ejercicios fisica 3

1. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE INTERACCIÓN ELÉCTRICA
1. Tres cargas puntuales iguales a Q se encuentra ubicadas en los vértices de un triángulo
equilátero de lado a. Determine la magnitud de la fuerza eléctrica que experimenta cada
una de ellas.
𝐹1 =
1
4𝜋𝜀0
∗
𝑄 ∗ 𝑄
𝑎2
𝐹1 =
𝑄2
4𝜋𝜀0 𝑎2
𝐹⃗ = −𝐹1 𝑖̂ − 𝐹1 𝐶𝑜𝑠60°𝑖̂− 𝐹1 𝑆𝑒𝑛60°𝑗̂
𝐹⃗ = −( 𝐹1 +
1
2
𝐹1) 𝑖̂ −
√3
2
𝐹1 𝑗̂
𝐹⃗ = −
3
2
𝐹1 𝑖̂ −
√3
2
𝐹1 𝑗̂
| 𝐹⃗| = √(−
3
2
𝐹1)
2
+ (−
√3
2
𝐹1)
2
| 𝐹⃗| = √
9
4
𝐹1
2
+
3
4
𝐹1
2
| 𝐹⃗| =
𝐹1
2
√9 + 3
| 𝐹⃗| =
𝐹1
2
∗ 2√3
| 𝐹⃗| = 𝐹1√3
| 𝐹⃗| =
𝑄2
4𝜋𝜀0 𝑎2 ∗ √3
| 𝐹⃗| =
𝑄2
2𝜋𝜀0 𝑎2 ∗
√3
2
=
𝑄2
2𝜋𝜀0 𝑎2 ∗ 𝐶𝑜𝑠30°
2. En los vértices de un triángulo equilátero de lados 1 están situadas tres cargas positivas
iguales de valor q. (a) ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre la carga situada en el vértice
superior? (b) ¿Cuál es el campo eléctrico neto E en el punto medo de la base?
a. La fuerza que actúa sobre la carga superior:
| 𝐹𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗| = √ 𝐹2 + 𝐹2 + 2𝐹2 𝐶𝑂𝑆60 𝑂
| 𝐹𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗| = √2𝐹2 + 2𝐹2 𝐶𝑂𝑆60 𝑂
| 𝐹𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗| = 𝐹√3
b. El campo eléctrico neto en la base en el punto P:
𝐸 𝑁𝐸𝑇𝑂 = 𝐸 𝐴 + 𝐸 𝐵 + 𝐸 𝐶
Sabemos que:

2. 𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
×
𝑞
𝑟2
𝐸 𝐴 = 3.6 × 1010 𝑁/𝐶
𝐸 𝐵 = 1.2 × 1010 𝑁/𝐶
𝐸 𝐶 = 3.6 × 1010 𝑁/𝐶
𝐸 𝑁𝐸𝑇𝑂 = 𝐸 𝐴 + 𝐸 𝐵 + 𝐸 𝐶 = 8.4 × 1010 𝑁/𝐶
3. Disponemos de tres bolitas esféricas conductoras idénticas A,B y C, de radio tan pequeño
que se pueden considerar puntuales. Las dos primeras esferillas están fijas a una distancia
l=100cm y tienen carga eléctrica negativa, siendo la de A 5 veces mayor que la de B. la
esferilla C se encuentra inicialmente en estado neutro y se puede mover libremente a lo
largo de la recta AB horizontal. (a) cogemos la bolita C con unas pinzas aislantes y la
ponemos en contacto con la A, dejándola luego en libertad. Determinar la posición en que
dicha bolita C quedara en equilibrio. (b) volvemos a coger la bolita C con las pinzas,
poniéndola en contacto con la B y dejándola posteriormente libre. Determinar la nueva
posición de equilibrio.
Carga de A=5q
Carga de B=q
a) Para el primer caso:
𝑘
2.5𝑞𝑥2.5𝑞
0.102 = 𝑘
𝑞𝑥2.5𝑞
𝑟2
2.5
0.102 =
1
𝑟2
𝑟 = 0.063𝑚
b) Para el segundo caso:
𝑘
5𝑞𝑥
𝑞
2
0.102 = 𝑘
𝑞
2
𝑥
𝑞
2
𝑟2
5
0.102 =
1
2𝑟2
𝑟 = 0.0312𝑚
4. Dos cargas iguales a Q y 5Q están en línea recta separadas una distancia a. Determine los
puntos en línea que une las cargas donde el campo eléctrico es cero.
𝐸 𝑄 =
1
4𝜋𝜀0
∗
𝑄
( 𝑎−𝑥)2
……………….. (1)
𝐸5𝑄 =
1
4𝜋𝜀0
∗
5𝑄
𝑥2
………………….. (2)
Igualamos (1) y (2):
𝐸 𝑄 = 𝐸5𝑄

