a historia do calculo diferencial e integral

1. CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL
NA
WIKIPÉDIA
0
Página

2. Cálculo
(http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo)
O cálculo permite calcular a área
da região assinalada
O Cálculo Diferencial e Integral também chamado de cálculo infinitesimal
Integral, infinitesimal,
ou simplesmente Cálculo é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir
da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas
Geometria,
(como a inclinação de uma recta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo
linação
de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde
forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada.
O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exactas.
iado
Desenvolvido por Isaac Newton e Gottfried Leibniz, em trabalhos independentes, o
,
Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, química, física
clássica e até a física moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em
certas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do
s
cálculo. O cálculo tem inicialmente 3 "operações base", ou seja, possui áreas iniciais
"operações-base",
como o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e a integral de diferenciais.
,
A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um
processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida
como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo
,
estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida.
Com o advento do Teorema Fundamental do Cálculo estabeleceu-se uma conexão entre
eorema se
os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral O cálculo
Integral.
diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um
problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Isaac
Newton em Cambridge, Isaac Barrow descobriu que esses dois problemas estão de fato
Barrow, blemas
estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos
inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para
transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularm
Particularmente ambos
viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais
facilmente, sem que fosse necessário calculá las como limites de soma (método descrito
calculá-las
pelo matemático Riemann, pupilo de Gauss)
,
1
Página

3. Índice
• 1 História
o 1.1 Desenvolvimento
• 2 Princípios
o 2.1 Limites e Infinitesimais
o 2.2 Derivadas
o 2.3 Integrais
o 2.4 Teorema Fundamental do Cálculo
• 3 Aplicações
• 4 Ver também
o 4.1 Listas
o 4.2 Tópicos relacionados
o 4.3 Referências bibliográficas
4.3.1 Cálculo Básico
4.3.2 Cálculo Avançado
o 4.4 Livros on-line
o 4.5 Páginas na Internet
História
Desenvolvimento
Arquimedes, segundo Gauss o
maior matemático da
antigüidade, já apresentava
idéias relacionadas ao Cálculo
dois séculos antes de Cristo.
A história do cálculo se encaixa em vários períodos distintos, de forma notável nas eras
antiga, medieval e moderna. Na era antiga foram introduzidas algumas idéias do cálculo
integral, embora não tenha havido um desenvolvimento dessas idéias de forma rigorosa
e sistemática. A função básica do cálculo integral, calcular volumes e áreas, pode ser
remontada ao Papiro Egípcio de Moscow (1800 A.C.), no qual um egípcio trabalhou o
volume de um frustum piramidal. Eudoxus (408-355 A.C) usou o método da exaustão
para calcular áreas e volumes. Arquimedes (287-212 A.C.) levou essa idéia além,
2
inventando a heurística que se aproxima do cálculo integral. O método da exaustão foi
Página
redescoberto na China por Liu Hui no terceiro século depois de Cristo, que o usou para

4. encontrar a área do círculo. O método também foi usado por Zu Chongzhi no quinto
século depois de Cristo, para achar o volume de uma esfera.
Sir Isaac Newton foi um dos mais
famosos inventores e
contribuidores do cálculo com
relação a suas leis de movimento
e outros conceitos matemáticos-
físicos
No período medieval, o Matemático indiano Aryabhata usou a noção infinitesimal em
499 D.C. expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equação
diferencial básica. Essa equação levou Bhāskara II no século doze a desenvolver uma
derivada prematura representado uma mudança infinitesimal, ele desenvolveu também o
que seria uma forma primitiva do “Teorema de Rolle”.
No século XII o matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descobriu a derivada de
polinômios cúbicos, um resultado importante no cálculo diferencial. No século XIV,
Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matemáticos-astrônomos da Escola
Kerala de Astronomia e Matemática, descreveu casos especiais da Série de Taylor, que
no texto são tratadas como Yuktibhasa.
No período moderno, descobertas independentes no cálculo foram feitas no início do
século XVII no Japão por matemáticos como Seki Kowa que expandiu o método de
exaustão. Na Europa, a segunda metade do século XVII foi uma época de grandes
inovações. O Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver
problemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Muitos
matemáticos contribuíram para essas descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac
Barrow. James Gregory proveu um caso especial do segundo teorema fundamental do
cálculo em 1668.
Gottfried Wilhelm Leibniz, foi
originalmente acusado de plagiar
os trabalhos não publicados de
Isaac Newton, hoje porém é
considerado, juntamente com
Newton, o inventor do cálculo
3
Página

5. Coube a Leibniz e Newton recolher essas idéias e juntá-las em um corpo teórico que
viria a constituir o cálculo, a ambos é atribuído a simultânea e independente invenção
do cálculo. Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física ao passo
que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico
para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras
distintas ao teorema fundamental do cálculo.
Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados, houve uma grande controvérsia
de qual matemático (e portanto que país: Inglaterra ou Alemanha) merecia o crédito.
Newton derivou seus resultados primeiro, mas Leibniz publicou primeiro. Newton
argumentou que Leibniz roubou idéias de seus escritos não publicados, que Newton à
época compartilhara com alguns poucos membros da Sociedade Real. Esta controvérsia
dividiu os matemáticos ingleses dos matemáticos alemães por muitos anos. Um exame
cuidadoso dos escritos de Leibniz e Newton mostra que ambos chegaram a seus
resultados independentemente, com Leibniz iniciando com integração e Newton com
diferenciação. Nos dias de hoje tem-se que Newton e Leibniz descobriram o cálculo
independentemente. Leibniz, porém, foi quem deu o nome cálculo à nova disciplina,
Newton a chamara de “A ciência dos fluxos”.
Desde o tempo de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o contínuo
desenvolvimento do cálculo. No século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma
muito mais rigorosa por matemáticos como Cauchy, Riemann e Weierstrass. Foi
também durante este período que idéias do cálculo foram generalizadas ao espaço
euclidiano e ao plano complexo. Lebesgue mais tarde generalizou a noção de integral.
Princípios
Limites e Infinitesimais Ver anexo 1
O cálculo é comumente utilizado pela manipulação de quantidades muito pequenas.
Historicamente, o primeiro método de utilizá-lo era pelas infinitesimais. Estes objetos
podem ser tratados como números que são, de alguma forma, "infinitamente pequenos".
Na linha numérica, isso seria locais onde não é zero, mas possui "zero" de distância de
zero. Nenhum número diferente de zero é um infinitesimal, porque sua distância de zero
é positiva. Qualquer múltiplo de um infinitesimal continua sendo um infinitesimal. Em
outras palavras, infinitesimais não satisfazem a propriedade Archimediana. Deste ponto
de vista, o cálculo é uma coleção de técnicas para manipular infinitesimais. Tal
pensamento foi ignorado no século XIX porque era muito difícil ter a noção precisa de
uma infinitesimal. Entretanto, o conceito foi reutilizado no século XX com a introdução
da análise não padronizada, a qual propiciou fundamentos sólidos para a manipulação
de infinitesimais
No século XIX, as infinitesimais foram substituídas pelos limites. Limites descrevem o
valor de uma função em um certo ponto em termos dos valores de pontos próximos.
4
Eles capturam o comportamento numérico em baixa escala, como nas infinitesimais,
Página
mas utilizando números ordinários. Deste ponto de vista, calculo é uma coleção de
técnicas para a manipulação de certos limites. As infinitesimais foram substituídas por

