a.m.
n = 60 meses
S = ?
60 2
s = 114,051540
S = R ⋅ n i
s
S = 200 (114,051540)
S = $ 22.810,31
2º Exemplo: Quanto deve ser depositado trimestralmente em uma instituição que
paga 8% a.t. sobre o saldo credor, para que, ao efetuar o 36º depósito,
o correntista possua $ 100.000,00?
Resolução: S = 100.000
i = 8% a.t.
n = 36 trimestres
R = ?
36 8
s = 187,102148
S = R n i
s
R =
ni
S
s
R =
100.000
187,102148
R = $ 534,47
Variações do fator n i
s
O valor do n i
s depende da taxa considerada e/ou do valor de n. Analisando os
efeitos individuais, temos:
Seja n = 12
Então: 12 0
s = 12,000000
12 5
s = 15,917127
12 10
s = 21,384284
12 50
s = 257,492676

Conclui-se, portanto, que, mantendo o número de períodos constante, o fator n i
s
aumenta com o acréscimo nas taxas de juros. Graficamente, teríamos:
n
n is
0 i
Variação em n com a taxa de juros constante
Seja i = 10%
Então: 6 10
s = 7,715610
12 10
s = 21,384284
24 10
s = 88,497327
48 10
s = 960,173337
Por conseguinte, mantendo-se a taxa de juros constante, o fator n i
s aumenta com
o aumento do número de períodos. No gráfico visualizaríamos:
n is
0 n

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