3. 1
4𝜋𝜀0
∗
𝑄
( 𝑎 − 𝑥)2 =
1
4𝜋𝜀0
∗
5𝑄
𝑥2
1
( 𝑎 − 𝑥)2 =
5
𝑥2
𝑥2 = 5 ∗ ( 𝑎 − 𝑥)2
𝑥2 = 5𝑎2 − 10𝑎𝑥 + 5𝑥2
0 = 4𝑥2 − 10𝑎𝑥 + 5𝑎2
𝑥1,2 =
−(−10𝑎) ± √(−10𝑎)2 − 4 ∗ 4 ∗ 5𝑎2
2 ∗ 4
𝑥1,2 =
10𝑎 ± 2𝑎√5
8
𝑥1,2 =
5𝑎 ± 𝑎√5
4
Los puntos en línea son:
𝑥1 =
5𝑎 − 𝑎√5
4
𝑥2 =
5𝑎 − 𝑎√5
4
5. Hallar el campo eléctrico creado por el conducto AB de densidad lineal 𝜆 = 10−6 𝐶/𝑚 y
longitud 𝑙 = 10 en un punto P a una distancia 𝑂𝑃 = 𝑎 = 50𝑐 . Calcular el potencial en el
mismo punto P.
𝜆 = 10−6
𝐶
𝑚
𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑙
𝑞 = 10−6(0.1)
𝑉 = 𝐸𝑑
𝑉 =
1
4𝜋𝜖0
10−6(0.1)
0.52
𝑉 = 1800 𝑁/𝐶
6. Una carga lineal uniforme de densidad 𝜆 = 3.5 𝑛𝐶/𝑚 se distribuye desde 𝑥 = 0 a 𝑥 = 5𝑚
. a) ¿Cuál es la carga total? b) determinar el campo eléctrico en el eje X en 𝑥 = 6𝑚 , 𝑥 =
9𝑚 y 𝑥 = 250𝑚.
Hallando carga total:
𝜆 = 3.5𝑛𝐶/𝑚
𝑥 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 5𝑚
𝜆 =
𝑑𝑄
𝑑𝑥
∫ 𝜆𝑑𝑙
5
0
= ∫ 𝑑𝑄
𝑄 = 3.5𝑙 |
5
0
𝑄 = 17.5𝑛𝐶
a. Hallando campo eléctrico:

4. 𝐸 =
1
4𝜋𝜀0
𝑄
𝑟2
Para 𝑥 = 6𝑚
𝐸 =
1
4𝜋𝜀0
17.5
62
𝐸 = 4.375 𝑁/𝐶
Para 𝑥 = 9𝑚
𝐸 =
1
4𝜋𝜀0
17.5
92
𝐸 = 1.944 𝑁/𝐶
Para 𝑥 = 250𝑚
𝐸 =
1
4𝜋𝜀0
17.5
(250)2
𝐸 = 2.52𝑥10−3 𝑁/𝐶
7. Una carga Q se encuentra distribuida de forma volumétrica y uniformemente en una esfera
de radio a. A una distancia b > a y con el mismo centro, se encuentra una distribución
uniforme y superficial de carga s con forma esférica. Hallar el campo y potencial en todos
los puntos del espacio.
El campo eléctrico:
∮ 𝐸̅ 𝑑𝑠̅ =
𝑞 𝑛𝑒𝑡𝑎
𝜀0
𝐸̅(4𝜋𝑟2) =
𝑄
𝜀0
𝐸̅ =
𝑞
4𝜋𝑟2 𝜀0
Para r < a:
𝐸 = 0
𝑉 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Para a < r < b:
∫ 𝑑𝑉 = − ∫ 𝐸̅ 𝑑𝑟̅
𝑏
𝑎
= − ∫ 𝐸. 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
𝑉(𝑟)
𝑉(𝑎)
∫ 𝑑𝑉 = −∫
𝑄
4𝜋𝑟2 𝜀0
𝑑𝑟
𝑏
𝑎
𝑉(𝑏)
𝑉(𝑎)
𝑉( 𝑏) − 𝑉( 𝑎) = [
𝑄
4𝜋𝑟𝜀0
]
𝑎
𝑏
𝑉( 𝑏) − 𝑉( 𝑎) =
𝑄
4𝜋𝜀0
[
1
𝑏
−
1
𝑎
]
Si 𝑏 → ∞ y 𝑉( 𝑏) = 0, entonces:
−𝑉( 𝑎) =
𝑄
4𝜋𝜀0
[−
1
𝑎
]
𝑉( 𝑎) =
𝑄
4𝜋𝜀0
[
1
𝑎
]
8. Una barra infinita, con densidad lineal de carga 𝜆, se dobla en forma de horquilla como se
muestra en la figura. Determine el campo eléctrico en el punto Q.

