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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
                                                   “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
                                                     EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
                                                        Cátedra: Matemática II
                                                   Especialidad: Mecánica - Química
                                                       Lic. MSc. Dámaso Rojas


                                                                        Guía #I 
I Parte: Derivar y Simplificar las siguientes expresiones. 
                                                                                                ⎛1⎞                                    Sec x
1) f ( x) = Sen3 x                          2) y = tg (4 x 2 )                    3) y = x5 Sec ⎜ ⎟                   4) f ( x) =
                                                                                                ⎝ x⎠                                  tg ( x 2 )
                                                                                              1 + Cos x 2
                                                                                                                   8) f ( x) = ⎡1 + Sen3 ( x5 ) ⎤
                Sen x
                                        6) f ( x) = Cos ( Cos x )
                                                                                                                                                    3
    5) y =                                                                      7) f ( x) =                                    ⎣                ⎦
             Sec ( 3x + 1)                                                                    1 − Ctg x 2
                ⎡π    ⎤
    9) y = Sec3 ⎢ − x ⎥               10) f ( w) = a Cos 2 (π w) + b Sen2 (π w)                          11) y = 1 + Cos 2 x
                ⎣2    ⎦
12) y = ⎡ Sec ( x −2/ 3 + 1) ⎦                                                                          14) y = Ln ( Sen x )
                                     4/ 5
                             ⎤                         13) f ( x) = Sec 2 x − tg 2 x
        ⎣
                                                                                                                       1 − Cos (π x)
15) y = Ln ( tgx )                                     16) y = Cos ( Lnx )                              17) y = Ln
                                                                                                                       1 + Cos (π x)
           ⎡ x 3 x +1 ⎤                                            ( Senx)(Cosx)(tg 3 x)                              e x − e− x
18) y = Ln ⎢                  ⎥                          19) y =                                            20) y =
           ⎢ (Sen x) ( Sec x) ⎥
           ⎣                  ⎦                                              x                                        e x + e− x

                                                                         ( 2)
                                                                                  x Ln x
21) y = e xtgx              22) y = π Senx                     23) y =                              24) k (t ) = k0 e2t ln( sen(t )
                                 ⎡   ⎛x−μ⎞
                                              2⎤
                          ⎢ −1/ 2⎜             ⎥
                     1    ⎢      ⎝     α ⎟
                                         ⎠     ⎥
25) f ( x) =             e⎣                    ⎦
                                                                26) y = etan x e4 Lnx               27) y = Ln x +          x2 + a2
                    2π α
28) y = Ln tg 3x + Sec 3x                                      29) = y = π x xπ                        30) y = arc tg ( x + csc x)
31) y = arccos ( cosx )                                      32) y = Ln [ arccos x ]             33) y = arcctg x
                                                                            ⎡1 − x ⎤
34) y = x 2 ( arcsenx )                                       35) y = arctg ⎢                      36) y = arc sec x + arccscx
                             3
                                                                                   ⎥
                                                                            ⎣1 + x ⎦
                                                                           ⎡ 2x ⎤                               ⎛ 2x ⎞
37) y = arcsen(e x ) + 2arctg (3x)                          38) y = arc tg ⎢     2⎥
                                                                                                 39) y = arc tg ⎜ 2    ⎟
                                                                           ⎣1 − x ⎦                             ⎝ x − 1⎠
                                                 arc tgx
40) y = e Arc Sec x                  41) y =                       42) y = π Arc Senx                  43) y = e x arcsenx
                                                  Lnx
             3 arcsec( x)                            (arcsen x) (arcsen( x 2 ))
44) y =                                     45) y =                                                 46) y = tgx − ctg x
                 Ln x                                           ex
                                                                 −1                                      1      1
47) x = csc 2t + sec 2t               48) f ( x) =                                           49) y =          −
                                                         6 (1 − 3 cos x )
                                                                            2
                                                                                                       3cos3 x cosx
                 3senx − 2cos x                                            1
50) y =                                            51) y = 3 sen2 x +                      52) y = 1 + arcsenx
                       5                                                 cos3 x
 
              
              



www.galeon.com/damasorojas/
damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
                                        “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
                                          EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
                                             Cátedra: Matemática II
                                        Especialidad: Mecánica - Química
                                            Lic. MSc. Dámaso Rojas


53) y = arctgx − ( arcsen x )                     54) y =         2 e x − 2 x + 1 + Ln5 x
                                     3                        3


                                  ⎛a⎞
55) y = sen ( x 2 − 5 x + 1) + tg ⎜ ⎟           56) f (t ) = ( sent )( sen ( t + φ ))
                                  ⎝x⎠
                  1 + cos (2 x)                               ⎛1+x ⎞
57) f ( x) =                                    58) y = arctg ⎜      ⎟
                  1 − cos (2 x)                               ⎝1 − x ⎠
59) y = x 2 102 x                               60) y = Ln ( e x + 5 senx − 4arcsenx )

