Este documento describe el teorema de las series alternantes, que establece que una serie alternante converge si los valores absolutos de sus términos decrecen y su límite es cero. Explica que una serie alternante consta de términos positivos y negativos de forma alternada, y provee ejemplos. También presenta la demostración del criterio de Leibniz para la convergencia de series alternantes.

1. Teorema 4 : si es una sucesión monótona decreciente con límite 0, la serie alternada Converge. Si S designa su suma y Su suma parcial n- sima, se tienen las desigualdades.

2. SERIES ALTERNANTES ES UN TIPO DE SERIES INFINITAS QUE CONSTA DE TERMINOS POSITIVOS Y NEGATIVOS, CUYOS TERMINOS SON ALTERNADAMENTE , POSITIVOS Y NEGATIVOS .

3. Si para todos los números enteros positivos n, entonces la series pueden ser con su primer término Positivo: Y con su primer número negativo:

4. EJEMPLOS 1) . Cuando su primer término es positivo:

5. 2) . Cuando su primer término es negativo:

6. Una serie alternante es convergente si los valores absolutos De sus términos decrecen y el límite n- esimo término es cero. Este criterio también se le conoce como el Criterio de Leibniz para series alternantes debido a que fue formulado por él en 1705.

7. TEOREMA DEL CRITERIO DE LAS SERIES ALTERNANTES Suponga que se tiene la serie alternante: Para todos los números enteros positivos n. Entonces la serie alternante es convergente.

8. DEMOSTRACION Se tiene la serie alternante: Consideramos la suma parcial:

9. Por hipótesis se tiene que: Cada cantidad en la hipótesis es positiva : También se puede escribir como :

10. Como , cada cantidad dentro de los paréntesis es positiva. Por lo tanto: Para cada número positivo n. De (3) y (4) : Para cada número positivo n. De modo que la sucesión es monótona acotada entonces ES CONVERGENTE.

11. Suponga que el límite de esta sucesión es , esto es: entonces como Por hipótesis

12. 0 entonces entonces Por lo tanto, la sucesión de sumas parciales de los términos Pares y la sucesión de sumas de los términos impares Tienen el mismo límite S.

13. Ahora demostrare que el como Para cualquier / Si

14. como /si Si N es el mayor de los números enteros Entonces de reduce a que si entonces Por lo tanto Es convergente.