5. 𝑑𝑙 = 𝑅𝑑𝜃
𝜆 =
𝑑𝑞
𝑑𝑙
𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑞
𝐹𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗̂ = 0
𝑑𝐸⃗⃗ =
𝑑𝑞
4𝑅2 𝜋𝜖0
( 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖̂ − 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗̂) 𝑑𝜃
Los cosenos en el eje y se anulan
𝐸⃗⃗ =
𝜆
4𝜋𝜖0
𝑅 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃
𝜋
0
𝐸⃗⃗ =
𝜆
4𝜋𝜖0
𝑅[−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗̂]
𝜋
0
𝐸⃗⃗ =
𝜆
4𝜋𝜖0
𝑅[1 − 1]
𝐸⃗⃗ = 0⃗⃗
9. Una esfera sólida aislante de diámetro D=28cm tiene una densidad volumétrica de carga
constante. Si el campo eléctrico E a 7cm del centro vale 5.8𝑥104 𝑉/𝑚, demostrar que el
campo eléctrico E a 20 cm del centro vale 56.84𝑥103 𝑉/𝑚.
𝜌 = 𝑐𝑡𝑒
𝐸7 = 5.8𝑥104 𝑉/𝑚
𝐸20 = 56.84𝑥103 𝑉/𝑚
𝜌 =
𝑑𝑄
𝑑𝑉
𝜌(4𝜋𝑟2) 𝑑𝑟 = 𝑑𝑄
𝑄 = 𝜌
4
3
𝜋𝑟3
𝐸(4𝜋𝑟2) = 𝜌
4
3
𝜋𝑟3
𝜀0
𝐸 =
𝜌𝑟
3𝜀0
5.8𝑥104
7
𝑥3𝜀0 = 𝜌
El campo eléctrico a 20 cm del centro será:
𝐸(4𝜋𝑟2) = 𝜌
4
3
𝜋𝑟3
𝜀0
𝐸 =
5.8𝑥104
7
𝑥3𝜀00.02
3𝜀0
𝐸 = 56.84𝑥103 𝑉/𝑚
10. Un cilindro macizo, muy largo de radio a, tiene una carga distribuida con una densidad de
carga (a) 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (b) 𝜌 = −𝐴𝑟, donde A es una constante positiva. Determine el
valor del campo eléctrico en el interior y el exterior cercano al cilindro, en punto lejanos de
sus extremos.
(a) Siendo 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒:
Para 𝑟 ≤ 𝑎:
𝜌 =
𝑑𝑞
𝑑𝑉

