Division algebraica # 02

JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN
ÁLGEBRA JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ
JOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNHUAMÁNHUAMÁNHUAMÁN
DIVISIÓN ALGEBRAICA
1111
TEOREMA DEL RESTO O DE
DESCARTES
Este teorema tiene por objetivo determinar el resto
en una división, sin efectuar la división.
ENUNCIADO.- El resto de dividir un polinomio ra-
cional y entero en “x” entre un binomio de la forma
“ax ± b” es igual al valor numérico que adquiere di-
cho polinomio cuando se reemplaza en él, x por b/a.
DEMOSTRACIÓN
En forma general, definamos:
Dividendo : P(x), racional y entero
Divisor : ax ± b
Cociente : q(x)
a
Resto : R = P (ϯ ––)b
Toda división es de la forma:
D = dq + R
D = dividendo
d = divisor
q = cociente
R = resto
Reemplazando por sus equivalentes:
P(x) ≡ (ax ± b) q(x) + R (1)
b
Si definimos x como: x = ϯ ––
a
y reemplazamos en (1):
b b bP(ϯ ––)=[a(ϯ––) ϯ b]q(ϯ ––)+ R
a a a
b bP(ϯ ––)=(ϯ b ± b). q(ϯ ––)+ R
a a
El primer factor del segundo es cero, luego:
b
P(ϯ ––)= R
a
o finalmente:
b
R = P(ϯ ––)a
REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR EL
RESTO
1º Se iguala el divisor a cero:
ax ± b = 0
2º Se despeja “x”:
b
x = ϯ ––
a
3º Se reemplaza en el polinomio dividendo “x” por.
b
x = ϯ ––
a
b
∴ R = P(ϯ ––)a
Ejemplo:
Hallar el resto de las siguientes divisiones:
(x - 3)64
+ (x - 3)40
+ (x - 1)16
- 164
i) ––––––––––––––––––––––––––––––
x - 3
Solución:
• x - 3 = 0
• x = 3
Sustituyendo
• R = P(3) = (3-3)64
+ (3-3)40
+ (3-1)16
- 164
R = 0 + 0 + 216
- 164
R = 216
- (24
)4
= 216
- 216
= 0
∴ R = 0
6x4
+ x3
- 19x2
+ 14x - 15
ii) –––––––––––––––––––––––
2x - 3
1º 2x - 3 = 0
32º x = ––
2
Sustituyendo
3 3 4
3 3
3 2
3º R = P(––)= 6(––)+ (––)- 19(––)2 2 2 2
3+ 14(––)- 15
2

2222
243 27 171R = –––– + ––– - –––– + 21 - 15
8 8 4
simplificando: R = -3
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Hallar el resto de la división:
nxn
+ (n-1)xn-1
+ (n-2)xn-2
- 3n + 16
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x - 1
Solución:
De acuerdo con la regla práctica:
• x - 1 = 0
• x = 1
Sustituyendo:
• R = n(1)n
+ (n - 1)(1)n-1
+ (n - 2)(1)n-2
- 3n + 16
R = n + n-1 + n-2 - 3n + 16
simplificando: R = 13
(x + a)7
- (x7
+ a7
)
––––––––––––––––
x + 2a
Solución:
Utilizando la regla práctica:
• x + 2a = 0
• x = -2a
Sustituyendo
• R = (-2a + a)7
- [(-2a)7
+ a7
]
R = (-a)7
- (-128a7
+ a7
) = (-a)7
- (-127a7
)
R = -a7
+ 127a7
R = 126a7
3.- Hallar el resto en:
(x + y)2
+ (x + y)(2z - 1) + z(z - 1)
––––––––––––––––––––––––––––––
x + y + z - 3
Solución:
• x + y + z-3 = 0
• x = 3 - y - z
• R = (3 - y - z + y)2
+ (3 - y - z + y) (2z - 1)
+ z(z - 1)
Efectuando operaciones y simplificando:
R = (3 - z)2
+ (3 - z) (2z - 1) + z(z - 1)
R = 6
(5x4
+ 7x2
+ 5)2
+ (5x4
+ 7x2
+ 7)3
+ 8
–––––––––––––––––––––––––––––––––
5x4
+ 7x2
+ 8
Solución:
Efectuemos el siguiente cambio de variable:
5x4
+ 7x2
= y
Reemplazando, se obtiene la división equivalente:
(y + 5)2
+ (y + 7)3
+ 8
––––––––––––––––––––
y + 8
• y + 8 = 0
• y = -8
• R = (-8 + 5)2
+ (-8 + 7)3
+ 8 = 9 - 1 + 8 = 0
R = 16
(x - 1)4n
(x3
+ 8)3
(x - 4)3
––––––––––––––––––––––
x2
- 2x + 2
Solución:
Efectuando operaciones en el dividendo:
(x - 1)4n
(x3
+ 8)3
(x - 4)3
= [(x - 1)2
]2n
[(x + 2)(x2
- 2x + 4)]3
(x - 4)3
= (x2
- 2x + 1)2n
(x + 2)3
(x2
- 2x + 4)3
(x - 4)3
α

