4. 1.1. Néi dung cña ph¬ng ph¸p
b×nh ph¬ng nhá nhÊt
PRF: E ( Y / X i ) = β1 + β 2 X i
PRM: Yi = β 1 + β 2 X i + U i
Tõ mÉu ngÉu nhiªn kÝch thíc n
W = [ ( Y1 , X 1 ) , ( Y2 , X 2 ) ,...., ( Yn , X n ) ]
¦íc lîng:
- SRF:
∧ ∧
- SRM: Yi = β1 + β 2 X i + ei
ˆ
trong ®ã: ei = Yi − Yi
5. ph¬ng ph¸p b×nh ph¬ng nhá nhÊt
(OLS)
n 2 n 2 n
∧
∧ ∧
Q = ∑ ei = ∑ Yi − Y i = ∑ Yi − β i − β i X i ⇒ Min
2
i =1 i =1 i =1
Dïng ph¬ng ph¸p t×m cùc trÞ kh«ng cã ®iÒu
kiÖn chóng ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
∂Q n
∧ ∧
∧ ∧ n n
= − 2∑ Yi − β 1 − β 2 X i = 0
∧
i =1 nβ 1 + β 2 ∑ X i = ∑ Y i
∂β1 i=1 i=1
∂Q n ∧ n ∧ n n
∧ = − 2∑ Yi − β 1 − β 2 X i X i = 0
∧ ∧
β 1 ∑ X i + β 2 ∑ X i2 = ∑ X i Y i
∂ β i =1 i=1
2 i=1 i=1
6. KÝhiÖ
u: ; khi ® ta cã:
ã
n n n
∧
n∑ X i Yi − ∑ X i ∑ Yi
∧ ∧
β2 = i =1 i =1 i =1
β1 = Y − β 2 X n
n 2
n∑ X − ∑ X i
i
2
i =1 i =1
KÝhiÖu: ; ; vµ
biÕ ® i c«ng thøc trªn ta cã:
n æ
7. VÝ dô 2.1
Cho sè liÖu vÒ Y lµ GDP vµ X lµ kim
ng¹ch xuÊt khÈu tÝnh b»ng ®¬n vÞ tØ
USD tõ n¨m 1991 ®Õn n¨m 2002 cña ViÖt
Nam.
Gi¶ sö hµm håi qui tæng thÓ PRF lµ
tuyÕn tÝnh. H·y t×m hµm håi qui mÉu vµ
cho biÕt chóng cã phï hîp víi lý thuyÕt
kinh tÕ kh«ng.
Hµm håiY =mÉu (SRF)2.941X
qui 4.89379 + cã d¹ng:
∧
i i
8. 1.2. TÝnh chÊt cña ph¬ng ph¸p íc
lîng b×nh ph¬ng nhá nhÊt
1.2.1. § èi ví i ,
- , ® î c x¸ c ® nh mét c¸ ch duy nhÊ øng ví i n
- Þ t
cÆ quan s¸ t (X i ,Y i )
p
- , lµ c¸ c - í c l- î ng ® m cña
iÓ vµ lµ biÕn
ngÉ nhiªn, ví i mÉ kh¸ c nhau chóng cã c¸ c gi¸ trÞ
u u
kh¸ c nhau.
