Este es el primero de los talleres del curso de Álgebra lineal orientado en la Universidad del Valle, sede Buga. El taller esta enfocado a la práctica de operaciones con vectores (hay algunas aplicaciones).

1. Universidad del Valle - sede Buga
1er Taller de Algebra Lineal (Vectores)
Prof. Bladimir Lenis Gil
1. Sean A = (−2, 1, 7), B = (4, −3, −3) y C = (1, 0, 6) tres vectores de . Determine las
componentes de cada uno de los vectores:
a) A +B
b) A −B
c) A +B −C
d) 5A −3B −2C
e) −2A +B −3C
2. Dibujar los vectores geom´tricos que unen al origen a los puntos A = (2, 1) y B = (1, 3). En
e
misma figura, trazar el vector geom´trico que unen el origen al punto C = A + tB para cada
e
uno de los siguientes valores de t : t = 1/2; t = 3/4; t = 1; t = 2; t = −1; t = −2. Repetir lo
anterior si C = tA + B
4
3. Sean A = (1, 1, 1), B = (0, 1, 1) y C = (1, 1, 0) tres vectores de y D = xA + y B + z C, donde
x, y, z son escalares (n´meros reales).
u
a) Determinar las componentes de D.
b) Si D = 0, demostrar que x = y = z = 0.
c) Hallar x, y, z tales que D = (1, 2, 3).
4
4. Sean A = (1, 1, 1, 0); B = (0, 1, 1, 1); C = (1, 1, 0, 0) tres vectores de , y D = xA + y B + z C,
siendo x, y y z escalares.
a) Determinar las componentes de D.
b) Si D = 0 demostrar que x = y = z = 0
c) Hallar x, y, z tales que D = (1, 5, 3, 4).
d) Demostrar que ninguna elecci´n de x, y, z hace D = (1, 2, 3, 4).
o
5. Sean A, B y C tres vectores de y α y β escalares cualesquiera. demostrar las siguientes propie-
dades.
a) (α + β)A = αA + β A
b) A + (B + C) = (B + A) + C
c) (αβ)A = α(β A)
4
6. Sean A = (1, 0, −3, −1), B = (0, −1, 0, 4) y C = (1, 2, 3, 4) tres vectores de . Calcular cada
uno de los siguientes productos:
a) A B
b) B C
c) A C
1

2. d) A (B + C)
e) (A − B) C
f) (A + B)2
7. Dados tres vectores A = (0, 6, −5), B = (−2, 4, 7) y C = (1, 6, 3). En cada una de las expresio-
nes siguientes se pueden introducir par´ntesis de una sola manera para obtener una expresi´n
e o
que tenga sentido. Introducir dichos par´ntesis y efectuar las operaciones.
e
a) A B C
b) A B + C
c) A + B C
d) AB C
e) A/B C
3
8. Si A = (2, −1−3) y B = (0, −1, −2), hallar un vector no nulo C de tal que A C = B C = 0
3
9. Si A = (2, −1, 2) y B = (0, 2, 1), hallar dos vectores de que satisfagan todas las condiciones
siguientes: A = C + D, B D = 0, C paralelo a B.
10. Encuentre un vector ortogonal (perpendicular) a:
a) A = (4, 5)
b) A = (1, 6, 2)
11. Encuentre un vector ortogonal a A = (−1, 3, −2) cuya segunda coordenada sea 2.
3
12. Sean A = (8, −1, 8), B = (−1, 6, 0) y C = (−1, −7, 1) tres vectores de . Calcular la norma
(longitud) de cada uno de los siguientes vectores:
a) A + B
b) A − B
c) A + B − C
d) A − B + C
2
13. En cada caso hallar un vector B de tal que B A = 0 y B = A si:
a) A = (1, 1)
b) A = (1, −1)
c) A = (2, −3)
d) A = (a, b)
3
14. Sean A = (1, −1, 1) y B = (−3, 1, 2) dos vectores de . En cada caso hallar un vector C de
longitud 1 paralelo a:
a) A + B
b) A − B
2