3333
Ordenando:
= (x2
- 2x + 1)2n
(x2
- 2x + 4)3
[(x + 2)(x - 4)]3
= (x2
- 2x + 1)2n
(x2
- 2x + 4)3
[x2
- 2x - 8]3
Sustituyendo este equivalente en el numerador:
(x2
- 2x + 1)2n
(x2
- 2x + 4)3
(x2
- 2x - 8)3
––––––––––––––––––––––––––––––––––
x2
- 2x + 2
y, haciendo: x2
- 2x = y:
resulta en:
(y + 1)2n
(y + 4)3
(y - 8)3
–––––––––––––––––––––
y + 2
Para hallar el resto se aplica la regla práctica:
• y + 2 = 0
• y = -2
• R = (-2 + 1)2n
(-2 + 4)3
(-2 - 8)3
= (1)(2)3
(-10)3
R = -8 000
6.- Hallar el resto en la división:
[3 + (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)]4
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x(x + 5) + 5
Solución:
Efectuando operaciones en el dividendo:
[3 + (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)]4
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x(x + 5) + 5
{3 + (x2
+ 5x + 4) (x2
+ 5x + 6)}4
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x2
+ 5x + 5
haciendo: x2
+ 5x = y
[3 + (y + 4)(y + 6)]4
–––––––––––––––––––
y + 5
Para hallar el resto se aplica la regla práctica:
• y + 5 = 0
• y = -5
• R = [3 + (-5 + 4)(-5 + 6)]4
R = 16
a3
b3
+ a3
c3
+ b3
c3
- 3a2
b2
c2
–––––––––––––––––––––––
ab + ac + bc
Solución:
Agrupando convenientemente en el numerador:
(ab)3
+ (ac)3
+ (bc)3
- 3(ab)(ac)(bc)
––––––––––––––––––––––––––––––
ab + ac + bc
Considerando que la variable es el producto ab,
se calcula el resto por la regla práctica:
• ab + ac + bc = 0
• ab = -ac - bc = -(ac + bc)
• R =[-(ac + bc)]3
+ (ac)3
+ (bc)3
- 3[-(ac + bc)](ac)(bc)
R = -(ac + bc)3
+(ac)3
+(bc)3
+ 3(ac + bc)(ac)(bc)
R = - (ac)3
- 3(ac)2
(bc) - 3(ac)(bc)2
- (bc)3
+(ac)3
+(bc)3
+3(ac)2
(bc) + 3(ac)(bc)2
reduciendo términos semejantes:
R = 0
a - b a b (a + b)(a2
- b2
)
(––––)x2
- –– x - –– x + ––––––––––––
2ab b a 2ab
––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(a + b)2
x - ––––––
a - b
Solución:
Aplicando la regla práctica del resto:
(a + b)2
x - –––––––– = 0
a - b

