2. Teste de Hipótese
Teste para a variância
• Em algumas situações, tais como problemas de controle de
qualidade, além da medida de eficiência do tratamento, ou do interesse
sobre a média por exemplo, existe o interesse no comportamento da
variabilidade da medida de interesse.
• Portanto surge a necessidade do teste de hipótese a cerca da variância da
medida de interesse, ou seja,
2 2
H0 : 0
2 2
0
2 2
H1 : 0
2 2
0
3. Teste de Hipótese
Teste para a variância
Segue uma distribuição
• A estatística de teste neste caso é dada por: Qui-quadrado
2 (n 1) S 2 2
c 2
~ n 1
0 O valor que quero
testar na hipótese
• Rejeita-se H0 se:
2 2 2 2
i) c n 1;1 ( 2) ou c n 1; 2 (teste bilateral)
2 2
ii) c n 1; (teste unilateralà direita)
2 2
iii) c n 1;1 (teste unilateralà esquerda)
4. Teste de Hipótese
Teste para a variância
• As regiões de rejeição podem ser apresentadas como:
2 2 2 2
n 1;1 ( 2) n 1; 2 n 1; n 1;1
5. Teste de Hipótese
Exemplo 5
• Sabe-se que em uma região do país a altura média é de 1,68m com
variância 0,30m2. Um pesquisador acredita que a alimentação rotineira
em uma cidade litorânea, sendo diferente da região como um
todo, contribui para que as pessoas apresentem alturas mais
homogêneas, apesar de não alterar a altura média na população da
cidade. Para verificar a sua suspeitas, ele coletou uma amostra de 31
pessoas e obteve como estimativa para a variância o valor de S2=0,25m2.
Realizar um teste de hipótese para verificar a suspeita do pesquisador
para α=4%.
6. Teste de Hipótese
Comparação das variâncias de Duas
Populações ou Tratamentos
• Suponha que temos duas amostras independentes, de tamanhos n1 e
n2, retiradas de duas populações normais com a mesma variância σ2
S12 S 2
obtidos das amostras por2 e respectivamente.
• Já vimos que:
(n1 1) S12 2
U 2
~ (n1 1)
2
(n2 1) S 2 2
V 2
~ (n2 1)
• E portanto: U
S12 (n1 1)
2
~ F (n1 1, n2 1)
S2 V
(n2 1)
7. Teste de Hipótese
Comparação das variâncias de Duas
Populações ou Tratamentos
• Consideremos, agora, uma amostra ( X1 ,..., X n ) de uma população com
distribuição N ( 1; 12 ) e uma amostra (Y1 ,...,Ym ) de uma população
2
com distribuição N ( 2 ; 2 ) . Suponhamos que as duas amostras sejam
independentes.
• Queremos testar:
2 2 2
H 0: 1 2
2 2
H 0: 1 2
S12
• Então fixamos α e verificamos o valor da estatística de teste Fc . 2
S2
8. Teste de Hipótese
Comparação das variâncias de Duas
Populações ou Tratamentos
• Rejeitamos a hipótese nula se: Fc Fn 1;m 1; 2 ou Fc Fn 1;m 1;1 ( 2)
A tabela somente nos fornece o
valor da cauda da direita, mas
podemos calcular o valor da
cauda esquerda como:
Fn 1
1;m 1;1 ( 2) Fm 1;n 1; 2
Fm 1;n 1;1 ( 2) Fn 1;m 1;( 2)
9. Teste de Hipótese
Comparação das variâncias de Duas
Populações ou Tratamentos
• Se o teste for unilateral rejeitamos a hipótese nula se:
Fc Fn 1;m 1; Fc Fn 1;m 1;1
Fn 1;m 1;1 Fm 1;n 1;
10. Teste de Hipótese
Exemplo 6
• Considerando duas populações, uma com 13 observações e outra com
7, qual os valores de F para um teste bilateral de variâncias para testar
2 2 2
H 0: 1 2
2 2
H 0: 1 2
• Considere α=10%
11. Teste de Hipótese
Comparação de Duas Populações ou
Tratamentos
• Comparar duas populações ou dois tratamentos é muito frequente na
prática estatística. Uma pergunta que aparece frequentemente em
qualquer problema é: O tratamento (método) A é melhor que (mais
eficiente) que o tratamento (método) B?
