2. Matematikkens opprinnelse
Det er vanskelig å tidfeste startskuddet for menneskenes bruk av matematikk.
For hva er egentlig matematikk? Er det for eksempel matematikk når vi teller et
helt antall av noe? I så fall kan også en rekke dyr drive med matematikk. Det er
i alle fall sikkert at menneskene har utrykt seg grafisk svært tidlig. Det er trolig
slik at de første formene for «tall» ble utrykk via tegninger. Skulle du fortelle
om fire hester, ja da risset du fire hester inn i steintavlen, beinet eller
trestokken.
Den første sikre kilden til det som må regnes som matematikk kommer fra «the
Border Cave» som finnes i Lebombofjellene i grenselandet mellom Sør-Afrika
og Swaziland. Funnet var et lite bein fra en bavian med tydelige hakk. Beinet er
blitt datert til omkring 35 000 år gammelt. Dette beinet er trolig en form for
kalender.
Det nest eldste funnet av matematisk karakter er Ishango-beinet (25 000 år
gammelt) fra det sentrale Afrika. Det inneholder muligens spor av avansert
matematikk. Summen av strekene på to øverste radene blir 60. Som man tolker
som et avansert tallsystem. Det som er mest slående er likevel at de to øverst
linjene nesten bare består av primtall som kan tolkes til at det ble drevet med
avansert tallteori.
3. Opp gjennom historien finner vi en rekke mer konkrete funn som bekrefter
bruk og utvikling av matematikk. De gamle egypterne hadde både tall-
hieroglyfer og avanserte måter å regne på, det samme gjelder babylonerne,
kinesere og indere.
Egypterne er spesielt kjent for sin kjennskap til praktisk geometri gjennom
landmåling. Egypterne kunne til eksempel beregne areal av sirkelflater noe som
innebærer kjennskap til tallet . I senere tid har det imidlertid kommet frem at
babylonerne hadde bedre kontroll på både regning og geometri. Du kan les mer
om dette og andre funn i boken «Da matematikken ble til» av Audun Holme.
May I have a large container of coffee?
Setningen over er en huskeregel for de første 8 desimalene i tallet . Vi får de
første åtte sifrene ved å telle bokstavene i hvert ord. Vi får altså 3 1 4 1 5 9 2 6.
Det neste sifferet er 5 slik at riktig tilnærming til tallet med åtte desimaler er
.
er forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel. Tallet er irrasjonalt,
det vil si det kan ikke skrives som en brøk eller som et desimaltall som har et
endelig antall desimaler. Desimalene fortsetter i det uendelige og uten et
4. bestemt gjentagende mønster. Tallet er derfor en god indikator på hvor
flinke en sivilisasjon er i matematikk og da spesielt geometri.
De første menneskene og de første sivilisasjonene hadde likevel en helt
praktisk tilnærming til matematikk. Den første som er kjent for å gi
matematikken den oppbygningen vi kjenner i dag er Euklid (ca. 300 før vanlig
tidsregning). Euklid systematiserte og samlet all kunnskap om matematikk i
tretten bøker, Euklids Elementer. Euklid satte opp aksiomer, eller
grunnleggende setninger som han bygde matematikken på. Det beste
eksemplet på dette er oppbygningen av geometrien. Euklid kunne forklare alt vi
kjenner (og mest sannsynlig mye du ennå ikke vet) om geometri ut i fra 5
forutsetninger. De fem forutsetningene var (omskrevet):
1. Det finnes bare en unik linje gjennom to punkter
2. Dersom du har to linjestykker av ulik lengde kan du plassere et punkt på
det lengste linjestykket slik at avstanden fra punktet til den ene enden på
linjestykket er like langt som det korteste linjestykket.
3. Du kan lage en sirkel med sentrum i et bestemt punkt og en gitt radius.
4. Alle rette vinkler ( -vinkler) er like store.
5. Dersom du har en linje og et punkt som ikke ligger på denne linjen, kan
du finne nøyaktig en rett linje gjennom punktet som er parallell med den
første linjen.