6. 𝑞1 = ∫ 𝜌(2𝜋𝑟𝐿𝑑𝑟)
𝑟
0
𝑞1 = 2𝜋𝐿𝜌∫ 𝑟𝑑𝑟
𝑟
0
𝑞1 = 2𝜋𝐿𝜌
𝑟2
2
∮ 𝐸̅ 𝑑𝑠̅ =
𝑞1
𝜀0
𝐸̅(2𝜋𝑟𝐿) = 2𝜋𝐿𝜌
𝑟2
2𝜀0
𝐸̅ =
𝜌𝑟
2𝜀0
Para 𝑎 ≤ 𝑟:
𝜌 =
𝑑𝑞
𝑑𝑉
𝑞2 = ∫ 𝜌(2𝜋𝑟𝐿𝑑𝑟)
𝑏
0
𝑞2 = 2𝜋𝐿𝜌 ∫ 𝑟𝑑𝑟
𝑏
0
𝑞2 = 2𝜋𝐿𝜌
𝑏2
2
∮ 𝐸̅ 𝑑𝑠̅ =
𝑞2
𝜀0
𝐸̅(2𝜋𝑟𝐿) = 2𝜋𝐿𝜌
𝑏2
2𝜀0
𝐸̅ =
𝜌𝑏2
2𝑟𝜀0
(b) Siendo 𝜌 = −𝐴𝑟:
Para 𝑟 ≤ 𝑎:
𝜌 =
𝑑𝑞
𝑑𝑉
𝑞1 = ∫ −𝐴𝑟(2𝜋𝑟𝐿𝑑𝑟)
𝑟
0
𝑞1 = −2𝜋𝐿𝐴∫ 𝑟2 𝑑𝑟
𝑟
0
𝑞1 = −2𝜋𝐿𝐴
𝑟3
3
∮ 𝐸̅ 𝑑𝑠̅ =
𝑞1
𝜀0
𝐸̅(2𝜋𝑟𝐿) = −2𝜋𝐿𝐴
𝑟3
3𝜀0
𝐸̅ =
−𝐴𝑟2
3𝜀0
Para 𝑎 ≤ 𝑟:
𝜌 =
𝑑𝑞
𝑑𝑉

7. 𝑞2 = ∫ −𝐴𝑟(2𝜋𝑟𝐿𝑑𝑟)
𝑏
0
𝑞2 = −2𝜋𝐿𝐴 ∫ 𝑟2 𝑑𝑟
𝑏
0
𝑞2 = −2𝜋𝐿𝐴
𝑏3
3
∮ 𝐸̅ 𝑑𝑠̅ =
𝑞2
𝜀0
𝐸̅(2𝜋𝑟𝐿) = −2𝜋𝐿𝐴
𝑏3
3𝜀0
𝐸̅ =
−𝐴𝑏3
3𝑟𝜀0
11. Una carga puntual +2 × 10−6 𝐶 se encuentra en el centro de una esfera de 0.5 𝑚 de radio
(a) Hallar el valor del campo eléctrico en los puntos situados en la superficie de la esfera.
(b) ¿Cuál es el flujo del campo eléctrico debido a la carga puntual a través de la superficie
de la esfera?
a. Hallando el campo eléctrico:
𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
×
𝑞
𝑟2
𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
×
2 × 10−6
0.52
𝐸 = 7.19 × 104 𝑁/𝐶
b. Hallando flujo del campo eléctrico:
Sabemos: ∅ = ∫ 𝐸𝑑𝑠
𝑞 = 7.19 ∗ 104, 𝑅 = 0.5 𝑚
Reemplazando tenemos:
∅ = 7.19 ∗ 104 ∗ 4𝜋 ∗ 0.52
∅ = 2349.157𝑁𝑚2/𝐶
12. Tres cargas iguales, cada una de 1𝜇𝐶, están situadas en los vértices de un triángulo
equilátero de 10 cm de lado. Calcule: a) la energía potencial electrostática de este sistema
b) el potencial eléctrico en el punto medio de cualquier lado.
a) Hallando la energía potencial:
𝑊 = 𝑞2 𝑉1 + 𝑞3 𝑉1 + 𝑞3 𝑉2
𝑊 =
1
4𝜋𝜀0
(
𝑞1 𝑞2
𝑟12
+
𝑞1 𝑞3
𝑟13
+
𝑞2 𝑞3
𝑟23
)
𝑊 =
1
4𝜋𝜀0
(
1𝜇1𝜇
0.01
+
1𝜇1𝜇
0.01
+
1𝜇1𝜇
0.01
)
𝑊 =
1
4𝜋𝜀0
(
3𝜇2
10
)
𝑊 = 𝐸 𝑝 = 0.27 𝐽
b) Hallando el potencial eléctrico:
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑄
𝑟
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
1𝜇
0.05
𝑉 = 4.64𝑥105 𝑉