4444
(a + b)2
x = ––––––––
a - b
a - b (a + b)2 2
a (a + b)2
R =
(–––––
)[––––––
] - –– ––––––
2ab a - b b (a - b)
b (a + b)2
(a + b)(a2
- b2
)
- –– –––––– + –––––––––––––
a (a - b) 2ab
Simplificando y agrupando:
(a + b)4
(a + b)2
a b
R = ––––––––– - –––––––
[–– + ––
]2ab(a - b) a - b b a
(a + b)(a2
- b2
)
+ –––––––––––––
2ab
Efectuando el corchete y multiplicando numerador
y denominador por 2:
(a + b)4
2(a + b)2
(a2
+ b2
)
R = ––––––––– - –––––––––––––––
2ab(a - b) 2ab(a - b)
(a + b)(a + b)(a - b)(a - b)
+ –––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
(a + b)4
- 2(a + b)2
(a2
+ b2
) + (a + b)2
(a - b)2
R = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
Sacando el factor común (a + b)2
:
(a + b)2
[(a + b)2
- 2(a2
+ b2
) + (a - b)2
]
R = –––––––––––––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
Aplicando Legendre a los términos señalados:
(a + b)2
[2(a2
+ b2
) - 2(a2
+ b2
)]
R = ––––––––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
(a + b)2
[0]
R = –––––––––––
2(ab)(a - b)
R = 0
(x - 1)n + 2
+ x2n + 1
–––––––––––––––––––––
x2
- x + 1
Solución:
Aplicando la regla práctica del resto:
• x2
- x + 1 = 0
• x2
= x - 1
Reemplazando en el denominador esta equivalencia:
D = (x - 1)n+2
+ (x-1)n
. x
sacando factor común (x - 1)n
:
D = (x - 1)n
[(x - 1)2
+ x]
D = (x - 1)n
[x2
- 2x + 1 + x] = (x - 1)n
[x2
- x + 1]
Sustituyendo:
x2
= x - 1
se tiene:
• R = (x - 1)n
(x - 1 - x + 1) = (x - 1)n
(0) = 0
R = 0
(x + y)4m
- (x - y)4m
–––––––––––––––––––
(8xy) (x2
+ y2
)
Solución:
Transformando el divisor mediante la aplicación
de productos notables e identidades:
8xy(x2
+ y2
) = [4xy][2(x2
+ y2
)]
= [(x + y)2
- (x - y)2
] [(x + y)2
+ (x - y)2
]
= (x + y)4
- (x - y)4
Haciendo: (x + y)4
= a, (x - y)4
= b, se obtiene:
am
- bm
–––––––––
a - b
Para hallar el resto se sigue la regla práctica:
• a - b = 0
• a = b
• R = am
- am
R = 0
α

5555
11.- Calcular “m” y “n” si la división:
xm
(x - a)3m
- 256(3a - x)2n
––––––––––––––––––––––––––
x - 2a
es exacta.
Solución:
Cálculo del resto, siguiendo la regla práctica:
• x - 2a = 0
• x = 2a
• R = (2a)m
(2a -a)3m
- 256(3a - 2a)2n
Según enunciado:
(2a)m
(2a -a)3m
- 256(3a - 2a)2n
= 0
efectuando:
2m
. am
. a3m
= 256a2n
2m
a4m
= 28
a2n
Identificando factores con bases iguales:
2m
= 28
⇒ m = 8
a4m
= a2n
⇒ 4m = 2n
n = 2m
n = 2(8) = 16
Rpta.: m = 8
n = 16
12.- Hallar “m” si la división no deja resto:
x8
+ (y2
- z2
)2
- mx4
(y2
+ z2
)
––––––––––––––––––––––––––
x2
- y - z
Solución:
Calcularemos del resto, siguiendo la regla práctica:
• x2
- y - z = 0
• x2
= y + z
• R = (y + z)4
+ (y2
- z2
)2
- m(y + z)2
(y2
+ z2
)
Por enunciado:
(y + z)4
+ (y2
- z2
)2
- m(y + z)2
(y2
+ z2
) = 0
Por enunciado:
(y + z)4
+ (y + z)2
(y - z)2
= m(y + z)2
(y2
+ z2
)
(y + z)4
[(y + z)2
+ (y - z)2
] = m(y + z)2
(y2
+ z2
)
simplificando y aplicando Legendre:
2(y2
+ z2
) = m(y2
+ z2
)
de donde: m = 2
13.- Hallar “m” si la división deja por resto 49a7
.
(x + 3a)7
- (x7
+ ma7
)
–––––––––––––––––––––
x + 2a
Solución:
Cálculo del resto, siguiendo la regla práctica:
• x + 2a = 0
• x = -2a
• R = (-2a + 3a)7
- [(-2a)7
+ ma7
]
Por condición del problema:
(-2a + 3a)7
- [(-2a)7
+ ma7
] = 49a7
de donde:
a7
- (-128a7
+ ma7
) = 49a7
a7
+128a7
- ma7
= 49a7
operando: m = 80
14.- Calcular “m” si la división es exacta:
m(x + y + z)3
- (x + y)3
- (x + z)3
- (x + z)3
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x + y + 2z
Solución:
Cálculo del resto:
• x + y + 2z = 0
• x = -y - 2z

