1. O documento discute derivadas de expressões na forma implícita. 2. Apresenta exemplos de derivadas de expressões implícitas como x^2y^3+3xy=2. 3. Pede para completar uma tabela com derivadas de outras expressões implícitas e calcular derivadas em pontos específicos.

1. UNIJORGE
CÁLCULO DIFERENCIAL
Prof. Adelmo R. de Jesus
Derivada de Expressões na Forma Implícita – out/nov 2012
A forma implícita:
Nem toda função (ou expressão matemática) aparece na forma explícita y = f(x). Por exemplo, na expressão
x2 y3+ 3xy = 2 dizemos que a variável y está implicitamente dada em função de x, ou seja, y é dependente de x,
embora esta relação não se expresse de forma clara. Em vários casos precisamos obter a derivada de funções
dadas na forma implícita F(x, y) = c, sem que explicitemos a variável y.
O processo de derivação é feito aplicando a Regra da Cadeia, observando que y é uma função de x.
EXEMPLOS:
Expressão Derivada da expressão em relação a variável x
x3+y2=2 3x2+2y  y´=0
sen(y) + x=y2 cos(y)  y´ + 1= 2y y´
3x + ey 3 + ey  y’
x3  y2=4x+1 3x2  y2 + x3  2y y’=4
y
x 1 2 
2
2
y
2x  y  (x 1)  y'
tg x +3y2 = ln(2) sec2x + 6yy’ = 0
x2y = 4 2xy + x2 y’ = 0
xy=2 y+xy´=0
1. Dadas as expressões na forma implícita, complete a tabela abaixo com suas derivadas:
Expressão Derivada da expressão em relação a variável x
2x3 – 3y2 + 2y = 1
x2 + x +2y3
sen(y) + cos(xy)=x2
3x + x2ey
3x2  y3 + x tg(y)=3y
2
2
x
y  3
= 3
2xsen(y) + ln(x2 ) -2y3 = 1
x2y + y2 = 4x
x2 ln(y)+2x=1

2. 2. Calcule a expressão para
dx
dy
, e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
a) no ponto P(0,-1)
dx
dy
y4 3y 4x2 5x 2 ;
    (Resposta:
4y 3
8x 5
dx
dy
3 

 ; y(P)  1 )
b)
2
no ponto de ordenada
dx
dy
sen(y) 0 ;
4
1
y - x -

 (Resposta:
4 cos y
4
y

  ; y(P) 1 )
Exercícios:
1. Determine a equação da reta tangente:
a) ao círculo x2 + y2 = 5 no ponto P = (-2, 1)
b) ao folium de Descartes x3 + y3 = 9xy no ponto P = (2, 4)
2. Considere a curva dada na forma implícita por x2y +xy2 = 6.
a) Calcule a ordenada y do ponto P=(1, y) do 1º quadrante dessa curva, como mostra a figura.
b) Dê a equação da reta tangente a essa curva, no ponto P
-9 -6 -3 3
-9
-6
-3
3
y P
1
x^2y+xy^2=6
Respostas
1. a) y 1  2(x  2) , ou y  2x  5 b) (x 2)
5
4
y  4  
2. a) Um ponto (x,y) pertence ao gráfico de uma curva quando ele satisfaz a equação da curva, ou
seja, quando ele verifica a equação dada.
b) Para achar a reta tangente só falta o coeficiente angular, que é a derivada no ponto x =1