1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidad: Mecánica - Química
Lic. MSc. Dámaso Rojas
Guía #I
I Parte: Derivar y Simplificar las siguientes expresiones.
⎛1⎞ Sec x
1) f ( x) = Sen3 x 2) y = tg (4 x 2 ) 3) y = x5 Sec ⎜ ⎟ 4) f ( x) =
⎝ x⎠ tg ( x 2 )
1 + Cos x 2
8) f ( x) = ⎡1 + Sen3 ( x5 ) ⎤
Sen x
6) f ( x) = Cos ( Cos x )
3
5) y = 7) f ( x) = ⎣ ⎦
Sec ( 3x + 1) 1 − Ctg x 2
⎡π ⎤
9) y = Sec3 ⎢ − x ⎥ 10) f ( w) = a Cos 2 (π w) + b Sen2 (π w) 11) y = 1 + Cos 2 x
⎣2 ⎦
12) y = ⎡ Sec ( x −2/ 3 + 1) ⎦ 14) y = Ln ( Sen x )
4/ 5
⎤ 13) f ( x) = Sec 2 x − tg 2 x
⎣
1 − Cos (π x)
15) y = Ln ( tgx ) 16) y = Cos ( Lnx ) 17) y = Ln
1 + Cos (π x)
⎡ x 3 x +1 ⎤ ( Senx)(Cosx)(tg 3 x) e x − e− x
18) y = Ln ⎢ ⎥ 19) y = 20) y =
⎢ (Sen x) ( Sec x) ⎥
⎣ ⎦ x e x + e− x
( 2)
x Ln x
21) y = e xtgx 22) y = π Senx 23) y = 24) k (t ) = k0 e2t ln( sen(t )
⎡ ⎛x−μ⎞
2⎤
⎢ −1/ 2⎜ ⎥
1 ⎢ ⎝ α ⎟
⎠ ⎥
25) f ( x) = e⎣ ⎦
26) y = etan x e4 Lnx 27) y = Ln x + x2 + a2
2π α
28) y = Ln tg 3x + Sec 3x 29) = y = π x xπ 30) y = arc tg ( x + csc x)
31) y = arccos ( cosx ) 32) y = Ln [ arccos x ] 33) y = arcctg x
⎡1 − x ⎤
34) y = x 2 ( arcsenx ) 35) y = arctg ⎢ 36) y = arc sec x + arccscx
3
⎥
⎣1 + x ⎦
⎡ 2x ⎤ ⎛ 2x ⎞
37) y = arcsen(e x ) + 2arctg (3x) 38) y = arc tg ⎢ 2⎥
39) y = arc tg ⎜ 2 ⎟
⎣1 − x ⎦ ⎝ x − 1⎠
arc tgx
40) y = e Arc Sec x 41) y = 42) y = π Arc Senx 43) y = e x arcsenx
Lnx
3 arcsec( x) (arcsen x) (arcsen( x 2 ))
44) y = 45) y = 46) y = tgx − ctg x
Ln x ex
−1 1 1
47) x = csc 2t + sec 2t 48) f ( x) = 49) y = −
6 (1 − 3 cos x )
2
3cos3 x cosx
3senx − 2cos x 1
50) y = 51) y = 3 sen2 x + 52) y = 1 + arcsenx
5 cos3 x
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53) y = arctgx − ( arcsen x ) 54) y = 2 e x − 2 x + 1 + Ln5 x
3 3
⎛a⎞
55) y = sen ( x 2 − 5 x + 1) + tg ⎜ ⎟ 56) f (t ) = ( sent )( sen ( t + φ ))
⎝x⎠
1 + cos (2 x) ⎛1+x ⎞
57) f ( x) = 58) y = arctg ⎜ ⎟
1 − cos (2 x) ⎝1 − x ⎠
59) y = x 2 102 x 60) y = Ln ( e x + 5 senx − 4arcsenx )
61) y = arctg ( Lnx ) + Ln ( arctg x ) 62) y = Lnx + 1 + Ln ( x +1 )
⎛ a + bx n ⎞
63) y = ⎜ n ⎟
⎝ a − bx ⎠
64) Z = 3
y+ y 65) y = Ln ( )
1 + e x + 1 − Ln ( 1 + ex + 1 )
66) y =
1
(cos 3 x) ( 3 cos 2 x − 5 ) 67) y =
( tg 2
x − 1) ( tg 4 x + 10 tg 2 x + 1)
15 3 tg 3 x
cosx 4
68) y = (3senx) (cos 2 x) + sen3 x 69) y = − 3