61) y = arctg ( Lnx ) + Ln ( arctg x ) 62) y =                    Lnx + 1 + Ln       (   x +1  )
        ⎛ a + bx n ⎞
63) y = ⎜        n ⎟
        ⎝ a − bx ⎠
                              64) Z =    3
                                             y+      y       65) y = Ln        (               )
                                                                                   1 + e x + 1 − Ln   (   1 + ex + 1    )
66) y =
         1
           (cos 3 x) ( 3 cos 2 x − 5 )              67) y =
                                                            ( tg      2
                                                                          x − 1) ( tg 4 x + 10 tg 2 x + 1)
        15                                                                          3 tg 3 x
                                                                 cosx   4
68) y = (3senx) (cos 2 x) + sen3 x             69) y = −            3
                                                                       + ctg x
                                                               3 sen x  3
                                                         arc cos x
70) y = α sen 2 x + β cos 2 x                71) y =
                                                           1 − x2
           1                                                            ⎛ x 2 −1 ⎞
72) y =      ( arcsen x ) (arccosx)                      73) y = arcsen ⎜ 2 ⎟
                         2

           2                                                            ⎝ x ⎠
               ⎡   x ⎤                                       1         ⎛   b⎞
74) y = arcsen ⎢        ⎥                      75) y =          arcsen ⎜ x
                                                                       ⎜    ⎟
               ⎢ 1 + x2 ⎥                                     b        ⎝   a⎟
                                                                            ⎠
               ⎣        ⎦
                                           ⎛x⎞                  ⎛     1                 1            ⎞
76) y = x          a 2 − x 2 + a 2 (arcsen ⎜ ⎟)        77) y = ⎜ x − arcsen x +               x − x2 ⎟
                                           ⎝a⎠                  ⎝     2                 2            ⎠
              ⎛ x sen α ⎞                                          ⎡    x ⎤
78) y = arctg ⎜                                79) y = 3b 2 arctg ⎢           ⎥ − ( 3b + 2 x ) bx − x
                                                                                                        2
                            ⎟
              ⎝ 1 − x cos α ⎠                                      ⎣ b − x⎦
                  ⎛ tgx ⎞
80) y = − 2arcctg ⎜                            81) f ( x) = ( 2ma nx + bx )
                                                                            p
                                                                                  82 ) y =
                                                                                             (α sen ( β x) − β cos ( β x ))
                        ⎟                                                                              α2 + β2
                  ⎝ x⎠

                                                                                                          (                 )
                   ⎛1⎞
               Ctg ⎜ ⎟                                                         x                   a2
83) y = 3          ⎝x⎠
                          84) y = cosx a          Cosx
                                                                  85) y =           x2 − a2 −         Ln x +      x2 − a2
                                                                               2                   2
               ⎡ x2 + a2 + x ⎤                                                        ⎛x − a⎞                                ⎛ ctgx ⎞
                                                             Ln ( x 2 − a 2 ) +
                                                           m                     n                                      1
    86) y = Ln ⎢             ⎥                87) y =                              Ln ⎜     ⎟                 88) y =     Ln ⎜      ⎟
               ⎢ x2 + a2 − x ⎥
               ⎣             ⎦
                                                           2                    2a    ⎝x + a⎠                           2    ⎝ 3x ⎠
 
            
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damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
                                               “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
                                                 EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
                                                    Cátedra: Matemática II
                                               Especialidad: Mecánica - Química
                                                   Lic. MSc. Dámaso Rojas

 

                            1+ x2 + 1
89) y =          x + 1 − Ln                                       90) y = 2arcsen (3 x ) + (1 − arc cos(3 x) )
                    2                                                                                                    2

                               x
            sen ( ax )
                           1 sen3 (ax)                                                                      1
91) y = 3   cos( bx )
                         +                                         92) y = Ln (arcsen x) +                    Ln 2 x + arsen(ln x)
                           3 cos 3 (bx)                                                                     2
              2         x   1    ⎛ x −1 ⎞                                   1 + sen x
93) y =         arctg ( ) +   Ln ⎜      ⎟                         94) y =                        + 2 arctg ( sen x )
             3         12   6    ⎝ x +1 ⎠                                   1 − sen x
                 ⎛ x2 +1 ⎞ 1                                                                                          ⎡ 2 x − 1⎤
                                                                   96) y = Ln (1 + x ) − Ln ( x 2 − x + 1) +
            3                                                             1             1                    1
95) y =       Ln ⎜ 2 ⎟ + arcctg x                                                                               arctg ⎢        ⎥
            4    ⎝ x −1 ⎠ 2                                               2             6                     3       ⎣ 3 ⎦
               ( x −1) ( x − 2 )                                                                  ( x − 2)
                                3                                                                                  2
                                                          x (arcsenx)
97) y =     Ln                                    98) y =                            99) y =                                  100) y =    x
                                                                                                                                              x
                    ( x − 3)                                  1 − x2                         ( x −1) ( x − 3)
                                                                                                     3        4



         x ( x − 1)                                  x2                                                 x −1
101) y =                                 102) y = x 2  3                  103) y =                                            104) y x = x y
         ( x − 2)                                   x +1                                 3
                                                                                             ( x + 2)
                                                                                                        2
                                                                                                              ( x + 3)
                                                                                                                         3



105) y = ( cos x )                  106) y = ( arctgx )
                          tgx                               x


