1. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 1
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể
nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí
hiệu:  lim 0 hay u 0 khi n + .nunn
   

b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực
(n  ), nếu  lim 0.n
n
u a

  Kí hiệu:   nlim hay u khi n + .n
n
u a a

   
 Chú ý:    lim limn n
n
u u

 .
2. Một vài giới hạn đặc biệt.
a) *
k
1 1
lim 0 , lim 0 , n
n
  ¢
n
b)  lim 0n
q  với 1q  .
c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c.
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số.
a) Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : *
nv nn nu w   ¥ và
     nlim lim lim un nv w a a    .
b) Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:
     lim lim limn n n nu v u v a b    
 lim . lim .lim .n n n nu v u v a b 
 
 
 *
n
lim
lim , v 0 n ; 0
lim
nn
n n
uu a
b
v v b
     ¥
   lim lim , 0 ,a 0n n nu u a u   
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với 1.q 
1
lim lim
1
n
u
S
q


5. Dãy số dần tới vô cực:
a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực  nu   khi n dần tới vơ cực  n   nếu un lớn
hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= hay un  
khi n  .
CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN
CHỦ ĐỀ 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

2. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 2
b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  khi n   nếu lim nu  .Ký hiệu:
lim(un)=  hay un  khi n  .
c) Định lý:
o Nếu :    *
nlim 0 u 0 , nnu    ¥ thì
1
lim
nu
 
o Nếu :  lim nu   thì
1
lim 0
nu

B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
1. Giới hạn của dãy số (un) với
 
 n
P n
u
Q n
 với P,Q là các đa thức:
o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số
và mẫu số cho nk
để đi đến kết quả :   0
0
lim n
a
u
b
 .
o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk
để đi đến kết quả :lim(un)=0.
o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk
để đi đến kết quả :lim(un)= .
2. Giới hạn của dãy số dạng:
 
 n
f n
u
g n
 , f và g là các biển thức chứa căn.
o Chia tử và mẫu cho nk
với k chọn thích hợp.
o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
C. CÁC VÍ DỤ.
1.
2
2 2 2
22
22
3 2 5 2 5
3
3 2 5 3
lim lim lim
1 87 87 8 77
n n
n n n n n
n nn n
n nn
 
 
 
 
    
2.
2
2 2
11 4
1 4
1 4 1 4 5
lim lim lim
3 2 23 2 3 33
n n
n n nn
nn
n n
 
 
  
   
 
3.     2 2
2 2
2
2 2
2 3 2 3 2 3
lim 2 3 lim lim
2 3 2 3
n n n n n n n n n
n n n
n n n n n n
        
    
     
2
22
3
2
2 3 2 3 2
lim lim lim 1
1 12 32 32 3 1 11 1
n n n
n n n
n
n nn n

 
    
         
 
2
2 3n n n   là biểu thức liên hợp của 2
2 3n n n  

3. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 3
4.
 1
1 1 1 1 1 2
1 ... ... .
12 4 8 2 3
1
2
n
     
               
         
 
Tổng của cấp số nhân lùi vô
hạn có công bội
1
2
q   và số hạng đầu u1=1.
5.
3
3 3 2 3
22
2 33
2 1 2 1
1
2 1
lim lim lim
1 1 32 32 3
n n
n n n n n
n nn n
n n nn
 
 
 
   
    
.
6.  
   
 
2 233 3 3 33
3 3
2 233 33
2 2 2.
lim 2 lim
2 2.
n n n n n n
n n
n n n n
       
   
   
   
   
3 3
3 3
2 22 23 33 3 3 33 3
2 2
lim lim
2 2. 2 2.
n n n n
n n n n n n n n
   
 
       
 
2 233 33
2
lim 0
2 2.n n n n
 
   
D. BÀI TẬP
1. Tìm các giới hạn:
a)
2
2
7
lim
5 2
n n
n


b)
2 1
lim
2
n
n


c)
2
2
3 1
lim
4
n
n


d)
3
3
6 3 1
lim
7 2
n n
n n
 

e)
2
3
2 4
lim
7 2 9
n n
n n
 
 
f)
2
2
2
lim
4 2
n
n


g)
33
8 1
lim
2 5
n
n


h)  2
lim 2 3n n n  
i)  lim 1n n 
2. Tìm các giới hạn sau:
a) 2
1 2 3 4 ...
lim
3
n
n
    

b)
   5sin 7cos
lim
2 1
n n
n


3. Tìm các giới hạn sau:
a)
2 2
3 1 1
lim
n n
n
   b)  3 23
lim 2n n n 

4. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 4
c)  2 2
lim 1 2n n  
d)
2 3 4
2 3 4
1 ...
lim a 1, b 1
1 ...
n
n
a a a a a
b b b b b
     