+ ctg x
3 sen x 3
arc cos x
70) y = α sen 2 x + β cos 2 x 71) y =
1 − x2
1 ⎛ x 2 −1 ⎞
72) y = ( arcsen x ) (arccosx) 73) y = arcsen ⎜ 2 ⎟
2
2 ⎝ x ⎠
⎡ x ⎤ 1 ⎛ b⎞
74) y = arcsen ⎢ ⎥ 75) y = arcsen ⎜ x
⎜ ⎟
⎢ 1 + x2 ⎥ b ⎝ a⎟
⎠
⎣ ⎦
⎛x⎞ ⎛ 1 1 ⎞
76) y = x a 2 − x 2 + a 2 (arcsen ⎜ ⎟) 77) y = ⎜ x − arcsen x + x − x2 ⎟
⎝a⎠ ⎝ 2 2 ⎠
⎛ x sen α ⎞ ⎡ x ⎤
78) y = arctg ⎜ 79) y = 3b 2 arctg ⎢ ⎥ − ( 3b + 2 x ) bx − x
2
⎟
⎝ 1 − x cos α ⎠ ⎣ b − x⎦
⎛ tgx ⎞
80) y = − 2arcctg ⎜ 81) f ( x) = ( 2ma nx + bx )
p
82 ) y =
(α sen ( β x) − β cos ( β x ))
⎟ α2 + β2
⎝ x⎠
( )
⎛1⎞
Ctg ⎜ ⎟ x a2
83) y = 3 ⎝x⎠
84) y = cosx a Cosx
85) y = x2 − a2 − Ln x + x2 − a2
2 2
⎡ x2 + a2 + x ⎤ ⎛x − a⎞ ⎛ ctgx ⎞
Ln ( x 2 − a 2 ) +
m n 1
86) y = Ln ⎢ ⎥ 87) y = Ln ⎜ ⎟ 88) y = Ln ⎜ ⎟
⎢ x2 + a2 − x ⎥
⎣ ⎦
2 2a ⎝x + a⎠ 2 ⎝ 3x ⎠
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1+ x2 + 1
89) y = x + 1 − Ln 90) y = 2arcsen (3 x ) + (1 − arc cos(3 x) )
2 2
x
sen ( ax )
1 sen3 (ax) 1
91) y = 3 cos( bx )
+ 92) y = Ln (arcsen x) + Ln 2 x + arsen(ln x)
3 cos 3 (bx) 2
2 x 1 ⎛ x −1 ⎞ 1 + sen x
93) y = arctg ( ) + Ln ⎜ ⎟ 94) y = + 2 arctg ( sen x )
3 12 6 ⎝ x +1 ⎠ 1 − sen x
⎛ x2 +1 ⎞ 1 ⎡ 2 x − 1⎤
96) y = Ln (1 + x ) − Ln ( x 2 − x + 1) +
3 1 1 1
95) y = Ln ⎜ 2 ⎟ + arcctg x arctg ⎢ ⎥
4 ⎝ x −1 ⎠ 2 2 6 3 ⎣ 3 ⎦
( x −1) ( x − 2 ) ( x − 2)
3 2
x (arcsenx)
97) y = Ln 98) y = 99) y = 100) y = x
x
( x − 3) 1 − x2 ( x −1) ( x − 3)
3 4
x ( x − 1) x2 x −1
101) y = 102) y = x 2 3 103) y = 104) y x = x y
( x − 2) x +1 3
( x + 2)
2
( x + 3)
3
105) y = ( cos x ) 106) y = ( arctgx )
tgx x
x
⎛ 1⎞
107) y = ⎜ 1 + ⎟ 108) y = x ( senx )(cos x ) 109 ) y = x x y
⎝ x⎠
⎛ x −1 ⎞ x
110) y = 3tgx ( arc cos x )
111) y = Ln(cos ⎜ 112) y = Ln ( Ln ( 3 − 2 x3 )
x
⎟x )
⎝ x ⎠
⎡ ⎤
⎢ ⎥
+ ( )
b 2
⎢ x ⎥
113) y = a − 3 e2 − x 2 114) y = cos
x ⎢ ⎛ x ⎞⎥
⎢ x − cos ⎜ ⎟⎥
⎣ ⎝ x + cos x ⎠ ⎦
x2 y2 −y x− y
115) 2 + 2 =1 116) ln( xy ) = e x 117) cos( x − y ) = sen( y + x) 118) y 3 =
a b x+ y
119) a cos 2 ( x + y ) = btg ( x − y ) 120) csc( x y ) = tgy 121) e y = Ln( x + y )
⎛x⎞ ⎛ y⎞ 1
122) xy + arctg ⎜ ⎟ 123)arctg ( x + y ) = y + senx 124) artgctg ⎜ ⎟ = Ln ( x 2 + y 2 )
⎝ y⎠ ⎝x⎠ 2
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⎛ y⎞
125) x 2 + y 2 = artg ⎜ ⎟ 126) x y cos x = y xseny 127) ( x + y ) ( 2 x + y ) =1