6. números muito pequenos, e o comportamento infinitamente pequeno da função é
encontrado pelo limite de números cada vez menores. Limites são fáceis de serem
colocados em fundações rigorosas e, por esse motivo, são a abordagem padrão para o
cálculo.
Derivadas Ver anexo 2
Reta tangente em (x, f'(x))
O cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedade e aplicações da derivada ou
deslocamento de um gráfico. O processo de encontrar a derivada é chamado
"diferenciação". Em linguagem técnica, a derivada é um operador linear, o qual forma
uma nova função a partir da função original, em que cada ponto da nova função é o
deslocamento da função original.
O conceito de derivada é fundamentalmente mais avançado do que os conceitos
encontrados em álgebra. Em álgebra, os estudantes aprendem sobre funções em que o
número de entrada gera um número de saída. Por exemplo, se no dobro da função é
inserido 3, então a saída é 6, enquanto se a função é quadrática, e é inserido 3, então a
saída é 9. Mas na derivada, a entrada é uma função e a saída é outra função. Por
exemplo, se na derivada é colocada uma função quadrada, então a saída é o dobro de
uma função, porque o dobro da função fornece o deslocamento da função quadrática em
qualquer ponto dado da função.
Para entender a derivada, os estudantes precisam aprender a notação matemática. Na
notação matemática, um símbolo comum para a derivada da função é um sinal de
apóstrofo chamado "linha". Então a derivada de f é f ' (f linha). Isso em notação
matemática seria escrito assim:
.
Se a função de entrada é o tempo, então a derivada dessa função é a taxa em que a
função é alterada.
Se a função é linear, ou seja, o gráfico da função é uma linha reta, então a função pode
5
Página
ser escrita como y = m x + b, onde:

7. .
Isto da o valor exato para a variação da linha reta. Se a função não é uma linha reta,
então a variação em y é dividida pela variação em x, e nós precisamos do cálculo para
encontrar o valor exato em cada ponto da função. (Note que y e f(x) são duas notações
diferentes para a mesma coisa: a saída da função. Uma linha entre dois pontos em uma
curva é chamado de reta secante. A variação da reta secante pode ser expressada como:
onde as coordenadas do primeiro ponto é (x, f(x)) e h é a distância horizontal entre os
dois pontos.
Para determinar o deslocamento da curva, nós usamos os limites:
Em um caso particular, nós encontramos o deslocamento da função quadrática no ponto
em que a entrada é 3 e a saída é 9 (Ex.: f(x) = x2, então f(3) = 9).
O deslocamento da função quadrática no ponto (3, 9) é 6, isto é, ele cresce seis vezes
mais rapido e está indo para a direita.
Integrais Ver anexo 3
6
O Cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois
Página
conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de

8. encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Em linguagem técnica, o
.
calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.
A integral indefinida é a antiderivada, o processo inverso da derivada. F é uma
,
integral indefinida de f quando f é uma derivada de F. (O uso de letras maiúsculas e
minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.)
A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre
o gráfico da função e o eixo do x. A definição técnica da integral definida é o limite da
definição
soma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.
Um exemplo motivacional é a distância ( ) viajada em um determinado tempo (
(D) (t).
Se a velocidade (V) é constante, somente multiplicação é necessária, mas se a
)
velocidade varia, então precisamos de um método mais poderoso para encontrar a
distância. Um método é a aproximação da distância viajada pela divisão do tempo em
muito mais intervalos de tempo, e então multiplicando o tempo em cada intervalo por
uma das velocidades naquele intervalo, e então fazer uma Soma de Riemann das
as
distâncias aproximadas viajadas em cada intervalo. A idéia básica é que se somente um
pequeno tempo passar, então a velocidade vai permanecer praticamente a mesma.
Entretanto, uma Soma de Riemann somente da uma aproximação da distância viajada.
Nós precisamos pegar o limite de todas as Somas de Riemann para encontrar a distância
viajada exata.
Integração pode ser explicada
como a medida da área entre
uma curva, definida por f(x),
entre dois pontos (aqui a e b).
Se f(x) no diagrama da esquerda representa a velocidade variando de acordo com o
tempo, a distância viajada entre os tempos representados por a e b é a área da região
escura s.
Para aproximar a área, um método intuitivo seria dividir em distâncias entre a e b em
intuitivo
7
um número de segmentos iguais, a distância de cada segmento representado pelo
Página
símbolo ?x. Para cada segmento menor, nós podemos escolher um valor da função f(x).
.
Chame o valor h. Então a área do retângulo com a base ?x e altura h dá a distância
.

9. (tempo ?x multiplicado pela velocidade h) viajado naquele segmento. Associado com
cada segmento é o valor médio da função sobre ela,f(x)=h. A soma de todos os
retângulos dados é uma aproximação da área entre o eixo e a curva, o qual é uma
aproximação da distância total viajada. Um valor menor para ?x nos dará mais
retângulos e, na maioria dos casos uma melhor aproximação, mas para uma resposta
exata nós precisamos fazer o limite em ?x tender a zero.
O símbolo da integração é , um S alongado (que significa "soma"). A integral
definida é escrita da forma:
e lida como "a integral de a até b de f-de-x em relação a x."
A integral indefinida, ou antiderivada, é escrita da forma:
.
Desde que a derivada da função y = x2 + C é y ' = 2x (onde C é qualquer constante),
então:
.
Teorema Fundamental do Cálculo Ver anexo 4
O teorema fundamental do cálculo afirma que a diferenciação e a integração são
operações inversas. Mais precisamente, o teorema conecta os valores de antiderivadas
ao valor de integrais definidas. Por ser usualmente mais fácil computar uma
antiderivada do que aplicar a definição de uma integral definida, o teorema fundamental
do cálculo provê uma forma prática de computar integrais definidas. Pode também ser
interpretado como uma afirmação precisa do fato que a diferenciação é o inverso da
integração.
É afirmado pelo teorema fundamental do cálculo que: Se uma função f é contínua no
intervalo [a, b] e se F é uma função cuja derivada é f no intervalo (a, b), então
Além disso, para cada x no intervalo (a, b) temos que
8
Página

10. E, seu Corolário pode ser transcrito da seguinte forma:
Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [
[a,
b]. Se F é uma função tal que
para todo x em [a, b]
então
e
.
Essa descoberta, realizada por Newton e Leibniz, que basearam-se nos resultados de um
se
trabalho anterior de Isaac Barrow, exerceu um papel chave na massiva proliferação de
Barrow,
resultados analíticos que se seguiram após seus trabalhos ficarem conhecidos. O
trabalhos
Teorema fundamental do cálculo provê um método algébrico de computar muitas
integrais definidas—sem executar processos limite simplesmente por encontrar
sem limite—simplesmente
fórmula para antiderivadas.
Aplicações
A espiral logarítmica da concha
do Nautilus é uma imagem
clássica usada para representar o
crescimento e a mudança
relacionados ao cálculo
O cálculo é usado em todos os ramos das ciências físicas, na ciência da computação
computação,
estatística, engenharia, economia medicina e em outras áreas sempre que um problema
economia,
possa ser modelado matematicamente e uma solução ótima é desejada.
A Física faz uso intensivo do cálculo. Todos os conceitos na mecânica clássica são
interrelacionados pelo cálculo. A massa de um objeto de densidade conhecida, o
momento de inércia dos objetos, assim como a energia total de um objeto dentro de um
sistema fechado podem ser encontrados usando o cálculo. Nos sub sub-campos da
eletricidade e magnetismo, o cálculo pode ser usado para encontrar o fluxo total de
magnetismo,
campos eletromagnéticos. Um exemplo mais histórico do uso do cálculo na física é a
segunda lei de Newton que usa a expressão "taxa de variação" que se refere à derivada:
9
A taxa de variação do momento de um corpo é igual à força resultante que age sobre o
Página
corpo e na mesma direção. Até a expressão comum da segunda lei de Newton como

