- O documento discute a aplicação de algoritmos genéticos para resolver o problema da mochila multidimensional, que envolve maximizar o valor de itens carregados em uma mochila com múltiplos compartimentos de capacidades limitadas. - Representa as soluções como cromossomos binários e aplica operadores genéticos como crossover e mutação para gerar novas soluções, avaliando a aptidão com base no valor total carregado. - Também apresenta implementações sequencial e paralela do algoritmo genético para a mochila multidimension

1. Algoritmos Genéticos Aplicados ao
Problema da Mochila Multidimensional
Bianca de Almeida Dantas
Marcio Osshiro

2. Sumário
• Algoritmos Genéticos
• Relembrando a Mochila 0-1
• Aplicações de AGs
• Mochila Multidimensional
• Representação da Mochila
• AG aplicado à Mochila Multidimensional
• Implementação Sequencial
• AGs Paralelos
• Implementação Paralela com MPI
• Referências

3. Algoritmos Genéticos
• Algoritmos que buscam soluções para problemas
de otimização e de busca com base na genética e
na seleção natural da Teoria da Evolução de
Darwin.
• Ideia desenvolvida por John Holland no início
da década de 1970.
• Os indivíduos mais fortes, ou seja, mais
adaptados ao ambiente, tem mais chance de
sobreviver e gerar descendentes.

4. • Quando aplicamos AGs à solução de problemas,
representamos as possíveis soluções como
indivíduos em uma população.
• Basicamente, existem três tipos de
representação dos indivíduos:
▫ Binária: genes são codificados por 0 ou 1.
▫ Gray: permite a criação de adjacências entre
cromossomos binários, na qual um cromossomo
se diferencia de seus adjacentes pela modificação
de um bit.
▫ Real: os genes são números reais.
• A escolha da representação a ser utilizada
influencia no desempenho e depende de análise
detalhada.

5. Figura: Esquema de funcionamento de um Algoritmo Genético

6. AG – População Inicial
• Uma população composta de n indivíduos
(cromossomos) gerada aleatoriamente para
iniciar o processo de busca por soluções para o
problema em questão.
• Pode-se especificar restrições na geração da
população inicial, por exemplo, permitir
somente soluções válidas.
• O tamanho da população inicial precisa ser
definido.

7. AG - Avaliação
• A cada geração (representada por uma
população), os indivíduos são avaliados de
acordo com sua adaptação ao ambiente. Isso é
feito através de uma função de avaliação
denominada fitness.
• Permite comparar indivíduos para aplicar os
mecanismos de seleção para criação das novas
gerações.

8. AG - Seleção
• Processo para escolha de quais indivíduos da
população atual serão utilizados para dar origem
aos indivíduos da nova geração.
• Em geral, indivíduos com maior fitness tem
maior chance de serem selecionados.
• Diferentes métodos:
▫ Roleta: probabilidade de escolha de um indivíduo
proporcional ao fitness.
▫ Torneio: seleção de pequenas subpopulações e
posterior seleção do melhor de cada subgrupo.
▫ Elitismo: os melhores cromossomos são copiados
para a nova população, os demais são gerados por
reprodução.

9. AG - Reprodução
• Realizada através da aplicação de operadores
genéticos que determinarão a composição dos
novos indivíduos.
• Geralmente são utilizados dois:
▫ Crossover: gera descendentes baseado nos genes
de dois pais.
▫ Mutação: permite a diversificação do espaço de
soluções, evitando a conversão em torno de
poucas soluções boas, que representam um ótimo
local.

10. • Tipos de crossover:
▫ Crossover de um ponto: uma posição P é escolhida
aleatoriamente dentro do cromossomo e dois
descendentes são gerados: um com os primeiros
bits (até P) do primeiro pai e com os últimos do
segundo pai, outro com os primeiros bits do
segundo pai e os últimos do primeiro pai.

11. Figura: Exemplo de crossover de um ponto.

12. ▫ Crossover de dois pontos: similar ao crossover de
um ponto, mas são escolhidas duas posições ao
invés de uma.
▫ Burst crossover: o teste para o crossover é feito
para todas as posições, podendo resultar em
muitos pontos de crossover, dependendo na
probabilidade selecionada.

13. • Tipos de mutação:
▫ Mutação por indivíduo: cada indivíduo pode
sofrer no máximo uma mutação em um gene
aleatório.
▫ Mutação por bit: cada gene do cromossomo pode
sofrer mutação.
▫ Mutação por troca: os valores de dois genes
escolhidos aleatoriamente são trocados.
▫ Mutação invertida: similar à mutação por bit, mas
os genes selecionados recebem o oposto do valor
que possuíam anteriormente.

14. • Após as operações de crossover e de mutação, é
necessário definir quais serão os indivíduos que
devem compor a população da próxima geração.
• Todo esse processo de Avaliação – Seleção –
Reprodução é repetido até que se satisfaça
alguma condição ou por um número de gerações
predefinido.

15. Aplicações de AGs
• Os problemas de otimização de grande porte tem
demandado a busca por soluções eficientes
computacionalmente. Os AGs se adaptam a
muitos desses problemas.
• Exemplos: roteamento, agendamento, jogos,
problema do caixeiro viajante, otimização de
consultas.
• Iremos nos concentrar no problema da mochila
multidimensional.

