1. MENENTUKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DALAM
BENTUK SISTEM KONSISTEN DAN INKONSISTEN
Dwi Narariah1
ABSTRAK
Sistem persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat
eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan
peubah lain atau dirinya sendiri. Dalam menyelesaikan suatu persamaan linier kita
dapat menemukan bentuk dari sistem persamaan tersebut yaitu sistem persamaan
linier nonhomogen dan sistem persamaan linier homogen perbedaannya yaitu terletak
pada matriks konstanta (G) dari sistem persamaan yang disusun dalam bentuk
matriks, jika pada persamaan linier nonhomogen G bernilai bukan sama dengan nol
(G≠0) sedangkan pada persamaan linier homogen G bernilai sama dengan nol (G=0).
Dari himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan maka dapat ditentukan apakah
persamaan tersebut bersifat sistem konsisten atau inkonsisten. Adapun salah salah
satu metode/cara yang digunakan yaitu metode eliminasi Gauss dan Operasi Baris
Elementer (OBE) dalam bentuk sistem persamaan linier atau matriks.
Kata kunci : sistem persamaan linier (SPL), SPL nonhomogen, SPL homogen, sistem
konsisten, sistem inkonsisten.
PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG
Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang wajib diikuti oleh
siswa mulai dari tingkat sekolah dasar sampai tingkat sekolah menengah bahkan
sampai ke perguruan tinggi. Hal ini disebabkan matematika sangat dibutuhkan dan
berguna dalam kehidupan sehari-hari bagi sains, pedagangan, dan industri. Di
samping matematika menyediakan suatu daya, alat komunikasi yang singkat dan
1
Mahasiswi Prodi Tadris Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Raden Fatah Palembang
1

2. tidak ambigius serta berfungsi sebagai alat untuk mendeskripksikan dan memprediksi
(Jailani dalam Hamzah, 2008: 129).
Dalam kehidupan sehari-hari, perhitungan matematika telah diterapkan dalam
berbagai hal, seperti menentukan harga suatu barang, pengaturan kuota hasil,
contohnya dalam menentukan kestabilan harga BBM, negara-negara anggota OPEC
berusaha mengatur kuota hasil dari pasokan sunber-sumber minyaknya. Keberhasilan
pengaturan initidak akan dapat lepas dari kemampuan OPEC dalam memahami
persamaan linier.
Dari ilustrasi contoh di atas, maka sistem persamaan linier dapat diterapkan
dalam kehidupan sehari-hari. Suatu sistem persamaan linier tidak melibatkan hasil
kali atau akar peubah, semua peubahnya muncul sekali dengan pangkat satu dan tidak
muncul sebagai peubah bebas dari sebuah fungsi trigonometri, logaritma atau
eksponensial (Anton, 2007).
Dalam suatu persamaan linier, kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut
dalam berbagai cara/solusi, namun jika ditinjau dari bentuk matriksnya sistem
persamaan linier dapat dibedakan lagi menjadi sistem persamaan linier nonhomogen
dan sistem persamaan linier homogen, perbedaannya yaitu terletak pada matriks
konstanta (G) dari sistem persamaan yang telah disusun dalam bentuk SPL atau
Matriks, jika pada persamaan linier nonhomogen G bernilai bukan sama dengan nol
(G≠0) sedangkan pada sistem persamaan linier homogeny G bernilai sama dengan nol
(G=0).
Adapun cara/metode yang digunakan oleh penulis yaitu dengan metode Gauss
dan Operasi Baris Elementer (OBE) dalam bentuk SPL atau Matriks. Solusi
penyelesaian Gauss yang dipilih dikarenakan melalui eliminasi Gauss lebih mudah
dalam hal jumlah operasi aritmatika yang lebih sedikit (untuk sistem persamaan yang
lebih besar) hitungan dilakukan dengan komputer.
2

3. Dalam menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier, tidak
semua sistem persamaan linier mempunyai penyelesaian (Anton, 2007 : 23).
Misalnya : x + y = 5 dan 2x + 2y = 6
Jika kita mengalikan persamaan kedua dari sistem dengan akan terbukti
bahwa tidak ada penyelesaian karena sistem ekuivalen yang dihasilkan mempunyai
persamaan yang kontradisi x+y=4
2x + 2y = 6
Sebuah sistem persamaan yang tidak memiliki penyelesaian disebut dengan
sistem inkonsisten sedangkan jika suatu persamaan memiliki penyelesaian disebut
sistem konsisten. Dalam konsisten ada dua jenis yaitu penyelesaian tunggal (unique)
dan banyak penyelesaian (dependen).
Berdasarkan uraian di atas, maka tujuan makalah ini memaparkan sistem
persamaan linier dengan memperhatikan himpunan penyelesaiannya melalui metode
eliminasi Gauss dan Operasi Baris Elementer (OBE), sehingga dapat ditentukan dari
penyelesaian sistem persamaan linier menjadi sistem konsisten atau inkonsisten. Oleh
karena itu dalam makalah ini penulis mengambil judul “MENENTUKAN SISTEM
PERSAMAAN LINIER DALAM BENTUK SISTEM KONSISTEN DAN
INKONSISTEN”.
RUMUSAN MASALAH
Masalah yang akan dibahas pada makalah seminar ini adalah bagaimana cara
menentukan sistem persamaan linier apakah bersifat sistem konsisten atau
inkonsisten ?
3