 
     
e)
3
4 2
2
lim
3 2
n
n n 
f)
 
  12
1
lim
2 1
n
n
n
n

 
 
g)  2 4
lim 1 3 1n n n   
h)
2 63
4 2
1
lim
1
n n
n n
 
 
i)
  
  
2 1 3
lim
1 2
n n n
n n
 
 
j) 2 2 2 2
1 1 1 1
lim 1 1 1 ... 1
2 3 4 n
     
        
     
k)
2 2 2
1 1 1
lim ...
1 2n n n n
 
   
   
4. Tìm tổng các cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a)
3
2
2 11 1
lim
2
n n
n
 

b)
2 2
1
lim
2 4n n  
c)  3 23
lim n n n n  
  
________________________________________________________________________________
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là
L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn  a , *
n ¥ mà lim(xn)=a đều có
lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:  lim
x a
f x L

    .
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b) Định lý 2:Nếu các giới hạn:    lim , lim
x a x a
f x L g x M
 
        thì:
       lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
              
       lim . lim .lim .
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
           
 
 
 
 
lim
lim , M 0
lim
x a
x a
x a
f xf x L
g x Mg x



  
  
  
CHỦ ĐỀ 2 :GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

5. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 5
     lim lim ; 0, 0
x a x a
f x f x L f x L
 
     
c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a),
g(x)f(x)h(x) ,x K x a   và      lim lim lim
x a x a x a
g x h x L f x L
  
              .
3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có
lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu:  lim
x a
f x

     .
b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) =  đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L
khi x dần tới vô cực, kí hiệu:  lim
x
f x L

    .
c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a *
n ¥ , thì ta
nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :  lim
x a
f x

   . Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số
(xn), xn < a *
n ¥ thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu:  lim
x a
f x

  
B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
1. Giới hạn của hàm số dạng:
 
 
0
lim
0x a
f x
g x
 
 
 
o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2
.
o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
2. Giới hạn của hàm số dạng:
 
 
lim
x
f x
g x
 
 
 
o Chia tử và mẫu cho xk
với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x   thì coi như x>0, nếu
x  thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
3. Giới hạn của hàm số dạng:      lim . 0.
x
f x g x

    . Ta biến đổi về dạng:
 
 
 
4. Giới hạn của hàm số dạng:      lim -
x
f x g x

   
 
o Đưa về dạng:
   
   
lim
x
f x g x
f x g x


C. CÁC VÍ DỤ
1.
   
 
22
2
2 3 2 23 2 12
lim 3
2 2 2 4x
x x
x
    
    
  
2.
  
 
2
2 2 2
2 13 2
lim lim lim 1 2 1 1
2 2x x x
x xx x
x
x x  
  
     
 
.Chia tử và mẫu cho (x-2).

6. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 6
3.
   
   
  
  23 3 3
1 2 1 2 3 3 1 4 3 31 2
lim lim lim
3 3 3 3 1 2 3 3 3 3 1 2x x x
x x x x xx
x x x x x x  
        
 
       
  
  
 
 
 
 3 3
3 3 3 3 3 3.3 3 6 1
lim lim
12 23 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2x x
x x x
x x x 
   
    
      
4.
2
3
3 1
lim
3x
x x
x
 
 

(vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể:
2
3
2
3
3 1
lim
3
3 1
lim
3
x
x
x x
x
x x
x




  
  

   
 
5.
  
   
 
  
2 23 2
23 21 1 1
1 2 1 2 12 1
lim lim lim
4 5 2 1 21 2x x x
x x x x xx x
x x x x xx x  
     
   
     
.
6.
2
2 2 2
22
22
2 3 1 3
2
2 3 2
lim lim lim 2
111 11
x x x
x x
x x x x x
xx
xx
  
 
 
 
   
 
7.
1
lim 1 0
x
x

 
8.
2 2
2
1
1
1 1
lim lim lim 1 1
x x x
x
x x
x x x  


   
9.
2 2 2
2
1 1
1 1
1 1
lim lim lim lim 1 1
x x x x
x x
x x x
x x x x   
    
        
 
.
10.Cho hàm số :  
 
 
2
3 x 1
x+a
x>1
x
x x
f x
   

 


. Tìm a để hàm số có giới hạn khi x dần tới 1 và
tìm giới hạn đó.
Giải
Ta có :    2
1 1
lim lim 3 3
x x
f x x x 
 
       .
 1 1
lim lim 1
x x
x a
f x a
x 
 

     
Vậy  1
lim 3 1 3 2
x
f x a a

        

7. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 7
11.
  