2 3
⎝x⎠
sen (ln y )
⎛ x2 + k ⎞
128) e = Ln ( x + 3 y )
x 3
129) − e cos x + e seny = 0
y x
130) y = ⎜ 2 ⎟
⎝ x ⎠
⎛ 1+ x ⎞
( )
ay
⎛x⎞
131) y = ⎜ ⎟ 132) y = ⎜ ⎟ 133) y = x y
Ln arc cos 1 − y 2
⎝a⎠ ⎝ 1− y ⎠
134) x x y y x = e x + y + 2 x 135) csc ( x + y ) + ctg ( x − y ) = 1 136) x − y = e x + y
137) cos xy − sen xy = 0 138) sen (cos y ) − cos ( senx) = 0
x x2 + y 2
139)arcsen( ) = e 14 0) xy = 3 x 2 − 3 141) y e2 x + x e2 y =1
y
x2
142) x 2 x + xy 2 = 6 ( x 2 + y 2 )
1
143) arctg ( )= 144) x( Lny ) = x arc csc y
3y xy
e x − e− x
145) y = x
x arcseny
146) y = arctg ( )
2
−3 x 2 − 1 1 ⎡ a −b x ⎤
147) y = + ln x 2 −1 + arctgx 148) y = arctg ⎢ ctg )( ) ⎥
3x3 a 2 − b2 ⎣ a+b 2 ⎦
II Parte:
Encontrar una ecuación para cada recta tangente y para cada recta normal a la curva
dada en el punto indicado.
11) y =
. 3
2 ( 3 − x ) en ( 5 , − 3
4) 1.2 ) y = 16 + x 2 en el origen
1.3) y 2 + x 2 = r 2 en ( x1 , y1 ) 1.4 ) 16 x 4 + y 4 = 32 en (1, 2 )
15) 4 x 3 − 3 xy 2 + 6 x 2 − 5 xy − 8 y 2 + 9 x + 14 = 0 en ( − 2 , 3)
.
2
1.6) y = en ( 3 , 2 ) 1.7 ) y = x 3 − 3 x 2 − x + 5
(x 2
− 2 x − 4)
2
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2) Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva x2 + y2 + 2x ‐ 9 = 0
en el punto cuya ordenada es igual a 3.
3) Hallar las ecuaciones de las tangentes y de las normales a las siguientes curvas en los
puntos que se indican
1 − x2
a ) y = tg 2 x en el origen b) y = e en los puntos de int er sec cion
con la recta y = 1
4) Encontrar las ecuaciones de las tangentes y normales a la curva
y = ( x − 1)( x − 2)( X − 3) en sus puntos de intersección con el eje de abscisas.
5) Encontrar una ecuación para cada una de las rectas que pasan por el punto (‐ 1, 2) y son
x −1
tangentes a la curva y =
x +3
6) Determine las ecuaciones de las tangentes y la normal a la curva y − x = x 2 + y en
el punto (3, 7).
7) Determinar los valores de las constantes a, b, y c en la ecuación de la curva
y = ax 2 + bx + c , Sabiendo que pasa por (1, 0) y además la recta y = ‐4x ‐ 8 es tangente
a ella en (‐1, ‐4).
8) Determinar los valores de las constantes a, b, y c tales que la curva de ecuación
y = ax 3 + bx 2 + cx − 2 , pase por el punto (‐1, ‐6) y la recta 4x ‐ y ‐ 6 = 0 sea tangente a
ella en el punto (1, ‐2).
