Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.
Relaciones
Llamaremos par ordenado a una lista de dos
objetos (a, b) donde a es un elemento de un
conjunto A y b es un ele...
Teorema 1 Si A y B son conjuntos finitos,
entonces |A × B| = |A| |B|
En general, se define el producto cartesiano
de un n´um...
Teorema 2 Si A y B son conjuntos finitos con |A| = m
y |B| = n, entonces el n´umero de relaciones posibles de
A en B es 2mn...
Representaci´on matricial
Definici´on 5 Llamaremos matriz m × n de ce-
ros y unos M = (mij) a una matriz de m filas
y n colu...
Suponemos A = {a1, a2, . . . , am} y
B = {b1, b2, . . . , bn}
Definici´on 6 Dada R de A en B, llamaremos
matriz asociada a ...
Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4}.
Si
R= {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 3)}
S= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3),...
Ejemplo: Dadas
M =


0 1 1 1
0 0 1 0
1 1 1 0

 y N =


1 0 1 1
1 0 0 0
0 0 1 0


se obtiene:
M ∨ N =


1 1 1 1
1...
Teorema 4 Si R y S son relaciones de A en
B (finitos), entonces
M(R ∪ S) = M(R) ∨ M(S)
M(R ∩ S) = M(R) ∧ M(S)
M(R) = M(R)
C...
entonces se verifica que
R1 ◦ R2= {(1, y), (1, z), (1, x), (2, z), (3, y), (3, z)}
A
1
2
3
a
b
R1 ◦ R2
c
d
x
y
z
R2
R1
B C
...
Teorema 6 Dados los conjuntos A, B, C y las
relaciones R⊆ A × B, S⊆ B × C, entonces
a) (R ◦ S)−1
= S−1 ◦ R−1.
b) R−1 −1
=R...
Producto booleano de matrices
Definici´on 10 Dadas M ∈ Mm×n-{0,1} y N ∈
Mn×p-{0,1}, M = (mij) y N = (nij) tiene sen-
tido e...
Es evidente que el producto booleano de matri-
ces no es conmutativo. Se deja como ejercicio
comprobar que es asociativo, ...
Ejemplo: Las matrices identidad de orden 2 y
3 son:
I2 =
1 0
0 1
; I3 =



1 0 0
0 1 0
0 0 1



In tiene la propieda...
Relaciones binarias
Definici´on 12 Llamaremos relaci´on binaria R
en un conjunto A a una relaci´on de A en A, es
decir un s...
Relaci´on identidad: Sobre un conjunto A denotaremos
por I una relaci´on binaria
a I b ⇐⇒ a = b
en ocasiones especificaremo...
Definici´on 13 Dada R en A se define: a) R0=I,
y b) para todo n ∈ N, Rn+1=R ◦ Rn.
Si R est´a definida sobre un conjunto finito...
Relaci´on de accesibilidad: An´alogamente definimos
R∗ como sigue:
a R∗
b ⇐⇒ ∃ n ∈ N | a Rn
b
es decir R∗=I ∪ R∞
Teorema 10...
Teorema 11 R en A es reflexiva si y solo si
contiene a la relaci´on identidad.
R reflexiva ⇐⇒ I⊆R
Corolario 12 Dadas R y S e...
Corolario 14 Dadas R y S en A, entonces:
a) Si R es sim´etrica, tambi´en lo son R−1 y R.
b) Si R y S son sim´etricas, tamb...
Representaci´on por grafos
Si un v´ertice a del grafo est´a unido mediante
una arista con un otro v´ertice b se dice que
a...
Una relaci´on es transitiva si verifica que todo
v´ertice unido a otro por un camino de longitud
2 es adyacente a ´el.
1 2
...
Cierres
Definici´on 15 Dada una relaci´on binaria R so-
bre un conjunto A y una propiedad P, llama-
remos cierre P de R a u...
Teorema 19 Si R es una relaci´on sobre A, en-
tonces su cierre sim´etrico es σ(R) =R ∪ R−1
Si A es finito M(σ(R)) = M(R) ∨ ...
El cierre transitivo de una relaci´on binaria no es tan
f´acil como los anteriores. Obs´ervese que dada R, la
relaci´on R∞...
Algoritmo de Warshall
Definici´on 16 Dado un conjunto
A = {a1, a2, · · · , an}
y una relaci´on binaria R sobre A, definimos ...
Ejemplo: Dado A = {a, b, c, d} vamos a calcular el cierre
transitivo de la relaci´on binaria R
R= {(a, a), (a, b), (a, d),...
Relaciones de equivalencia
Definici´on 17 Dado A = ∅, llamaremos parti-
ci´on de A a una colecci´on de subconjuntos no
vac´...
Definici´on 18 Si R es una relaci´on de equivalencia en
A y a ∈ A, llamaremos clase de equivalencia de a
[a] = {x ∈ A | x R...
Corolario 23 Las clases de equivalencia de u-
na relaci´on de equivalencia sobre un conjunto
A definen una partici´on sobre...
Ejemplos:
1. Dado n ∈ N, definimos la relaci´on de con-
gruencia m´odulo n sobre Z:
a R b ⇐⇒ a ≡ b (mod n) ⇐⇒
b − a es m´ul...
Sean π1 y π2 particiones de un conjunto A y
sean R1 y R2 sus respectiva relaciones de e-
quivalencia.
Definici´on 20 (Refina...
Relaciones de orden
Diremos que una relaci´on R es de orden si verifica las
propiedades reflexiva, antisim´etrica y transiti...
Nächste SlideShare
Wird geladen in …5
×

Relaciones binarias

473 Aufrufe

Veröffentlicht am

relaciones binarias, conjuntos, algoritmo de warshall, relacion compuesta definida

Veröffentlicht in: Bildung
  • Als Erste(r) kommentieren

  • Gehören Sie zu den Ersten, denen das gefällt!

Relaciones binarias

  1. 1. Relaciones Llamaremos par ordenado a una lista de dos objetos (a, b) donde a es un elemento de un conjunto A y b es un elemento de un conjunto B . (a1, b1) = (a2, b2) ⇐⇒ a1 = a2 y b1 = b2. Definici´on 1 Dados dos conjuntos A y B se define el producto cartesiano A × B como el conjunto de todos los pares ordenados. A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} Ejemplo: Dados A = {1, 2, 3} y B = {a, b} A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} Luego est´a claro que, en general, A×B = B×A Prof. Francisco Rodr´ıguez 1
  2. 2. Teorema 1 Si A y B son conjuntos finitos, entonces |A × B| = |A| |B| En general, se define el producto cartesiano de un n´umero finito n de conjuntos como el conjunto formado por las posibles n-uplas or- denadas de elementos de los conjuntos. Definici´on 2 Llamaremos relaci´on de A en B a un subconjunto del producto cartesiano, R ⊆ A × B. Si (a, b) ∈ R se dicen que a y b est´an relacio- nados y se representa a R b en caso contrario se representa a R b. Diagrama de flechas 3 4 1 2 b c a A B a c b 1 2 3 4 A B Diagrama Cartesiano Prof. Francisco Rodr´ıguez 2
  3. 3. Teorema 2 Si A y B son conjuntos finitos con |A| = m y |B| = n, entonces el n´umero de relaciones posibles de A en B es 2mn. Definici´on 3 Dom(R) = {x | x ∈ A y ∃ b ∈ B : x R b} Im(R) = {x | x ∈ B y ∃ a ∈ A : a R x}. Definici´on 4 Dada una relaci´on R de A en B, definimos R−1⊆ B × A de forma que b R−1 a ⇐⇒ a R b Ejemplo: Si R= {(1, b), (1, d), (2, a), (3, b), (3, c)} del ejemplo anterior, se tiene que R−1 = {(b, 1), (d, 1), (a, 2), (b, 3), (c, 3)} Desde el punto de vista gr´afico, R−1 no es otra cosa que invertir el sentido de las flechas de la relaci´on R. Es evidente que Dom(R) = Im(R−1 ) y Im(R) = Dom(R−1 ) Prof. Francisco Rodr´ıguez 3
  4. 4. Representaci´on matricial Definici´on 5 Llamaremos matriz m × n de ce- ros y unos M = (mij) a una matriz de m filas y n columnas cuyos elementos mij ´unicamente pueden ser 0 o 1. M =    0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0    ∈ Mm×n-{0, 1} Llamaremos matriz traspuesta de M a la ma- triz MT ∈ Mn×m-{0,1} resultante de transfor- mar las filas de M en columnas. Es decir, si M = (mij), entonces MT = (mji) donde mji = mij. MT =      0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0      Prof. Francisco Rodr´ıguez 4
  5. 5. Suponemos A = {a1, a2, . . . , am} y B = {b1, b2, . . . , bn} Definici´on 6 Dada R de A en B, llamaremos matriz asociada a M(R) = (mij) definida: mij = 1 si ai R bj 0 en otro caso Es f´acil comprobar que si R es una relaci´on entre conjuntos finitos, entonces M(R−1) = M(R)T Definici´on 7 Dadas dos matrices M, N ∈ Mm×n- {0,1}, diremos que M precede a N si mij ≤ nij para cada i, j. Teorema 3 Si R, S⊆ A×B , entonces R⊆S es equivalente a M(R) ≤ M(S). Prof. Francisco Rodr´ıguez 5
  6. 6. Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4}. Si R= {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 3)} S= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (3, 1)(3, 2), (3, 3)} tenemos R⊆S, y por tanto: M(R) =    0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0    ≤ M(S) =    0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0    Operaciones booleanas ∨ 0 1 0 0 1 1 1 1 ∧ 0 1 0 0 0 1 0 1 − 0 1 1 0 Definici´on 8 Si M, N ∈ Mm×n-{0,1}, M = (mij) y N = (nij), se definen: M ∨ N = (mij ∨ nij) M ∧ N = (mij ∧ nij) M = (mij) Prof. Francisco Rodr´ıguez 6
  7. 7. Ejemplo: Dadas M =   0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0   y N =   1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0   se obtiene: M ∨ N =   1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0   M ∧ N =   0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0   M =   1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1   Podemos generalizar ∨ a un n´umero finito de operandos: 1. 1 i=1 Mi = M1 2. n i=1 Mi = ( n−1 i=1 Mi) ∨ Mn para n > 1 Igualmente para . Prof. Francisco Rodr´ıguez 7
  8. 8. Teorema 4 Si R y S son relaciones de A en B (finitos), entonces M(R ∪ S) = M(R) ∨ M(S) M(R ∩ S) = M(R) ∧ M(S) M(R) = M(R) Composici´on de relaciones Definici´on 9 Dadas R1 de A en B y R2 de B en C podemos establecer una nueva relaci´on R1 ◦R2 de A en C llamada relaci´on compuesta definida a(R1 ◦ R2)c ⇐⇒ ∃ b ∈ B | aR1b y b R2 c Ejemplo: Dados A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d} y C = {x, y, z} R1= {(1, b), (1, d), (2, a), (3, b), (3, c)} R2= {(a, z), (b, y), (b, z), (d, x)} Prof. Francisco Rodr´ıguez 8
  9. 9. entonces se verifica que R1 ◦ R2= {(1, y), (1, z), (1, x), (2, z), (3, y), (3, z)} A 1 2 3 a b R1 ◦ R2 c d x y z R2 R1 B C Teorema 5 Dados los conjuntos A, B, C y D y las relaciones R1⊆ A × B, R2⊆ B × C y R3⊆ C × D, entonces R1 ◦(R2 ◦ R3) = (R1 ◦ R2)◦ R3. A partir de ahora se podr´a expresar (sin am- big¨uedad) R1 ◦ R2 ◦ R3. Prof. Francisco Rodr´ıguez 9
  10. 10. Teorema 6 Dados los conjuntos A, B, C y las relaciones R⊆ A × B, S⊆ B × C, entonces a) (R ◦ S)−1 = S−1 ◦ R−1. b) R−1 −1 =R. c) R−1 = (R)−1. Teorema 7 Si R y S son relaciones de A en B, entonces se verifica: a) Si R⊆S, entonces R−1⊆S−1. b) (R ∩ S)−1 =R−1 ∩ S−1. c) (R ∪ S)−1 =R−1 ∪ S−1. Prof. Francisco Rodr´ıguez 10
  11. 11. Producto booleano de matrices Definici´on 10 Dadas M ∈ Mm×n-{0,1} y N ∈ Mn×p-{0,1}, M = (mij) y N = (nij) tiene sen- tido el producto booleano de ambas matrices que se realiza de la siguiente forma: M N =   n k=1 (mik ∧ nkj)   La nueva matriz M N ∈ Mm×p-{0,1}. Queda establecido en la definici´on que s´olo ad- miten el producto booleano aquellas matrices que est´an “encadenadas” en el sentido que el n´umero de columnas de la primera matriz coin- cide con el n´umero de filas de la segunda ma- triz. Ejemplo:    0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0         1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0      =    0 1 1 0 1 0 1 1 1    Prof. Francisco Rodr´ıguez 11
  12. 12. Es evidente que el producto booleano de matri- ces no es conmutativo. Se deja como ejercicio comprobar que es asociativo, es decir: M (N Q) = (M N) Q pudi´endose, por tanto representar el producto booleano de tres matrices de la forma M N Q. Llamamos matrices-{0,1} cuadradas a aque- llas que tienen el mismo n´umero de filas que de columnas. En ellas tiene sentido el produc- to M M que podemos representar por M2, abreviando el s´ımbolo simplemente como M2, quedando claro, dentro de este contexto, que nos referimos al producto booleano. Definici´on 11 Llamaremos matriz identidad de orden n a la matriz-{0,1} cuadrada de n filas y n columnas In = (δij) definida δij = 1 si i = j 0 si i = j Prof. Francisco Rodr´ıguez 12
  13. 13. Ejemplo: Las matrices identidad de orden 2 y 3 son: I2 = 1 0 0 1 ; I3 =    1 0 0 0 1 0 0 0 1    In tiene la propiedad de dejar invariante a otra matriz mediante el producto booleano. Si M es una matriz cuadrada del mismo orden que In se verifica que In M = M In = M. Si M es una matriz-{0,1}, generalizamos las potencias de M con el siguiente sentido: 1. M0 = In 2. Si n ∈ Z+ Mn = M Mn−1 Teorema 8 Si R1 y R2 son relaciones entre conjuntos finitos y exite R1 ◦ R2, entonces M(R1 ◦ R2) = M(R1) M(R2) Prof. Francisco Rodr´ıguez 13
  14. 14. Relaciones binarias Definici´on 12 Llamaremos relaci´on binaria R en un conjunto A a una relaci´on de A en A, es decir un subconjunto de A × A. De forma an´aloga se pueden definir las rela- ciones n-arias como los subconjuntos del n- producto cartesiano A × · · · × A = An. Ejemplo: La relaci´on si A = {1, 2, 3, 4} y R= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} po- demos representarla por el grafo dirigido 1 2 34 Prof. Francisco Rodr´ıguez 14
  15. 15. Relaci´on identidad: Sobre un conjunto A denotaremos por I una relaci´on binaria a I b ⇐⇒ a = b en ocasiones especificaremos el conjunto como sub´ındice: IA. Si A es finito de n elementos, entonces M(I) = In: Una relaci´on binaria R⊆ A × A se dice que es: • Reflexiva: para cada a ∈ A, a R a. • Sim´etrica: para cada a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a. • Antisim´etrica: para cada a, b ∈ A, a R b y b R a ⇒ a = b. • Transitiva: para cada a, b, c ∈ A, a R b y b R c ⇒ a R c. Relaci´on de Equivalencia:    Reflexiva sim´etrica transitiva Relaci´on de orden:    Reflexiva antisim´etrica transitiva Ejemplos: • Definimos sobre A = Z × Z∗ la relaci´on binaria (a, b) R (c, d) ⇐⇒ ad = bc es de equivalencia. • En Z+ se define la relaci´on binaria a | b es de orden. Prof. Francisco Rodr´ıguez 15
  16. 16. Definici´on 13 Dada R en A se define: a) R0=I, y b) para todo n ∈ N, Rn+1=R ◦ Rn. Si R est´a definida sobre un conjunto finito, entonces es f´acil comprobar que M(Rn) = M(R)n Relaci´on de conectividad: Dada R en A, construimos R∞ como sigue; a R∞ b ⇐⇒ ∃ n ∈ Z+ | a Rn b Es f´acil probar el siguiente Teorema 9 Si R es una relaci´on binaria, en- tonces R∞= ∞ n=1 Rn Prof. Francisco Rodr´ıguez 16
  17. 17. Relaci´on de accesibilidad: An´alogamente definimos R∗ como sigue: a R∗ b ⇐⇒ ∃ n ∈ N | a Rn b es decir R∗=I ∪ R∞ Teorema 10 Si R es una relaci´on binaria, entonces R∗ = ∞ n=0 Rn Si A es finito, es trivial que el n´umero de posibles po- tencias Rn es finito, con lo cual el c´alculo de R∞ y R∗ se realiza mediante un proceso finito. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4} y R= {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 2)} entonces R2 = {(1, 4), (1, 2), (3, 4)} R3 = {(1, 4)} Rn = ∅ para n ≥ 4 Por otro lado se tiene que R∞ = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 2), (3, 4)} R∗ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} Prof. Francisco Rodr´ıguez 17