 
23
2
2 2 2
2 2 48
lim lim lim 2 4 12
2 2x x x
x x xx
x x
x x  
  
    
 
. Dạng
0
0
 
 
 
.
12.
3
3 3 2 3
33
33
2 1 2 1
1
2 1 1
lim lim lim
12 12 1 22
x x x
x x
x x x x x
xx
xx
  
 
 
 
  
 
. Dạng
 
 
 
.
13.  
 
 2
2
2
2
3 3 33 3 3
2
2 3 1
2 3 12
lim 3 1 lim lim
. 1 . 1 . 1x x x
x x
x x xx x
x x x x x x
x
  
 
  
    
   
2
3
3
1 1
2 3
6
lim 6
11
1
x
x x
x

 
  
   

14.     2 2
2 2
2
2 2
3 3 3
lim 3 lim lim
3 3x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x  
        
    
     
2 2
2
3 3
1
3 1
lim lim lim
21 33 3 1 1
x x x
x
x x x
x x x x x x
x xx
  



   
        
.
Dạng     .
D. BÀI TẬP.
1. Tìm các giới hạn sau:
a)  3 2
0
lim 4 10
x
x x

 
b)  2
3
lim 5 7
x
x x


c)
2
1
5
lim
5x
x
x


d)
2
3
2 15
lim
3x
x x
x
 

e)
2
21
2 3 1
lim
1x
x x
x
 

f)
3 2
1
1
lim
1x
x x x
x
  

g)
4 4
lim
x a
x a
x a


h)
2
7
3 3
lim
2x
x x
x
 


8. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 8
2. Tìm các giới hạn :
a)
2
0
1 1
lim
x
x x x
x
   
b)
2
2
lim
4 1 3x
x x
x
 
 
c)
3
0
1 1
lim
3x
x
x
 
d)
3
21
1
lim
3 2x
x
x

 
e)
 
2
22
3 2
lim
2x
x x
x
 

f)
2
3 21
2 3 1
lim
1x
x x
x x x
 
  
g)
2
3
4 3
lim
3x
x x
x
 

h)
 
6 5
21
4 5
lim
1x
x x x
x
 

i)
3
22
8 11 7
lim
3 2x
x x
x x
  
 
3. Tìm các giới hạn sau:
a)
2
2
3 5 1
lim
2x
x x
x
 

b)
   
 
2 2
4
1 . 7 2
lim
2 1x
x x
x
 

c)
  
  
2
3
2 1 5 3
lim
2 1 1x
x x
x x
 
 
d)  2
lim 4
x
x x x

 
e)
   
2
sin 2 2cos
lim
1x
x x
x x

 
.
4. Tìm giới hạn bên phải, bên trái của hàm số f(x) tại x=x0 và xét xem  0
lim
x x
f x

   có tồn
tại không trong các trƣờng hợp sau:
a)  
 
 
2 1
x>1
5 3 x 1
x
xf x
x


 
  
tại x0 = 1
b)  
 
 
2
2
2
x>1
1
1 x 1
x x
f x x
x x
  

 
   
tại x0 = 1
c)  
 
 
2
4
x<2
2
1 2 x 2
x
f x x
x
 

 
  
tại x0 = 2
d)  
3
2
3 2
5 4
x x
f x
x x
 

 
tại x0 = 1

9. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 9
5. Tìm các giới hạn:
a)  2
lim 5
x
x x x

  
  
b)  2
lim 3
x
x x x

  
________________________________________________________________________________
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng:
o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0  (a;b)
nếu:    0
0lim
x x
f x f x

    .Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm
số.
o f(x) xác định trên khoảng (a;b)
liên tục tại điểm x0  (a;b)        00 0
0lim lim lim
x xx x x x
f x f x f x f x   
              .
o f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi
điểm thuộc khoảng ấy.
o f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên
khoảng (a;b) và
   
   
lim
lim
x a
x b
f x f a
f x f b




    

    
2. Một số định lý về hàm số liên tục:
o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì:        
 
 
  , . , 0
f x
f x g x f x g x g x
g x
 
cũng liên tục tại x0 .
o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của
chúng.
o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa
GTLN và GTNN trên đoạn đó.
 Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c(a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
1. Xét tính liên tục của hàm số dạng:  
   
 
0
0
x x
a x=x
g x
f x
 
 

o Tìm  0
lim
x x
g x

   .Hàm số liên tục tại x0  0
lim
x x
g x a

    .
HÀM SỐ LIÊN TỤC

10. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 10
2. Xét tính liên tục của hàm số dạng:  
   