 
                           x
         ⎛ 1⎞
107) y = ⎜ 1 + ⎟                    108) y = x ( senx )(cos x )      109 ) y = x     x       y
         ⎝ x⎠
                                        ⎛ x −1 ⎞ x
110) y = 3tgx ( arc cos x )
                        111) y = Ln(cos ⎜                 112) y = Ln ( Ln ( 3 − 2 x3 )
                                     x
                                               ⎟x )
                                        ⎝   x ⎠
                                              ⎡                       ⎤
                                              ⎢                       ⎥
                 + (         )
              b                2
                                              ⎢           x           ⎥
113) y = a −      3 e2 − x 2     114) y = cos
               x                              ⎢         ⎛     x     ⎞⎥                                                                 
                                              ⎢ x − cos ⎜           ⎟⎥
                                              ⎣         ⎝ x + cos x ⎠ ⎦
      x2    y2                   −y                                                   x− y
115) 2 + 2 =1 116) ln( xy ) = e x 117) cos( x − y ) = sen( y + x) 118) y 3 =
     a     b                                                                          x+ y
119) a cos 2 ( x + y ) = btg ( x − y )                     120) csc( x y ) = tgy                     121) e y = Ln( x + y )
                ⎛x⎞                                                                                       ⎛ y⎞ 1
122) xy + arctg ⎜ ⎟                      123)arctg ( x + y ) = y + senx                      124) artgctg ⎜ ⎟ = Ln ( x 2 + y 2 )
                ⎝ y⎠                                                                                      ⎝x⎠ 2




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damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
                                                    “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
                                                      EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
                                                         Cátedra: Matemática II
                                                    Especialidad: Mecánica - Química
                                                        Lic. MSc. Dámaso Rojas


                      ⎛ y⎞
125) x 2 + y 2 = artg ⎜ ⎟                               126) x y cos x = y xseny             127) ( x + y ) ( 2 x + y ) =1
                                                                                                              2                  3

                      ⎝x⎠
                                                                                                                        sen (ln y )
                                                                                                      ⎛ x2 + k ⎞
128) e = Ln ( x + 3 y )
        x                  3
                                                 129) − e cos x + e seny = 0
                                                              y             x
                                                                                             130) y = ⎜ 2 ⎟
                                                                                                      ⎝ x ⎠
                                                       ⎛ 1+ x ⎞
                                                                                                          (                           )
                      ay
         ⎛x⎞
131) y = ⎜ ⎟                                  132) y = ⎜      ⎟                       133) y = x    y
                                                                                                        Ln arc cos 1 − y 2
         ⎝a⎠                                           ⎝ 1− y ⎠
134) x x y y x = e x + y + 2 x                 135) csc ( x + y ) + ctg ( x − y ) = 1              136) x − y = e x + y
 
137) cos xy − sen xy = 0                                                   138) sen (cos y ) − cos ( senx) = 0
           x                       x2 + y 2
139)arcsen( ) = e                                 14 0) xy = 3 x 2 − 3             141) y e2 x + x e2 y    =1
           y
                                                                      x2
142) x 2 x + xy 2 = 6 ( x 2 + y 2 )
                                                                            1
                                                    143) arctg (         )=              144) x( Lny ) = x arc csc y
                                                                      3y    xy
                                                                                   e x − e− x
145) y = x
        x        arcseny
                                                                  146) y = arctg (            )
                                                                                        2
             −3 x 2 − 1                                                                  1           ⎡ a −b       x ⎤
147) y =                + ln               x 2 −1 + arctgx                148) y =             arctg ⎢      ctg )( ) ⎥
               3x3                                                                    a 2 − b2       ⎣ a+b        2 ⎦
 
II Parte: 
Encontrar  una  ecuación  para  cada  recta  tangente  y  para  cada  recta  normal      a  la  curva 
dada en el punto indicado. 

11) y =
 .           3
                 2 ( 3 − x ) en ( 5 , −             3
                                                        4)            1.2 ) y =    16 + x 2 en el origen


1.3) y 2 + x 2 = r 2 en ( x1 , y1 )                                   1.4 ) 16 x 4 + y 4 = 32 en (1, 2 )
                                                                                                                     
15) 4 x 3 − 3 xy 2 + 6 x 2 − 5 xy − 8 y 2 + 9 x + 14 = 0 en ( − 2 , 3)
 .


                               2
1.6) y =                                       en ( 3 , 2 )             1.7 ) y = x 3 − 3 x 2 − x + 5
             (x   2
                       − 2 x − 4)
                                       2



 
 

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                                   “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
                                     EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
                                        Cátedra: Matemática II
                                   Especialidad: Mecánica - Química
                                       Lic. MSc. Dámaso Rojas

2)  Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva       x2  +  y2  +  2x  ‐  9  =  0  
en el punto cuya ordenada es igual a 3. 
3) Hallar las ecuaciones de las tangentes y de las normales a las siguientes curvas en los 
puntos que se indican 
                                                 1 − x2
a ) y = tg 2 x en el origen            b) y =   e         en los puntos de int er sec cion
                                                                                              