Dersom du ser nøye på hver av setningene ser du forhåpentlig at de beskriver
nokså innlysende ting som få er uenig i. Det vakre med Euklids postulater er at
han på grunnlag av disse og bare disse kunne bevise de flotteste og vakreste
geometriske ting. Pythagoras læresetning ble for eksempel bevist svært tidlig.
Og her er vi ved kjernen av hva matematikk er: Matematikk er en
menneskeskapt konstruksjon bygget på noen få meneskapte grunntanker (som
alle må være enige i) og dermed bygget som en omvendt pyramide ved hjelp av
5. logikk. Det er derfor vi kan si at matematikken er perfekt. Alt i matematikken
kan føres tilbake til noen få grunntanker. Eksemplet til fra Euklids Elementer
dreier seg bare om geometri, men det samme kan gjøres for alle grener av
matematikken. En liten ting mot slutten, med liten skrift, det viste seg at Euklid hadde gjort en feil i den
siste forutsetningen, den har blitt rettet ved å legge til noen flere forutsetninger slik at vi kan bygge
geometrien. Men poenget med noen grunntanker består!
Når dette er sagt er det viktig å poengtere at vi ikke i dette faget skal bygge
matematikken fra starten, det vil ta alt for lang tid, men se direkte på noen
deler av den store verden av matematikk. Det er det som er så fint. Når noen
andre har bevist noe kan vi andre bruke dette videre i vårt arbeid.
Matematikken er med andre ord et samarbeid oss mennesker i mellom som
har pågått i svært lang tid.
Tall
Når en matematiker snakker om tallinjen snakker hun eller han mest sannsynlig
om "den reelle tallinjen" eller .
Den består av alle mulige (reelle) tall. Det vil si at den for det første består av
alle de tallene vi kan skrive med et bestemt antall siffer eller desimaler.
Eksempler på dette er:
Dessuten (og kanskje mer interessant) inneholder den alle tallene som vi ikke
kan skrive uansett hvor mange siffer eller desimaler vi bruker. Eksempel på
dette er:
√
6. Disse tallene kan vi ikke skrive nøyaktig uansett hvor mange desimaler vi
bruker. For de fire eksemplene over betyr ... at rekken med desimaler fortsetter
i det uendelige. I de to øverste av disse fire eksemplene følger fortsettelsen av
desimaler et bestemt mønster, men i de to nederste kan man faktisk ikke finne
et mønster i det hele tatt. Likevel hører de alle sammen med på den reelle
tallinjen.
Den reelle tallinjen
Den reelle tallinjen kan visualiseres som punkter på en rett linje.
Denne linjen er uendelig lang og inneholder uendelig mange tall. Størrelsen på
tallet ser vi ut i fra hvor høyt opp på tallinjen det befinner deg. Ut i fra figuren
over kan vi se at de negative tallene er til venstre for og at de positive tallene
er til høyre for . Altså er negative tall mindre enn , mens positive tall er
større en . Matematisk skriver vi dette slik:
Dersom vi mener at et tall x er positivt skriver vi .
Dersom vi mener et tall y er negativt skriver vi .
Ut ifra tallinjen ser vi også at er et tall som er større enn √ , men mindre enn
4, siden er plassert mellom disse. Eller skrevet med matematiske tegn:
√
Som vi har sett finnes det ulike tall: noen kan skrives med siffer uten desimaler
slik som:
Dette er «telle-tallene» som vi bruker når vi teller et antall av epler, personer
eller andre ting det finnes hele antall av. I matematikken kaller vi disse tallene
de naturlige tallene og betegner de med .
7. Vi kan tenke oss at dette er de første tallene som primitive mennesker forholdt
seg til når de hadde behov for å si noe om antallet dyr de hadde jaktet eller
hvor mange personer det var i en gruppe.
Når de samme primitive menneskene begynte å samarbeide kunne de for
eksempel ha bruk for å holde et regnskap med hvor mange epler den ene
familien skyldte den andre familien, og skyldte de i det hele tatt den andre
familien noe? De fikk med andre ord bruk for tallet og negative tall. Denne
tallmengden kaller vi de hele tallene og betegnes med .