 
   
0
0
0
x<x
x=x
x>x
g x
f x a
h x


 


o Tìm :
   
   
 
0 0
0 0
0
lim lim
lim lim
x x x x
x x x x
f x g x
f x g x
f x
 
 
 
 
       


       



. Hàm số liên tục tại x = x0
     
0 0
0lim lim
x x x x
f x f x f x a 
 
          .
3. Chứng minh phƣơng trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).
o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].
o Chứng tỏ f(a).f(b)<0
Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).
Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0 có
hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có
nghiệm.
C. CÁC VÍ DỤ.
1. Cho hàm số:  
 
 
2
1
x 1
1
a x=1
x
f x x
 

 


a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số
tại x0 = 1.
Giải
Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có f(1) = a.
  
 
2
1 1 1
1 11
lim lim lim 1 2
1 1x x x
x xx
x
x x  
 
   
 
Nếu a=2 thì hàm số liên tục tại x0 = 1.
Nếu a  2 thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1.
2. Cho hàm số:  
 
 
2
1 x 0
x x 0
x
f x
  
 

. Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0.
Giải
Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có f(0) = 0

11. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 11
 
     
0 0
2
0 0 0 0
lim lim 0
lim lim 1 1 0= lim lim
x x
x x x x
f x x
f x x f x x
 
   
 
   
    
          
.
Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0.
3. Cho hàm số:  
 
 2
2 x 1
x +x-1 x 1
ax
f x
  
 

. Xét tính liên tục của hàm số trên toàn
trục số.
Giải
x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục.
x <1 ta có f(x) = x2
+x-1 hàm số liên tục.
Khi x = 1:
Ta có f(1) = a+2
   
   
1 1
2
1 1
lim lim 2 2
lim lim 1 1
x x
x x
f x ax a
f x x x
 
 
 
 
      
      
.
Hàm số liên tục tại x0 = 1 nếu a = -1.
Hàm số gián đoạn tại x0 = 1 nếu a  -1.
Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1.Hàm số liên tục trên    ;1 1;   nếu
a  -1.
D. BÀI TẬP
1. Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục thì chỉ ra
các điểm gián đoạn.
a) f(x) = x3
– 2x2
+ 3x + 1
b)   2
2 1
3 2
x
f x
x x


 
c)  
2
2
5 6
2
x x
f x
x x
 


d)  
 
 
2
16
x 4
4
8 x=4
x
f x x
 

 


2. Cho hàm số:  
 
 
2
x 2
3 x>2
ax
f x
 
 

a là hằng số . Tìm a để f(x) liên tục tại mọi x,
khi đó hãy vẽ đồ thị của hàm số.
3. Chứng minh rằng phƣơng trình:
a) 3x2
+2x-2=0 có ít nhất một nghiệm
b) 4x4
+2x2
-x-3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (-1;1).
c) x3
-3x+1=0 có ba nghiệm phân biệt.
d) x4
-x-3=0 có một nghiệm thuộc (1;2).
e) 2x3
-6x+1=0 có ba nghiệm thuộc đoạn [-2;2].
4. Xác định a để các hàm số sau liên tục trên R:

12. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 12
a)  
 
 
3
3 2
x>2
2
1
x 2
4
x
xf x
ax
 
  
  

b)  
 
 
1 x<0
x 0
f x
x a

 
 
5. Xét tính liên tục tại x0 của các hàm số f(x) trong các trƣờng hợp sau:
a)  
 
 
1 2 3
x 2
2
1 x 2
x
f x x
  

 
 
tại x0 = 2
b)  
 
 
3 2
-x +2x-2
x 1
1
4 x 1
x
f x x


 
 
tại x0 = 1.
c)  
 
 
 
 
2
2x -x-6
x 3 0
3
x 0
x=3
x
x x
f x a
b

  

 



tại ại x0 = 0 và tại x0 = 3.
Sở GD&ĐT Phú Yên ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 11
Trường THPT Trần Suyền ( Chương IV: Giới hạn
Câu1:(5 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
nn
nn


3
3
2
126
lim b)
82
7
lim
4 


 x
x
x
c)
1
25
lim
1 

 x
x
x
d)  2
lim
x
x x x

  e)
3
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
  
f) )753lim( 23
 nn
Câu 2:(3 điểm)
Cho










2,1
2,
2
65
)(
2
nêuxmx
nêux
x
xx
xf .Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 2ox .
MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA CHƢƠNG
GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11

13. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 13
Câu 3: (2 điểm) Chứng minh rằng phương trình :
0354
 xx có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2;0).
ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƢƠNG 4
MÔN: ĐẠI SỐ 11NC( Năm học : 2010-2011)
Câu 1: (6 điểm) Tìm các giới han sau:
a)
4 5
lim
2 3
n
n


b)  7 5
lim 3 5 7 4
x
x x x

   c)
3
2 1
lim
3x
x
x



d)
2
3
3 11 6
lim
3x
x x
x
 

e)  2
lim 2
x
x x x

  f)
3
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
  
Câu 2: (3điểm) Cho hàm số:










2,3
2,
2
2107
)(
xmx
x
x
x
xf , Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2.
Câu 3:( 1điểm) Cho phương trình:  4 2010 5
1 32 0m m x x     , m là tham số
CMR phương trình trên luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m
Đề 01
Bµi 1: TÝnh  2
lim 2 5
x
x


Bµi 2: T×m c¸c gíi h¹n sau:
a)
2
3
3 4
lim
2 5
n n
n n




b)
2 3
lim
5
n
n


c)
2
2 1
lim
3 2x
x x x
x
  

d) 22
2
lim
3 2x
x x
x x
 
 
e)  2
lim 2 1 4 4 2
x
x x x

    f)
6
sin
6
lim
3 2 osxx
x
c


 
 
 

Bµi 3:XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè sau trªn tËp x¸c ®Þnh cña nã
y = f(x) =
2
2 , 1
, 1
x x x
x a x
  

 
, víi a lµ tham sè.
Bµi 4: Chøng minh r»ng ph-¬ng tr×nh x3
– 3x + 1 = 0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt trong kho¶ng (-2 ;
2).
Đề 02
Câu 1:Tính các giới hạn sau:
a)
3 5
lim
4 7
n
n


b)
2
3
2 3 7
lim
9 2
n n
n n
 
 
Câu 2:Tính các giới hạn sau

14. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 14
a) 3 2
5
lim( 5 10 8)
x
x x x

   b)
3 2
22
2 8
lim
3 2x
x x x
x x
  
 
c)
2
5 2
lim
2 1x
x x
x
 

d) 2
lim ( 3 1 3)
x
x x

  e)
3 3
2
4 3 4
lim
9 5 1 4x
x x x
x x x
  
  
Câu 3: a) Tìm số thực a sao cho hàm số
2
3
1 1
0
1 1( )
1
0
2
x
v i x
xf x
a v i x
  

   

 
í
í
Liên tục trên ¡
b) Chứng minh rằng phương trình: sin 1 0x x   có nghiệm.
Đề 03
Câu 1: Tính giới hạn:
a.
3
2
3 5 7
lim
2
n n
n
 
 
b.  2
lim 4 5n n n  
Câu 2:Tính các giới hạn sau:
a) 2
lim (3 5 7)
x
x x

  b) 21
2 1
lim
3 4x
x
x x

 
c) 3 3
lim ( 1 )
x
x x

 
d)
2
23
9
lim
2 7 3x
x
x x

 
e,
2
4 2 1 3 1
lim
3 5x
x x x
x
   

Câu 3:a) Tìm a để hàm số sau liên tục với mọi x  R
3
3 2 2
2
2( )
1
a + 2
4
x
v i x
xf x
x v i x
  
  
 

í
í
b) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm:
3
2 10 7 0x x  
Đề 04
C©u 1: TÝnh :
a) 2
lim 1
1
n
n
 
 
 
b)
1
lim
1n n 
c)
2
1
3 5 2
lim
1x
x x
x
 

d)
2
1
2
lim
1x
x
x



e) 2
2 3
lim
2 3x
x
x


. f)
3
20
1 os2x
lim
sinx
c
x

C©u 2: T×m sè thùc a sao cho hµm sè:
 
 
3
3 2
;x 1
1
1-a ; x=1
x x
f x x
x
  

 


liªn tôc trªn R

15. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 15
C©u 3: Chøng minh r»ng ph-¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m:
 2 5
1 3 1 0m x x   
C©u 4: T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè
1
1
1
2
1
2
n n
u
u u



 

. Khi ®ã tÝnh : limUn
Đề 05
Câu 1: Tính giới hạn:
a)
3
2
9 5 7
lim
2
n n
n
 
 
b)  2
lim 2 1 2n n n   
Câu 2: Tính các giới hạn sau:
a) 2
lim ( 3 5 7)
x
x x

   b) 21
12 1
lim
3 4x
x
x x

 
c) lim ( 4 1 4 5)
x
x x

  
d)
2
2
3
9
lim
2 7 3x
x
x x


 
e)
   