11. Força = Massa × Aceleração envolve o cálculo diferencial porque a aceleração pode ser
expressada como a derivada da velocidade. A teoria do eletromagnetismo de Maxwell e
a teoria da relatividade geral de Einstein também são expressas na linguagem do cálculo
diferencial. A química também usa o cálculo para determinar as variações na velocidade
das reações e no decaimento radioativo.
O cálculo pode ser usado em conjunto com outras disciplinas matemáticas. Por
exemplo, ele pode ser usado com a álgebra linear para encontrar a reta que melhor
representa um conjunto de pontos em um domínio.
Na esfera da medicina, o cálculo pode ser usado para encontrar o ângulo ótimo na
ramificação dos vasos sanguíneos para maximizar a circulação.
Na geometria analítica, o estudo dos gráficos de funções, o cálculo é usado para
encontrar pontos máximos e mínimos, a inclinação, concavidade e pontos de inflexão.
Na economia o cálculo permite a determinação do lucro máximo fornecendo uma
fórmula para calcular facilmente tanto o custo marginal quanto a renda marginal.
O cálculo pode ser usado para encontrar soluções aproximadas de equações, em
métodos como o método de Newton, iteração de ponto fixo e aproximação linear. Por
exemplo, naves espaciais usam uma variação do método de Euler para aproximar
trajetórias curvas em ambientes de gravidade zero.
Ver também
Listas
• Lista de tópicos básicos em cálculo
• Tabela de derivadas
• Tábua de integrais
• Lista de tópicos em cálculo
• Publicações sobre cálculo
Tópicos relacionados
• Régua de cálculos
• Série
• Cálculo polinomial
• Geometria diferencial
• Cálculo com múltiplas variáveis
• Análise non-standard
• Pré-cálculo (Educação matemática)
• Integral-produto
• Cálculo estocástico
Referências bibliográficas
10
Cálculo Básico
Página
• Medeiros, Valeria Zuma (2005). Thomsom Pioneira, 1ª edição. Pré-Cálculo ISBN 8522104506
• Coelho, Flavio Ulhoa (2005). Saraiva, 1ª edição. Curso Básico de Cálculo ISBN 8502051202

12. • Mendelson, Elliot (2007). Bookman Companhia Editora, 2ª edição. Introdução ao Cálculo ISBN
8560031537
• Guidorizzi, Hamilton; LTC; 5ª edição, 2001; 4 vols. ISBN 8521612591
• Piskounov, Nikolai Semenovich; Edições Lopes da Silva; 12ª edição, 2002; 2 vols.
• Goldstein, Larry J./Schneider, David I. (2007); Hemus; 1ª edição, volume único. Cálculo e suas
Aplicações ISBN 9781891389245
• Stewart, James (2002). Thomsom Pioneira, 5ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8522104794
• Thomas, George B. (2002). Addison Wesley Brasil, 10ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8588639114
• Anton, Howard A. (2007). Bookman Companhia Editora, 8ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN
8560031804
• Barboni, Ayrton/Paulette, Walter (2007). LTC, 1ª edição. Fundamentos da Matemática: Cálculo
e Análise ISBN 8521615469
• Ayres Jr., Frank/Mendelson, Elliot (2006), Bookman Companhia Editora, 4ª edição. Cálculo, col.
Schaum ISBN 856003109X
• Bradley, Gerald L./Hoffman, Laurence D. (2008). LTC, 9ª edição. Cálculo:Um Curso Moderno e
suas Aplicações ISBN 8521616023
• Lopes, Hélio/Malta, Iaci/Pesco, Sinesio (2002). Loyola, 1ª edição, 2 vols. Cálculo a uma Variável
ISBN 8515024403
• Hughes-Hallett, Deborah (2005). LTC, 2ª edição. Cálculo Aplicado ISBN 8521613970
• Larson, Ron/Edwards, Brruce (2005). LTC, 6ª edição Cálculo com Aplicações ISBN 8521614330
• Avila, Geraldo (2003). LTC, 7ª edição, 3 vols. Cálculo das Funções de uma Variável ISBN
8521613709
• Hallett, Hughes (2004). LTC, 7ª edição. Cálculo de uma Variável ISBN 8521613903
• Salas/Hille/Etgen (2005). LTC, 9ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8521614594
Cálculo Avançado
• Wrede, Robert C./Spiegel, Murray R. (2003). Bookman Companhia Editora, 2ª edição Cálculo
Avançado ISBN 8536303476
• Hellmeister, Ana Catarina Pontone, organizadora. EDUSP, 2ª edição (2006) Cálculo Integral
Avançado ISBN 8531403707
• Bortolossi, Humberto Jose (2002). Loyola, 1ª edição Cálculo a Várias Variáveis: Uma Introdução
à Teoria da Otimização ISBN 851502442X
• Spivak, Michael (2003). Ciência Moderna, 1ª edição Cálculo em Variedades ISBN 8573932252
Livros on-line
• MATHEMATICA NO ENSINO DE CÁLCULO: Uma Abordagem Computacional pelo prof. Inder Jeet
Taneja da UFSC
• Cálculo Diferencial a Várias Variáveis:Uma Introdução à Teoria de Otimização
• CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA RETA - Notas de Aula pelo prof. Plácido Z. Táboas do
ICMC-USP de São Carlos
• Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral de Funções Definidas em Rn
Páginas na Internet
• Curso de cálculo on-line da USP
• "Kit de sobrevivência em Cálculo" do departamento de Matemática da UEM
• Materiais de aula do IMECC-UNICAMP
• [http://www.mtm.ufsc.br/~taneja/MATREDE/Math4/Math4.html Cálculo com o Mathematica
• Cálculo Infinitesimal: o que é isso?
11
• Material para Cálculo I pelos professores Fernando Guerra e Inder Jeet Taneja da UFSC
Página

13. ANEXO 1
Limite
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite)
Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma
função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim
como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da
sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculo
diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a
continuidade de funções.
Índice
• 1 Limite de uma sequência
• 2 Limite de uma função
o 2.1 Definição formal
• 3 Aproximação intuitiva
• 4 Limites em funções de duas ou
mais variáveis
Limite de uma sequência Ver anexo 1.1
Seja uma sequência de números reais. A expressão:
significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos da sequência.
Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L.
A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, deve ser interpretada como um
desafio. O desafiante propõe quão perto de L os termos da sequência devem chegar, e o
desafiado deve mostrar que, a partir de um certo valor de i, os termos realmente estão
perto de L.
Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de L (dado, pelo desafiante, por
exemplo, pelo intervalo aberto , o desafiado deve
exibir um número natural N tal que .
Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim:
12
Página

14. Limite de uma função
Suponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real. A expressão:
)
significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma x
)
suficientemente próximo de c. Quando tal acontece dizemos que "o limite de f(x), à
.
medida que x se aproxima de c, é L". Note-se que esta afirmação pode ser verdadeira
se
mesmo quando , ou quando a função f(x) nem sequer está definida em c.
)
Vejamos dois exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos.
Consideremos à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) está
definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:
f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001 0.4 0.3998 0.3988 0.3882
À medida que x aproxima-se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e consequentemente temos a
se se
igualdade . Sempre que se verifique a igualdade
, diz-se que f é contínua em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções.
ra
Vejamos uma função onde tal não acontece
O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas
)
e consequentemente g não é contínua em x = 2.
Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c.
Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1,
)
existe e é igual a 2:
13
f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
Página
1.95 1.99 1.999 não está definido 2.001 2.010 2.10