Dette med negative tall og tallet 0 ble faktisk ikke «oppfunnet» før omkring
1200-tallet, og matematikere kranglet om eksistensen til langt inn i 1800-tallet.
Begge disse tallmengdene ( og ) inneholder uendelig mange tall. Likevel er
det tydelig at alle de naturlige tallene er inneholdt i heltallene og likevel
mangler vi uendelig mange tall.
Den neste tallmengden er de tallene vi kan skrive som brøker. Altså de tallene
vi får behov for når vi har bruk for deler av hele antall. Skyldte for eksempel
familien bare et halvt eple? Vi kaller disse tallene de rasjonale tallene og
betegner de med .
Denne tallmengden inneholder virkelig mange tall. For det første inneholder
den alle de hele tallene og dermed også alle de naturlige tallene ettersom de
kan skrives som brøk med nevner 1. For det andre inneholder den alle
desimaltall som vi kan skrive med et endelig antall desimaler slik som
siden det kan skrives som . Men den inneholder også alle desimaltall
hvor vi kan finne et mønster i desimalene, slik som ̅ og
̅̅.
̅̅
Her betyr streken over -tallet og streken over at desimalene fortsetter i
dette mønsteret.
Det finnes likevel noen tall som ikke er med i denne mengden. Dette er tallene
hvor det ikke finnes noe mønster i desimalene. Disse tallene kaller vi for de
8. irrasjonale tallene. Denne mengden inneholder altså alle tallene som ikke kan
skrives som brøk. Eksempler på slike tall er:
√
√
Når vi tar med alle disse tallene i tillegg til mengdene over har vi alle tallene på
den reelle tallinjen. Den reelle tallmengden betegner vi med .
Så nå har vi vel fått med alle tallene? Svaret er nei. Det finnes også noen tall
som ikke får plass på den reelle tallinjen. Dette er det vi kaller imaginære eller
komplekse tall og er til eksempel tallet √ . Altså det tallet som ganget
med seg selv blir -1. Imaginære tall skal vi (heldigvis eller desverre) ikke ta for
oss i matematikk 1T.
De fire regneartene
De fire regneartene eller regneoperasjonene er; addisjon, subtraksjon,
multiplikasjon og divisjon.
Å addere er det samme som å legge sammen: pluss (+)
Å subtrahere er det samme som å trekke fra: minus (-)
Å multiplisere er det samme som å gange
Å dividere er det samme som å dele.
Vi kan tenke på regneoperasjoner som metoder for å bevege oss på den reelle
tallinjen.
Addisjon
Vi kan si at addisjon er den fundamentale regneoperasjonene. Med dette
mener vi at alle de andre regneoperasjonene kan forklares ut i fra addisjon eller
at det finnes fundamentale sammenhenger mellom de fire regneartene på
naturlige tall.
9. Addisjonstegnet er +. Vi skriver for eksempel:
51 og 27 er ledd i regnestykket. Svaret vi får ved addisjon, her 88, kalles
summen av 51 og 27. Bevegelsen på den reelle tallinjen starter på 51 og med +
27 mener vi at vi skal bevege oss 27 enheter mot høyre på tallinjen.
Subtraksjon
Subtraksjon er det motsatte addisjon. Når vi adderte 51 og 27 fikk vi 78, hvis vi
så subtraherer 27 fra summen 78 kommer vi tilbake til 51.
Dette er et eksempel på subtraksjon. 78 og 27 heter ledd mens svaret 51 kalles
differansen mellom 88 og 37.
Når vi trekker fra beveger vi oss mot venstre på tallinjen ettersom subtraksjon
er det motsatte av addisjon. Når vi skriver 78 - 27 starter vi altså i 78 og
beveger oss 27 enheter mot venstre. Vi ender opp på 51.
Vi kan tenke på en annen måte også. Dersom vi trekker 51 fra 78 får vi 27. Altså
10. 27 er altså differansen mellom 78 og 51. Dette kan vi se på figuren over ved at
avstanden mellom 78 og 51 er 27 enheter.