 
2 2
3
2 1 . 5 2
lim
3 2 ( 1)x
x x
x x
 
 
Câu 3:a) Tìm a để hàm số sau liên tục với mọi x  R
3
3 2 2
2
2( )
1
a + 2
4
x
v i x
xf x
x v i x
  
  
 

í
í
b) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m:
6 5 4 3 2
(2 3 ) 3 7 0x mx x mx m x m m        
Đề 06
Bµi 1. T×m c¸c giíi h¹n sau:
1. 2
2
lim
3 3 ... 3
n
nn   
2. 21
1 2
lim
1 1x
x
x x
 
 
  
3.
4
2 33
. 1
lim
1 . 1x
x x
x x

 
4.  2
lim 1
x
x x x

   5.
3
3
5 3 4 2
lim
3x
x x x
x

    

.
Bµi 2 . XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè sau trªn tËp x¸c ®Þnh cña nã: f(x) =
2
2 5 3
, 3
3
7 , 3
x x
x
x
a x
  


  
.
Bµi 3. Chøng minh ph-¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt ba nghiÖm: x5
= 5x + 1.
Đề 07
Bµi 1. T×m c¸c giíi h¹n sau:

16. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 16
1.
2
1
lim
1 3 ... (2 1)n
n
n

   
2. 31
3 1
lim
1 1x x x
 
 
  
3. lim 1
2x
x
x
x
 
 
 
4.
5
31
1
lim
1x
x
x


5.
3
2
3 2 3 3 1
lim
2x
x x x
x

    

.
Bµi 2. XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè sau trªn tËp x¸c ®Þnh cña nã:
f(x) =
2
3 2 16
, 2
2
2 , 2
x x
x
x
x
  
 

 
.
Bµi 3. Chøng minh ph-¬ng tr×nh sau cã ba nghiÖm ph©n biÖt: 2x3
+ 1 = 5x.
Đề 08
Bµi 1. T×m c¸c giíi h¹n sau:
1.  2
lim 3
n
n n n

  2.
2
3 2
lim
2 2x
x
x x x

  
3.
2
41
2 1
lim
x
x x x
x x
   

4.
2 33 3
0
1 1
lim
x
x x x
x
   
5.
3
2
4 6
lim
2x
x x
x
 

.
Bµi 2 . XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè f(x) =   2
1 6
; 2
2 2 2
3 ; 2
x
x x x
x

     
  
t¹i ®iÓm x = –2.
Bµi 3 . Chøng minh ph-¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: sin x + 1 = x2
– x.
Đề 09
Bµi 1. T×m c¸c giíi h¹n sau:
1.  2
lim 2 2
n
n n n

  2.
2
2 2
lim
2 3x
x x x
x
  

3.
2
41
2 1
lim
x
x x x
x x
   

4.
2 33 3
0
1 1
lim
x
x x x
x
   
5.
3
2
4 2
lim
2x
x x
x
 

. 6)
0
1 osx
lim
sinx.sin2xx
c


Bµi 2 . XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè f(x) =   2
1 6
; 2
2 2 2
2 ; 2
x
x x x
x

    
 
t¹i ®iÓm x = 2.
Bµi 3 . Chøng minh ph-¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: cos x + 1 = x2
+ x.
Đề 10
C©u 1. T×m c¸c giíi h¹n sau
a)
2
2
lim
11 3x
x
x

 
b)
2
2
3 2
lim
2x
x x
x
 

c)
2
3 5
lim
2 4x
x
x



d)  3 2
lim 5 2 1
x
x x x

    e)  2
lim 3 2
x
x x x

    f)
3
2sinx- 3
lim
2cosx-1x



17. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 17
Câu 2. Tính tổng S = 9 + 3 + 1 +…+ 3
1
3n
+ ….
Câu 3 Phương trình sau: 3 2
3 4 7 0x x x    có nghiệm hay không trong khoảng ( -4;0)
Câu 4. Xét tính liên tục của hàm số sau trên R








4
1
2
)(
2
x
xx
xf
Đề 11
C©u 1. T×m c¸c giíi h¹n sau:
a) 
 
0
1 2 1
lim
2x
x
x
b)
2
2
3 2
lim
2x
x x
x
 

c)
3
4
lim
3x
x
x



d) 3 2
lim (3 2 1)
x
x x x

   e)
3 3 2
2 1
lim
5 1x
x x x
x
  

d)
2
2
2
sinx- 1+cos
lim
osx
x
c x

Câu 2.Tính tổng S =
1 1 1 1
..... ..
2 4 8 2n
    
Câu 3. Chứng minh phương trình sau : x3
- 3x - 1 = 0 có 2 nghiệm
Câu 4.Xét tính liên tục của hàm số sau 2
1 os2x
; 0
( ) sin
osx ;x<0
c
x
f x x
c
 