                                                          con la recta y = 1
4)  Encontrar  las  ecuaciones  de  las  tangentes  y  normales  a  la  curva 
y = ( x − 1)( x − 2)( X − 3)   en sus puntos de intersección con el eje de  abscisas. 
5) Encontrar una ecuación para cada una de las rectas que pasan por el punto (‐ 1, 2)  y son 
                          x −1
tangentes a la curva  y =        
                          x +3

6) Determine las ecuaciones de las tangentes y la normal a la curva  y − x =                 x 2 + y    en 
el punto (3, 7). 
7)  Determinar  los  valores  de  las  constantes  a,  b,  y  c  en  la  ecuación  de  la  curva 
y = ax 2 + bx + c , Sabiendo que pasa por (1, 0) y además  la recta  y  = ‐4x ‐ 8  es tangente 
a ella en (‐1, ‐4). 
8)  Determinar  los  valores  de  las  constantes  a,  b,  y  c  tales  que  la  curva  de  ecuación
y = ax 3 + bx 2 + cx − 2  , pase por el punto (‐1, ‐6) y la recta  4x ‐  y ‐ 6  =  0  sea tangente a 
ella en el punto (1, ‐2). 
9)  Determine  los  valores  de  las  constantes  en  la  curva  de  ecuación    
                                                            − x + 65      − x + 25
y = ax 3 + bx 2 + cx + d ,  sabiendo  que  las  rectas  y =          ; y=              son 
                                                                9             9
normales a ella en (2, 7)  y (‐2, 3) respectivamente 
                                                                  3ax 2 + b
10) Determine los valores de las constantes a, b en la curva  y =            sabiendo que la 
                                                                    x+1
           3x + 2
recta  y =          es normal a la curva en el punto (1, 1). 
             2
11) Hay dos rectas que pasan a través del punto (‐1, 3) y son tangentes a  la curva  x4  +  4y2  
‐  8y  +  3  =  0. Encontrar una ecuación de cada una de estas rectas. 
12)  Hallar  las  ecuaciones  de  las  tangentes  a  la  hipérbola  4 x 2 − 9 x 2 = 36                    
perpendiculares a la recta  2y  +  5x  =  0 . 
                                                               y
13.) Probar que si xn ym  =  (x  +  y)n + m  entonces  y ' =      
                                                               x


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                                   “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
                                     EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
                                        Cátedra: Matemática II
                                   Especialidad: Mecánica - Química
                                       Lic. MSc. Dámaso Rojas

14) Determine el valor de la constante c en la ecuación  ln e y − 1    (    ) ( c − x,)  sabiendo que la 
                                                                                1
recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa x = 3 tiene pendiente  m = − .   R: c=3 
                                                                                2
15) Determine los valores de las constantes a, b, c, y de si la curva  y = ax 3 + bx 2 + cx + d  
pasa por los puntos (1,2) y “2,2); además la recta  3 x − y − 4 = 0  es tangente a ella en el 
punto (0, ‐4).R: a=1, b= ‐2, c=3, d=‐4 
16) Determine el valor de la constante c en la ecuación  y = x + xcsen x + cos x  si se sabe 
que toda recta tangente a la gráfica de y es de pendiente 1. R: c=1 
17) Calcule el valor de k en la ecuación  y = 5 x 2 − 8 x + k  sabiendo que la recta  y = 2 x − 1  
es tangente a ella. R: k=4. 
                                                                       (      )
18) Determine el valor de la constante k en la ecuación  x 2 ln x 2 − 1 + 4 y (ln y − 1) = k  si 
                                                                  e
la recta tangente a dicha curva en x = e tiene pendiente  m = − .  
                                                                  2

19)  Determine  el  valor  de  la  constante  a  en  la  ecuación  de  la  curva  y = a −       x2 − a  
sabiendo  que  la  recta  3 x + 5 − 4 5 − 4 = 0   es  tangente  a  ella  en  el  punto  de  abscisa 
x = 3.   R: a = 4. 
20)  La  recta  x + y − 2 = 0   es  tangente  en  el  punto  (1,  1)  a  la  curva  de  ecuación 
x 5 + ay 5 − bxy = 0.  Determine los valores de las constantes a y b. R: a=1, b=2. 
                      π
21)  La  recta  y =       − 1   es  tangente  a  la  curva  y = x + a sen x + b cos x   en  el  punto 
                      2
⎛π π    ⎞
⎜ ,  − 1⎟.  Determine los valores de las constantes a y b. R: a=‐1, b=1. 
⎝2 2    ⎠
                                                                                             5x − 9
22) Calcule el valor de k en la ecuación  y =         x 2 − k ,  si sabe que la recta  y =           es 
                                                                                               4
tangente a ella. R: k =9. 
23) Determine los valores de a, b, y c en la ecuación  y = ax 3 + bx 2 + c  usando los hechos 
de que la recta y = 2x es tangente a ella en el punto (1, 2) y la curva pasa por (‐1, 6).  R: a =‐
2, b=4, c= 0. 
                                                           y ( x − 1)
                                   1
                              y+
24) Pruebe que si  y = cxe         x
                                       , entonces   y´ =               . 
                                                           x 2 (1− y )

25) Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva  3 x + 3 y =                3
                                                                                                        k  
en el punto (k, 0).  R: Ec. Tg  y = 0, Ec. normal : x = k .  