  18. 18. Teorema 11 R en A es reflexiva si y solo si contiene a la relaci´on identidad. R reflexiva ⇐⇒ I⊆R Corolario 12 Dadas R y S en A, entonces: a) Si R es reflexiva, tambi´en lo es R−1. b) Si R y S son reflexivas, tambi´en lo son R ∪ S y R ∩ S. Teorema 13 Dada R en A: a) R es sim´etrica ⇐⇒ R=R−1. b) R es antisim´etrica ⇐⇒ R ∩ R−1⊆I. Prof. Francisco Rodr´ıguez 18
  19. 19. Corolario 14 Dadas R y S en A, entonces: a) Si R es sim´etrica, tambi´en lo son R−1 y R. b) Si R y S son sim´etricas, tambi´en lo son R ∪ S y R ∩ S. Teorema 15 Sea R en A, entonces R es tran- sitiva, si y solo si R2⊆R Corolario 16 Si R y S son transitivas, enton- ces tambi´en R ∩ S lo es. Teorema 17 Si R y S son antisim´etricas, en- tonces tambi´en R ∩ S lo es. Se deja como ejercicio expresar los teoremas y corolarios anteriores en funci´on a la matriz de la relaci´on sobre un conjunto finito. Prof. Francisco Rodr´ıguez 19
  20. 20. Representaci´on por grafos Si un v´ertice a del grafo est´a unido mediante una arista con un otro v´ertice b se dice que a es adyacente a b. Puede ocurrir que dos v´ertices sean mutuamente adyacentes, como ocurre con los v´ertices 1 y 2 del ejemplo an- terior. Un v´ertice adyacente consigo mismo se dice que es un lazo. Se tiene, por tanto que, una relaci´on es refle- xiva si todos los v´ertices de su grafo son lazos. Es sim´etrica si todos los v´ertices adyacentes lo son mutuamente. Es antisim´etrica si no exis- ten v´ertices mutuamente adyacentes. Definici´on 14 Un v´ertice a de un grafo esta unido a b por un camino de longitud k si existen k + 1 v´ertices x0, x1, x2, . . . , xk tales que: • a = x0 • ∀ i (1 ≤ i ≤ k) xi−1 es adyacente a xi • b = xk Prof. Francisco Rodr´ıguez 20
  21. 21. Una relaci´on es transitiva si verifica que todo v´ertice unido a otro por un camino de longitud 2 es adyacente a ´el. 1 2 3 Podemos construir las relaciones Rn a partir de un grafo que represente a R, sin m´as que con- siderar los caminos de longitud n. As´ı mismo, se construye R∞ relacionando dos elementos entre s´ı cuando existe alg´un camino (de cual- quier longitud) que los enlaza. 1 2 3 4 5   1 2 3 4 5   2 1 2 3 4 5   8 Prof. Francisco Rodr´ıguez 21
  22. 22. Cierres Definici´on 15 Dada una relaci´on binaria R so- bre un conjunto A y una propiedad P, llama- remos cierre P de R a una relaci´on R definida sobre el mismo conjunto que verifica: 1. R posee la propiedad P. 2. R⊆R . 3. Si S posee la propiedad P y R⊆S, entonces R ⊆S Teorema 18 Si R es una relaci´on sobre A, en- tonces su cierre reflexivo es ρ(R) =R ∪ I Si A es finito, desde el punto de vista matricial se tiene M(ρ(R)) = M(R) ∨ In. Prof. Francisco Rodr´ıguez 22
  23. 23. Teorema 19 Si R es una relaci´on sobre A, en- tonces su cierre sim´etrico es σ(R) =R ∪ R−1 Si A es finito M(σ(R)) = M(R) ∨ M(R)T . Ejemplo: M(R) =    1 0 0 0 1 1 0 1 0    y seg´un los teoremas anteriores: M(ρ(R)) =    1 0 0 0 1 1 0 1 1    M(σ(R)) =    1 0 0 0 1 1 0 1 0    ∨    1 0 0 0 1 1 0 1 0    =    1 0 0 0 1 1 0 1 0    Por tanto ρ(R) = {(1, 1), (2, 2), (3, 2), (3, 3)} y σ(R) = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2)} =R Prof. Francisco Rodr´ıguez 23
  24. 24. El cierre transitivo de una relaci´on binaria no es tan f´acil como los anteriores. Obs´ervese que dada R, la relaci´on R∞ es siempre transitiva(¿por qu´e?), de hecho, se prueba Teorema 20 Si R es una relaci´on sobre A, entonces su cierre transitivo es τ(R) =R∞. Ejemplo: Dada la relaci´on binaria cuya matriz es M(R) =    0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1    calculamos las sucesivas potencias de M(R) que son: M(R)2 =    0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1    M(R)3 = M(R)4 =    0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1    luego M(R∞ ) = M(R) ∨ M(R)2 ∨ M(R)3 ∨ M(R)4 =    0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1    Prof. Francisco Rodr´ıguez 24
  25. 25. Algoritmo de Warshall Definici´on 16 Dado un conjunto A = {a1, a2, · · · , an} y una relaci´on binaria R sobre A, definimos la secuencia de matrices-(0,1) W0, W1, · · · , Wn cu- yos elementos denotaremos Wk = (w (k) ij ) cons- truidas del siguiente modo: • W0 = M(R) • para k > 0 se define Wk a partir de Wk−1 w (k) ij = w (k−1) ij ∨ (w (k−1) ik ∧ w (k−1) kj ) Teorema 21 (Algoritmo de Warshall) En las condiciones de la defici´on anterior, se tiene que Wn = M(R∞). Prof. Francisco Rodr´ıguez 25
  26. 26. Ejemplo: Dado A = {a, b, c, d} vamos a calcular el cierre transitivo de la relaci´on binaria R R= {(a, a), (a, b), (a, d), (b, c), (b, d), (d, d), (d, a)} W0 =    1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1    1 2 4 1 11 12 14 4 41 42 44 W1 =    1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1    3 4 1 13 14 4 43 44 W2 =    1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1    W3 = W2 1 2 3 4 1 11 12 13 14 2 21 22 23 24 4 41 42 43 44 de donde resulta W4 =    1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1    con lo que resulta que M(R∞) = W4. Prof. Francisco Rodr´ıguez 26
  27. 27. Relaciones de equivalencia Definici´on 17 Dado A = ∅, llamaremos parti- ci´on de A a una colecci´on de subconjuntos no vac´ıos de A tales que verifican: i) i∈I Ai = A ii) Los subconjuntos Ai son disjuntos dos a dos: Ai ∩ Aj = ∅ para todo i = j A A A A A 1 2 3 4 5 Ejemplo: Si A = {1, 2, · · · , 10} son particiones de A: • A1 = {1, 2, 3, 4, 5}, A2 = {6, 7, 8, 9, 10} • A1 = {2, 4, 6}, A2 = {8, 10}, A3 = {1, 3}, A4 = {5, 7, 9} • Ai = {2i − 1, 2i}, i ∈ {1, 2, 3, 4, 5} Prof. Francisco Rodr´ıguez 27
  28. 28. Definici´on 18 Si R es una relaci´on de equivalencia en A y a ∈ A, llamaremos clase de equivalencia de a [a] = {x ∈ A | x R a} Teorema 22 Si R es una relaci´on de equivalencia sobre A y a, b ∈ A, entonces: i) a ∈ [a]. ii) a R b si y s´olo si [a] = [b]. iii) Si [a] = [b], entonces [a] ∩ [b] = ∅. Ejemplo: si A = {1, 2, 3, 4, 5}, y R es la relaci´on binaria definida en la figura, tenemos entonces dos clases de equivalencia: [1] = {1, 4} y [2] = {2, 3, 5} 2 3 4 5 1 Las clases de equivalencia sobre A o bien son iguales o bien son disjuntas, y cada elemento pertenece a una clase, la suya propia. Prof. Francisco Rodr´ıguez 28