• Para comparar as respostas de dois métodos ou populações, pode-se usar
planos de pares equiparados ou comparar amostras aleatórias
selecionadas separadamente de cada poopulação.
• Exemplo: Um banco deseja conhecer qual dos dois planos de incentivo
aumentará mais o uso de seus cartões de crédito. Ele oferece cada
incentivo a uma a.a. de clientes de cartões de crédito e compara a
quantidade debitada no cartão durante os 6 meses seguintes.
12. Teste de Hipótese
Comparação de Duas Populações ou
Tratamentos
• O planejamento dos experimentos de duas populações pode ser de dois
tipos:
• Planejamento Aleatorizado (amostras independentes)
Pop. 1: Perda de peso dos indivíduos submetidos à dieta A;
(amostra de n1 valores)
Pop. 2: Perda de peso dos indivíduos submetidos à dieta B.
(amostra de n2 valores)
• Planejamento Pareado (amostras dependentes)
Pop. 1: Peso dos indivíduos antes da dieta A
Pop. 2: Peso dos indivíduos depois da dieta A.
(amostra única de tamanho n)
13. Teste de Hipótese
Comparação de Duas Populações ou
Tratamentos – Amostras independentes
• Questões iniciais:
1. As duas populações são normais?
Verificar por gráficos como Box Plot ou Histograma já vistos.
2. As variâncias são iguais ou diferentes?
Realizar o Teste F já visto.
3. As variâncias da população são conhecidas ou desconhecidas?
14. Teste de Hipótese
Comparação de Duas Populações ou
Tratamentos – Amostras independentes
• Considerando as duas populações Normais ; variâncias iguais e
desconhecidas temos a estatística de teste pelo teste da Razão de
Verossimilhança:
H 0: A B
H 0: B A
2 2
(YB YA ) ( B ) (n A 1) S A (nB 1) S B
tc A onde Sp
n A nB 2
1 1
Sp
nA nB
15. Teste de Hipótese
Comparação de Duas Populações ou
Tratamentos – Amostras independentes
• Portanto, rejeita-se H0 se:
i ) | tc | t nA nB 2; 2 (teste bilateral)
ii) tc t nA nB 2; (teste unilateralà direita)
iii) tc t nA nB 2; (teste unilateralà esquerda)
16. Teste de Hipótese
Comparação de Duas Populações ou
Tratamentos – Amostras independentes
• Intervalo de Confiança para a diferença : B A
* 1 1 * 1 1
IC( B A ; ) : ( xB xA ) t S p ; ( xB xA ) t S p
nA nB nA nB
*
t tnA nB 2; 2
17. Teste de Hipótese
Correção da Prova
1. Explique o Teorema do Limite Central (TLC).
2. Explique a diferença entre estimação por ponto e por intervalo.
3. Como podemos verificar se o comportamento de um conjunto de
dados segue uma distribuição normal?
4. Um centro de estudos de pesquisa de opinião realizou uma pesquisa
para avaliar a opinião dos telespectadores de uma região, sobre certo
comentarista esportivo. Para isso entrevistou 380
telespectadores, selecionados ao acaso da região, e constatou que 180
desejavam que o comentarista fosse afastado da TV. Determine um
intervalo de confiança de 90% para p: proporção de telespectadores
favoráveis ao afastamento do comentarista.
18. Teste de Hipótese
Correção da Prova
5. Para estimar o rendimento semanal de operários de construção de uma
grande cidade, um sociólogo seleciona uma amostra aleatória de 75
operários. A média amostral é dada por reais e reais. Determine um
intervalo de confiança para considerando 90% e 95% de confiança.
Qual intervalo abrange mais valores? Por quê?
6. Complete as informações sobre testes de hipóteses abaixo:
P(erro ) P( H0 | H0 )
P(erro ) P( H0 | H0 )
19. Teste de Hipótese
Correção da Prova
7. A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está muito
preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja
média nos últimos tempos, tem sido da ordem de 60 horas/homem
por ano e desvio padrão de 20 horas/homem. Tentou-se um programa
de prevenção de acidentes, após o qual foi tomada uma amostra de
nove indústrias e medido o número de horas/homens perdidas por
acidente, que foi de 50 horas. Você diria, no nível de 5%, que há
evidência de melhoria? (Defina as hipóteses e suponha normalidade
nos dados).
20. Próxima aula
• Teste para duas populações com variâncias diferentes;
• Testes para amostras pareadas;