 


ĐỀ SỐ 12:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a)
3 2
3
3 1
lim
1 2 2
n n
n n
 
 
b)
2 4
3 3
( 1) (2 1)
lim
(2 3) .
n n
n n
 

c)
1 2
2
2 3.4 1
lim
3 2.4 2
n n
n n
 

 
 
Câu 2:Tính các giới hạn sau:
a)
2
21
2 5 3
lim
1x
x x
x
 

b)
2
3
2 1
lim
3x
x x
x

 

c) 2
lim ( 4 2 1 2 )
x
x x x

   d)
2
2
lim
3 4 1x
x x
x
 
 
Câu 3: a.Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập  0;3
 
9
ê 3
2 3( )
5 ê 3
x
n u x
xf x
x n u x


 

 
b.Chứng minh rằng phương trình 3
3 1 0x x   có ít nhất 2 nghiệm, trong đó có một nghiệm:
5
0 3x 
ĐỀ SỐ 13:
Câu 1:Tính các giới hạn sau:
a.
4
2 4
2 1
lim
2 3 2
n n
n n
 
 
b.
3 3
4 2
(2 1) ( 1)
lim
(1 2 ) .( 2)
n n
n n
 
 
c.
1 2
1 1
2 3.2 3.4
lim
4 2.3 1
n n
n n
 
 
 
 
Câu 2:Tính các giới hạn sau:
Nếu x 1
Nếu x= -1

18. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 18
a)
2
21
3 4 7
lim
1x
x x
x
 

b.
2
1
2
lim
1x
x x
x

 

c. 2
lim ( 1 )
x
x x x

   d.
1
3 1 2
lim
1x
x x
x
 

e) 20
1 osx
lim
sin xx
c


Câu 3:Định a để hàm số liên tục trên  2;  biết :  
3
2 3 2
; 2
2
ax+1 ;x=2
x x
x
f x x
   

  


a) Chứng minh rằng phương trình 3
3 1 0x x   có ít nhất 2 nghiệm.
Trường THPT Nguyễn Du ĐỀ KT 1 TIẾT CHƢƠNG IV(Đại số nâng cao 11) Đề A
Tổ : Toán-Tin
Câu 1: Tính các giới hạn sau :
a)
2
1
3 2 7
1lim
x
x x
x
 

b)
2
2
2 5 2
62
lim
x x
x xx
 
 
c)
3
1
2
1limx
x x
x
 

d)
54
1
2 1 2
1limx
x x
x
  

Câu 2: Cho f(x) =
2
4 2
3 2
x> 1
1
3 2 x 1
x x
khi
x
m m khi
  


  
Tìm m để hàm số liên tục tại xo =1 .
Câu 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm trong (-1;2) : 5 2
3 2 3 0x x mx   
Trường THPT Nguyễn Du ĐỀ KT 1 TIẾT CHƢƠNG IV(Đại số nâng cao 11) Đề B
Tổ : Toán-Tin
Câu 1: Tính các giới hạn sau :
a)
3
2
66
2limx
x x
x
 

b)
2
2
2
3 5 2
6limx
x x
x x
 
 
c)
2
1
3 2 7
1lim
x
x x
x

 

d)
5 6
1
4 5 4 3
1limx
x x
x
  

Câu 2: Cho f(x) =
2
4 2
3 4
x> 1
1
4 x 1
x x
khi
x
m m khi
  


  
Tìm m để hàm số liên tục tại xo =1
Câu 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc ( 2;1) : 5 2
2( 1) 3 0x m x mx    
Trường THPT Nguyễn Du ĐỀ KT 1 TIẾT CHƢƠNG IV(Đại số nâng cao 11) Đề C
Tổ : Toán-Tin
Câu 1: Tính các giới hạn sau : a)
3
2
66
2limx
x x
x
 

b)
2
2
2
3 5 2
6limx
x x
x x
 
 
c)
2
1
3 2 7
1lim
x
x x
x

 

d)
5 6
2
0
cos os
sinlimx
x c x
x

e)
sin(2013 )
lim
sin(2012 )x
x
x

19. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 19
Câu 2: Cho f(x) =
2
4 2
3 2
x> 1
1
3 2 x 1
x x
khi
x
m m khi
  