15. Ora x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, pelo
que o limite de f(x) é 2.
Definição formal
A definição ε-δ de limite
O conceito de limite é formalmente definido da seguinte forma: Seja f uma função
definida num intervalo aberto contendo a (excepto possivelmente a e seja A um
a)
número real. A expressão
significa que qualquer que seja existe um tal que para todo x,
satisfazendo , vale . OU, usando a notação
simbólica:
Dito de maneira mais formal, um limite A é dado da seguinte maneira, segunda a idéia
originalmente formulada por Cauchy:
um limite A dado pela fórmula:
onde A é o valor do qual difere o valor de f(x) a menos de um valor ε (epsilon) maior
que zero se o valor de x diferir de a por um valor menor que o valor δ (delta) maior que
zero e função de ε (δ = f(ε))
ε))
Aproximação intuitiva
14
A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito
de limite pode ser apreendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.
Página

16. Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um
determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai
se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai
separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual
y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x0
arbitrariamente muito pouco também.
Por exemplo, imaginemos a função: f(x) = 2x + 1 e imaginando f:R - > R (Definida nos
reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa
pela origem, pois se substituirmos: f(0) = 2.0 + 1 que nos dá: f(0) = 0 + 1 = 1, ou seja,
no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se
aproximem de 1, por exemplo:
Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96
Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996
Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996
Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998
Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite,
quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma
que podemos escrever como no seguinte exemplo:
Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: f(x) = 2x + 1 nos Reais, calcular o
limite da função f quando x - > 1. Temos então, neste caso, a função descrita no
enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja,
para a resolução fazemos:
Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o
problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não
importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por
isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai
ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a
definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está
ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1
pela esquerda, ou seja:
Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função f(x)
descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então:
y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222
Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela
esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas
que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.
15
Página

17. Limites em funções de duas ou mais variáveis
A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas,
nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o
limite exista ou não.
Esse é o caso de funções de duas ou mais variáveis. Uma função do tipo:
pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.
Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir
eja,
para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de
menores números reais).
Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem
tem-se dois
graus de liberdade. Consequentemente, pode ter infinitos caminhos entre dois pontos,
pode-se
o que na verdade influencia no valor do limite.
Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele independa do caminho
tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados Isso
alcançados.
é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Em caso
contrário, o limite não existe.
De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:
o limite pode ser testado através de vários caminhos.
Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta funçao:
Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades:
se
• o limite se fazendo através da abcissa, da direita para a esquerda, ou seja,
16
Página

18. Nesse caso o limite L é zero
• o limite se fazendo através da ordenada, de cima para baixo, ou seja,
e
Nesse caso, o limite L é também zero
Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa
ia
função, o limite nesse ponto é sempre zero.
Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:
que pode ser provado fazendo se a aproximação do ponto (0,0) através das
fazendo-se
parametrizações dadas pelas equações paramétricas:
a função toma a forma
Vê-se, então, que o valor do limite depende do angulo α pelo qual a reta de
se,
parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não
existe nesse ponto para essa função.
17
Página

19. ANEXO 1.1
Limite de uma seqüência
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite_de_uma_sequ%C3%AAncia)
O limite de uma seqüência é um dos conceitos mais antigos de análise matemática. A
mesma dá uma definição rigorosa à idéia de uma seqüência que converge até um ponto
chamado limite.
De forma intuitiva, supondo que tem-se uma seqüência de pontos (por exemplo, um
conjunto infinito de pontos numerados utilizando os números naturais) em algum tipo
de objeto matemático (por exemplo, os números reais ou um espaço vetorial) que
admite o conceito de vizinhança (no sentido de "todos os pontos dentro de uma certa
distância de um dado ponto fixo"). Um ponto L é o limite da seqüência se para toda a
vizinhança que se defina, todos os pontos da seqüência (com a possível exceção de um
número finito de pontos) estão próximos a L. Isto pode ser interpretado como se
houvesse um conjunto de esferas de tamanhos decrescentes até zero, todas centradas em
L, e para qualquer destas esferas, só existiria um número finito de números fora dela.
Índice
• 1 Definição formal
o 1.1 Comentários
• 2 Exemplos
• 3 Ligações externas
Definição formal
• Para uma seqüência de pontos em um espaço métrico M com função
de distância d
(como por exemplo, uma seqüência de números racionais, números reais, números
complexos, pontos em um espaço normado, etc.):
Se diz-se que L é o limite da seqüência e escreve-se
i.e.:se e somente se para todo (hodap) número real , existe um número natural
18
N tal que para cada , satisfaz-se que
Página
• Uma generalização desta relação, para uma seqüência de pontos em
um espaço topológico T:

20. Se diz-se que L é um limite desta seqüência e escreve-se
se e somente se para toda a vizinhança S de L existe um número natural N tal que
para todo
Se uma seqüência tem limite, diz-se que a seqüência é convergente, e que a seqüência
converge ao limite. Caso contrário, a seqüência é divergente.
Comentários
A definição significa que eventualmente todos os elementos da seqüência aproximam-se
tanto como queiramos ao valor limite. (A condição que impõe que os elementos
encontrem-se arbitrariamente próximos aos elementos subseqüentes não, implica em
geral, que a seqüência tenha um limite. Veja sucessão de Cauchy).
É possível também que uma seqüência em um espaço topológico geral, possa ter vários
limites diferentes, mas uma seqüência convergente possui um único limite se T é um
espaço de Hausdorff, por exemplo, a reta real (estendida), o plano complexo, seus
subconjuntos (R, Q, Z...) e produtos cartesianos (Rn...).
Exemplos
• A seqüência 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... de números reais converge ao limite 0.
• A seqüência 1, -1, 1, -1, 1, ... é divergente.
• A seqüência 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge ao
limite 1. Este é um exemplo de uma série infinita.
• Se a é um número real com valor absoluto |a| < 1, então a seqüência an possui limite
0. Se 0 < a ≤ 1, então a seqüência a1/n possui limite 1.
• Também:
19
Página

21. ANEXO 2
Derivada
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada)
Em Matemática, diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável se, próximo de
se diferenciável)
cada ponto a do seu domínio a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como
domínio, )
uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma recta. O declive
,
de uma tal recta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por
se
ou por .
Assim, por exemplo, se se considerar a função f de R em R definida por
f(x) = x2 + x − 1, esta é difere
diferenciável em 0. Podem-se ver na imagem abaixo os gráficos
se
das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que,
[−1,1]
enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser
(0)
linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de recta (de declive 1).
praticamente
De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0, (0)) mais perto estará
(0,f(0))
este de ser linear.
Gráfico de uma função derivável.
Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que
se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura ao lado.
Gráfico da função módulo, que
não é derivável em 0.
20
Página

22. Índice
• 1 Definições formais
• 2 Exemplos
• 3 Propriedades das funções deriváveis
o 3.1 Derivabilidade num ponto
o 3.2 Derivabilidade em todo o domínio
• 4 Funções continuamente deriváveis
• 5 Derivadas de ordem superior
• 6 Pontos críticos ou estacionários
• 7 Derivadas notáveis
o 7.1 Exponencial e logaritmo
o 7.2 Funções trigonométricas
o 7.3 Funções trigonométricas inversas
• 8 Funções com valores em Rn
• 9 Funções de uma variável complexa
• 10 Física
• 11 Usando derivadas para desenhar gráficos de
funções
• 12 Derivadas parciais
• 13 Referências
• 14 Ligações externas
Definições formais
Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto R dos números reais e seja f
uma função de I em R. Se a ∈ I, diz-se que f é derivável em a se existir o limite
.
Se for esse o caso, aquele limite designa
designa-se por derivada da função f no ponto a e
representa-se por f′(a). Note
). Note-se que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto
,
continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto qualquer de números reais e se a fosse
um ponto não isolado de I.
Inclinação da secante ao gráfico
de f
21
Página

23. Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um
processo de limite. Considera
. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de
,
intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a
inclinação da secante é igual à da tangente.
Inclinação da tangente à curva
como a derivada de f(x)
O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e ( + h,f(x + h)) é
)) (x
dado pelo quociente de Newton
Newton:
.
Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de I
em R contínua em a tal que
.
Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a).
se
Diz-se que f é derivável se for derivável em todos os pontos do domínio.
Exemplos
Se c ∈ R, a função f de R em R definida por f(x) = c é derivável em todos os pontos de
R e a sua derivada é igual a 0 em todos os pontos, pois, para cada a ∈ R
R:
.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir φa de R em R por φa(x) = 0,
então φa é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se
;
22
além disso, f'(a) = φa(a) = 0
) 0.
Página

24. A função f de R em R definida por f(x) = x é derivável em todos os pontos de R e a sua
derivada é igual a 1 em todos os pontos, pois, para cada a ∈ R:
.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir φa de R em R por φa(x) = 1,
ão
então φa é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se
;
além disso, f'(a) = φa(a) = 1
) 1.
A função f de R em R definida por f(x) = x2 é derivável em todos os pontos de R e a sua
derivada no ponto a ∈ R é igual a 2a, pois:
.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir φa de R em R por φa(x) = x +
a, então φa é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se
;
além disso, f'(a) = φa(a) = 2
) 2a.
A função módulo de R em R não é derivável em 0 pois
No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em a é igual a 1
:
quando a > 0 e é igual a − 1 quando a < 0.
Propriedades das funções deriváveis
ades
Derivabilidade num ponto
• Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e seja f uma função de I
em R derivável em a. Então f é contínua em a. O recíproco não é verdadeiro, como se
. .
pode ver pela função módulo.
• Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e sejam f e g funções de
23
I em R deriváveis em a. Então as funções f ± g, f.g e (caso g(a) ≠ 0) f / g também são
)
deriváveis em a e
Página
o

25. o
o
Em particular, se c ∈ R, então (c.f)' = c.f'. Resulta daqui e de se ter (f + g = f' + g' que a
, g)'
derivação é uma aplicação linear
linear.
• Sejam I e J intervalos de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I, seja f uma função de
,
I em J derivável em a e seja seja g uma função de J em R derivável em f(a). Então g o f
é derivável em a e
.
Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.
• Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e seja f uma função
contínua de I em R derivável em a com derivada não nula. Então a função inversa f − 1 é
derivável em f(a) e
Outra maneira de formular este resultado é: s a está na imagem de f e se f for derivável
se
em f − 1(a) com derivada não nula, então
Derivabilidade em todo o domínio
• Uma função derivável f de I em R é constante se e só se a derivada for igual a 0 em
todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média.
• Uma função derivável f de I em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a
e
0 em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da médiamédia.
Uma função cuja derivada seja sempre maio que 0 é estritamente crescente. Uma
maior
observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada
assume o valor 0 em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R
em R definida por f(x) = x3. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções
m
decrescentes.
• Se f for uma função derivável de I em R, sendo I um intervalo de R com mais do que
um ponto, então f'(I) também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este
) .
resultado é: se f for uma função derivável de [a,b] em R e se y for um número real
24
situado entre f'(a) e f f'(b) (isto é, f'(a) ≤ y ≤ f'(b) ou f'(a) ≥ y ≥ f'(b)), então existe algum
),
c ∈ [a,b] tal que f'(c) = y. Este resultado é conhecido por teorema de Darboux
) Darboux.
Página

26. Funções continuamente deriváveis
Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto e seja f uma função de I em R. Diz-
se que f é continuamente derivável ou de classe C1 se f for derivável e, além disso, a sua
derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são
continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é
continuamente derivável é
pois o limite não existe; em particular, f' não é contínua em 0.
Derivadas de ordem superior
Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e
como tal também pode ser diferenciada. Calculando se a derivada novamente obtemos
Calculando-se
então a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda
.
derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos
Podemos-nos referir às
derivadas subsequentes de f por:
e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregue é:
ou alternativamente,
ou ainda
Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f(k) for uma função contínua,
diz-se que f é de classe Ck.
25
Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz que f é infinitamente derivável
diz-se
Página
ou indefinidamente derivável ou ainda de classe C∞.

27. Pontos críticos ou estacionários
Pontos onde a derivada da função é igual a 0 chamam-se normalmente de pontos
críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como
a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem
onde a inclinação da reta tangente é paralela ao eixo dos x. Estes pontos podem
acontecer:
1. onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados
máximos locais da função
2. onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais
da função
3. em pontos de inflexão da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda.
Um exemplo típico é a função f(x) = x3: no ponto x = 0 a função tem um ponto de
inflexão.
4. em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um
exemplo típico é a função
5. em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo
contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante.
Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.
Obviamente, a função pode ter um comportamento para valores menores que o ponto
crítico e outro comportamento para valores maiores que o ponto crítico.
Para identificar o tipo de ponto estacionário, torna-se necessário analisar também a
segunda derivada de f(x):
• Se a segunda derivada de f é positiva no ponto onde a primeira derivada é nula, então
o ponto é um mínimo local.
• Se a segunda derivada for negativa, o ponto em questão é um máximo local.
Se a derivada segunda também for nula, nada se pode concluir. No entanto, se a for o
ponto em questão e se existir algum número n ∈ N tal que
1. f(k)(a) = 0 se k ∈ {1,2,…n − 1};
2. f(n)(a) ≠ 0,
então:
1. f tem um máximo local em a se n for par e f(n)(a) < 0;
2. f tem um máximo local em a se n for par e f(n)(a) > 0;
3. f tem um ponto de inflexão em a se n for ímpar.
Derivadas notáveis
Exponencial e logaritmo
26
Página
• A derivada da função exponencial é ela própria, ou seja, exp' = exp.
• Para cada x > 0, log'(x) = 1 / x, onde log é o logaritmo natural.

28. Estes dois factos não são independentes. De facto, como o logaritmo natural é a inversa
da função exponencial, resulta da igualdade exp' = exp e da fórmula para a derivada da
al,
inversa que
Reciprocamente, se se suposer que, para cada x > 0, log'(x) = 1 / x, então
,
Funções trigonométricas
• ;
• ;
• ;
• .
Mais uma vez, estas igualdades não são independentes. A fórmula para a derivada da
tangente, por exemplo, resulta das fórmulas para as derivadas do seno e do co
co-seno e da
fórmula para a derivada do quociente
quociente:
Funções trigonométricas inversas
• ;
• ;
• ;
•
Todas estas igualdades resultam das fórmulas para as derivadas das funções
resultam
trigonométricas juntamente com a fórmula para a derivada da inversa e a fórmula
fundamental da trigonometria
trigonometria.
27
Página

29. Funções com valores em Rn
Se I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f for uma função de I em Rn,
para algum número natural n, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim,
por exemplo exemplo a função
é derivável e
De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto,
naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.
Funções de uma variável complexa
Se A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a for
um ponto não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outros
elementos de A), então as duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazer
sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas,
excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à monotonia de funções.
Física
Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o
conceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é
necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as
derivadas temporais da posição s de um objecto são importantes na física newtoniana:
• Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à
Análise) v é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
• Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.
Posto de outro modo:
Por exemplo, se a posição de um objecto é s(t) = −16t2 + 16t + 32, então a velocidade
28
do objecto é s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objecto é s′′(t) = −32.
Página
Uma forma de enunciar a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear
do objecto.