8. 13. Una esfera conductora maciza de radio 0.2 cm tiene una carga de 8µC. Una lámina esférica
conductora de radio interior 4 cm y radio exterior 5 cm es concéntrica con la esfera maciza
y tiene una carga total de -0.4µC. Ambos conductores se encuentran en equilibrio
electrostático. Calcule el potencial eléctrico a una distancia de 7, 3 y 1 cm del centro de
ambas distribuciones de carga.
Para 𝑟 ≤ 0.02:
∮ 𝐸̅ 𝑑𝑠̅ =
𝑞1
𝜀0
𝐸̅(4𝜋𝑟2) =
8𝜇
𝜀0
𝐸̅ =
8𝜇
4𝜋𝑟2 𝜀0
Para 0.02 ≤ 𝑟 ≤ 0.04:
∮ 𝐸̅ 𝑑𝑠̅ =
𝑞2
𝜀0
𝐸̅(4𝜋𝑟2) =
7.6𝜇
𝜀0
𝐸̅ =
7.6𝜇
4𝜋𝑟2 𝜀0
Para 0.05 ≤ 𝑟:
∮ 𝐸̅ 𝑑𝑠̅ =
𝑞3
𝜀0
𝐸̅(4𝜋𝑟2) =
7.6𝜇
𝜀0
𝐸̅ =
7.6𝜇
4𝜋𝑟2 𝜀0
Para 𝑟 ≤ 0.02:
∫ 𝑑𝑉
𝑉(𝑟)
𝑉(0.02)
= − ∫
8𝜇
4𝜋𝑟2 𝜀0
𝑑𝑟̅
𝑟
0.02
𝑉( 𝑟) − 𝑉(0.02) =
8𝜇
4𝜋𝜀0
(
1
0.02
−
1
𝑟
)
𝑉( 𝑟) = 𝑉(0.02) +
8𝜇
4𝜋𝜀0
(
1
0.02
−
1
𝑟
)
Para 0.02 ≤ 𝑟 ≤ 0.04:
∫ 𝑑𝑉
𝑉(0.02)
𝑉(𝑟)
= −∫
7.6𝜇
4𝜋𝑟2 𝜀0
𝑑𝑟̅
0.02
𝑟
𝑉(0.02) − 𝑉( 𝑟) =
7.6𝜇
4𝜋𝜀0
(
1
0.02
−
1
𝑟
)
𝑉( 𝑟) = −𝑉(0.02) −
7.6𝜇
4𝜋𝜀0
(
1
0.02
−
1
𝑟
)
Para 0.05 ≤ 𝑟:
∫ 𝑑𝑉
𝑉(𝑟)
𝑉∞
= −∫
7.6𝜇
4𝜋𝑟2 𝜀0
𝑑𝑟̅
𝑟
∞
𝑉( 𝑟) − 𝑉(∞) =
7.6𝜇
4𝜋𝜀0
(
1
𝑟
−
1
∞
)
𝑉( 𝑟) = 𝑉(∞)+
7.6𝜇
4𝜋𝜀0
(
1
𝑟
)
Como 𝑉(∞) = 0, entonces:

9. 𝑉( 𝑟) =
7.6𝜇
4𝜋𝜀0
(
1
𝑟
)
Reemplazamos en:
𝑉( 𝑟) = 𝑉(0.02) +
8𝜇
4𝜋𝜀0
(
1
0.02
−
1
𝑟
)
Para 𝑟 = 0.02 𝑚:
𝑉(0.02) = 𝑉(0.02) +
8𝜇
4𝜋𝜀0
(
1
0.02
−
1
𝑟
)
𝑉(0.02) = −
8𝜇
4𝜋𝜀0
(
1
0.02
−
1
0.02
)
𝑉(0.02) = 0
Siendo:
𝑉( 𝑟) =
8𝜇
4𝜋𝜀0
(
1
0.02
−
1
𝑟
)
Para 𝑟 = 0.01 𝑚: 𝑉(0.01) = 3.6 × 106 V
Para 𝑟 = 0.03 𝑚: 𝑉(0.03) = 1.7 × 106 V
Para 𝑟 = 0.07 𝑚: 𝑉(0.07) = 4.1 × 105 V
14. Una carga lineal infinita de densidad lineal 𝜆 = 1.5 × 10−6 𝐶/𝑚 se encuentra sobre el eje
Z. Determinar el potencial a distancias de 2.0 𝑚;4.0𝑚; 𝑦 12 𝑚 de la línea, suponiendo que
𝑉 = 0 a 2.5 𝑚.
𝜆 =
𝑑𝑄
𝑑𝑙
𝑄 = 𝜆𝑙
𝑉 = 𝐸. 𝑑
Por el teorema de Gauss:
∮ 𝐸̅ 𝑑𝑠̅ =
𝑄
𝜀0
𝐸̅(2𝜋𝑟𝑙) =
𝜆𝑙
𝜀0
𝐸̅ =
𝜆
2𝜋𝑟𝜀0
𝑊 = 𝑄𝑉
𝑉 = 𝐸. 𝑑
𝑉 =
𝜆
2𝜋𝑟𝜀0
𝑑
Para 𝑟 = 𝑑 = 2𝑚
𝑉 = 6.75𝑥103 𝑉
Para 𝑟 = 𝑑 = 4𝑚
𝑉 = 13.5𝑥104 𝑉
Para 𝑟 = 𝑑 = 12𝑚
𝑉 = 5.4𝑥104 𝑉
15. Un anillo metálico de radio a tiene una carga total Q distribuida uniformemente en su
perímetro. Una carga puntual q se trae desde el infinito y se coloca en un punto a distancia

