Este documento describe la convolución y su transformada de Fourier. Explica que la convolución de dos funciones en un dominio es equivalente al producto punto a punto de sus transformadas de Fourier en el otro dominio. Define la convolución como la integral del producto de dos funciones después de desplazar una de ellas. También resume que la transformada de Fourier descompone una función en su espectro de frecuencias y tiene propiedades como ser lineal, cambiar de escala con la función, y trasladarse con cambios en la función o su variable transformada.
2. Convolucion
El teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias,
la Transformada de Fourier de una convolucion es el producto punto a punto
de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por
ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el
otro dominio (es decir dominio espectral).
La convolución de f y g se denota f *g . Se define como la integral del
producto de ambas funciones después de que una sea invertida y desplazada
una distancia τ. Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta
de la convolución.
3. Transformadas de FOURIER
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una
función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe
una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas
frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va
percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo,
la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante
el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un
sólo espectro de frecuencias para toda la función.
Sea f una función Lebesgue integrable:
La transformada de Fourier de f es la función:
Propiedades básicas:
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable
f:
Cambio de escala:
Traslación:
4. Traslación en la variable transformada:
Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables
