1. UNIDAD III
UNIDAD XII
Verificar la mejor solución
U
n applet es un componente de una aplicación que se ejecuta en el contexto de otro programa, por
ejemplo un navegador web. El applet debe ejecutarse en un contenedor, que lo proporciona un
programa anfitrión, mediante un plugin (complemento), o en aplicaciones como teléfonos móviles
que soportan el modelo de programación por 'applets'.
Un Java applet es un código JAVA que carece de un método main, por eso se utiliza principalmente
para el trabajo de páginas web, ya que es un pequeño programa que es utilizado en una página HTML y
representado por una pequeña pantalla gráfica dentro de ésta.
Comunicación matemática
• Reconocer y utilizar todas las fórmulas de
identidades trigonométricas.
Análisis y demostración
• Definir las ecuaciones e identificar las pri-
meras soluciones básicas y su aplicación.
Resolución de problemas
• Resolver problemas que involucren las
soluciones básicas.
• Resolver problemas de contexto y solu-
ción general.
• Identificar las ecuaciones, valor principal
y estrategias para la resolución de proble-
mas.
Pantalla de un applet de Java,
explicando la medida con un
micrómetro

2. Razonamiento Matemático
217
1
Trigonometría
Unidad XII
Central: 619-8100
Ecuaciones trigonométricas
Conceptos básicos
Definición
Son aquellas ecuaciones, donde la incógnita está afectada por operadores trigonométricos, como toda
igualdad condicional se verificará para ciertos valores de la variable (incógnita) presente, denominándose
a estos valores soluciones de la ecuación trigonométrica.
Ejemplos:
• senx + cosx = 1 ⇒ Sí es ecuación trigonométrica
• tanx + sec2x = 3 ⇒ Sí es ecuación trigonométrica
• 3x + tanx = 2 ⇒ No es ecuación trigonométrica
¿Qué es resolver una ecuación trigonométrica?
Resolver una ecuación trigonométrica significa encontrar todos los valores que toma la incógnita, que
verifican la ecuación convirtiéndola en una igualdad absoluta. Pero, debido al carácter periódico de las
funciones trigonométricas; no solo se encontraron una o dos soluciones, sino que generalmente existirá
una cantidad ilimitada de soluciones, motivo por el cual, se hace necesario el uso de fórmulas que permiten
encontrar el conjunto global de las soluciones de la ecuación trigonométrica, llamada solución general de
la ecuación trigonométrica.
Ejemplos:
• Si tuviésemos que resolver una ecuación sencilla como: senx =
1
2
→ x = 30°; 150°; ...
estas son solo dos soluciones, pero si quisiéramos encontrar soluciones adicionales, tan solo ten-
dríamos que sumarle o restarle múltiplos de 360°, de la siguiente manera, a las ya indicadas.
Esto es:
x = 30°, 150°, 390°, 510°, 750°, 870°, ...
+360° +360°
+360° +360°
También:
x = ..., – 570°, – 330°, – 210°, 30°, 150°
– 360° – 360°
–360° –360°
Es decir: x = ..., – 570°, – 330°, – 210°, 30° , 150°, 390°, 510°, 750°, ...
Estás son algunas soluciones particulares de la ecuación trigonométrica, y en lo sucesivo tendre-
mos que aplicar este criterio para determinarla (la explicación es por que los ángulos a obtener son
coterminales con los primeros).
¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica?
Ecuaciones trigonométricas elementales (E.T.E.)
R.T.(x) = n
Para este tipo de ecuaciones se encuentran generalmente dos primeras soluciones, y se les va agregando o
restando múltiplos de 360°, como en el apunte anterior.

3. 218
Ecuaciones trigonométricas
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe
Ejemplos:
• senx = 2
2
x = 45°, 135°, 405°, 495°, 765°, ...
+360° +360°
+ 360° + 360°
x = – 585°, – 315°, – 225°, 45°, 135°, ...
– 360° – 360°
– 360°
Pero la pregunta evidente es: ¿Cómo determino las dos primeras soluciones?, se aplica el siguiente criterio.
a) Si la ecuación trigonométrica es:
R.T.(x) = n; n > 0
Normalmente habrá una solución para x ∈ IC, aguda, si esta es "q" entonces la otra solución depende-
rá del cuadrante en el que se ubique este. Si la solución aguda es: x = q.
Y si hubiera otra en el:
IIC ⇒ sería: x = 180° – q IIIC ⇒ sería: x = 180° + q IVC ⇒ sería: x = 360°– q
Ejemplos:
I. tanx = 3 ⇒ x = 60°
Como "tanx" es positiva, la otra solución debería ser del IIIC, es decir: x = 180° + 60° ⇒ x = 240°
Luego: x = 60°, 240°, ... aquí le agregamos o restamos múltiplos de 360°.
II. cosx =
2
1 ⇒ x = 60°
Como "cosx" es positivo, la otra solución debería ser del IVC, es decir: x = 360° – 60° ⇒ x = 300°
Luego: x = 60°, 300°, 420°, 660°, ...
+360°
+360°
III. cotx = 3 ⇒ x = 30°
La otra solución debe ser del IIIC (ya que "cotx" es positiva), es decir: x = 180° + 30° ⇒ x = 210°
Luego: x = 30°, 210°, 390°, 570°, ...
+360°
+360°
b) Si la ecuación trigonométrica elemental es:
R.T.(x) = n; n < 0
En este caso, resuelva a modo de ayuda, la ecuación R.T.(x) = |n|, y calcule la ecuación aguda de dicha
ecuación, con esa solución se calculan las verdaderas con la misma idea anterior, solo que ahora la
R.T.(x) es negativa.
Ejemplos:
I. senx = – 3
2
Resolvemos: senx = 3
2
⇒ x = 60°

4. Razonamiento Matemático
219
1
Trigonometría
Unidad XII
Central: 619-8100
Pero como el "senx" es negativo, las dos primeras soluciones deberían ser del IIIC y IVC, luego:
IIIC: x = 180° + 60° ⇒ x = 240°
IVC: x = 360° – 60° ⇒ x = 300°
Luego:
x = 240°, 300°, 600°, 660°, ...
+360°
+360°
II. cosx = – 2
2
Resolvemos: cosx = 2
2
⇒ x = 45°
Como el "cosx" es negativo en el IIC y IIIC, tendríamos: IIC: x = 180° – 45° ⇒ x = 135°
IIIC: x = 180° + 45° ⇒ x = 225°
Luego:
x = 135°, 225°, 495°, 585°, ...
+360°
+360°
III. tanx=– 3
3
Resolvemos: tanx = 3
3
⇒ x = 30°
Como la "tanx" es negativa en el IIC y IVC, tendríamos: IIC: x = 180° – 30° ⇒ x = 150°
IVC: x = 360° – 30° ⇒ x = 330°
Luego: x = 150°, 330°, 510°, 690°, ...
Ecuaciones trigonométricas no elementales
Las ecuaciones trigonométricas no elementales son aquellas que operan diferentes razones trigonométricas
de la incógnita o de variables que involucran a dicha incógnita. En estos casos, la idea de simplificar la
ecuación aplicando toda la teoría del curso ya desarrollado (identidades de una misma variable, de la suma
y/o diferencia de variables, de la variable doble, mitad, triple, así como transformaciones trigonométricas y
teoría de funciones trigonométricas inversas), reduciendo a la forma elemental o quizás de la forma:
R.T.(Bx + q) = n
para aplicar lo ya expuesto en la resolución de una E.T. Elemental.
Ejemplos:
• Resolver e indicar algunas soluciones de:
I. tan2x (1 – sen2x) cscx =
1
2
Por identidades trigonométricas, reducimos:
sen2x
cos2x
. cos2x .
1
senx
=
1
2
⇒ senx =
1
2
note que: cosx ≠ 0 ∧ senx ≠ 0
Luego: x = 30°, 150°, 390°, ...
180° – 30°

5. 220
Ecuaciones trigonométricas
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe
II. sen3x . cos2x – sen2x . cos3x = 1
Reconozca el desarrollo: sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa
Luego: sen3x . cos2x – sen2x . cos3x = 1
a b b a
sen(3x – 2x) = 1 ⇒ senx=1 ⇒ x = 90°, 450°, ...
III. sen(3x–15°)=
2
3
En este caso no hay nada que reducir, pues la ecuación tiene la forma elemental, así que se resuel-
ve de manera similar, pero tenga en cuenta como se despeja la incógnita.
+ 360°
3x – 15° = 60°, 120°, 420°, 480°, ...
+ 360°
3x = 60° + 15°, 120° + 15°, 420° + 15°, 480° + 15°, ...
x =
75°
3
;
135°
3
;
435°
3
;
495°
3
; ...
x = 25°, 45°, 145°, 165°, ...
IV. senx . cosx . cos2x = 3
8
Tenemos que reducir la expresión, pero recuerde que: sen2q = 2senq . cosq
Tenemos: 2senx cosx cos2x = 3
8
. 2 (multiplicando × 2)
sen2x . cos2x = 3
4
(otra vez × 2)
2sen2x . cos2x = 3
4
. 2 ⇒ sen4x = 3
2
Luego: 4x = 60°, 120°, 420°, 480°, ...
x = 15°, 30°, 105°, 120°, ...
Nota: Las consideraciones algebraicas acerca de la resolución de ecuaciones, que tiene que ver,
con el perder soluciones o agregar soluciones, se mantienen, así que debemos tener cuidado con
las simplificaciones de términos que contienen a la incógnita.
V. 1 + sen2x = senx + cosx
En este caso recuerde que: (senx + cosx)2 = 1 + sen2x
Luego la ecuación, quedaría así: (senx + cosx)2 = senx + cosx
Cancelando: (senx + cosx): senx + cosx = 1 (multiplicando por: 2/ 2)
2(senx . 1
2
+ cosx . 1
2
) = 1
cos45° sen45°
2(senx . cos45° + cosx . sen45°) = 1
144444424444443
2sen(x + 45°) = 1 → sen(x + 45°) = 1
2
. 2
2
= 2
2

6. Razonamiento Matemático
221
1
Trigonometría
Unidad XII
Central: 619-8100
+ 360°
Luego: x + 45° = 45°, 135°, 405°, 495°, ...
+ 360°
x = 0°, 90°, 360°, 450°, ...
Pero, para no perder soluciones, el factor cancelado se debe igualar a cero (0); esto es:
senx + cosx = 0 ⇒ senx = – cosx ⇒ senx
cosx
= – 1 ⇒ tanx = – 1 (x ∈ IIC ∧ IVC)
Recuerde que primero resuelva: tanx = 1 ⇒ x = 45°
Luego las soluciones serían: IIC: x = 180° – 45° = 135°
IVC: x = 360° – 45° = 315° ⇒ x = 135°, 315°, ...
VI. senx + cos2x = 1
En este ejemplo, homogenizamos la variable, esto es, colocamos la expresión en términos de una
misma variable(x), para ello recuerda que: cos2q = 1 – 2sen2q.
Luego, quedaría así: senx + cos2x = 1 ⇒ senx + 1 – 2sen2x = 1 ⇒ senx = 2sen2x
Cancelando: 1 = 2senx ⇒ senx =
1
2
⇒ x = 30°, 150°, 390°, ...
Pero, como cancelamos "senx", lo igualamos a cero (0) para no perder soluciones, esto es:
senx = 0 ⇒ x = 0°, 180°, 360°, ...
Obtención de la solución general
Generalmente vamos a tener que resolver ecuaciones trigonométricas no elementales, así que la idea
central es reducir la ecuación dada y llevarla a la forma elemental, para ello es bueno recordar:
1. Es preferible una sola variable a diferentes variables
2. Es preferible una R.T. a diferentes R.T.
3. Cancelar términos que involucran a la incógnita en numeradores de miembros diferentes, implica
igualarlo a cero para no perder soluciones.
4. Si hay varios senos y/o cosenos de múltiplos muy grandes de la variable, hay una posibilidad de aplicar
transformaciones trigonométricas para reducirlo.
5. Si el valor de la R.T. encontrada no es notable de la solución general, se aplicará la notación de F.T.
inversas.
Donde: Vp → Valor principal.
xg → es la incógnita o una variable que contiene a la incógnita de donde se despeja.
Encontramos Hacemos Donde
senxg = a xg = np +(–1)nVp
– p
2
≤ Vp ≤ p
2
cosxg = a xg = 2np ± Vp 0 ≤ Vp ≤ p
tanxg = a xg = np + Vp
– p
2
< Vp < p
2

7. 222
Ecuaciones trigonométricas
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe
Ejemplos:
Resolver y dar la solución general.
I. sen2x =
1
2
Tenemos: Vp = arcsen
1
2
= 30° <> p
6
⇒ xg = 2x
xg = np + (– 1)nVp ⇒ 2x = np + (– 1)n . p
6
⇒ x = np
2
+ (– 1)n . p
12
II. cos3x = 1
Tenemos: Vp = arccos1 = 0 ⇒ xg = 3x
Luego: xg = 2np ± Vp ⇒ 3x = 2np ± 0 ⇒ x = 2np
3
III. tan5x = 1
Tenemos: Vp = arctan1 = 45° <> p
4
⇒ xg = 5x
Luego: xg = np + Vp ⇒ 5x = np + p
4
⇒ x = np
5
+ p
20
Síntesis teórica