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                                  Especialidad: Mecánica - Química
                                      Lic. MSc. Dámaso Rojas

26) Determine las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva  y = e − x sen x + x  en el 
                                                                         1
origen.                         R:  Ec. tg .: y = 2 x, Ec. normal : y = − x.  
                                                                         2
27) Determine las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva  x +               y =     5  en el 
punto (0,5).                  R:  Ec. tg .: x = 0, Ec. normal : y = 5.  
28)  Determine  la  ecuación  de  la  recta  tangente  a  la  curva  cos( xy ) = x   en  el  punto 
⎛1 2 ⎞
                                     (
⎜ , π ⎟.                      R:  y = −
                                        4
                                               )
                                          3 + π +
                                                  2
                                                      (
                                                    3 + 2π .    )
⎝2 3 ⎠                                  3         3
                                                                                          n
                                                                                   ⎛b⎞
                                                                                 n
                                                                          ⎛a⎞
29) Determine las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva  ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2,  en 
                                                                                   ⎜ y⎟
                                                                          ⎝n⎠      ⎝ ⎠
                                                                         a⎛     b − a2 ⎞
                                                                                 2
el punto (a, b).          R:  Ec. tg.: y = − ( x − 2a ), Ec. normal : y = ⎜ x +
                                            b
                                                                                        ⎟.  
                                            a                            b⎜⎝         a  ⎟
                                                                                        ⎠
Nota:  Ejercicios  recopilados  de  guías  y  textos    utilizadas  en  el  IUTJAA.  Muchos  de  ellos 
resueltos en la página indicada en el pie de letra. 
  