6666
• R = m(-y -2z + y + z)3
- (-y - 2z + y)3
- (y + z)3
- (-y - 2z + z)3
Por condición del problema: R = 0 igualando a
cero y operando:
m(-z)3
- (-2z)3
- (y + z)3
-[-(y + z)]3
= 0
-mz3
+ 8z3
- (y + z)3
+ (y + z)3
= 0
8z3
= mz3
m = 8
15.- Hallar “m” para que el polinomio:
x3
+ x2
- 3mx + 5
al dividirlo entre (x - 1) de como resto el doble
del resto de dividir dicho polinomio entre (x - 2).
Solución:
Cálculo de R1
(resto de la primera división):
• x - 1 = 0
• x = 1
• R1
= (1)3
+ (1)2
- 3m(1) + 5
R1
= 7 - 3m
Cálculo de R2
(resto de dividir entre x - 2):
• x - 2 = 0
• x = 2
• R2
= (2)3
+ (2)2
- 3m(2) + 5 = 8 + 4 - 6m + 5
R2
= 17 - 6m
Condición del problema:
R1
= 2R2
reemplazando:
7 - 3m = 2(17 - 6m)
efectuando: m = 3
16.- Hallar el valor de:
E = 2m + 5n
si el resto de la división:
mx8
+ nx6
- 3x5
- 1
––––––––––––––––––
x3
+ 1
es igual a 8x2
- 5
Solución:
Cálculo del resto:
• x3
+ 1 = 0
• x3
= -1
El polinomio dividendo se puede escribir así:
m(x3
)2
x2
+ m(x3
)2
- 3(x3
)x2
- 1
luego el resto es:
• R = m(-1)2
x2
+ n(-1)2
- 3(-1)x2
- 1
operando:
R = (m + 3)x2
+ (n - 1)
este resto es idéntico al resto que el problema
indica; o sea:
(m + 3)x2
+ (n - 1) ≡ 8x2
- 5
identificando coeficientes:
m + 3 = 8 ⇒ m = 5
n - 1 = -5 ⇒ n = -4
∴ E = 2(5) + 5(-4) = 10 - 20 = -10
Rpta.: E = -10
17.- Hallar el valor de “m” si la división es exacta.
(2m+3) (x+y+z)2
- (y+z-x)3
+ m(z+x-y)3
- (x+y-z)3
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
xyz
Solución:
Cálculo del resto:
• haciendo xyz = 0
• x = 0
α

7777
• R = (2m + 3)(y + z)3
- (y + z)3
+ m(y + z)3
- (y - z)3
= 0
agrupando e igualando a cero, por condición:
[(2m + 3)(y + z)3
- (y + z)3
]
+ {m [-(y - z)]3
- (y - z)3
} = 0
extrayendo factor común: (y + z)3
en el corchete
y, -(y - z)3
en la llave:
(y + z)3
(2m + 3 - 1) - (y - z)3
(m + 1) = 0
factorizando:
(m + 1) [2(y + z)3
- (y - z)3
] = 0
Igualando los factores a cero, basta con igualar a
cero el primer factor:
m + 1 = 0
m = -1
a
18.- Hallar el valor de E = –– si en la división:
b
(a - b)xn
+ (a - b)2
xn-1
+ (a - b)3
xn-2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––
x - a + b
se obtiene como residuo : 3bn+1
Solución:
Cálculo del resto:
• x - a + b = 0
• x = a - b
• R = (a - b)(a - b)n
+ (a - b)2
(a - b)n-1
+ (a - b)3
(a - b)n-2
Pero, según el problema: R = 3bn+1
igualando y operando:
(a - b)n+1
+ (a - b)n+1
+ (a - b)n+1
= 3bn+1
3(a - b)n+1
= 3bn+1
entonces: a - b = b
a
–– = 2
b
∴ E = 2
19.- Calcular el valor de:
b2
E = ––––––––
a2
+ c2
si la división:
(a + b)x3
+ (b - c)x2
+ (b + c)x + (a - b)
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x2
+ h2
es exacta.
Solución:
Para hallar el resto:
• x2
+ h2
= 0
• x2
= -h2
El dividendo se puede escribir así:
(a + b)2
(x2
)(x) + (b - c)x2
+ (b + c)x + (a - b)
Luego, el resto será:
• R = (a + b)(-h2
)(x) + (b - c)(-h2
)
+ (b + c)x + (a - b)
Igualando a cero y operando:
-(a + b)h2
x + (b + c)x - (b - c)h2
+ (a - b) ≡ 0
[-(a + b)h2
+ (b + c)]x + [-(b - c)h2
+ (a - b)] ≡ 0
identificando coeficientes a cero:
• -(a + b)h2
+ (b + c) = 0
b + c
h2
= ––––– (α)
a + b
• -(b - c)h2
+ (a - b) = 0
a - b
h2
= ––––– (β)
b - c
igualando (α) = (β) :
b + c a - b
–––––– = ––––––
a + b b - c
Producto de medios igual a producto de extremos:
b2
- c2
= a2
- b2
2b2
= a2
+ c2

