1. Funciones Cuadráticas
I. Propiedades de una ecuación cuadrática
Forma Standard cuadrática:
ax2
+ bx + c = 0 ; a ≠ 0
donde x es una variable y a , b y c son constantes.
Forma Vértice:
y = a(x – h)2
+ k
Vértice es el punto más bajo o más alto de la parábola.
Vértice: (h, k)
II. Solución de una ecuación cuadrática
a. Por factoriazación
1. 6x2
– 19x – 7 = 0
2. x2
- 6x + 5 = 0
3. 2x2
= 3x
b. Por raíz cuadrada
1. 2x2
– 3
2. 3x2
+ 27 = 0
3. (x + ½ )2
= 5/4
c. Completando al cuadrado
1. x2
+ 6x – 2 = 0
2. 2x2
–4x + 3 = 0
3. x2
+ 8x = 3
d. Por fórmula Cuadrática
a
acbb
x
2
42
−±−
=
1. 2x + 3/2 = x2
2. x2
– 5/2 = -3x
III. Discriminante y raíces
raíces de ax2
+ bx + c = 0 a, b y c son reales , a ≠ 0
b2
– 4ac > 0 hay dos raíces reales
b2
– 4ac = 0 hay una sola raíz real
b2
– 4ac < 0 hay dos raíces imaginarias
1. 2x2
– 3x – 4 = 0
2. 4x2
– 4x + 1 = 0
3. 2x2
– 3x + 4 = 0
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Más sobre parábolas
2. IV. Aplicaciones
Resuelve.
a. La suma de un número y su recíproco es 13/6. Encuentre esos números.
b. La suma de dos números es 23 y su producto es 132. Encuentre los dos
núemros.
c. Una lancha para excursiones le toma 1.6 horas hacer un viaje ida y vuelta
36 millas aguas arriba. Si la rapidez de la corriente es de 4 millas por
hora, ¿Cuál es la rapidez de la lancha en aguas tranquilas?
d. Una nómina se puede terminar en 4 horas trabajando en dos computadoras
simultáneamente. ¿Cuántas horas serán necesarias para que cada
computadora termine sola si el modelo viejo se tarda 3 horas más que el
nuevo? Calcule la respuesta con dos cifras decimales.
e. Dos lanchas viajan en ángulos rectos uno con respecto al otro y arriban a
un muelle al mismo tiempo. Una hora antes están separadas 25 millas . Si
una de las lanchas viaja 5 millas por hora más rápido que la otra, ¿cuál es
la rapidez a la que viaja la segunda? Sugerencia : Teorema de Pitágoras-
distancias iguales =tiempos iguales
f. Dos carteros pueden entregar la correspondencia en 3 horas cuando
trabajan juntos. Uno puede terminar el trabajo 2 horas más rápido que el
otro. ¿Cuánto tiempo le toma a uno entregar la correspondencia? Calcule
las respuestas don dos cifras decimales.
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4. Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas
Completando al Cuadrado y Fórmula Cuadrática
A. Completa al cuadrado. Luego escribe cada trinomio cuadrado perfecto como el
cuadrado de un binomio.
1. n2
+ 18 n + _____
2. k2
– k + ____
3. x2
– 24 x + ____
4. x2
+ 20x + ____
5. m2
– 3m + ____
6. x2
+ 4x + _____
B. Resuelve cada ecuación cuadrática, completando al cuadrado.
1. x2
- 3x = 28
2. x2
- 3x = 4
3. 6x - 3x2
= -12
4. –d2
– 2d = 5
5. x2
+ 6x + 41 = 0
6. t2
– 2t = -2
7. w2
– 8w – 9 = 0
8. t2
+ 4 = 0
9. 2p2
= 6p – 20
10. 3x2
- 12x + 7 = 0
11. t2
+ 6t = -22
12. 4c2
+ 10c = -7
C. Re-escribe la ecuación en forma y = a(x – h)2
+ k
1. y = x2
-+ 4x – 7
2. y = -x2
+ 4x - 1
3. y = -2 x2
+ 6x + 1
4. y = ½ x2
- 5 + 12
5. y = - 1/5 x2
= 4/5 x + 11/5
6. y = x2
+ 4x + 1
7. y = -4x2
- 5x + 3
8. y = 2x2
- 8x + 1
9. y = -x2
- 2x + 3
D. Resuelve cada ecuación usando la fórmula cuadrática.
1. 2x2
+ 8x + 12 = 0
2. 3x2
+ 2x -1 = 0
3. -x2
+ 5x -7 = 0
4. x2
- 4x + 3 = 0
5. x2
= 3x – 1
6. x2
= 2x – 5
7. 9x2
+ 12x - 5 = 0
8. x ( x – 5) = -4
9. x2
- 6x + 11 = 0
10. x2
+ 6x - 5 = 0
11. x2
- 2x + 3 = 0
12. x2
+ 10x = -25
E. Evalúa el discriminante de cada ecuación. Determina cuántas soluciones hay y si la(s)
solucion(es) son reales o complejas.
1. x2
+ 4x + 5 = 0
2. x2
- 4x - 5 = 0
3. 4x2
+ 20x + 25 = 0
4. 2x2
+ x + 28 = 0
5. 2x2
+ 7x -15 = 0
6. 6x2
- 2x + 5 = 0
7. 2x2
+ 7x = -6
8. x2
-+12x + 36 = 0
9. x2
= 8x - 16
F. Resuelve cada ecuación utilizando cualquier método estudiado. Cuando sea necesario
redondea la solución a la centésima más cercana. Para soluciones complejas, escribe
la solución exacta.