                                          Dámaso Rojas. 
                                           Octubre 2007 
 




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  • 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidad: Mecánica - Química Lic. MSc. Dámaso Rojas Guía #I  I Parte: Derivar y Simplificar las siguientes expresiones.  ⎛1⎞ Sec x 1) f ( x) = Sen3 x 2) y = tg (4 x 2 ) 3) y = x5 Sec ⎜ ⎟ 4) f ( x) = ⎝ x⎠ tg ( x 2 ) 1 + Cos x 2 8) f ( x) = ⎡1 + Sen3 ( x5 ) ⎤ Sen x 6) f ( x) = Cos ( Cos x ) 3 5) y = 7) f ( x) = ⎣ ⎦ Sec ( 3x + 1) 1 − Ctg x 2 ⎡π ⎤ 9) y = Sec3 ⎢ − x ⎥ 10) f ( w) = a Cos 2 (π w) + b Sen2 (π w) 11) y = 1 + Cos 2 x ⎣2 ⎦ 12) y = ⎡ Sec ( x −2/ 3 + 1) ⎦ 14) y = Ln ( Sen x ) 4/ 5 ⎤ 13) f ( x) = Sec 2 x − tg 2 x ⎣ 1 − Cos (π x) 15) y = Ln ( tgx ) 16) y = Cos ( Lnx ) 17) y = Ln 1 + Cos (π x) ⎡ x 3 x +1 ⎤ ( Senx)(Cosx)(tg 3 x) e x − e− x 18) y = Ln ⎢ ⎥ 19) y = 20) y = ⎢ (Sen x) ( Sec x) ⎥ ⎣ ⎦ x e x + e− x ( 2) x Ln x 21) y = e xtgx 22) y = π Senx 23) y = 24) k (t ) = k0 e2t ln( sen(t ) ⎡ ⎛x−μ⎞ 2⎤ ⎢ −1/ 2⎜ ⎥ 1 ⎢ ⎝ α ⎟ ⎠ ⎥ 25) f ( x) = e⎣ ⎦ 26) y = etan x e4 Lnx 27) y = Ln x + x2 + a2 2π α 28) y = Ln tg 3x + Sec 3x 29) = y = π x xπ 30) y = arc tg ( x + csc x) 31) y = arccos ( cosx ) 32) y = Ln [ arccos x ] 33) y = arcctg x ⎡1 − x ⎤ 34) y = x 2 ( arcsenx ) 35) y = arctg ⎢ 36) y = arc sec x + arccscx 3 ⎥ ⎣1 + x ⎦ ⎡ 2x ⎤ ⎛ 2x ⎞ 37) y = arcsen(e x ) + 2arctg (3x) 38) y = arc tg ⎢ 2⎥ 39) y = arc tg ⎜ 2 ⎟ ⎣1 − x ⎦ ⎝ x − 1⎠ arc tgx 40) y = e Arc Sec x 41) y = 42) y = π Arc Senx 43) y = e x arcsenx Lnx 3 arcsec( x) (arcsen x) (arcsen( x 2 )) 44) y = 45) y = 46) y = tgx − ctg x Ln x ex −1 1 1 47) x = csc 2t + sec 2t 48) f ( x) = 49) y = − 6 (1 − 3 cos x ) 2 3cos3 x cosx 3senx − 2cos x 1 50) y = 51) y = 3 sen2 x + 52) y = 1 + arcsenx 5 cos3 x       www.galeon.com/damasorojas/ damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
  • 2. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidad: Mecánica - Química Lic. MSc. Dámaso Rojas 53) y = arctgx − ( arcsen x ) 54) y = 2 e x − 2 x + 1 + Ln5 x 3 3 ⎛a⎞ 55) y = sen ( x 2 − 5 x + 1) + tg ⎜ ⎟ 56) f (t ) = ( sent )( sen ( t + φ )) ⎝x⎠ 1 + cos (2 x) ⎛1+x ⎞ 57) f ( x) = 58) y = arctg ⎜ ⎟ 1 − cos (2 x) ⎝1 − x ⎠ 59) y = x 2 102 x 60) y = Ln ( e x + 5 senx − 4arcsenx ) 61) y = arctg ( Lnx ) + Ln ( arctg x ) 62) y = Lnx + 1 + Ln ( x +1 ) ⎛ a + bx n ⎞ 63) y = ⎜ n ⎟ ⎝ a − bx ⎠ 64) Z = 3 y+ y 65) y = Ln ( ) 1 + e x + 1 − Ln ( 1 + ex + 1 ) 66) y = 1 (cos 3 x) ( 3 cos 2 x − 5 ) 67) y = ( tg 2 x − 1) ( tg 4 x + 10 tg 2 x + 1) 15 3 tg 3 x cosx 4 68) y = (3senx) (cos 2 x) + sen3 x 69) y = − 3 + ctg x 3 sen x 3 arc cos x 70) y = α sen 2 x + β cos 2 x 71) y = 1 − x2 1 ⎛ x 2 −1 ⎞ 72) y = ( arcsen x ) (arccosx) 73) y = arcsen ⎜ 2 ⎟ 2 2 ⎝ x ⎠ ⎡ x ⎤ 1 ⎛ b⎞ 74) y = arcsen ⎢ ⎥ 75) y = arcsen ⎜ x ⎜ ⎟ ⎢ 1 + x2 ⎥ b ⎝ a⎟ ⎠ ⎣ ⎦ ⎛x⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 76) y = x a 2 − x 2 + a 2 (arcsen ⎜ ⎟) 77) y = ⎜ x − arcsen x + x − x2 ⎟ ⎝a⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎛ x sen α ⎞ ⎡ x ⎤ 78) y = arctg ⎜ 79) y = 3b 2 arctg ⎢ ⎥ − ( 3b + 2 x ) bx − x 2 ⎟ ⎝ 1 − x cos α ⎠ ⎣ b − x⎦ ⎛ tgx ⎞ 80) y = − 2arcctg ⎜ 81) f ( x) = ( 2ma nx + bx ) p 82 ) y = (α sen ( β x) − β cos ( β x )) ⎟ α2 + β2 ⎝ x⎠ ( ) ⎛1⎞ Ctg ⎜ ⎟ x a2 83) y = 3 ⎝x⎠ 84) y = cosx a Cosx 85) y = x2 − a2 − Ln x + x2 − a2 2 2 ⎡ x2 + a2 + x ⎤ ⎛x − a⎞ ⎛ ctgx ⎞ Ln ( x 2 − a 2 ) + m n 1 86) y = Ln ⎢ ⎥ 87) y = Ln ⎜ ⎟ 88) y = Ln ⎜ ⎟ ⎢ x2 + a2 − x ⎥ ⎣ ⎦ 2 2a ⎝x + a⎠ 2 ⎝ 3x ⎠     www.galeon.com/damasorojas/ damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