8888
También:
a2
+ c2
2 = ––––––
b2
1
∴ E = ––
2
20.- Determinar “m” para que el polinomio:
x4
+ y4
+ z4
- m(x2
. y2
+ y2
. z2
+ x2
. z2
)
sea divisible entre x + y + z
Solución:
Cálculo del resto:
• x + y + z = 0 ∴
• x = -y - z
• R = {-(y + z)}4
+ y4
+ z4
-m[{-(y + z)}2
(y2
+ z2
)
+y2
. z2
]
Como es divisible, el resto es cero; igualando a
cero y operando:
(y + z)4
+ y4
+ z4
= m[(y + z)2
(y2
+ z2
) +y2
z2
]
[(y + z)2
]2
+ y4
+ z4
= m[(y2
+ 2yz + z2
)(y2
+ z2
)
+ y2
z2
]
(y2
+ 2yz + z2
)2
+ y4
+ z4
= m[y4
+ 2y3
z + 2y2
z2
+ 2yz3
+ z4
+ y2
z2
]
y4
+ 4y2
z2
+ z4
+ 4y3
z + 2y2
z2
+ 4yz3
+ y4
+ z4
= m[y4
+ z4
+ 2y3
z + 3y2
z2
+ 2yz3
]
2(y4
+ z4
+ 2y3
z + 3y2
z2
+ 2yz3
)
=m(y4
+ z4
+ 2y3
z + 3y2
z2
+ 2yz3
)
m = 2
Rpta.: m= 2
α
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular el resto que se obtiene al dividir:
(x2
+ x + 1)2n
+ (x2
- x - 1)n
––––––––––––––––––––––––
(x2
-x)
siendo “n” un número impar positivo.
a) 1 - (2x + 1)n b) -2x + 1
c) 2x + 1 d) 0
e) -2x
2. Hallar el resto de:
xn+1
- (n + 1)x + n
–––––––––––––––––
(x + 1) (x - 1)
para n = número par positivo.
a) nx b) x c) 0
d) nx - n e) -nx + m
3. Sabiendo que el polinomio x4
+ ax2
+ b es divisi-
ble entre x2
+ bx + a, calcular el resto de la
división del polinomio entre ax + b.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Calcular el valor de “a” de tal manera que la
expresión:
xn
-axn-1
+ ax - 1
sea divisible por (x - 1)2
n n n - 2
a) ––––– b) ––––– c) ––––––
n + 2 n - 2 n
n + 2
d) ––––– e) n
n
5. Calcular el valor de “m” de manera que el poli-
nomio:
x3a+2
+ x3b+1
+ mx3c
sea divisible entre x2
+ x + 1