30. Usando derivadas para desenhar gráficos de funções
As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os
pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremo
local terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: tais
pontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem todos os "pontos críticos" são
extremos locais. Alguns são pontos de inflexão. A segunda derivada é a forma de
avaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto é
um mínimo local, se negativa, é máximo. Se é nula, o ponto é de inflexão ou parte de
uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente).
Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil ter
uma ideia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão)
ela será crescente ou decrescente de forma uniforme excepto nos pontos críticos, e logo
(assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cada
lado.
Derivadas parciais
Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de
derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma
função quando todas menos uma variável são mantidas constantes temporariamente.
Derivadas parciais relativamente à variável x são representadas como ∂/∂x.
Referências
• Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
• Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação
Calouste Gulbenkian, 1981
29
Página

31. ANEXO 3
Integral
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral )
ATENÇÃO: Este artigo ou secção não cita as suas fontes ou referências, em desacordo
com a política de verificabilidade. Ajude a melhorar este artigo providenciando fontes
fiáveis e independentes, inserindo-as no corpo do texto ou em notas de rodapé.
No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área
sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de
problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os
instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os
instantes.
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.
Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a
integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a
limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. No
entanto todas estas definições dão a mesma resposta para o resultado final de uma
integração.
A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida
para integral indefinida é:
se e somente se
Índice
• 1 Definição conceitual
• 2 Teorema fundamental
do Cálculo
• 3 Passo-a-Passo
• 4 Teorema fundamental
do Cálculo
• 5 Exemplos de integração
30
• 6 Definições de integral
•
Página
7 Ver também

32. Definição conceitual
Integrando a área de uma função
abaixo de uma curva
Para se descrever a integral de uma função f de uma variável x entre o intervalo [a, b]
utiliza-se a notação:
A idéia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório. Isto
porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos
retângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. A
produto
soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo
da curva. Mais precisamente, pode se dizer que a integral acima é o valor limite da
pode-se
soma:
onde:
é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais se divide o intervalo (b
(b-a), f(xi) é o
valor da função em algum ponto deste intervalo. O que se espera é que quando N for
muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e,
portanto, da integral de f(x) no intervalo. Ou seja, que o limite
31
Página

33. esteja definido. O problema é que este raciocínio intuitivo é difícil de colocar em
linguagem matemática precisa. Por isto existem várias formas de se definir a integração
de maneira formal. O resultado entretanto é coerente entre elas.
O símbolo da integral, ou o "s espichado" é utilizado dessa maneira para denotar uma
espichado"
soma.
Teorema fundamental do Cálculo
Caso se resolva a integral acima entre os limites a e b, o resultado final pode ser escrito
,
como:
onde a função F(x) é a função resultante da integração da função f(x). O problema da
.
integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a
encontrar a função F(x).
O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece uma indicação de como
obter a integral. Para ver isto, supõe que o limite superior da integral, isto é, b, seja
supõe-se
muito próximo de a, tal que se possa escrever:
,
b = a + Δx
Como os pontos limites da integral estão muito próximos, pode se escrever:
pode-se
Olhando na definição da integração como um limite, dada acima, pode
pode-se dizer que a
integral, neste caso, se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto pode
pode-se
afirmar, sem causar um erro muito grande, que:
Comparando com a definição da derivada de uma função:
vê-se que a função procurada F(x) é uma função tal que, quando tomada a sua derivada,
se
obtém-se a função f(x). Em outras palavras, ao se calcular a derivada de uma função
.
32
pode-se também calcular a integral da função resultante. Esta propriedade mostra que a
se
Página
integração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se uma função for

34. derivada e em seguida o resultado integrado, obtém se a função original. Esta
obtém-se
propriedade é chamada de Teorema fundamental do Cálculo
Cálculo.
Passo-a-Passo
Integral Definida - Uma integral definida consta basicamente em integrar uma função
constante nos intervalos, através das primitivas, que nada mais são do que a função
integrada a cada membro.
Fórmula das Primitivas
Exemplo:
Cada membro da função é tratado como uma função em separado, para em seguida ser
efetuada a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual se substitui o valor de
X pelos valores do intervalo. Feito isso, usa se o teorema do cálculo para chegar ao
usa-se
valor da integral.
No intervalo (0,3): f = x2 + 2x + 4
f(x)
Aqui usa-se a Fórmula da Primitiva em cada integral.
se
Gera-se a outra função, que será usada para substituir os valores do intervalo.
se
Para x = 0 f(a) = 0
Para x = 3 f(b) = 30
Teorema fundamental do Cálculo
33
Página

35. Exemplos de integração
Estas são as integrais de algumas das funções mais comuns:
(Integral da função constante)
(Integral da função f(x) = x )
Por definição a barra é utilizada com o significado da diferença f(b) - f(a)
Definições de integral
Para definições do processo de integração mais rigorosas veja os links abaixo
• Integral de Riemann
• Integral de Lebesgue
• Integral de Riemann-Stieltjes
Stieltjes
• Integral de Gauge
Ver também
• Tábua de integrais
• Primitiva
• Integração numérica
• Métodos de Integração
• Integral Múltipla
34
Página

36. ANEXO 4
Teorema fundamental do Cálculo
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_Fundamental_do_C%C3%A1lculo)
O Teorema fundamental do Cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo,
diferenciação e integração, que são considerados como inversos um do outro. Isto
significa que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada,
volta-se na função original. Este teorema é de importância central no cálculo tanto que
recebe o nome teorema fundamental para todo o campo de estudo. Uma consequencia
importante disto, às vezes chamada de segundo teorema fundamental do cálculo,
permite computar integrais utilizando a antiderivada da função a ser integrada. Em seu
livro de 2003 (pág.394), James Stewart credita a idéia que conduziu ao teorema
fundamental ao matemático inglês Isaac Barrow apesar da primeira prova conhecida
deste teorema ser reconhecida ao matemático escocês James Gregory.
O teorema fundamental do cálculo estabelece a importante conexão entre o Cálculo
Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se
determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir
do problema de se encontrar a área de uma figura plana. Aparentemente, mas apenas
aparentemente, entre os dois problemas parece não existir nenhuma relação.
Barrow, professor de Newton em Cambridge, descobriu que os dois problemas estão
intimamente relacionados, percebendo que os processos de diferenciação e integração
são processos inversos. Entretanto, foram Newton e Leibniz, independentemente, que
exploraram essa conexão e desenvolveram o Cálculo.
Em particular, eles perceberam que o Teorema Fundamental permitia encontrar a área
de uma figura plana de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se calcular a soma
de áreas de um número indefinidamente grande de retângulos, mas sim usando a
primitiva da função envolvida.
O teorema afirma que se I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f for
uma função contínua de I em R, então, para cada a ∈ I a função F de I em R definida
por
é derivável e a sua derivada é precisamente a função f. Por outras palavras, F é uma
primitiva de f.
35
Página