  • 3. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidad: Mecánica - Química Lic. MSc. Dámaso Rojas   1+ x2 + 1 89) y = x + 1 − Ln 90) y = 2arcsen (3 x ) + (1 − arc cos(3 x) ) 2 2 x sen ( ax ) 1 sen3 (ax) 1 91) y = 3 cos( bx ) + 92) y = Ln (arcsen x) + Ln 2 x + arsen(ln x) 3 cos 3 (bx) 2 2 x 1 ⎛ x −1 ⎞ 1 + sen x 93) y = arctg ( ) + Ln ⎜ ⎟ 94) y = + 2 arctg ( sen x ) 3 12 6 ⎝ x +1 ⎠ 1 − sen x ⎛ x2 +1 ⎞ 1 ⎡ 2 x − 1⎤ 96) y = Ln (1 + x ) − Ln ( x 2 − x + 1) + 3 1 1 1 95) y = Ln ⎜ 2 ⎟ + arcctg x arctg ⎢ ⎥ 4 ⎝ x −1 ⎠ 2 2 6 3 ⎣ 3 ⎦ ( x −1) ( x − 2 ) ( x − 2) 3 2 x (arcsenx) 97) y = Ln 98) y = 99) y = 100) y = x x ( x − 3) 1 − x2 ( x −1) ( x − 3) 3 4 x ( x − 1) x2 x −1 101) y = 102) y = x 2 3 103) y = 104) y x = x y ( x − 2) x +1 3 ( x + 2) 2 ( x + 3) 3 105) y = ( cos x ) 106) y = ( arctgx ) tgx x   x ⎛ 1⎞ 107) y = ⎜ 1 + ⎟ 108) y = x ( senx )(cos x ) 109 ) y = x x y ⎝ x⎠ ⎛ x −1 ⎞ x 110) y = 3tgx ( arc cos x ) 111) y = Ln(cos ⎜ 112) y = Ln ( Ln ( 3 − 2 x3 ) x ⎟x ) ⎝ x ⎠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + ( ) b 2 ⎢ x ⎥ 113) y = a − 3 e2 − x 2 114) y = cos x ⎢ ⎛ x ⎞⎥   ⎢ x − cos ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ x + cos x ⎠ ⎦ x2 y2 −y x− y 115) 2 + 2 =1 116) ln( xy ) = e x 117) cos( x − y ) = sen( y + x) 118) y 3 = a b x+ y 119) a cos 2 ( x + y ) = btg ( x − y ) 120) csc( x y ) = tgy 121) e y = Ln( x + y ) ⎛x⎞ ⎛ y⎞ 1 122) xy + arctg ⎜ ⎟ 123)arctg ( x + y ) = y + senx 124) artgctg ⎜ ⎟ = Ln ( x 2 + y 2 ) ⎝ y⎠ ⎝x⎠ 2 www.galeon.com/damasorojas/ damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
  • 4. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidad: Mecánica - Química Lic. MSc. Dámaso Rojas ⎛ y⎞ 125) x 2 + y 2 = artg ⎜ ⎟ 126) x y cos x = y xseny 127) ( x + y ) ( 2 x + y ) =1 2 3 ⎝x⎠ sen (ln y ) ⎛ x2 + k ⎞ 128) e = Ln ( x + 3 y ) x 3 129) − e cos x + e seny = 0 y x 130) y = ⎜ 2 ⎟ ⎝ x ⎠ ⎛ 1+ x ⎞ ( ) ay ⎛x⎞ 131) y = ⎜ ⎟ 132) y = ⎜ ⎟ 133) y = x y Ln arc cos 1 − y 2 ⎝a⎠ ⎝ 1− y ⎠ 134) x x y y x = e x + y + 2 x 135) csc ( x + y ) + ctg ( x − y ) = 1 136) x − y = e x + y   137) cos xy − sen xy = 0 138) sen (cos y ) − cos ( senx) = 0 x x2 + y 2 139)arcsen( ) = e 14 0) xy = 3 x 2 − 3 141) y e2 x + x e2 y =1 y x2 142) x 2 x + xy 2 = 6 ( x 2 + y 2 ) 1 143) arctg ( )= 144) x( Lny ) = x arc csc y 3y xy e x − e− x 145) y = x x arcseny 146) y = arctg ( ) 2 −3 x 2 − 1 1 ⎡ a −b x ⎤ 147) y = + ln x 2 −1 + arctgx 148) y = arctg ⎢ ctg )( ) ⎥ 3x3 a 2 − b2 ⎣ a+b 2 ⎦   II Parte:  Encontrar  una  ecuación  para  cada  recta  tangente  y  para  cada  recta  normal      a  la  curva  dada en el punto indicado.  11) y = . 3 2 ( 3 − x ) en ( 5 , − 3 4) 1.2 ) y = 16 + x 2 en el origen 1.3) y 2 + x 2 = r 2 en ( x1 , y1 ) 1.4 ) 16 x 4 + y 4 = 32 en (1, 2 )     15) 4 x 3 − 3 xy 2 + 6 x 2 − 5 xy − 8 y 2 + 9 x + 14 = 0 en ( − 2 , 3) . 2 1.6) y = en ( 3 , 2 ) 1.7 ) y = x 3 − 3 x 2 − x + 5 (x 2 − 2 x − 4) 2     www.galeon.com/damasorojas/ damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
  • 5. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidad: Mecánica - Química Lic. MSc. Dámaso Rojas 2)  Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva       x2  +  y2  +  2x  ‐  9  =  0   en el punto cuya ordenada es igual a 3.  3) Hallar las ecuaciones de las tangentes y de las normales a las siguientes curvas en los  puntos que se indican  1 − x2 a ) y = tg 2 x en el origen b) y = e en los puntos de int er sec cion   con la recta y = 1 4)  Encontrar  las  ecuaciones  de  las  tangentes  y  normales  a  la  curva  y = ( x − 1)( x − 2)( X − 3)   en sus puntos de intersección con el eje de  abscisas.  5) Encontrar una ecuación para cada una de las rectas que pasan por el punto (‐ 1, 2)  y son  x −1 tangentes a la curva  y =   x +3 6) Determine las ecuaciones de las tangentes y la normal a la curva  y − x = x 2 + y    en  el punto (3, 7).  7)  Determinar  los  valores  de  las  constantes  a,  b,  y  c  en  la  ecuación  de  la  curva  y = ax 2 + bx + c , Sabiendo que pasa por (1, 0) y además  la recta  y  = ‐4x ‐ 8  es tangente  a ella en (‐1, ‐4).  8)  Determinar  los  valores  de  las  constantes  a,  b,  y  c  tales  que  la  curva  de  ecuación y = ax 3 + bx 2 + cx − 2  , pase por el punto (‐1, ‐6) y la recta  4x ‐  y ‐ 6  =  0  sea tangente a  ella en el punto (1, ‐2).  9)  Determine  los  valores  de  las  constantes  en  la  curva  de  ecuación     − x + 65 − x + 25 y = ax 3 + bx 2 + cx + d ,  sabiendo  que  las  rectas  y = ; y=     son  9 9 normales a ella en (2, 7)  y (‐2, 3) respectivamente  3ax 2 + b 10) Determine los valores de las constantes a, b en la curva  y =  sabiendo que la  x+1 3x + 2 recta  y =   es normal a la curva en el punto (1, 1).  