10. d sobre el eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro. Determine el
trabajo realizado por el campo eléctrico.
𝑟 = √ 𝑑2 + 𝑎2
𝑊 = 𝑞. 𝑉
𝑉 = 𝐸. 𝑑
𝐸 𝑦 = ∫ 𝑑𝐸. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
𝐸 𝑥 = 0
𝐸 𝑧 = ∫ 𝑑𝐸. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = ∫
𝑘𝑑𝑄 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟2
𝐸 𝑧 =
𝑘𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑
𝑟2 𝑄 |
𝑄
0
𝐸 𝑧 =
𝑘𝑑𝑄
𝑟3
𝐸 𝑧 =
𝑑𝑄
4𝜋𝜀0 𝑟3
𝐸 𝑧 =
𝑑𝑄
4𝜋𝜀0(𝑑2 + 𝑎2)
3
2
𝑉 =
𝑑. 𝑑𝑄
4𝜋𝜀0(𝑑2 + 𝑎2)
3
2
𝑊 =
𝑑2 𝑄
4𝜋𝜀0(𝑑2 + 𝑎2)
3
2
𝑊 =
𝑑2 𝑄2
4𝜋𝜀0(𝑑2 + 𝑎2)
3
2
𝐽
16. Un plano conductor tiene una carga +Q y a cada lado de este, a las distancias x1 y x2, se
colocan paralelas, placas infinitas conductoras con carga total nula. Encontrar la diferencia
de potencial entre las caras internas y entre las externas de las placas.
Para 𝑟 > 𝑥1 + 𝑥2:
𝐸 = 0
𝑉𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Para 𝑟 < 𝑥1 + 𝑥2:

11. ∮ 𝐸̅ 𝑑𝑠̅ =
𝑞
𝜀0
𝐸̅(2𝜋𝑟𝐿) =
𝑄
𝜀0
𝐸̅ =
𝑄
2𝜋𝑟𝐿𝜀0
∫ 𝑑𝑉 = − ∫ 𝐸̅ 𝑑𝑟̅
𝑏
𝑎
= − ∫ 𝐸. 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
𝑉(𝑟)
𝑉(𝑎)
∫ 𝑑𝑉 = −∫
𝑄
2𝜋𝑟𝐿𝜀0
𝑑𝑟
𝑏
𝑎
𝑉(𝑏)
𝑉(𝑎)
𝑉( 𝑏) − 𝑉( 𝑎) =
𝑄
2𝜋𝐿𝜀0
(ln| 𝑏|− ln| 𝑎|)
Si 𝑏 → ∞ y 𝑉( 𝑏) = 0, entonces:
−𝑉( 𝑎) =
𝑄
2𝜋𝐿𝜀0
(−ln| 𝑎|)
𝑉𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝑉( 𝑎) =
𝑄 ln| 𝑎|
2𝜋𝐿𝜀0
17. Determine el trabajo que realiza el campo eléctrico al traer una carga puntual Q desde una
distancia 2d hasta una distancia d de un hilo recto infinito que tiene una carga uniforme
𝜆 𝐶/𝑚.
Hallando la carga neta:
𝜆 =
𝑑𝑄
𝑑𝑙
𝑄 = 𝜆𝑙
𝑄 = 𝜆𝑑
Por el teorema de Gauss:
∮ 𝐸̅ 𝑑𝑠̅ =
𝑄
𝜀0
𝐸̅(2𝜋𝑟𝑙) =
𝜆𝑙
𝜀0
𝐸̅ =
𝜆
2𝜋𝑟𝜀0
𝑊 = 𝑄𝑉
𝑉 = 𝐸. 𝑑
Donde 𝑟 = 2𝑑 − 𝑑:
𝑉 =
𝜆
2𝜋𝑑𝜀0
𝑑
𝑉 =
𝜆
2𝜋𝜀0
𝑊 =
𝜆
2𝜋𝜀0
𝑄
18. Calcule la diferencia de potencial entre dos esferas concéntricas de radios a y b (a<b) que
tienen cargas q y Q respectivamente.