37. Índice
• 1 Intuição
• 2 Formalização
o 2.1 Corolário
• 3 Prova
o 3.1 Parte I
o 3.2 Parte II
• 4 Exemplos
• 5 Generalizações
• 6 Referências
Intuição
Intuitivamente, o teorema simplesmente diz que a soma de variações infinitesimais em
uma quantidade ao longo do tempo (ou ao longo de outra quantidade) adiciona a
variação líquida naquela quantidade.
riação
Para explicar esta afirmação, começaremos com um exemplo. Suponha que uma
partícula viaja em uma linha reta com sua posição dada por x(t) onde t é o tempo. A
)
derivada desta função é igual a variação infinitesimal em x pela variação infinitesimal
a
do tempo (é claro, a própria derivada é dependente do tempo). Vamos definir esta
variação na distância com o tempo como a velocidade v da partícula. Na Notação de
Leibnitz:
Rearranjando a equação, fica claro que:
Pela lógica acima, uma variação em x, chamada ∆x, é a soma das variações
,
infinitesimais dx. Que também se iguala à soma dos infinitesimais produtos da derivada
.
e do tempo. Esta soma infinita é a integração; a operação de integração permite
recuperar a função original a partir de sua derivada. Claramente, este operação funciona
como inversa já que podemos diferenciar o resultado de nossa integral para recuperar a
função velocidade.
Formalização
Formalmente, o teorema diz o seguinte:
Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [
[a,
b]. Se F for a função definida para x em [a, b] por
36
Página
então para todo x em [a, b].

38. Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [
[a,
b]. Se F é uma função tal que
para todo x em [a, b]
então
.
Corolário
Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [
definida [a,
b]. Se F é uma função tal que
para todo x em [a, b]
então
e
.
Prova
Parte I
É dado que
Considere dois números x1 e x1 + ∆x em [a, b]. Então temos
e .
Subtraindo as duas equações
37
.
Página

39. Pode ser mostrado que
.
(A soma das áreas de duas regiões adjacentes é igual a área das duas regiões
combinadas.)
Manipulando esta equação obtemos
.
Substituindo a equação acima em (1) resulta em
.
De acordo com o teorema do valor médio para a integração, existe um c em [x1, x1 + ∆x]
tal que
.
Substituindo a equação acima em (2) temos que
.
Dividindo ambos os lados por ∆x temos
.
Note que a expressão do lado esquerdo da equação é o coeficiente diferencial de
Newton para F em x1.
Considere o limite com ∆x → 0 em ambos lados da equação.
38
A expressão do lado esquerdo da equação é a definição da derivada de F em x1.
Página
.

40. Para encontrar o outro limite, usaremos o teorema do sanduíche. O número c está no
.
intervalo [x1, x1 + ∆x], então x1 ≤ c ≤ x1 + ∆x.
],
Também, e .
Assim, de acordo com o teorema do sanduíche
sanduíche,
.
Substituindo em (3), temos
.
A função f é contínua em c, então o limite pode ser inserido na função. Assim, temos
,
; que completa a prova. (Leithold et al, 1996)
Parte II
Esta é uma prova limite por Soma de Riemann.
Considere f contínua no intervalo [ b], e F a antiderivada de f. Comece com a
[a, .
quantidade
.
Considere os números x1 a xn tal que
.
Que leva a
.
Agora, somamos cada F( i) juntamente com sua inversa aditiva, de forma que a
(x
quantidade resultante é igual:
A quantidade acima pode ser escriva como a seguinte soma:
39
Página

41. Aqui, aplicamos o teorema do valor médio. Como anteriormente, é o seguinte:
médio.
Considere f contínua no intervalo fechado [ b] e diferenciável no intervalo aberto (
[a, ] (a,
b). Então existe um c em (a b) tal que
a,
.
Segue que
.
A função F é diferenciável no intervalo [ b]; logo, ela é também diferenciável em cada
[a, ];
intervalo xi-1. Logo, de acordo com o teorema do valor médio (acima),
.
Substituindo a equação acima em (1), temos
.
Esta consideração implica que F'(ci) = f(ci). Também, xi − xi
o − 1 pode ser expressado
como ∆x de partição i.
Uma sequência convergente de
somas de Riemann. Os números
na parte superior direita são as
áreas dos retângulos cinzentos.
Convergem para o integral da
função
Note que estamos descrevendo a área de um retângulo, como o produto de sua largura
40
pelo comprimento, e somando as áreas obtidas. Cada retângulo, por virtude do Teorema
do Valor Médio, descreve uma aproximação da seção da curva traçada. Note também
,
Página
que ∆xi não precisa ser o mesmo para qualquer valor de i, ou em outras palavras que as
,
larguras dos retângulos podem diferir. O que temos de fazer é aproximar a largura da
los

42. curva com n retângulos. Agora, com o tamanho das divisões cada vez menor e n
aumentando, resultando em maior número de partições para cobrir o espaço,
chegaremos mais e mais perto da real áre da curva.
área
Tomando-se o limite da expressão com a norma das partições tentendo a zero,
se
chegamos na Integral de Riemann. Que quando, tomamos o limite quando a mais larg
Riemann. larga
das partições aproxima-se de zero em tamanho , então temos que todas as outras
se
partições são menores e o número de partições se aproxima do infinito.
Então, tomamos o limite em ambos lados de (3). Que resulta
Nem F(b) nem F(a) são dependentes de ||
) ||∆||, então o limite do lado esquerdo fica F(b) -
ão
F(a).
A expressão do lado direito da equação define a integral ao longo de f de a até b. Logo,
obtemos
que completa a prova.
Exemplos
Como um exemplo, suponha que precisamos calcul
calcular
Aqui, f(x) = x2 e podemos usar F(x) = (1 / 3)x3 como a antiderivada. Logo:
Generalizações
41
Não precisamos assumir a continuidade de f em toda a extensão do intervalo. A Parte I
do teorema diz que: se f é uma função integral de Lebesgue qualquer em [a,b] e x0 é um
Página
número em [a,b] tal que f é contínuo em x0, então

43. é diferenciável para x = x0 com F'(x0) = f(x0). Podemos tirar ainda mais restrições de f e
.
supor que ela é pelo menos localmente integrável. Neste caso, podemos concluir que a
função F é diferenciável quase em toda sua extensão e F'(x)=f(x) em quase toda sua
extensão. Isto é geralmente conhecido como Teorema da diferenciação de Lebesgue
Lebesgue.
A Parte II do teorema é verdadeira para qualquer função integral de Lebesgue f que
verdadeira
possui uma antiderivada F (nem todas a funções integrais possuem, entretanto).
A versão do teorema de Taylor que expressa o termo erro como uma integral pode ser
a
visto como uma generalização do teorema fundamental.
Há uma versão do teorema para funções de números complexos: suponha que U é um
:
conjunto aberto em C e f: U -> C é uma função que tem uma antiderivada holomórfica
F em U. Então para cada curva γ : [a, b] -> U, a curva integral pode ser computada
.
como
O teorema fundamental pode ser generalizado para curvas e superfícies integrais em
maiores dimensões e em manifolds
manifolds.
E a mais poderosa declaração neste direção é o Teorema de Stokes.
Referências
• Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early
transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
• Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable 7th ed.
variable.
Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
• Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable 6th ed. New York: HarperCollins
variable.
College Publishers.
• A Malet, Studies on James Gregorie (1638
(1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
• H W Turnbull (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)
42
Página

