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Inecuaciones en r uedees

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Inecuaciones en R, Inecuaciones de Valor Absoluto, Sistemas de Inecuaciones

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Inecuaciones en r uedees

  1. 1. Relación de Orden Inecuaciones en R Inecuaciones con Valor Absoluto Sistemas de Inecuaciones Lineales
  2. 2. Relación de Orden
  3. 3. Intervalos Los intervalos son subconjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real. TIPOS DE INTERVALOS INTERVALO CERRADO Si a y b son números reales tales que 𝒂 ≤ 𝒃, se denomina intervalo cerrado al conjunto de todos los reales x para los cuales 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃. (están incluidos los extremos a y b). Se denota por 𝒂; 𝒃 . 𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃
  4. 4. Tipos de intervalos INTERVALO ABIERTO Si a y b son números reales tales que 𝒂 ≤ 𝒃, se denomina intervalo abierto al conjunto de todos los reales x para los cuales 𝒂 < 𝒙 < 𝒃. (No están incluidos los extremos a y b). Se denota por 𝒂, 𝒃 . 𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 < 𝒙 < 𝒃 INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA. Si a y b son números reales tales que 𝒂 < 𝒃, se denomina intervalo semiabierto por la izquierda al conjunto de todos los reales x para los cuales 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃 se denota por 𝒂, 𝒃 . 𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃
  5. 5. Tipos de intervalos INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA. Si a y b son números reales tales que 𝒂 < 𝒃, se denomina intervalo semiabierto por la derecha al conjunto de todos los reales x para los cuales 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃 se denota por 𝒂, 𝒃 𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃
  6. 6. Tipos de intervalos INTERVALOS INFINITOS Para indicar a los conjuntos de números reales que se extienden indefinidamente por la derecha o por la izquierda de un número “a”, existen los llamados intervalos infinitos, que tienen la forma de:
  7. 7. ¿Qué es una inecuación? Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que hay al menos una variable cuyo valor se desconoce, y sus miembros se relacionan por algunos de estos signos < > ≤ ≥ La solución de una inecuación, es el conjunto de valores de la variable que la verifica, hay dos formas de expresarla  Una representación grafica Un intervalo
  8. 8. Representaciones en Intervalos Intervalo Abierto: “Los extremos no pertenecen al Intervalo”. Ej: Intervalo Cerrado: “Ambos extremos pertenecen al intervalos”. Ej:
  9. 9. Intervalo Finito: “Son los que tiene principio y fin”. Ej: Intervalo Infinito: “Son los que tienen principio y no fin o viceversa” Ej
  10. 10. Para comenzar Primero propiedad distributiva Se agrupan los términos semejantes Se grafica Se halla el intervalo solución Gráfica
  11. 11. Cuando en una inecuación se pasa multiplicando o dividiendo por un número negativo, se debe invertir el signo de la desigualdad
  12. 12. Veamos un ejemplo Empecemos a analizar:  El denominador NUNCA puede ser cero  Además tenemos un cociente que es menor a cero, es decir siempre será negativo. Por eso es necesario recurrir a la regla de signos. Será necesario plantear dos posibilidades
  13. 13. Resolvemos cada una de las Inecuaciones
  14. 14. ¿Cuál es el conjunto solución? Ya tenemos la solución de las intersecciones, ahora falta unir estos resultados. En este caso es una unión porque viene de un “o”, de modo que son validas cualquiera de las dos ramas en las que dividimos el planteo, por lo tanto debemos unir los resultados obtenidos en cada una La solución final
  15. 15. Veamos otro ejemplo Lo primero que tenemos que hacer es llevarlo a la “estructura” que posee el ejercicio anterior
  16. 16. Empecemos a analizar:  El denominador NUNCA puede ser cero  Además tenemos un cociente que es mayor a cero, es decir siempre será positivo. Por eso es necesario recurrir a la regla de signos. Será necesario plantear dos posibilidades
  17. 17. Ahora analicemos cual será el conjunto solución La solución final será la UNION DE TODO (incluyendo x=-3) Observen que al incluir x = -3 ponemos corchetes en el intervalo de manera que este lo contenga
  18. 18. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO PROPIEDADES 1ra.  x  < a ; si y sólo si a > 0 y a < x < a a a  x   a ; si y sólo si a > 0 y a  x  a a a
  19. 19. Ejemplo.- Analizar:  x  < 2 2 2 Ejemplo.- Analizar:  x   5 5 5 Dado que 2 > 0 entonces: 2 < x < 2 Dado que 5>0 entonces: 5  x  5
  20. 20. 2da.  x  > a ; si y sólo si x < a ó x > a  x   a ; si y sólo si x  a ó x  a  – a a   – a a 
  21. 21. Ejemplo.- Analizar:  x  > 2 Ejemplo.- Analizar:  x   6  – 2 2   – 6 6  Para que la desigualdad se verifique se debe cumplir que: x < (2) ó x > 2  x < -2 ó x > 2 x  6 ó x  6 Para que la desigualdad se verifique se debe cumplir que:
  22. 22. Ejemplo N°4 Resolver 96x  Resolución: 96x  – 9  x – 6  9 – 3  x  15 x  – 3; 15  – 3 15
  23. 23. Ejemplo N°5 Resolver 104x  Resolución: 104x  x – 4 < – 10 ó x – 4 > 10 x < – 6 ó x > 14  – 6 14  x  – ; – 6  14;  
  24. 24. Sistema de Inecuaciones con una Incógnita Se Resuelve cada inecuación del sistema por separado, obteniéndose como solución de cada una de ellas un subconjunto de la recta real. La solución del sistemas la intersección de todos estos subconjuntos. Ejemplos:
  25. 25. Inecuaciones lineales con dos incógnitas Ejemplo: 3𝑥 − 2𝑦 > 6 2. La recta divide al plano en dos semiplanos. Discutimos cuál de los semiplanos es solución utilizando un punto y estudiando si verifica o No la inecuación La solución será el semiplano 3. No se incluye la recta ya que no verifica la desigualdad. 1. Representamos gráficamente la función afín o lineal: Para ello hacemos una tabla de valores: 3𝑥 − 2𝑦 = 6 𝑥 0 2 −2 𝑦 −3 0 −6

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