8. Razonamiento Matemático
223
1
Trigonometría
Unidad XII
Central: 619-8100
Problemas resueltos
1. Resolver: 1 + cosx = 2sen2x, indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas.
a) 180° b) 120° c) 200° d) 240° e) 360°
Resolución:
Como la variable es la misma, vamos a colocar todo en términos de una sola razón trigonométrica, así:
1 + cosx = 2sen2x ⇒ 1 + cosx = 2(1 – cos2x)
Factorizando: 1 + cosx = 2(1 + cosx)(1 – cosx)
Cancelando "1 + cosx" quedaría: 1 = 2(1 – cosx)
cosx =
1
2
⇒ x = 60°, 300°
Pero el factor cancelado se iguala a cero (0) para no perder soluciones:
1 + cosx = 0 ⇒ cosx = – 1 ⇒ x = 180°, 540°
Las dos primeras soluciones positivas son 60° y 180° ⇒ suma = 240°
2. Resolver: sec2x = 3tanx + 1, indicando el número de soluciones positivas menores que una vuelta.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolución:
Recuerde que: sec2q = 1 + tan2q
En la ecuación: sec2x = 3tanx + 1 ⇒ 1 + tan2x = 3tanx + 1
quedaría: tan2x = 3tanx
cancelando "tanx", queda: tanx = 3 ⇒ x = 60°, 240°, 420°, 600°, ...
Pero el factor cancelado: tanx = 0 ⇒ x = 0°, 180°, 360°, 540°, ...
Pero piden soluciones positivas y menores que una vuelta, las cuales son: x = 60°, 180°, 240°
Rpta.: = 3
3. Resolver: senx – 3cosx = 1, indicando el menor valor positivo que cumple.
a) 30° b) 60° c) 90° d) 135° e) 180°
Resolución:
En la expresión: senx – 3cosx = 1
Recuerde que: Asenx – Bcosx = A2 + B2sen(x – q), tanq =
B
A
Luego: senx – 3cosx = 1 ⇒ 2sen(x – 60°) = 1, ya que: tanq = 3 ⇒ q = 60°
sen(x – 60°) =
1
2
⇒ x – 60° = 30°; 150°, ...
x = 90°, 210°, ... ⇒ xMenor(+) = 90°

9. 224
Ecuaciones trigonométricas
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe
4. Resolver: sen5x + senx = sen3x, señalando un conjunto solución (n ∈ Z).
a) np
6
b) np ± p
6
c)
np
3
d) a ∪ b e) b ∪ c
Resolución:
En la ecuación recuerde: sena + senb = 2sen a + b
2
cos a – b
2
sen5x + senx = sen3x
2sen3x . cos2x = sen3x
Cancelamos "sen3x", quedaría:
2cos2x = 1 ⇒ cos2x =
1
2
⇒ Vp = arccos
1
2
= p
3
⇒ xg = 2x
Luego: 2x = 2np ± p
3
⇒ np ± p
6
Pero el factor cancelado se iguala a 0, esto es: sen3x = 0 ⇒ Vp = arcsen0 = 0 ⇒ xg = 3x
3x = np + (– 1)n . 0 ⇒ 3x = np ⇒ x = np
3
x = np  p
6
; n ∈ Z ∪ np
3
; n ∈ Z
Aplica lo comprendido
10 x
5
50
Resolver e indicar las dos soluciones básicas de las
siguientes ecuaciones:
1. senx =
1
2
⇒ x =
2. cosx = – 2
2
⇒ x =
3. tanx = 3 ⇒ x =
Indicar el valor principal de cada ecuación:
4. senx = 3
2
⇒ Vp =
5. cosx = 2
2
⇒ Vp =
6. tanx = – 1 ⇒ Vp =
Aprende más...
1. Resuelve: 2senx = 1, si: 0 < x < 180°
a) 60°; 120° b) 45°; 135° c) 36°; 144°
d) 30°; 150° e) 40°; 140°
2. Resuelve: 2cosx = 3, x ∈ 〈0; 360°〉
a) 60°; 120° b) 45°; 135° c) 36°; 324°
d) 30°; 150° e) 30°; 330°
3. Resuelve: tanx – 3 = 0; x ∈ 〈0; 180°〉
a) 60° b) 45° c) 36°
d) 30° e) 22°30'
4. Resuelve la ecuación: tan4x = – 3, calcular la
segunda solución positiva.
a) p
6
b) 5p
12
c)
7p
12
d)
11p
12
e)
9p
12