  29. 29. Corolario 23 Las clases de equivalencia de u- na relaci´on de equivalencia sobre un conjunto A definen una partici´on sobre el conjunto. El rec´ıproco de este corolario tambi´en se ve- rifica, es decir: una partici´on {Ai: i ∈ I} sobre un conjunto A tambi´en define una relaci´on de equivalencia, a saber a R b ⇐⇒ a, b pertenecen a Ai y las clases de equivalencia de dicha relaci´on coincide con la partici´on de la cual procede. Definici´on 19 Al conjunto de todas las clases de equivalencia definidas por R sobre A, se le llama conjunto cociente y lo representamos A/ R. N´otese que en el conjunto cociente, las clases de equivalencia, pasan de ser conjuntos a ser elementos de dicho conjunto cociente. Prof. Francisco Rodr´ıguez 29
  30. 30. Ejemplos: 1. Dado n ∈ N, definimos la relaci´on de con- gruencia m´odulo n sobre Z: a R b ⇐⇒ a ≡ b (mod n) ⇐⇒ b − a es m´ultiplo de n Es f´acil probar que es una relaci´on de e- quivalencia. El conjunto cociente recibe el nombre de enteros modulares Z/ R= Zn = {[0], [1], · · · , [n − 1]}. 2. Q es tambi´en un conjunto cociente cons- truido a partir de Z × (Z − {0}). (m, n) R (m , n ) ⇐⇒ mn = nm los elementos [(m, n)] ∈ Z × (Z − {0})/ R= Q se llaman fracciones enteras o n´umeros racionales y se representan m n . Prof. Francisco Rodr´ıguez 30
  31. 31. Sean π1 y π2 particiones de un conjunto A y sean R1 y R2 sus respectiva relaciones de e- quivalencia. Definici´on 20 (Refinamientos) Diremos que π1 es un refinamiento de π2 (π1 ≤ π2) si R1 ⊆ R2. Definici´on 21 (Producto de particiones) Llamamos π1·π2 a la partici´on correspondiente a la relaci´on R1 ∩ R2. Definici´on 22 (Suma de particiones) Llamamos π1+π2 a la partici´on correspondien- te a la relaci´on (R1 ∪ R2)∗. Ejemplo: Sea A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} y sean π1 = {{a, b, c, d}, {e, f, g}, {h, i}, {j, k}} π2 = {{a, b, c, h}, {d, i}, {e, f, j, k}, {g}} entonces π1 · π2 = {{a, b, c}, {d}, {e, f}, {g}, {h}, {i}, {j, k}} π1 + π2 = {{a, b, c, d, h, i}, {e, f, g, j, k}} Prof. Francisco Rodr´ıguez 31
  32. 32. Relaciones de orden Diremos que una relaci´on R es de orden si verifica las propiedades reflexiva, antisim´etrica y transitiva. Gene- ralmente usaremos la notaci´on ≤ en lugar de R para expresar relaciones de orden. Definici´on 23 Diremos que un conjunto A es ordena- do si hay definido en ´el alguna relaci´on de orden. Lo representamos de la forma (A, ≤). Orden total o lineal Un conjunto ordenado (A, ≤) se dice que totalmente ordenado o linealmente ordenado si para cada par de elementos a, b ∈ A se tiene o bien a ≤ b o bien b ≤ a. Un conjunto ordenado que no es totalmente ordenado se dice que es parcialmente ordenado. Diagramas de Hasse Si E es finito, se puede representar un grafo, poniendo los elementos “posteriores” a otros, en escalones supe- riores unidos por una sucesi´on ascendente de arcos. Ejemplo: Dado (A, |), donde A = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 15, 16, 20, 30} su diagrama de Hasse se puede representar 1 3 52 8 6 10 15 16 20 30 Prof. Francisco Rodr´ıguez 32

×