9) Determine los valores de las constantes en la curva de ecuación
− x + 65 − x + 25
y = ax 3 + bx 2 + cx + d , sabiendo que las rectas y = ; y= son
9 9
normales a ella en (2, 7) y (‐2, 3) respectivamente
3ax 2 + b
10) Determine los valores de las constantes a, b en la curva y = sabiendo que la
x+1
3x + 2
recta y = es normal a la curva en el punto (1, 1).
2
11) Hay dos rectas que pasan a través del punto (‐1, 3) y son tangentes a la curva x4 + 4y2
‐ 8y + 3 = 0. Encontrar una ecuación de cada una de estas rectas.
12) Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola 4 x 2 − 9 x 2 = 36
perpendiculares a la recta 2y + 5x = 0 .
y
13.) Probar que si xn ym = (x + y)n + m entonces y ' =
x
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14) Determine el valor de la constante c en la ecuación ln e y − 1 ( ) ( c − x,) sabiendo que la
1
recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa x = 3 tiene pendiente m = − . R: c=3
2
15) Determine los valores de las constantes a, b, c, y de si la curva y = ax 3 + bx 2 + cx + d
pasa por los puntos (1,2) y “2,2); además la recta 3 x − y − 4 = 0 es tangente a ella en el
punto (0, ‐4).R: a=1, b= ‐2, c=3, d=‐4
16) Determine el valor de la constante c en la ecuación y = x + xcsen x + cos x si se sabe
que toda recta tangente a la gráfica de y es de pendiente 1. R: c=1
17) Calcule el valor de k en la ecuación y = 5 x 2 − 8 x + k sabiendo que la recta y = 2 x − 1
es tangente a ella. R: k=4.
( )
18) Determine el valor de la constante k en la ecuación x 2 ln x 2 − 1 + 4 y (ln y − 1) = k si
e
la recta tangente a dicha curva en x = e tiene pendiente m = − .
2
19) Determine el valor de la constante a en la ecuación de la curva y = a − x2 − a
sabiendo que la recta 3 x + 5 − 4 5 − 4 = 0 es tangente a ella en el punto de abscisa
x = 3. R: a = 4.
20) La recta x + y − 2 = 0 es tangente en el punto (1, 1) a la curva de ecuación
x 5 + ay 5 − bxy = 0. Determine los valores de las constantes a y b. R: a=1, b=2.
π
21) La recta y = − 1 es tangente a la curva y = x + a sen x + b cos x en el punto
2
⎛π π ⎞
⎜ , − 1⎟. Determine los valores de las constantes a y b. R: a=‐1, b=1.
⎝2 2 ⎠
5x − 9
22) Calcule el valor de k en la ecuación y = x 2 − k , si sabe que la recta y = es
4
tangente a ella. R: k =9.
23) Determine los valores de a, b, y c en la ecuación y = ax 3 + bx 2 + c usando los hechos
de que la recta y = 2x es tangente a ella en el punto (1, 2) y la curva pasa por (‐1, 6). R: a =‐
2, b=4, c= 0.
y ( x − 1)
1
y+
24) Pruebe que si y = cxe x
, entonces y´ = .
x 2 (1− y )
25) Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva 3 x + 3 y = 3
k
en el punto (k, 0). R: Ec. Tg y = 0, Ec. normal : x = k .
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26) Determine las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva y = e − x sen x + x en el
1
origen. R: Ec. tg .: y = 2 x, Ec. normal : y = − x.
2
27) Determine las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva x + y = 5 en el
punto (0,5). R: Ec. tg .: x = 0, Ec. normal : y = 5.
28) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva cos( xy ) = x en el punto
⎛1 2 ⎞
(
⎜ , π ⎟. R: y = −
4
)
3 + π +
2
(
3 + 2π . )
⎝2 3 ⎠ 3 3
n
⎛b⎞
n
⎛a⎞
29) Determine las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2, en
⎜ y⎟
⎝n⎠ ⎝ ⎠
a⎛ b − a2 ⎞
2
el punto (a, b). R: Ec. tg.: y = − ( x − 2a ), Ec. normal : y = ⎜ x +
b
⎟.
a b⎜⎝ a ⎟
⎠
Nota: Ejercicios recopilados de guías y textos utilizadas en el IUTJAA. Muchos de ellos
resueltos en la página indicada en el pie de letra.
Dámaso Rojas.
Octubre 2007
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