10. Razonamiento Matemático
225
1
Trigonometría
Unidad XII
Central: 619-8100
5. Resuelve: 4cos2x – 3 = 0; si: 0 < x < 360°
a) 30°; 150°; 210°; 330°
b) 60°; 120°; 210°; 350°
c) 30°; 60°; 150°; 210°
d) 30°; 45°; 150°; 315°
e) 30°; 150°; 210°; 240°
6. Sume las tres primeras soluciones positivas de:
cos3x =
1
2
a) 170° b) 240° c) 300°
d) 260° e) 270°
7. Sume las dos primeras soluciones positivas de:
sen2x –
1
2
= 0
a) 180° b) 360° c) 90°
d) 270° e) 135°
8. Sume las dos primeras soluciones positivas de:
tan5x = 1
a) 45° b) 75° c) 135°
d) 145° e) 180°
9. Si: "x1" y "x2" son los dos primeros valores po-
sitivos de "x" que verifican: 2sen2x + cosx = 1
Calcular: sen(x1 – x2), si: x1 < x2
a)
3
2
b)
1
2
c) 1
d) –
1
2
e) – 3
2
10. Resuelve:
sen2x – cos2x – cosx = 1; si: 0 < x < p
a) p
4
; p
2
b) p
3
; p
4
c)
p
2
; 2p
3
d)
p
2
; 3p
4
e)
p
2
; 5p
6
11. Resuelve: 3senx + 2 = cos2x, indica el número
de soluciones en el intervalo [p; 2p].
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
12. Señale la solución general de la ecuación:
5tanx . cosx + senx = 3 2
a) np + (–1)np
4
b) np + (–1)np
3
c) np + (–1)np
6
d) np + (–1)np
8
e) np + (–1)np
5
13. Señale la solución general de la ecuación:
5senx . cotx – 3 = 3cosx
a) 2np ± p
6
b) 2np ± p
4
c) np ± p
8
d) 2np ± p
5
e) 2np ± p
3
14. Señale la solución general de la ecuación:
secx . cscx – ctgx = 1
a) np + p
3
b) np + p
4
c) np + p
6
d) np + p
10
e) np + p
12
15. Resolver: 3sen2x = cosx
a) 2np ± p
2
b) np+ (–1)narcsen1
6
c) 2np ± p
4
d) a y b
e) b y c
¡Tú puedes!
1. Resuelve la ecuación: 2 + tanx + 2 – tanx = 2tanx
a) 30° b) 45° c) 53° d) 60° e) 3p
2. Si "q" es un parámetro, resuelve el sistema: senx + seny =
1
2
cscq –
cos2q
senq
a) x = 2q b) x = 0 c) x = q
2
+30º d) x = 90° e) x = q

11. 226
Ecuaciones trigonométricas
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe
1. Resuelve: sen2x = sen3x
2. Resuelve: tanx = tan6x
3. Resuelve: cos3x = cos5x
4. Resolver:
(sen4x + cos4x)(senx + cosx) = 1 + sen5x
Indicando la suma de los tres primeros valores
positivos de "x".
5. Resolver: sen5x + senx = 0
6. Resolver: senx + cos2x = 1
7. Resolver: sen3x – 2senx = 1
2
tanx
8. ¿Cuántas soluciones presenta la ecuación?
2senx – 1 = x2
9. Resolver:
1
1 + tan2x
+
1
1 + cot2x
+
1
1 – sen2x
+
1
1 – cos2x
= 5
indicando el número de soluciones en 〈0; 2p〉
3. Resuelve: arcsen
5
x
+ arcsen
12
x
= p
2
a) 5 b) 4 c) 3 d) 12 e) 13
4. Resuelva el sistema: senx = cos2y ∧ sen2x = cosy
a) x = y = 30° b) x = y = 45° c) x = 2y = 60° d) x = 3y = 60° e) x = y = 60°
5. Resuelve la siguiente ecuación e indica la suma de soluciones en 〈0; 2p〉
sen
x
2
+ sen
3x
2
= senx
a) 13p
3
b) 5p
3
c)
7p
3
d)
11p
3
e)
8p
3
Practica en casa
18:10:45
10. Determine la suma de soluciones de la ecuación:
.cos
sen x x
2 2 4
2
= , en el intervalo de [0; 2p]
11. Determine la suma de soluciones de la ecua-
ción:
tanx + 3
tan x + p
3
= 4, en el intervalo de [0; 2p]
12. Resolver: sen3x . cscx + cos3x . secx = 2
13. Resolver:
(4sen3x + sen3x)(4cos3x – cos3x) =
9
4
(n ∈ Z)
14. Resolver la ecuación:
sen8x + cos8x =
1
8
; n ∈ Z
15. Resolver el sistema de ecuaciones:
senx + seny = sen(x + y)
|x| + |y| = 1
Señale el número de soluciones.