3. c) A + 2B
d) A − 2B
e) 2A − B
15. Dados los vectores de 3 , A = (4, 1, −3), B = (1, 2, 2), C = (1, 2, −2), D = (2, 1, 2) y E =
(2, −2, −1).Determinar todos los pares ortogonales.
16. Si A = (−8, 6), B = (−3, 4) y C = (−1, 9). Emplee m´todos vectoriales para demostar que
e
ABC es un tri´ngulo rect´ngulo.
a a
3
17. Si A = (1, −1, 2) y B = (2, 1, −1), hallar un vector no nulo C de ortogonal a A y a B.
18. Sean A = (1, 2) y B = (3, 4) dos vectores de 2 . Hallar los vectores p y Q de 2
tales que
A = P + Q, siendo P paralelo a B, y Q ortogonal a B.
19. Normalizar (longitud = 1) cada uno de los siguientes vectores
a) A = (3, 4)
b) B = (3, 4, 2)
20. Encuentre un vector con direcci´n opuesta a A = (0, 4, 3) y cuya longitud sea 3
o
21. Demuestre que rA sB = (rs)(A B) para dos escalares arbitrarios r y s y dos vectores A y B
de n .
n
22. Demostrar las siguientes propiedades para el producto escalar de vectores de .
a) A (B + C) = A B + A C
b) (A + B) (A + B) = A A + 2(A B) + B B.
n
23. Demostrar que para dos vectores A y B de se tiene la identidad
2 2
A+B − A−B = 4A B (1)
24. Determinar la proyecci´n vectorial de A sobre B si A = (1, 2, 2) y B = (1, 2, 3)
o
25. Determinar la proyecci´n vectorial A sobre B si A = (1, 1, 1, 1) y B = (4, 3, 2, 1).
o
26. Resuelva
a) Sean A = (6, 3, −2) y α, β y γ los ´ngulos que A forma con los ejes coordenados x, y, z
a
respectivamente. Calcular cos α, cos β y cos γ. estos se llaman los cosenos directores de
A.
3
b) Hallar todos los vectores de de longitud 1 paralelos a A.
27. Demostrar que el ´ngulo que forman A = (1, 2, 1) y B = (2, 1, −1) es el doble del que forman
a
C = (1, 4, 1) y D = (2, 5, 5).
n
28. Si θ es el ´ngulo que forman los vectores no nulos A y B de
a , demostrar que
2 2 2
A−B = A + B −2 A B cosθ (2)
3

4. 29. Demuestre que no existe un vector unitario cuyos ´ngulos directores sean π/6, π/3 y π/4.
a
30. sean A = i + 2j + 2k, B = −i + 2k, C = 2i + j − k. Calcular cada uno de los siguientes vectores
en funci´n de i, j, k:
o
a) A × B
b) B × C
c) C × A
d) A × (C × A)
e) (A × B) × C
f) A × (B × C)
g) (A × C) × B
h) (A + B) × (A − C)
i) (A × B) × (A × C)
31. En cada caso hallar un vector de longitud 1 ortogonal a la vez a A y a B:
a) A = i + j + k, B = 2i + 3j − k
b) A = 2i − 3j + 4k, B = −i + 5j + 7k
c) A = i − 2j + 3k, B = −3i + 2j − k
32. Demostrar que A × B = A B si y s´lo si A y B son ortogonales.
o
33. Sean A = 2i − j + 2k y C = 3i + 4j − k
a) Hallar un vector B tal que A × B = C. Hay m´s de una soluci´n?
a o
b) Hallar un vector B tal que A × B = C y A B = 1. ¿ Hay m´s de una soluci´n?
a o
3
34. Demostrar las siguientes propiedades del producto vectorial entre vectores de :
a) A × B = −(B × A)
b) A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
c) B (A × B) = 0
35. Calcular el producto mixto A B × C en cada caso.
a) A = (3, 0, 0), B = (0, 4, 0), C = (0, 0, 8)
b) A = (2, 3, −1), B = (3, −7, 5), C = (1, −5, 2)
c) A = (2, 1, 3), B = (−3, 0, 6), C = (4, 5, −1)
36. Calcular le volumen del paralelep´
ıpedo por los vectores i + j, j + k, k + i.
37. Demostrar que
A × B = [A (B × i)]i + [A (B × j)]j + [A (B × k)]k
4