4. BATASAN MASALAH
Adapun batasan-batasan masalah yang akan diambil pada pembahasan
terhadap rumusan masalah di atas, yaitu menentukan penyelesaian sistem persamaan
linier apakah bersifat sistem konsisten atau inkonsisten dengan menggunakan metode
eliminasi Gauss dan Operasi Baris Elementer (OBE).
TUJUAN
Penulisan makalah seminar matematika ini bertujuan menentukan sistem
persamaan linier apakah bersifat sistem konsisten atau inkonsisten.
4

5. KAJIAN PUSTAKA
SISTEM PERSAMAAN LINIER
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat
eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan
peubah lain atau dirinya sendiri. Persamaan linier adalah Suatu persamaan linier
dengan n peubah x1, x2, … , xn dapat dinyatakan dalam bentuk :
a11x11 + a12x12 + . . . + a1nx1n = b1
a21x21 + a22x22 + . . . + a2nx2n = b2
.
.
.
am1xm1 + am2xm2 + . . . + amnxmn = bm
dimana x1, x2, . . . , xn : bilangan tak diketahui
a,b : konstanta.
Perhatikan contoh sistem persamaan linier berikut :
2x1 – x2 + 2x3 = 7
x1 + 3x2 – 5x3 = 0
- x1 + x3 = 4
Dengan notasi matriks
2 1 2 x1 7
1 3 5 x2 0
1 0 1 x3 4
5

6. A X = G
2 1 2 7
1 3 5 0
1 0 1 4
Contoh 2 :
3x1 – 7x2 + x3 = 0
-2x1 + 3x2 – 4x3 = 0
Dengan notasi matriks :
x1
3 7 1 0
x2
2 3 4
x3 0
A X = G
A= matriks koefisien
X= matriks variabel / peubah
G= matriks konstanta.
6

7. 1. Sistem persamaan linier nonhomogen
Sistem persamaan linier nonhomogen yaitu dimana jika dituliskan
dalam bentuk contoh persamaan di atas akan berbentuk AX = G dengan G ≠
0. Sistem persamaan linier nonhomogen mempunyai solusi atau cara untuk
menyelesaikan suatu persamaan maka akan dibedakan dalam beberapa jenis
yaitu jika suatu persamaan mempunyai penyelesaian disebut sistem konsisten,
dalam sistem konsisten dibedakan lagi menjadi sistem penyelesaian jawab
tunggal (unique) dan sistem dependen (memiliki banyak penyelesaian).
Kemudian sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan sistem
inkonsisten (tidak mempunyai penyelesaian).
2. Sistem persamaan linier homogen.
Sistem persamaan linier homogen yaitu dimana jika dituliskan dalam
bentuk contoh persmaan di atas berbentuk AX = G dengan G = 0. Tiap-tiap
sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena G = 0
selalu merupakan penyelesaian, penyelesaian ini dinamakan penyelesaian
trivial. Jika ada penyelesaian lain yang memenuhi persamaan homogeny
tersebut, maka penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian nontrivial (tak
trivial). Sistem persamaan liner homogen dengan lebih banyak bilangan tak
diketahui (peubahnya) dari pada banyaknya persamaan, selalu mempunyai tak
hingga banyak penyelesaian.
7

8. PEMBAHASAN
STRATEGI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
Metode Gauss
Mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama
(ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang lebih sederhana.
Operasi Baris Elementer (OBE)
Tiga operasi yang mempertahankan penyelesaian SPL
SPL
1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua persamaan sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya.
MATRIKS
1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua baris sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana
sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris.
Contoh penyelesaian dari sistem persamaan linier nonhomogen.
Contoh 1 : Cari penyelesaian dari sistem :
x1 – 2x2 + x3 = -5……………... (i)
3x1 + x2 – 2x3 =11…………….. (ii)
-2x1 + x2 + x3 = -2…………….. (iii)
8