1. x2
= 11x – 10
2. 2x2
+ 4x = 10
3. –3x2
+ 147 = 0
4. 5x2
=210 x
5. x2
- 2x + 2 = 0
6. x2
+ 8x = 4
7. 4x2
+ 4x = 3
8. x2
- 3x - 8 = 0
9. x2
= 6x – 11
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5. Laboratorio Gráficas de Cuadráticas
A. Desplazamiento horizontal o vertical
y = x 2
y = x2
+ 2
y = x2
- 3
y = x2
y = (x + 2)2
y = (x – 3)2
y= f(x) y = f(x) + k
Conclusión: La gráfica se traslada ______________verticalmente
y = f(x) y = f(x + h)
Conclusión: La gráfica se traslada ______________horizontalmente
B. Expansión o contracción
y = 2x2
y = 3x2
y = 5x2
y = ½ x2
y = 1/3 x2
y = 1/5 x2
a > 1 La gráfica se ___________ expande
Conclusión: y = af(x)
a < 1 La gráfica se ___________ contrae
C. Reflexión
y = 2x2
y = 3x2
y = 1/3 x2
y = -2x2
y = -3x2
y = -1/3 x2
Conclusión: y= f(x) y = -f(x)
La gráfica se refleja con respecto al ___________eje de x
a. Eje de Simetría
Si y = a ( x – h )2
+ k El eje de simetría es cuando x = h
b. Punto máximo y mínimo
a > 0 hay un punto mínimo
Si y = a ( x – h )2
+ k
a < 0 hay un punto máximo
c. Dominio y Campo de Valores
El dominio de toda gráfica cuadrática son los números reales.
El Campo de Valores: (-∞ , k] si a < 0 ó [k, ∞ ) si a > 0
6. d. Ceros de la gráfica cuadrática
Los ceros de la gráfica cuadrática son los puntos donde la gráfica toca el eje de x. Éstos ceros se
obtienen cuando igualas la ecuación a 0 y por medio de factorización utilizas la propiedad del cero:
m • n = o si y solo si m = 0 ó n = 0 ( o ambos)
Ejemplo: y = x2
– 6x + 5
Ejercicicios:
A. Determina si la gráfica es cuadrática. Si lo es indica si se desplaza horizontal o verticalmente, si se
expande o se contrae, y si la gráfica queda hacia abajo o hacia arriba comparándola con y = x2
.
a. y = 3
b. 4x – 5y = -24
c. x + y2
= 5
d. x2
+ y2
= 81
e. y = -x2
+ 4
e. y2
– x = 2
f. y = (x – 2)2
+ 3
g. y = x2
– 1
i. y = ½ x + 5
B. Encuentra el vértice, el eje de simetría, el punto máximo o mínimo y el campo de
valores para cada gráfica cuadrática
.
a. y = -2(x + 4) 2
- 3
b. y = -(x + 2 ) 2
- 4
c. y = 3( x + 6)2
- 3
d. y = ( x + 5)2
- 7
e. y = 2( x + 5)2
f. y = ½ ( x – 4 ) 2
C. Halla los ceros de cada gráfica cuadrática y encuentra el vértice, el eje de simetría, el
punto máximo o mínimo, el dominio y el campo de valores para cada gráfica cuadrática
a. y = x2
+ 8x - 9
b. y = 1/2 x2
+ 2x + 3
D. Determina las raíces, la simetría, vértice y concavidad de las siguientes funciones
cuadráticas.
a b
Ceros
Vértice
Eje de simetría
Máximo o
mínimo
Dominio
Campo de valores
7. a. 4x2
+ 4x =-3 b. 5x2
=10 x c. -x2
+ 3x =- 4
contestaciones
Función Cuadrática. Características
Una función de la forma estándar:
f (x) = a x ² + b x + c
con a, b y c pertenecientes a los reales y a ≠ 0, es una función cuadrática
y su gráfico es una curva llamada parábola.
En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:
si la
ecuación
tiene todos
los
términos se
dice
ecuación
completa, si
a la función
le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es
incompleta.
Raíces
Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x
para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y =
0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la
parábola corta al eje x. Podemos ver a continuación que existen
parábolas que cortan al eje x en:
a b c
Raíces
Eje de simetría
Vértice
concavidad
8. Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática
calculamos f (x) = 0, entonces
ax² + bx +c = 0
Pero para resolver ax² + bx +c = 0 observamos que no podemos aplicar
las propiedades de las ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer
un término de segundo grado, otro de primer grado y un término
constante. Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:
al resultado de la cuenta b2
- 4ac se lo llama discriminante de la
ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades:
Si b2
- 4ac > 0 tenemos dos soluciones posibles.
Si b2
- 4ac = 0 el resultado de la raíz será 0, con lo cual
la ecuación tiene una sola solución real.
Si b2
- 4ac < 0 la raíz no puede resolverse, con lo cual la
ecuación no tendrá solución real.
9. Entonces, si la ecuación esta completa ya sabemos como calcular las
raíces (con la fórmula) y si la ecuación es incompleta solo basta despejar
la variable x de la ecuación:
1er
caso: ax2
+ bx = 0
2do
caso: ax2
+ c = 0
Simetría
La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es
decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de
simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea
Vértice
El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo
que su coordenada x, que notaremos xv vale:
Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y
se calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función.
En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de
acuerdo a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba (lo
veremos a continuación).
Si la parábola no tiene raíces el vértice se puede calcular utilizando los
coeficientes de la función de la siguiente manera:
10. Concavidad
Otra característica es si la parábola es cóncava o convexa:
También suele decirse que:
Si a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba.
Si a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo.