Multiplikasjon
Multiplikasjon er gjentatt addisjon. Når vi skriver 31 ∙ 5 mener vi at vi skal legge
sammen 31 fem ganger (eller 5 trettien ganger). Altså kan vi skrive:
Bevegelsen på tallinjen blir dermed 5 hopp på 31 enheter. Vi starter på 0 og
ender opp på 155.
Divisjon
Divisjon er det motsatte av multiplikasjon. Når vi multipliserte 31 med 5 fikk vi
155, hvis vi dividerer 155 med 5 vil vi komme tilbake til 31. Altså:
Divisjon kan skrives både ved hjelp av "dele"-tegnet :, men vi bruker like gjerne
brøkstrek. Brøkstrek og deletegnet er med andre ord ekvivalent. Vi skriver altså
like gjerne:
11. I delestykket kalles 155 dividend, 5 er divisor og svaret 31 er kvotient eller
forhold.
En annen måte å tenke på divisjon er å si at det er gjentatt subtraksjon.
155:5=31 betyr at dersom vi subtraherer 31 fra 155 fem ganger står vi igjen
med null. Altså:
På tallinjen svarer divisjon til å dele opp dividenden 155 i 5 like deler. Vi ser fra
figurene om multiplikasjon at dette gir 5 deler med lengde 31.
De fire regneartene
På bakgrunn av det vi har sett på nå kan vi lage dette skjemaet:
ADDISJON gjentatt MULTIPLIKASJON
motsatt motsatt
SUBTRAKSJON gjentatt DIVISJON
Når vi møter sammensatte oppgaver og oppstillinger hvor flere av regneartene
opptrer, trenger vi å vite i hva slags rekkefølge vi skal utføre operasjonene.
Mange ganger brukes parenteser når vi skal håndtere større uttrykk med
mange tall. Hensikten med parentesene er nettopp å unngå misforståelser i
slike sammensatte beregninger. Men da må det være klart hvordan
parentesene påvirker utregningene, og det kommer vi tilbake til senere.
12. Regnerekkefølgen
Perfekt matematikk
Matematikken er perfekt! Det ble begrunnet med at matematikken er bygget
opp på noen "grunntanker" eller aksiomer som alle må rette seg etter. Deretter
er all matematikk bevist ut i fra disse grunntankene. Det er derfor
matematikken er så brutal i forhold til å ha rett eller galt.
Et aksiom kan for eksempel være at:
"Dersom a og b er to tall så vil vi få samme svar uansett om vi legger sammen a
med b eller b med a."
Altså:
Vi må sette opp mange slike aksiomer for å danne alt det vi kjenner som
matematikk, vi så på flere eksempler tidligere, men et kjennetegn er at de
fleste er like selvfølgelige som det over. Noen flere eksempel på aksiomer er:
Disse aksiomene må vi godta for å kunne snakke sammen om matematikk. De
er ikke mulig å bevise, men når vi godtar grunnlaget kan vi bruke disse
byggeklossene til å bygge opp alt det vi kaller matematikk. I utgangspunktet
kunne vi med andre ord like gjerne brukt andre tegn/tall eller lagt et annet
grunnlag for matematikken en det vi har endt opp med. Matematikken hadde
da sett annerledes men poenget er at vi hadde kommet frem til mange av de
sammen tingene. Men før denne utviklingen kan starte må vi være enige i
13. "språket" vi bruker. Akkurat som alle språk har grammatikk må vi også i
matematikken ha en bestemt måte å lese en linje med informasjon (en forskjell
er at språk ofte har unntak, mens matematikken ikke har noen unntak: den er
perfekt!). En av de viktigste "grammatikkreglene" vi har i matematikk er
regnerekkefølgen.
Regnerekkefølgen
For å se på regnerekkefølgen la oss ta et eksempel. Hva betyr det egentlig når
det står?