9. 2.1.2.2. § èi ví i hµm håi qui mÉu (SRF )
- SRF ® qua trung b× mÉ
i nh u :
- Gi¸ trÞtrung b× cña
nh b»ng gi¸ trÞtrung b× cña c¸ c quan s¸ t
nh
- Trung b× trung sè häc cña c¸ c phÇ d- b»ng kh«ng:
nh n
- C¸ c phÇ d- ei kh«ng t- ¬ng quan ví i
n tøc lµ:
- C¸ c phÇ d- ei kh«ng t- ¬ng quan ví i
n tøc lµ:
13. 2.1. Ph¬ng sai vµ ®é lÖch chuÈn
cña c¸c íc lîng b×nh ph¬ng nhá
∧ nhÊt ∧ σ2
Ph¬ng sai cña β 2 Var ( β 2 ) =
∧
∑ xi2
β
Sai sè chuÈn cña 2 ∧ σ
Se( β 2 ) =
∧ ∑ xi2
Ph¬ng sai cñaβ 1
∑
∧ X i2
Var ( β 1 ) = σ2
∧
n∑ xi 2
β
Sai sè chuÈn cña1
∧
Se( β 1 ) =
∑ X i2
σ
n∑ x 2
i
14. NhË xÐ
n t:
- Gi¸ trÞ vµ tû lÖthuË ví i
n vµ tû lÖnghÞ ví i
ch
- Cov( , )=
- V× ch- a biÕ nªn
t ® î c - í c l- î ng b»ng
-
- í c l- î ng kh«ng chÖ cña nã lµ
ch
15. VÝ dô (2.2): H·y tÝ
nh ; ; vµ theo
kÕ qu¶ cña vÝdô (2.1): V×
t ch- a biÕ nªn ta sö dông - í c
t
l- î ng kh«ng chÖ cña nã lµ
ch ta cã
∧ σ2 4.345
Var ( β 2 ) = = = 0.014964
∑ xi 290.36
2
∧ σ
Se( β 2 ) = = 0.12232
∑x 2
i
∧
Var ( β ) =
∑X i
2
σ =
1132 * 4.345
2
= 1.411621
n∑ x
1 2
i 12 * 290.36
∧
Se( β ) =
∑X i
2
σ = 1.18811
n∑ x
1 2
i
16. 2.2. §Þnh lý Gauss - Markov
“Víi c¸c gi¶ thiÕt ®· cho cña m« h×nh håi
qui cæ ®iÓn, c¸c íc lîng b×nh ph¬ng
nhá nhÊt , trong líp c¸c íc lîng tuyÕn
tÝnh kh«ng chÖch cã ph¬ng sai nhá
nhÊt, tøc chóng lµ c¸c íc lîng tuyÕn tÝnh
kh«ng chÖch tèt nhÊt, viÕt t¾t lµ BLUE”
17. 3. HÖ sè r2 ®o ®é phï hîp cña
hµm håi qui mÉu
3.1. Sai lÖch trong hµm håi qui mÉu
3.2. HÖ sè r2. HÖ sè t¬ng quan r
18. 3.1. Sai lÖch trong hµm håi qui
t
mÉu t m« h× håi qui mÉu
Tõ kÕ qu¶ - í c l- î ng ta cã thÓviÕ nh
nh- sau:
Sai lÖ gi÷a c¸ c gi¸ trÞcña Y ví i gi¸ trÞtrung b× mÉ
ch nh u
cña nã ë mçi gi¸ trÞcña X ® î c x¸ c ® nh theo c«ng thøc:
- Þ
hay
B× ph- ¬ng hai vÕcña ph- ¬ng tr× ta cã:
nh nh
V× 0 vµ
19. §Æt TSS ==1 y = ∑ (Yi − Y )
n n
∑ 2 2
i
i
i =1
lµ tæng b×nh ph
¬ng cña tÊt c¶ c¸c sai lÖch gi÷a c¸c gi¸ trÞ
quan s¸t Yi víi gi¸ trÞ trung b×nh cña chóng.
2 2
n
∧ ∧
n
Y − Y = n y 2 = β 2 n x 2
∧ ∧ ∧
§Æt ESS = Y i − Y = ∑ i ∑ i
∑ 2 ∑ i
i =1 i =1 i =1 i =1
lµ tæng b×nh ph¬ng cña tÊt c¶ c¸c sai lÖch
gi÷a c¸c gi¸ trÞ cña biÕn phô thuéc Y nhËn
®îc tõ hµm håi qui mÉu víi gi¸ trÞ trung 2
b×nh cña chóng. Y − Y
n n ∧
∑e = ∑
i =1
2
i
i =1
i i
§Æt RSS = lµ tæng b×nh ph
¬ng cña tÊt c¶ c¸c sai lÖch gi÷a c¸c gi¸ trÞ
quan s¸t cña Y vµ c¸c gi¸ trÞ nhËn ®îc tõ
hµm håi qui.