  
Tìm m để hàm số liên tục tại xo =1
Câu 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc ( 2;1) : 5 2
2( 1) 3 0x m x mx    
Ñeà 1:
Baøi 1:Tìm giôùi haïn cuûa haøm soá:
a)
2
2
2
3 5 2
lim
4 4x
x x
x x

 
 
b) 24
3 5
lim
6 8x
x
x x
 
 
;
c)  7 5
lim 3 5 7 4
x
x x x

   ; d)  2
lim 2
x
x x x

 
Baøi 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên tập xác định
2
6
2
( ) 2
2 2
x x
vôùi x
f x x
x m vôùi x
  

  
  
Baøi 3: Chöùng minh phöông trình sau coù ít nhaát 2 nghieäm: x5
+6x4
-1=0
ĐỀ KIỂM TRA
Câu 1 (3điểm):Tính giới hạn của các dãy số sau:
2 2 3
4 52
3 3
2 (2n 3)(5 2)
)lim b)lim
1 3 54 2
)lim( 1 )
n n n n
a
n nn n n
c n n
   
  
 
Câu 2(3điểm) :Tính giới hạn của các hàm số sau:
3
2
0
3 2
5 4 2
2 2
1 2x 1 3x
lim
-6x +7x 4x +3
) lim
8x 5x 2x 1
b) lim ( 4 )
)
x
x
x
x
a
x x x
c



  

  
  
Câu 3(4điểm ):
a) Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 2
2x+5 3
nêu x >2
2( )
x
- nêu x 2
6
xf x
 
  
 


20. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 20
b) Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
2
2 ( 1) ( 2) 2x-3=0m x x  
ĐỀ KIỂM TRA CHƢƠNG GIỚI HẠN. ĐỀ 01
Câu 1. (2 điểm). Tính các giới hạn sau:
a)
3 5
lim
4 7
n
n


b)
2
3
2 3 7
lim
9 2
n n
n n
 
 
Câu 2. (4 điểm). Tính các giới hạn sau:
a) 3 2
5
lim( 5 10 8)
x
x x x

   b)
3 2
22
2 8
lim
3 2x
x x x
x x
  
 
c)
2
5 2
lim
2 1x
x x
x
 

d)
2
41
2 1
lim
x
x x x
x x
   

Câu 3. (2 điểm). Xét tính liên tục của hàm số sau trên R :
2
x x 2
khi x 1
f(x) x 1
4 khi x 1
  
 
 
  
Câu 4. (2 điểm). Phương trình sau: 3 2
3 4 7 0x x x    có nghiệm hay không trong khoảng ( -4;0)
ĐỀ KIỂM TRA CHƢƠNG GIỚI HẠN. ĐỀ 02
Câu 1. (2 điểm). Tính các giới hạn sau:
a)
2 5
lim
6 1


n
n
b)
2
4
2 1
lim
3 2
 
 
n n
n n
Câu 2. (4 điểm). Tính các giới hạn sau:
a) 3 2
2
lim(5 10 10 8)

  
x
x x x b)
3 2
22
2 8
lim
3 2x
x x x
x x
  
 
c)
2
5 2
lim
2 1
 
x
x x
x
d)
2
41
2 1
lim
x
x x x
x x
   

Câu 3. (2 điểm). Xét tính liên tục của hàm số sau trên R :
2
x x 2
khi x 2
f(x) x 2
3 khi x 2
  

 
 
Câu 4. (2 điểm). Phương trình sau: 3 2
3 4 7 0x x x    có nghiệm hay không trong khoảng ( -4;0)
Câu 1. (2 điểm). Tính các giới hạn sau:
a)
3 5
lim
4 7
n
n


b)
2
3
2 3 7
lim
9 2
n n
n n
 
 
Câu 2. (4 điểm). Tính các giới hạn sau:

21. Giải tích 11 Tài liệu bồi dưỡng tự chọn nâng cao giới hạn của dãy số và hàm số
__________________________________________________________________________
Thầy : Hoàng Thái Việt – trƣờng ĐH BK Đà Nẵng – ĐH SP HN 2017 Trang 21
a) 3 2
5
lim( 5 10 8)
x
x x x

   b)
3 2
22
2 8
lim
3 2
  
 x
x x x
x x
c)
2
5 2
lim
2 1x
x x
x
 

d)
2
41
2 1
lim
x
x x x
x x
   

Câu 3. (2 điểm). Xét tính liên tục của hàm số sau trên R :
2
x x 2
khi x 1
f(x) x 1
4 khi x 1
  
 
 
  
Câu 4. (2 điểm). Phương trình sau: 3 2
3 4 7 0x x x    có nghiệm hay không trong khoảng ( -4;0)