9. Penyelesaian :
1) ELIMINASI MAJU
ELIMINASI X1 DALAM (2) DAN (3)
1 2 1 5 Baris (i) dikalikan 3 dikurang baris (ii)
3 1 2 11
2 1 1 2
1 2 1 5
Baris (i) dikalikan -2 dikurang baris ke (iii)
0 7 5 26
2 1 1 2
ELIMINASI X2 DALAM PERS. (3)
1 2 1 5 Baris (ii) dibagi -7
0 7 5 26
0 3 3 12
1 2 1 5 Baris (ii) dikalikan 3 dikurang baris (iii)
5 26
0 1
7 7
0 3 3 12
1 2 1 5 Baris (iii) dibagi
5 26
0 1
7 7
6 6
0 0
7 7
9

10. 1 2 1 5
5 26
0 1
7 7
0 0 1 1
2. SUBSTITUSI BALIK
x3 = -1
x2 + x3 =
x2 + (-1) = X2 = - =3
x1 – 2 x2 - x3 = -5 x1 – 2 (3) – (1) = -5
x1 – 7 = -5
x1 = 2
r(A) = 3
r(A G) = 3
n=3
Diperoleh penyelesaian x1 = 2, x2 = 3, x3 = -1 , jadi persamaan tersebut termasuk
persamaan nonhomogen dengan sistem konsisten penyelesaian tunggal (unique).
Contoh 2 :
Selesaikan sistem persamaan :
x1 – 2x2 + x3 = 2
-2x1 + 3x2 – 4x3 = 1
-5x1 + 8x2 – 9x3 = 0
10

11. Penyelesaian :
Lakukan OBE, bahwa (A,G) menjadi bentuk Echelon
1 2 1 2
2 3 4 1
5 8 9 0
Kalikan persamaan (i) dengan 2 , kemudian tambahkan ke persamaan (ii).
1 2 1 2
0 1 2 5
5 8 9 0
Kalikan persamaan (i) dengan 5 , ditambahkan ke persamaan (iii)
1 2 1 2
0 1 2 5
0 2 4 10
Kalikan persamaan (ii) dengan -2 ditambahkan persamaan ke (iii)
1 2 1 2
0 1 2 5
0 0 0 0
r(A) = 2
r(A G) = 2
n=3
Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1
Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x3
11

12. Persamaan baru menjadi :
x1 – 2x2 + x3 = 2
– x2 – 2x3 = 5
Berikan nilai parameter tertentu pada variabel bebas, kemudian
subtitusikan pada persamaan baru.
Misalkan x3 = α, dng α bil Real
-x2 – 2x3 = 5 -x2 - 2α = 5
x2 = -2α -5
x1 – 2x2 + x3 = 2 x1 – 2(-2α – 5) + α = 2
x1 = -5α – 8
Jadi, penyelesaian umum : {(-5a-8, -2a-5, a)}
Jika diambil nilai α = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-8, -5, 0)}.
Dengan demikian sistem persamaan tersebut disebut SPL nonhomogen dengan
banyak penyelesaian (sistem dependen).
Contoh 3 :
Selesaikan sistem persamaan berikut :
x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2
-x1 + x2 – 3x3 + x4 = 1
2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= - 3
Solusi :
1 1 2 3 2
(A G) = 1 1 3 1 1
2 2 3 8 3
12

13. Persamaan (i) + persamaan (ii)
1 1 2 3 2
0 0 1 2 1
0 0 1 14 7
Persamaan (i) dikalikan 2 dikurang persamaan (iii)
1 1 2 3 2
0 0 1 2 1
2 2 3 8 3
Persamaan (ii) ditambah persamaan (iii)
1 1 2 3 2
0 0 1 2 1
1
0 0 0 0
2
r(A) = 2
r(A G) = 3
n=4
r(A) ≠ r(A G); tidak punya penyelesaian. Mengapa ?
Persamaan baru yg terakhir dpt dibaca :
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 =
Apakah ada nilai x yang memenuhi ?
Sistem tidak punya penyelesaian, berarti sistem persamaan tersebut sistem persamaan
linier nonhomogen yang tidak mempunyai penyelesaian (sistem inkonsisten).
13

14. Penyelesaian dari sistem persamaan linier homogen.
Persamaan linier homogen dengan himpunan penyelesaian jawab tunggal
/trivial / hanya jawab nol.
Metode solusi : Lakukan OBE terhadap matriks koefisien A, sehingga menjadi
bentuk echelon.
Contoh 1 :
Selesaikan persamaan :
x1 – 2x2 + x3 = 0
-x1 + 3x2 – 2x3 = 0
2x1 + x2 – 4x3 = 0
1 2 1 0
(A 0) =
1 3 2 0
2 1 4 0
Persamaan (i) ditambah persamaan (ii)
1 2 1 0
0 1 1 0
2 1 4 0
Persamaan (i) dikalikan 2 dikurang persamaan (iii)
1 2 1 0
0 1 1 0
0 5 6 0
Persamaan (ii) dikali -5 ditambah persamaan (iii)
1 2 1 0
0 1 1 0
0 0 1 0
14