20. 3.2. HÖ sè r2. HÖ sè t¬ng quan
r
Tõ TSS= ESS + RSS chia c¶ hai vÕcho TSS, ta cã:
® t r2 =
Æ
Khi ® r2 ® î c gäi lµ hÖsè x¸ c ®nh:
ã - Þ
21. ý ng hÜa : r2 ph¶n ¸nh tû lÖ hay phÇn tr¨m
cña toµn bé sai lÖch (biÕn thiªn) cña biÕn
phô thuéc Y víi gi¸ trÞ trung b×nh ®îc gi¶i
thÝch th«ng qua hµm håi qui, tøc lµ ®îc gi¶i
thÝch th«ng qua c¸c biÕn gi¶i thÝch cã mÆt
trong hµm håi qui.
Chó ý: NÕu r2 = 0 th× ESS = 0 cã nghÜa lµ
hµm håi qui kh«ng cã ý nghÜa.
22. NÕu lÊy c¨n bËc hai cña r2 ta ®îc r, r
chÝnh lµ hÖ sè t¬ng quan mÉu vµ dïng
®Ó ®o møc ®é chÆt chÏ cña sù phô
thuéc t¬ng quan tuyÕn tÝnh gi÷a Y vµ X.
2 2
( )
n n
∧ ∧
∑ Yi − Y Y i − Y ∑ yi y i
r 2 = i =1 = ni =1 n 2
∑( )
n n 2 ∧
∧
Yi − Y ∑ Y − Y ∑ yi ∑ y i
2 2
i =1 i =1 i =1 i =1
31. 5.2. KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt ®èi
víi β1
§Ó kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt H0: β1= β1* ta
chän tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh:
∧
β1 − β1
*
T= ~ T( n - 2)
Se β1
∧
Tuú theo gi¶ thuyÕt H1 ta cã c¸c miÒn b¸c
bá kh¸c nhau.
32. Lo¹i gi¶ Gi¶ thuyÕt Gi¶ thuyÕt
MiÒ b¸ c bá
n
thuyÕt H0 ® H1
èi
Hai phÝ
a
PhÝ ph¶i
a
PhÝ tr¸ i
a
Chó ý: Ngêi ta thêng chän α ≤ 0,1 vµ Gi¸ trÞ tíi
h¹n Student tα(n-2) ®îc tra trong b¶ng 2 phÇn phô
lôc.
35. 5.4. KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt ®èi
víi β2
§Ó kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt H0: β2= β2* ta
chän tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh:
∧
β −β
T= 2 2
~ T( n - 2)
Se β 2
∧
Tuú theo gi¶ thuyÕt H1 ta cã c¸c miÒn b¸c
bá kh¸c nhau.
36. Lo¹i gi¶ Gi¶ thuyÕt Gi¶ thuyÕt
MiÒ b¸ c bá
n
thuyÕt H0 ® H1
èi
Hai phÝ
a
PhÝ ph¶i
a
PhÝ tr¸ i
a
Chó ý: Ngêi ta thêng chän α ≤ 0,1 vµ Gi¸ trÞ tíi
h¹n Student tα(n-2) ®îc tra trong b¶ng 2 phÇn phô
lôc.
46. 7.1. Dù b¸o gi¸ trÞ trung b×nh cã
®iÒu kiÖn cña Y víi X = X0
PRF: E ( Y / X i ) = β1 + β 2 X i
SRF:
Gi¶ sö ta cã X=X0 vµ muèn dù b¸o E(Y/X0)
∧
Hµm håi qui mÉu cho 0 lµ íc lîng ®iÓm
Y
∧ ∧ ∧
cña E(Y/X0): Y0 = β1 + β 2 X 0
47. Ta cã
ch- a biÕ nªn ta sö dông - í c l- î ng kh«ng chÖ
t ch
cña nã lµ
Khi ® thèng kª:
ã
49. 7.2. Dù b¸o gi¸ trÞ c¸ biÖt cña Y víi
X=X0
PRM: Yi = β1 + β 2 X i + U i
∧ ∧
SRM: Yi = β1 + β 2 X i + ei
Gi¶ sö ta cã X=X0 vµ muèn dù b¸o gi¸ trÞ c¸ biÖt
∧
cña Y Y0
¦íc lîng ®iÓm cñaY khi X=X0 lµ:
∧ ∧ ∧
Y0 = β1 + β 2 X 0
50. Ta cã
ch- a biÕ nªn ta sö dông - í c l- î ng kh«ng chÖ cña nã lµ
t ch
Khi ® thèng kª:
ã