2 11) Hay dos rectas que pasan a través del punto (‐1, 3) y son tangentes a  la curva  x4  +  4y2   ‐  8y  +  3  =  0. Encontrar una ecuación de cada una de estas rectas.  12)  Hallar  las  ecuaciones  de  las  tangentes  a  la  hipérbola  4 x 2 − 9 x 2 = 36                     perpendiculares a la recta  2y  +  5x  =  0 .  y 13.) Probar que si xn ym  =  (x  +  y)n + m  entonces  y ' =   x www.galeon.com/damasorojas/ damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
  • 6. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidad: Mecánica - Química Lic. MSc. Dámaso Rojas 14) Determine el valor de la constante c en la ecuación  ln e y − 1 ( ) ( c − x,)  sabiendo que la  1 recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa x = 3 tiene pendiente  m = − .   R: c=3  2 15) Determine los valores de las constantes a, b, c, y de si la curva  y = ax 3 + bx 2 + cx + d   pasa por los puntos (1,2) y “2,2); además la recta  3 x − y − 4 = 0  es tangente a ella en el  punto (0, ‐4).R: a=1, b= ‐2, c=3, d=‐4  16) Determine el valor de la constante c en la ecuación  y = x + xcsen x + cos x  si se sabe  que toda recta tangente a la gráfica de y es de pendiente 1. R: c=1  17) Calcule el valor de k en la ecuación  y = 5 x 2 − 8 x + k  sabiendo que la recta  y = 2 x − 1   es tangente a ella. R: k=4.  ( ) 18) Determine el valor de la constante k en la ecuación  x 2 ln x 2 − 1 + 4 y (ln y − 1) = k  si  e la recta tangente a dicha curva en x = e tiene pendiente  m = − .   2 19)  Determine  el  valor  de  la  constante  a  en  la  ecuación  de  la  curva  y = a − x2 − a   sabiendo  que  la  recta  3 x + 5 − 4 5 − 4 = 0   es  tangente  a  ella  en  el  punto  de  abscisa  x = 3.   R: a = 4.  20)  La  recta  x + y − 2 = 0   es  tangente  en  el  punto  (1,  1)  a  la  curva  de  ecuación  x 5 + ay 5 − bxy = 0.  Determine los valores de las constantes a y b. R: a=1, b=2.  π 21)  La  recta  y = − 1   es  tangente  a  la  curva  y = x + a sen x + b cos x   en  el  punto  2 ⎛π π ⎞ ⎜ , − 1⎟.  Determine los valores de las constantes a y b. R: a=‐1, b=1.  ⎝2 2 ⎠ 5x − 9 22) Calcule el valor de k en la ecuación  y = x 2 − k ,  si sabe que la recta  y =  es  4 tangente a ella. R: k =9.  23) Determine los valores de a, b, y c en la ecuación  y = ax 3 + bx 2 + c  usando los hechos  de que la recta y = 2x es tangente a ella en el punto (1, 2) y la curva pasa por (‐1, 6).  R: a =‐ 2, b=4, c= 0.  y ( x − 1) 1 y+ 24) Pruebe que si  y = cxe x , entonces y´ = .  x 2 (1− y ) 25) Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva  3 x + 3 y = 3 k   en el punto (k, 0). R: Ec. Tg  y = 0, Ec. normal : x = k .   www.galeon.com/damasorojas/ damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,
  • 7. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidad: Mecánica - Química Lic. MSc. Dámaso Rojas 26) Determine las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva  y = e − x sen x + x  en el  1 origen.                         R:  Ec. tg .: y = 2 x, Ec. normal : y = − x.   2 27) Determine las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva  x + y = 5  en el  punto (0,5).                  R:  Ec. tg .: x = 0, Ec. normal : y = 5.   28)  Determine  la  ecuación  de  la  recta  tangente  a  la  curva  cos( xy ) = x   en  el  punto  ⎛1 2 ⎞ ( ⎜ , π ⎟.                      R:  y = − 4 ) 3 + π + 2 ( 3 + 2π .   ) ⎝2 3 ⎠ 3 3 n ⎛b⎞ n ⎛a⎞ 29) Determine las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva  ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2,  en  ⎜ y⎟ ⎝n⎠ ⎝ ⎠ a⎛ b − a2 ⎞ 2 el punto (a, b).          R:  Ec. tg.: y = − ( x − 2a ), Ec. normal : y = ⎜ x + b ⎟.   a b⎜⎝ a ⎟ ⎠ Nota:  Ejercicios  recopilados  de  guías  y  textos    utilizadas  en  el  IUTJAA.  Muchos  de  ellos  resueltos en la página indicada en el pie de letra.     Dámaso Rojas.  Octubre 2007    www.galeon.com/damasorojas/ damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com,