16. Relembrando a Mochila 0-1
• Dados:
▫ uma mochila de compartimento único e com uma
capacidade máxima.
▫ conjunto de itens, cada qual com um peso e um
valor associados.
• Quais itens podem ser carregados na mochila
sem exceder sua capacidade e maximizando o
valor a ser carregado?

17. • Formalmente:
▫ Dados um conjunto N de n objetos com valores
positivos pj, pesos wj e uma mochila de capacidade
inteira e positiva c, determine um vetor (x1, x2, ..., xn
que encontre:
𝑛
𝑚𝑎𝑥 𝑝 𝑗 𝑥𝑗
𝑗=1
𝑛
Respeitando as condições 𝑗=1 𝑤𝑗 𝑥 𝑗 ≤ 𝑐
e 𝑥 𝑗 ∈ 0, 1 , 𝑗 = 1, … , 𝑛

18. Mochila Multidimensional
• Também chamado de mochila compartimentada.
• Bastante semelhante ao problema da mochila 0-1
clássico.
• Leva em consideração que a mochila possui mais
de um compartimento (cada um com sua
capacidade), o que acrescenta um novo conjunto
de restrições.

19. • Formalmente:
▫ Dados um conjunto de n objetos com valores positivos
pj, pesos wj e uma mochila com m compartimentos de
capacidade inteira e positiva ci, determine um vetor (x1,
x2, ..., xn) que encontre:
𝑛
𝑧 = 𝑚𝑎𝑥 𝑝 𝑗 𝑥𝑗
𝑗=1
𝑛
Respeitando as condições 𝑗=1 𝑤 𝑗 𝑥 𝑗 ≤ 𝑐 𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚
e 𝑥 𝑗 ∈ 0, 1 , 𝑗 = 1, … , 𝑛

20. Representação da Mochila
• Vetor de valores dos itens com n posições;
• Vetor de capacidades dos compartimentos com
m posições;
• Matriz m x n que representa o quanto cada item
ocupa do compartimento.
• Vetor solução que especifica qual item deve ser
levado ou não, composto de 0’s e 1’s.

21. AG aplicado à Mochila Multidimensional
• Utilizamos a representação binária de
cromossomos.
• Uma população inicial é gerada aleatoriamente.
Escolhemos que somente existirão indivíduos
válidos.
• A função de fitness é o cálculo do valor de z para
cada indivíduo.
• Crossover de um ponto.
• Mutação invertida.
• Tamanho da população e número de gerações
como entrada.

22. Implementação Sequencial
• Código em C++

23. AGs Paralelos
• AGs são bem estruturados por natureza e sua
paralelização não é difícil.
• Permite divisão de tarefas entre os
processadores de sistemas paralelos e
distribuídos.
• Diferentes modelos de paralelização:
▫ Global (Mestre-Escravo)
▫ Granularidade Grossa
▫ Granularidade Fina
▫ Híbridos Hierárquicos

24. Modelo Mestre-Escravo
• Um nó será o “mestre” os demais serão os
“escravos”.
• O mestre conterá a população e realizará maior
parte das operações do AG.
• O mestre pode atribuir algumas tarefas
computacionalmente intensivas para seus
discípulos e, então, espera pelas respostas.

25. Modelo de Granularidade Grossa
• A população é dividida entre os nós de
processamento. Cada nó executa o AG em sua
subpopulação.
• Para assegurar que boas soluções sejam
“espalhadas”, um nó pode ocasionalmente
enviar um cromossomo escolhido para os
demais.
• O cromossomo recebido pelos demais nós
substituirá algum outro cromossomo (em geral,
o indivíduo menos adaptado).

26. Modelo de Granularidade Fina
• Cada nó de processamento possui um único
indivíduo.
• Os nós de computação estão, em geral,
organizados em uma estrutura espacial que
define com quais outros nós a comunicação pode
ser feita.
• Para realizar as operação genéticas, um nó deve
interagir com seus vizinhos.
• Grande sobrecarga de comunicação.

27. Modelo Híbrido Hierárquico
• Estruturado em dois níveis.
• Por exemplo: no nível mais alto trabalha com
granularidade grossa e no nível mais baixo com
granularidade fina.
• Combina os benefícios de seus componentes e
tem maior potencial que uma única
implementação.

28. Implementação Paralela com MPI
• Utiliza o modelo de granularidade grossa.
• A operação de migração é realizada em
intervalos de X gerações, onde o X é fornecido
como entrada do programa.
• No processo de migração implementado, todos
os nós escolhem o melhor indivíduo de sua
população local e envia para os demais.
• Os nós substituem seus indivíduos menos aptos
pelos indivíduos recebidos.

29. • Código C++ com MPI....

30. Referências
• Chu, P.C.; Beasley, J.E. A Genetic Algorithm for the
Multidimensional Knapsack Problem. Journal of
Heuristics. 1998.
• Hoff, A.; Løkketangen, A.; Mittet, I. Genetic
Algorithms for 0/1 Multidimensional Knapsack
Problems. Proceedings Norsk Informatikk
Konferanse. 1996.
• Puchinger, J.; Raidl, G.R.; Pferschy, U. The Core
Concept for the Multidimensional Knapsack
Problem. Proceedings of the 6th European
Conference. 2006.
• Yussof, S.; Razali, R.A. Na Investigation on the
Effect of Migration Strategy on Parallel GA-Based
Shortest Path Routing Algorithm. Communications
and Network. 2012.