15. r(A) = 3 ; r(A 0) = 3
n=3
Sistem hanya mempunyai jawab nol, dari persamaan baru dapat dibaca :
x1 – 2x2 + x3 = 0
x2 – x3 = 0
– x3 = 0
Dengan subtitusi balik diperoleh :
x3 = 0, x2 = 0, dan x1 = 0
Catatan : saat OBE, perhatikan bahwa bagian kanan dari (A | 0) tidak berubah, Jadi
khusus sistem homogen kita dapat cukup melakukan OBE terhadap matriks A;
dengan mengingat bahwa bagian ruas kanan selalu bernilai 0 (nol).
Persamaan linier homogen dengan banyak penyelesaian.
Conoth 2 :
Selesaikan persamaan berikut :
x1 – 2x2 + x3 = 0
-x1 + 3x2 – 2x3 = 0
2x1 + x2 – 3x3 = 0
Solusi :
1 2 1
1 3 2
2 1 3
Persamaan (i) ditambah persamaan (ii)
15

16. 1 2 1
0 1 1
2 1 3
Persamaan (i) dikalikan dengan -2 ditambah persmaan (iii)
1 2 1
0 1 1
0 5 5
Persamaan (ii) dikalikan -5 ditambah persamaan (iii)
1 2 1
0 1 1
0 0 0
r(A) = 2
n=3
Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1
Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x3
Dari persamaan baru dapat dibaca :
x1 – 2x2 + x3 = 0
x2 – x3 = 0
Misalkan x3 = α, dng α bil Real
Dengan subtitusi balik diperoleh :
x2 – x3 = 0 x2 = α
x1 – 2x2 + x3 = 0 x1 = α
Jadi penyelesaian umum : {(α, α , α)}. Misal diambil nilai α = 1, maka salah satu
penyelesaian khusus adalah {(1, 1, 1)}.
16

17. GRAFIK SISTEM PERSAMAAN LINIER
Dalam bentuk geometris, karena grafik dalam bentuk garis lurus, dapat
diperlihatkan dalam 3 kemungkinan, seperti gambar berikut :
y k l
k k,l
l
x
(a) (b) (c)
 Untuk kasus (a) garis paralel dan tidak berpotongan. Dikatakan bahwa
persamaan dalam sistem tidak konsisten (inkonsisten) yaitu tidak memiliki
penyelesaian.
 Untuk kasus (b) garis berpotongan hanya pada satu titik. Dikatakan bahwa
sistem persamaan konsisten (tunggal / unique).
 Untuk kasus (c) dua garis berimpit. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem
bergantung (dependen)yaitu mempunyai penyelesaian banyak / tak hingga.
17

18. KESIMPULAN
Berdasarkan uraian di atas, maka dapat kita simpulkan bahwa sistem
persamaan linier itu persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial,
trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau
dirinya sendiri. Dalam menyelesaikan suatu persamaan linier kita dapat menemukan
bentuk dari sistem persamaan tersebut yaitu sistem persamaan linier nonhomogen dan
sistem persamaan linier homogen.
Sistem persamaan linier nonhomogen yaitu dimana jika dituliskan dalam
bentuk matriks A X = G, dengan G ≠ 0 maksudnya matriks konstanta (G) bernilai
bukan sma dengan nol. Sedangkan sistem persamaan linier homogen yaitu matriks
konstantanya sama dengan nol (G=0). Adapun berbagai solusi dari sistem persamaan
linier pada makalah ini penulis menggunakkan metode Gauss dan Operasi Bilangan
Elementer (OBE), yang disajikan terlebih dahulu dalam bentuk SPL atau Matriks.
Setelah didapatkan himpunan penyelesaiannya maka dapat kita tentukan juga sistem
dari penyelesaian tersebut yaitu dibedakan menjadi sistem konsisten yang berarti
mempunyai penyelesaian tunggal (Unique) dan penyelesaian banyak (Dependen),
sistem inkonsisten yaitu sistem persamaan yang tidak memiliki penyelesaian. Agar
lebih mudah memahami dari sistem persamaan linier yang termasuk konsisten
(tunggal / dependen), sistem inkonsisten maka dapat disajikan dalam bentuk grafik.
18

19. DAFTAR PUSTAKA
Aminulhayat. 2005. Matematika SMA Kelas X. Bandung : Regina.
Anton, Howard. 2003. Dasar-dasar Aljabar Linear. Tanggerang : Binarup Angkasa
Publisher.
Wiley, Jhon. 2004. Dr. Math ‘Menjelaskan Aljabar’. Bandung : Pakar Raya Pustaka.
19