5. 38. Demostrar que
i × (A × i) + j × (A × j) + k × (A × k) = 2A
39. demostrar la identidad vectorial
A × (B × C) = (C A)B − (B A)C
40. Utilizar la f´rmula anterior para deducir las siguientes identidades vectoriales.
o
a) (A × B) × (C × D) = (A × B D)C − (A × B C)D
b) A × (B × C) = (A × B) × C sii y solo si B × (C × A) en funci´n de i, j, k.
o
41. Cuatro vectores A, B, C, D de 3 satisfacen las relaciones A × C B = 5, A × D B = 3,
C + D = i + 2j + k, C − D = i − k. Calcular (A × B) × (C × D) en funci´n de i, j, k.
o
42. Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman un ´ngulo de: a) 0◦ , b) 60◦ , c) 90◦ , d) 150◦
a
y e) 180◦ . Encontrar la magnitud de su resultante y su direcci´n con respecto al vector m´s
o a
peque˜o.
n
43. Dos vectores forman un ´ngulo de 110◦ . Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un
a
´ngulo de 40◦ con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la
a
del vector suma.
44. Encontrar el ´ngulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud, cuando su resultan-
a
te forma un ´ngulo de 50◦ con el vector mayor. Calcular tambi´n la magnitud del vector
a e
resultante.
45. Un collar´ que puede deslizarse sobre una varilla v´rtical se somete a las tgres fuerzas (vecto-
ın e
res) mostradas en la figura 1(a).
a) Determine el valor del ´ngulo α para el que la resultante de las tres fuerzas (vectores) es
a
horizontal.
b) La magnitud correspondiente de la resultante.
46. Si α = 65◦ , determine gr´fica y analiticamente la resultante de las tres fuerzas (vectores) que
a
se muestran en la figura 1(b).
Figura 1: (a) Problema 45. (b) Problema 46
5

6. 47. Determine la magnitud y la direcci´n de la fuerza (vector) F = (450N )i+(600N )j −(1800N )k.
o
48. Una fuerza (vector) act´a en el origen de un sistema de coordenadas en la direcci´n definida
u o
p or los ´ngulos θx = 43,2◦ , θz = 83,8◦ . Si la componente y de la fuerza es −50lb, determine:
a
a) El ´ngulo θy .
a
b) Las componentes restantes y la magnitud de la fuerza.
49. Una fuerza (vector) F con magnitud 250N act´a en el origen de un sistema coordenado. Si
u
Fx = 80N , θy = 72,4◦ y Fz > 0, determine:
a) Las componentes Fy ,Fz .
b) Los ´ngulos θx , θz .
a
50. Una barra de acero se dobla para formar un anillo semicircular con 36in. de radio que est´ sos-
a
tenido parcialmente por los cables BD y BE, los cuales se unen al anillo en el punto B. Si la
tensi´n (vector) en el cable BE es de 60lb, determine las componentes de la fuerza (vector)
o
ejercida por el cable sobre el punto E. (Figura 2).
Figura 2: Problema 50.
51. Tres cables son usados para amarrar el globo que se muestra en la figura 3(a). Si la tensi´n o
−−
→
(vector AB) en el cable AB es de 259N ., determine la fuerza (vector) v´rtical P (hacia arriba)
e
que ejerce el globo en A.
52. Una placa circular horizontal con peso de 62lb est´ suspendida por tres alambres que forman
a
´ngulos de 30◦ con respecto a la vertical y se encuentran unidos por un soporteen D. Determine
a
la tensi´n presente en cada alambre (Figura 3(b)).
o
Referencias
6

7. Figura 3: Problema 50.
[1] Tom M. Apostol. Calculus. Volumen I. Editorial Revert´, 1972.
e
[2] Francis G. Florey. Fundamentos de Algebra Lineal y Aplicaciones. Editorial Prentice Hall
Internacional, 1979.
[3] Marcelo Alonso & Edward J. Finn. F´
ısica. Volumen I. Editorial Addison-Wesley Iberoameri-
cana, 1986.
[4] Ferdinand P. Beer, E Rusell Johnston Jr., Elliot R. Eisenberg. Mec´nica Vectorial para Inge-
a
nieros - Est´tica. Octava edici´n. Editorial McGraw Hill, 2007.
a o
7