9999
a) 2 b) 3 c) 4
d) 1 e) 7
6. Calcular m de manera que la división:
x4
(y + z)2
+ y4
(x + z)2
+ z4
(x + y)2
––––––––––––––––––––––––––––––––
x2
(y + z)x + yz
+ 2(xy + xz + yz)3
- mx2
y2
z2
––––––––––––––––––––––––
Se exacta:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Hallar la diferencia m - n, si la división es exacta:
3x2
+ mxy + 4y2
+ 5y + ny
–––––––––––––––––––––––
x + y
a) 2 b) -2 c) 12
d) -12 e) 7
8. Si un polinomio P(x) se divide entre (x2
+ x + 1)
el resto es 3x + 2, si el cociente se divide entre
(x3
+ 7), el resto es 2x2
- x + 3. Hallar el resto de
la división de P(x) entre:
(x2
+ x + 1)(x3
+ 7)
Dar la suma de sus coeficientes.
a) 10 b) 14 c) 15
d) 17 e) 19
9. Si el siguiente polinomio:
(mx + 1)2
+ (m + x)2
+ mx
es divisible ente (x + 1). Calcular “m”.
a) 2 b) -2 c) 4
d) 5 e) 0
10. Calcular “m” si el resto de la división de:
x3
- mx2
+ 7x - 1 entre x - 2
es el triple del resto de dividir:
x2
- (m + 2)x - 11 entre x + 2
a) -3 b) 4 c) 5
d) 3 e) -4
11. Si el polinomio:
P(x) = 2x3
+ 3x2
- 32x + 15
se anula para x = -5 y x = 3. Calcular el otro valor
de x para el cual también se anula.
a) 162 b) -1/2 c) 1
d) -1 e) Ninguna
12. Hallar m + n si la siguiente división es exacta:
(m+1)x28
- (n+2)x22
+ mx15
- nx8
+ (2m - 2)x7
+ 1
entre (x7
+ 1)
a) 3 b) 4 c) 7
d) 1 e) -1
13. Hallar el resto al dividir:
P(x) = (x - 1)6
x3
(2 - x)3
entre (x2
- 2x -2)
a) +128 b) -128 c) -216
d) 216 e) 0
14 Al dividir un polinomio P(x) entre (x + a)4
se
obtuvo como residuo:
(x3
- 3a2
x + 2a3
)
Calcular el resto de dividir P(x) entre (x + a)2
a) x + a b) 4 c) xa2
+ 4a3
d) 4a3
e) x + 4a
15. Al dividir un polinomio P(x) entre (x - 3)2
deja
un residuo (x - 3). ¿Cuál es el resto de dividir el
cuadrado de P(x) entre (x - 3)?

10101010
a) 3 b) 9 c) 0
d) -3 e ) 8
16. Al dividir un polinomio P(y) entre (y - 3) se
obtuvo un cociente Q(y) y un resto igual a - 2;
al dividir Q(y) entre (y + 2) se obtiene un resto
igual a 2. Calcular el término independiente del
residuo al dividir P(y) entre (y - 3)(y + 2).
a) -8 b) 8 c) 12
d) -12 e) 15
17. Hallar el término cuadrático de un polinomio P(x)
de cuarto grado, si se sabe que sus respectivos coe-
ficientes son números enteros consecutivos, se
sabe además que si se divide dicho polinomio
entre (x - 1) el resto es 35.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
18. Si al dividir un polinomio P(x) entre x4
-1 se
obtuvo como residuo:
3x3
+ bx2
+ cx - 2
si se sabe además que el resto de dividir P(x)
entre (x2
- 1) es dos veces más que el resto de la
división de P(x) entre (x2
+ 1). Decir cuánto
vale: b + c.
a) -5 b) -3 c) 2
d) 3 e) 5
19. Hallar el residuo de:
[x
3
n+2
+ 3
3 n
]÷ [x 9
+ 3]
a) 3n
b) 3
3 n
+ 1 c) 3
3 n
- 1
d) 0 e) 1 - 3
n 3
20. Hallar el resto de dividir el polinomio:
(x - n) (x - p) (x - m)(x - p)
P (x) = –––––––––––– a + –––––––––––– b
(m - n)(m - p) (n - m)(n - p)
(x - m)(x - n)
+ ––––––––––––– c
(p - m)(p - n)
entre el divisor (x - m)(x - n)(x - p)
a) x2
+ x + 1 b) x c) x2
+ 1
d) x - 1 e) x2
- 1
α
1) E 2) C 3) C 4) B 5) D
CLAVE DE RESPUESTAS
6) B 7) C 8) E 9) A 10) D
11) A 12) D 13) C 14) D 15) C
16) A 17) C 18) E 19) D 20) B

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