Hvilken regneoperasjon skal jeg utføre først? Regnerekkefølgen gir meg svaret:
1. Parenteser
2. Potenser
3. Gange og dele (multiplikasjon og divisjon)
4. Legge sammen og trekke fra (addisjon og subtraksjon)
Altså må vi alltid starte med å regne ut det som eventuelt er inne i parentesene
(inne i hver av parenteser bruker vi igjen regnerekkefølgen), deretter tar vi
eventuelle potenser; så kan jeg ta meg av multiplikasjon og divisjon, og til sist
legger jeg sammen og trekker fra. Riktig utregning av eksempelet over blir
derfor:
Dette virker forhåpentligvis ganske kjent. Det er en grunnleggende regel vi har
lært fra barneskolen, men likevel er det fort å gjøre feil.
14. Faktorisering
Faktorisering betyr å skrive ett tall eller et utrykk som ett produkt, altså et
gangestykke. Et produkt består av to eller flere faktorer,
Eksempler:
Årsaken til at vi ønsker å skrive uttrykk på denne måten er at det blir lettere å
forkorte uttrykket. Vi kan også bruke dette til å finne minste felles multiplum.
Dersom vi ønsker å faktorisere tallet 12 kan vi skrive det som . Vi har
altså skrevet 12 som et produkt av faktorene 4 og 3.
Primtallsfaktorisering
Dersom vi primtallsfaktoriserer skriver vi et tall som et produkt av primtall. Et
primtall er et tall som ikke er delelig på annet enn 1 og seg selv. Altså dersom
du deler ett primtall på ett annet tall vil ikke svaret bli ett heltall.
Dersom vi skal primtallsfaktorisere tallet 12 får vi:
Her er tallet 12 skrevet som et produkt av primtallsfaktorene 2 og 3.
Framgangsmåten ved primtallsfaktorisering er og hele tiden dele på det minste
primtallet som tallet er delelig på. Altså dersom vi starter med tallet 30 så er
det delelig på 2, som er det minste primtallet. Vi står da igjen med 15. Det
minste primtallet som 15 er delelig på er 3. Vi står da igjen med 5 som i seg selv
er et primtall.
For å gjøre dette oversiktlig kan vi sette det opp på følgende måte:
15. Vi tegner en vertikal strek og skriver tallet vi skal faktorisere øverst på venstre
side. På høyre side skriver vi det minste primtallet som tallet er delelig med.
Svaret på denne regneoperasjonen skriver vi på venstre side under det
opprinnelige tallet. Slik fortsetter vi til vi står igjen med 1 på venstre side.
Dersom vi nå multipliserer alle primtallene på høyre side skal svaret bli det
opprinnelige tallet. Altså kan tallet skrives som produktet av primtallsfaktorene
på høyre side.
Eksempel:
Primtallsfaktorisering av tallet 30.
Minste felles multiplum
Multiplum av tallet a er det tallet vi får når et tall a blir multiplisert med et
heltall.
Eksempel:
Vi ser at de tre minste multiplumene til tallet 3 er: 3, 6 og 9
Minste felles multiplum (lcm - least common multiple) til a og b er det minste
multiplumet som både a og b har felles. Det vil si at lcm(a, b) er det minste
tallet som er delelig på både a og b.
16. Eksempel:
Hva er lcm til 4 og 5?
Multiplum av 4:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60 etc.
Multiplum av 5:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60....
Felles multiplum av 4 og 5 er de tallene som forekommer i begge listene:
20, 40, 60...
Vi ser at minste felles multiplum av 4 og 5 er 20, altså:
lcm (4,5) = 20
Det betyr at det minste tallet som er delelig på både 4 og 5 er tallet 20.
Dersom lcm(a,b)=c, så vil tallet c inneholde alle primtallsfaktorene i både a og
b. Vi kan derfor bruke primtallsfaktorisering for å finne lcm.
Vi starter med å primtallsfaktorisere tallen som vi skal finne minste felles
multiplum til. Så er regelen at "fleste ganger vinner". Vi starter med den minste
primtallsfaktoren og tar med den så mange ganger som det opptrer der det
opptrer flest ganger. Deretter går vi videre til neste minste primtallsfaktor osv.
Eksempel:
Finn lcm(16,18,20).