44. ANEXO 5
Integral de Riemann
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann
http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann)
No ramo da matemática conhecido como análise real, a integral de Riemann criada
Riemann,
por Bernhard Riemann, foi a primeira definição rigorosa de uma integral de uma função
,
em um intervalo. Enquanto a integral de Riemann é inadequada para muitos propósitos
.
teóricos, ela é uma das definições mais fáceis de integral. Algumas deficiências destas
integral.
técnicas podem ser remediadas pela integral Riemann-Stieltjes, e a maioria deles
desaparece na integral Lebesgue
Lebesgue.
Índice
• 1 Visão geral
• 2 Definição da integral de
Riemann
o 2.1 Partições de
tições
um intervalo
o 2.2 Soma de
Riemann
o 2.3 A integral de
Riemann
Visão geral
Figura 2
Seja f(x) uma função não negativa valida para os números reais do intervalo [a,b], e seja
S = (x,y) | 0 < y < f(x) uma região plana sobre a função f(x) e acima do intervalo [a,b]
(veja na figura 2). O nosso interesse é medir a área de S. Uma vez realizada esta
.
medição, iremos denotá-la por:
la
43
Página

45. A ideia básica de integral Riemann é muito simples de usar e não deixa ambiguidade
para a área de S. Para se ter uma aproximação cada vez melhor, nos podemos dizer que
.
"no limite" iremos obter exatamente a área de S sob a curva.
Note que onde f pode ser positivo e negativo, a integral corresponde a "área com sinal";
isto é, a área acima do eixo x é positiva e a área abaixo do eixo x negativa.
Uma soma de Riemann. Os
números no canto superior
direito são as áreas dos
retângulos cinza. Eles convergem
para a integral da função
Definição da integral de Riemann
Partições de um intervalo
Uma partição de um intervalo [a,b] é uma sequência finita
. Cada [xi,xi + 1] é denominado como um
sub-intervalo da partição. A malha de uma partição é definida como o comprimento do
mais longo sub-intervalo [xi,xi + 1], isto é, aquele em que max(xi + 1 − xi) onde
intervalo
. Isto também é conhecido como norma de partição.
Uma partição de um intervalo etiquetado é uma partição de um intervalo juntamente
ão
com uma sequência finita de números sujeito a condição que para cada i,
. Em outras palavras, isto é uma partição juntamente com um ponto
distinto para cada sub intervalo. A malha de uma etiqueta é definida da mesma forma
que para uma partição ordinária.
e
Suponha que juntamente com são uma partição etiquetada
de [a,b], e que juntamente com seja uma outra partição
etiquetada de [a,b]. Nos poderemos dizer que
. e juntas
são um refinamento da juntamente com se para cada int
inteiro
i com , exista um inteiro r(i) tal que xi = yr(i) e tal que ti = sj para algum j
com . Falando de uma maneira mais simples, um refinamento
de uma partição de etiqueta pega uma partição inicial e adiciona mais etiquetas, mas isto
não chega a lugar algum.
44
Nos podemos definir uma ordem parcial um subconjunto de todas as etiquetas de
partição significando que uma etiqueta de partição é maior do que outra se a maior é um
Página
refinamento da menor.

46. Soma de Riemann
Escolha uma função válida para números reais f a qual se encontra definida no intervalo
[a,b]. A Soma de Riemann de f com respeito a partição denominada com
é:
Cada termo na soma é o produto do valor da função em um ponto dado e o
comprimento do intervalo. Consequentemente, cada termo representa área de um
retângulo com a altura f(ti) e o comprimento xi + 1 − xi. A soma de Riemann é a área
sinalizada de todos os retângulos.
A integral de Riemann
Grosseiramente falando, a integral de Riemann é o limite da soma de Riemann com uma
função de partição que se afine cada vez mais. Contudo, o significado preciso a cerca do
que significa "cada vez mais fino" é o mais importante.
Um fato importante é que a malha de partição deve ser tornar menor e menor, até que
seu limite atinja zero. Se isto não for assim, então não poderemos ter uma boa
aproximação para esta função em certos intervalos. De fato, isto é suficientemente bom
mação
para definir uma integral. Para ser especifico, nos dizemos que a integral Riemann de f
se igualara a S se as seguintes condições foram consideradas:
Para todo ε > 0, onde exi
, exista δ > 0 tal que para qualquer partição etiquetada
e onde a malha seja menor que δ, nos temos:
,
Contudo, existe um problema desagradável com esta definição: ela é muito difícil para
se trabalhar. Então faremos uma definição alternativa para a integral de Riemann a qual
seja mais fácil para se trabalhar, então se prova que esta é a mesma definição que a
original. Nossa nova definição diz que a integral de Riemann de f é igual a s se as
seguintes condições foram consideradas:
Para todo ε > 0, existe uma p
, partição etiquetada e tal
que para qualquer refinamento e de e
, nos teremos
45
Página

47. Ambos eventualmente significam, a soma de Riemann de f com respeito para qualquer
partição que seja selecionada que leve a se aproximar de s. Desde que isto seja verdade,
.
não importa a proximidade que necessitamos que esta soma ira assumir, nos diremos
ão
que a soma Riemann convergira para s. Esta definição é sempre um caso especial de um
.
conceito mais geral, uma rede
rede.
Como nos estabelecemos antes, estas duas definições são equivalentes. Em outras
palavras, s funciona na sua primeira definição se e somente se s funciona na sua
segunda definição. Para mostras que a primeira definição implica na segunda, iniciamos
a
com um ε, e escolhemos um δ que satisfaça a condição. Escolha qualquer partição
,
etiquetada onde a malha é menor que δ. Esta soma Riemann é em dentro ε de s, e
.
qualquer refinamento desta partição ira também ter uma grade menor que δ, então a
ento
soma de Riemann dos refinamentos ira também estar em ε de s. Para mostrar que a
.
segunda definição implica na primeira, isto é facilitado com uso da integral Darboux
Darboux.
Primeiro mostraremos que a segunda é equivalente a definição da integral Darboux
Darboux,
para isto veja a integral. Agora nos iremos mostras que a função de integração de
Darboux satisfaz a primeira definição. Escolha a partição tal que o limite
inferior e superior da soma de Darboux com respeito a esta partição esteja em dentro
do valor s da integral de Darboux. Seja r igual , onde Mi e mi são
o supremum e infimum, respectivamente, de f em [xi,xi + 1], e sendo δ menor que
, e
. Então não é difícil de mostrar que a soma de Riemann de f com
respeito de qualquer partição etiquetada da grade menor que δ ira estar em dentro de
da maior ou menor soma de Darboux, então isto estará em dentro de ε de s.
46
Página

48. ANEXO 6
Integral de Lebesgue
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Lebesgue)
A integral de uma função positiva
pode ser interpretada como a
área sob a curva do gráfico
Em matemática a integral de Lebesgue é uma generalização do conceito de integral de
Riemann. Originalmente definida para funções , a integral de Lebesgue
apresenta diversos vantagens em relação à integral de Riemann sobretudo em relação a
processos de limite. De fato, não existem versões à Riemann de teoremas como o
teorema da convergência monótona, teorema da convergência dominada e o lema de
Fatou.
A integral de Lebesgue é, no entanto, uma construção matemática generalizável para
funções definidas em um espaço de medida assumindo valores reais ou complexos, ou
mesmo, em um espaço de Banach geral.
Índice
• 1 Construção
o 1.1 Funções
positivas
o 1.2 Funções reais
• 2 Propriedades
• 3 Comparação com a
integral de Riemann
• 4 Ver também
Construção
Existem diversas possíveis construções para integral de Lebesgue, seguiremos aqui um
método baseado na exaustão por funções simples.
47
Página
Considere, então, um espaço de medida.