12. 𝑏 > 𝑎
 𝑟 < 𝑎
∮ 𝐸̅ 𝑑𝑠̅ =
𝑞
𝜀0
∮ 𝐸̅ 𝑑𝑠̅ = 0
𝐸̅ = 0
 𝑎 < 𝑟 < 𝑏
∮ 𝐸̅ 𝑑𝑠̅2 =
𝑞
𝜀0
𝐸̅(4𝜋𝑟2) =
𝑞
𝜀0
 𝑏 < 𝑟
𝐸̅(4𝜋𝑟2) =
𝑞 + 𝑄
𝜀0
a) 𝑟 < 𝑎
𝐸̅ =
𝜕𝑉
𝜕𝑟
= 0
∫ 𝑑𝑉 = 0
𝑟
𝑎
𝑉( 𝑟) − 𝑉( 𝑎) = 0
𝑉( 𝑟) − 𝑉( 𝑎) = 𝑐𝑡𝑒
b) 𝑎 < 𝑟 < 𝑏
∫ 𝑑𝑉 = −∫ 𝐸̅ 𝑑𝑟̅
𝑟
𝑎
= − ∫ 𝐸. 𝑑𝑟
𝑟
𝑎
𝑉(𝑟)
𝑉(𝑎)
∫ 𝑑𝑉 = −∫
𝑞
𝜀0
𝑑𝑟
𝑟
𝑎
𝑉(𝑟)
𝑉(𝑎)
𝑉( 𝑟) = 𝑉( 𝑎) − [
𝑞𝑟
𝜀0
−
𝑞𝑎
𝜀0
]
c) 𝑏 < 𝑟
∫ 𝑑𝑉 = −∫ 𝐸̅ 𝑑𝑟̅
𝑟
𝑏
𝑉(𝑟)
𝑉(𝑏)
∫ 𝑑𝑉 = −∫
𝑞 + 𝑄
𝜀0
𝑑𝑟
𝑟
𝑏
𝑉(𝑟)
𝑉(𝑏)
𝑉( 𝑟) = 𝑉( 𝑏) − [
( 𝑄 + 𝑞) 𝑟
𝜀0
−
( 𝑄 + 𝑞) 𝑏
𝜀0
]… …… …… …. (1)
𝑉( 𝑟) = 𝑉( 𝑏) − [
𝑄 + 𝑞
𝜀0
] (𝑄 + 𝑏)
Si 𝑟 → ∞ y 𝑉( 𝑟) = 0
𝑉( 𝑏) = − [
𝑄 + 𝑞
𝜀0
] 𝑏
Reemplazando V (b) en (1):
𝑉( 𝑟) = − [
𝑄 + 𝑞
𝜀0
] 𝑏 − [
( 𝑄 + 𝑞) 𝑟
𝜀0
−
( 𝑄 + 𝑞) 𝑏
𝜀0
]

13. 𝑉( 𝑟) = − [
𝑄 + 𝑞
𝜀0
] 𝑟
Reemplazando V(r) para hallar V(a):
− [
𝑄 + 𝑞
𝜀0
] 𝑟 = 𝑉( 𝑎) − [
𝑞𝑟
𝜀0
−
𝑞𝑎
𝜀0
]
𝑉( 𝑎) = −
( 𝑄𝑟 + 𝑞𝑎)
𝜀0
Finalmente hallando V(r):
𝑉( 𝑟) = − [
𝑄 + 𝑞
𝜀0
] 𝑟