17. Brøk og brøkregning
Regneoperasjonen dele eller divisjon kan utrykkes både med ":"-tegnet, "/"-
tegnet eller som en brøk. I 1T skal vi for det meste benytte brøk. Ved hjelp av
brøk kan vi utrykke alle de rasjonale tallene. Vi skal se på regneoperasjoner
med brøk.
Multiplikasjon med brøk
Vi starter med multiplikasjon med brøk siden dette er den enkleste
regneoperasjonen når det gjelder brøk, og la oss hoppe rett til poenget:
"Når vi ganger to brøker med hverandre ganger vi teller med teller og nevner
med nevner."
La oss se på et eksempel
18. Hva om vi skal multiplisere et heltall med en brøk? Husk at alle de hele tallene
kan skrives som en brøk med 1 i nevneren og heltallet i telleren. Altså;
Som du sikkert ser i eksempelet kan vi lage oss en egen regel for multiplikasjon
med et heltall og en brøk:
"Når vi multipliserer et heltall med en brøk ganger vi heltallet med telleren og
beholder nevneren."
Vis er at vi får samme svar dersom vi bruker denne fremgangsmåten.
Ofte når vi multipliserer to brøker med hverandre kan vi forkorte brøken vi
kommer frem til. Da kan vi bruke primtallsfaktorisering og stryke de faktorene
som opptrer både i teller og nevner
Divisjon
La oss se på divisjon, igjen hopper vi rett til regneregelen:
"Når vi skal dele en brøk (dividend) på en annen brøk (divisor) snur vi den
bakerste brøken (divisoren) opp ned og bytter dele-tegnet med gangetegn"
Et eksempel:
Her er dividenden og divisoren. Altså blir riktig utregning slik:
19. Som du ser starter vi med å snu den bakerste brøken opp-ned og bytter
deletegnet til gangetegn. Da har vi gjort om delestykket til et gangestykke og
kan fortsette slik vi lærte over med å gange teller med teller og nevner med
nevner. Hvorfor det blir riktig å snu den bakerste brøken vil vi komme tilbake
til.
Dersom vi skal dele et heltall på en brøk eller motsatt (dele en brøk på et
heltall) går vi frem på samme måte som forklart over. Heltallet kan skrives som
en brøk med heltallet i teller og 1 i nevner. Da har vi fått to brøker og kan dele
på "vanlig" måte.
Legge sammen og trekke fra brøker med samme nevner
Vi startet brøk-leksjonen med å forklare multiplikasjon og divisjon. Dette er
fordi disse regnereglene er rett frem uansett hvilke brøker vi har. Addisjon og
subtraksjon (+ og -) kan derimot vær litt mer kronglete. Vi skal derfor først se
på addisjon og subtraksjon av brøker når vi har samme nevner i alle brøkene.
Vi kan se for oss brøker som kakestykker eller sektordiagram ved at f.eks
brøken
visualiseres ved:
20. Altså en kake som er delt i 8 og hvor vi skal ha 5 av de åtte bitene, eller som et
sektordiagram hvor fem åttendeler av diagrammet er fargelagt.
På samme måte blir brøken visularisert ved:
Dersom vi nå legger disse brøkene sammen får vi:
Altså:
Vi kan dermed lage oss følgende regneregel:
"Dersom vi skal legge sammen eller trekke fra brøker med samme nevner
legger vi sammen eller trekker fra i telleren og beholder nevneren som den
er"
Men hva med brøker hvor vi ikke har samme nevner...
21. Brøker med ulik nevner
Brøker med ulike nevnere kan vi ikke legge sammen og trekke fra på samme
måte som i avsnittet før. Løsningen på problemet ligger i å gjøre om
regnestykket til et regnestykke med like nevnere.
Brøken kan visualiseres med figuren:
Men dersom vi deler alle stykkene i denne kaken i to ser vi at vi får:
altså .
Det vi har gjort er å utvide brøken med 2, dvs. vi har ganget teller med 2 og
nevner med 2.
22. Som vi ser er de to brøkene helt lik hverandre. De representerer begge det
samme punktet på den reelle tallinjen.
På denne måten kan vi legge sammen og trekke fra brøker med ulik nevner ved
og først sørge for at de får felles nevner. Vi ser på et eksempel:
