More Related Content
Similar to 806 - winter 2014
Similar to 806 - winter 2014 (20)
806 - winter 2014
- 1. פתרון שאלון 608
שאלה 1:
נבנה טבלאות המתארות את הבעיה ונשתמש בקשר )זמן(·)מהירות( = )דרך(, ז"א .t · V = S
עד לפגישה:
רפסודה
סירה
t
5
5
V
V
15 − V
S
5V
) 5 · (15 − V
נקבל את המשוואה 57 = ) .5V + 5 · (15 − V
כל הדרך:
t
רפסודה
סירה )הלוך(
סירה )חזור(
57
V
57
15−V
57
15+V
V
V
15 − V
15 + V
S
57
57
57
57
57
נקבל את המשוואה , 75 = 15−V + 15+Vלאחר סידור המשוואה נקבל
V
522 − ,0 = V 2 + 30Vאחד הפתרונות יתן ערך שלילי ולכן הוא מתבטל ופתרון שני הוא
57
12.6 = .Vהסירה והרפסודה הגיעו ביחד לנקודה Bולכן 70.21 = 12.6 = tולכן הן לא
יספיקו להגיע עד שעה 00:12.
שאלה 2:
א. על מנת להוכיח שהסדרה השלישית היא סדרה הנדסית נראה שהיחס בין האיברים קבוע
ושווה למנת הסדרה. נרשום את הסדרות:
סדרה נתונה:
... , 4a1 , a2 , a3 , a
סדרה שנייה:
... , 4a1 , −a2 , a3 , −a
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il
- 2. חורף 4102, תשע"ד שאלון 608
סדרה שלישית:
1
1
1
... , 4a2 , a3 , a
2a
מתוך נתון הסכום של הסדרה הנתונה נוכל לרשום 6 = 1−qומתוך נתון הסכום של
הסדרה השנייה נוכל לרשום 2) −3 = −aיש לשים לב לכך שהמנה של הסדרה השנייה היא
1+q
) .((−qפתרון מערכת המשוואות תיתן 1 = qו־ 4 = 2 aולכן הסדרה השלישית:
3
... ,52.2 ,57.0 ,52.0 → ... , 2) 1(·4 ,
1
3
מתקיים 3 =
57.0
52.0
=
52.2
57.0
1
1
1 ·4 , 4
3
ולכן הסדרה השלישית היא סדרה הנדסית עם מנה 3 = .qIII
ב. נעזר בנוסחה לסכום בסדרה הנדסית )הסדרה השלישית אינה סדרה הנדסית אינסופית
מתכנסת בגלל שמנתה גדולה מ־ 1(:
→ 2187 = 3n
)1− 0.25(3n
1−3
= 52.372
על ידי הוצאת lnנקבל 7 = .n
שאלה 3:
א. נגדיר מאורעות:
מאורע A־ תושב משתתף בחוג לריקודי עם. מאורע A־ תושב שלא משתתף בחוג
לריקודי עם.
מאורע B־ תושב בשתתף בחוג לתאטרון. מאורע B־ תושב שלא משתתף בחוג
לתאטרון.
נתון )) P (A B) = P (A) · P (Bמאורעות בלתי תלווים(, בטבלה נסמן ב־ xאת
ההסתברות לבחירת תושב שמשתתף בחוג לריקודי עם ולפי הנתונים נקבל:
A
A
0.5x
B
B
1
x
הסתברות מותנה:
B) = x · 0.5x
→ 0.3x = P (A
)P (A B
)P (B
= 6.0 = )P (A|B
פתרון המשוואה הוא 6.0 = ) xהפתרון 0 = xיורד( ולכן
81.0 = 6.0 · 5.0 · 6.0 = ) .P (A Bאחוז התושבים שמשתתפים בחוג לריקודי עם וגם
בחוג לתאטרון הוא %81.
ב. 81.0 מתוך 6.0 הם 3.0 ולכן ההסתברות שנבחר משתתף בחוג לתאטרון היא 3.0. נפתור
בעזרת הסתברות בינומית )נגדיר הצלחה כתושב שמשתתף בחוג לתאטרון( ומאורע משלים:
6
6
( + 0−6)3.0 − 1( 03.0 · )
= ) 1−6)3.0 − 1( 13.0 · )
0
1
([ − 1 = ])1( 61 − [P6 (0) + P
975.0 = ]203.0 + 711.0[ − 1
ולכן ההסתברות שלפחות שני תושבים משתתפים בחוג לתאטרון היא 975.0.
2
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il
- 3. חורף 4102, תשע"ד שאלון 608
שאלה 4:
נרשום את המשפטים העיקריים לפתרון השאלה )את השאלה נפתור בהרחבה בשיעור
המתאים(:
א. זוויות שוות על קשתות שוות, זוויות מתחלפות.
ב. )1( זוויות קדקודיות, זוויות שוות על קשתות שוות. )2( תכונות מקבילית ומשולש שווה
צלעות.
שאלה 5:
נרשום את המשפטים העיקריים לפתרון השאלה )את השאלה נפתור בהרחבה בשיעור
המתאים(:
א. )1( לפי חפיפת משולשים ∆BDE ∼ ∆ADEנקבל (2) .x = α − β
=
)sin(α−β
)sin(α+β
CE
= . EB
ב. משפט הסינוסים, ס"מ 24.3 = .r
שאלה 6:
נרשום את המשפטים העיקריים לפתרון השאלה )את השאלה נפתור בהרחבה בשיעור
המתאים(:
א. )1( רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה ולכן (2) .∠BCA = 900 − α − βמשפט
)cos(β
AC
הסינוסים ). AB = cos(α+β
ב. לפי הפונקציות הטריגונומטריות במשולשים נקבל
)cos2 (β
)cos2 (α+β
= .R
r
שאלה 7:
א. )1( לפונקציה אין אסימפטוטות אנכיות כי הפונקציה מוגדרת לכל ) xנתון(. למציאת
אסימפטוטה אופקית נחשב את הגבול:
2
lim x2 +x−a
x→±∞ x −x+a
נחלק את המונה והמכנה ב־ 2 xונקבל:
1=
1
a
21+ x − x
a
1
lim
2x→±∞ 1− x + x
הפונקציה שואפת לגעת באסימפטוטה 1 = yכאשר ∞± → .x
)2( נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס:
)−2x(x−2a
2)(x2 −x+a
=
)1−(2x+1)(x2 −x+a)−(x2 +x−a)(2x
2)(x2 −x+a
= )f (x
הנגזרת מתאפסת ב־ 0 = xו־ .x = 2aנבדוק בעזרת נגזרת שנייה:
3
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il
- 4. חורף 4102, תשע"ד שאלון 608
)1−(−4x+4a)(x2 −x+a)2 +4x(x−2a)(x2 −x+a)(2x
2)(x2 −x+a
= )f (x
הביטווים עם החזקה השנייה תמיד חיובים ונתון 1 > aולכן:
0 < )f (x = 0) > 0, f (x = 2a
1+4a
נציב את הנקודות בפונקציה המקורית ונקבל .(0, −1) − min, (2a, 4a−1 ) − max
)3( סקיצה של גרף הפונקציה )הפונקציה חותכת את האסימפטוטה(:
y
1+4a
1−4a
1=y
x
2a
1−
ב. בעזרת הנתונים נמצא את הפרמטר ,aנבנה אינטגרל:
1
2
= 0|)f (x)dx = f (x
1−
1
2
לאחר שנפתור את המשוואה נקבל 2 = aולכן
2−x2 +x
2+x2 −x
0´
1−
−a
= ) ( 2+a ) − ( −a
a
= ) .f (xחיתוך עם ציר ה־ :x
→ 0=
2−x2 +x
2+x2 −x
לאחר שנשווה את המונה לאפס נקבל את נקודות החיתוך )0 ,2−( ו־ )0 ,1(.
4
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il
- 5. חורף 4102, תשע"ד שאלון 608
שאלה 8:
נסרטט סקיצה של הבעיה:
A
2x
D
0
09
009
C
B
מכיוון שמדובר על משולש שווה שוקיים מתקיים .∠ABC = ∠ACB = 900 − xלפי
משפט הסינוסים:
b
)sin(90−x
=
BC
)sin(2x
לאחר שימוש בזהויות נקבל ) .BC = 2b sin(xבמשולש ∆DBCמתקיים:
DC
BC
= )cos(∠DCB
לאחר שנבודד את הקטע DCנקבל )זהות: ):(cos(900 − x) = sin(x
)DC = cos(900 − x) · 2b sin(x) = 2b sin2 (x
במשולש ∆DECמתקיים:
DE
)2b sin2 (x
= )sin(900 − x
לאחר שימוש בזהות ) sin(900 − x) = cos(xנקבל:
)DE = 2b cos(x) sin2 (x
ולכן פונקציית המטרה היא ) .h(x) = 2b cos(x) sin2 (xנגזור את פונקציית המטרה
למציאת ערך החשוד כקיצון:
= ])h (x) = 2b[− sin(x) · sin2 (x) + cos(x) · 2 sin(x) cos(x
])−2b sin(x)[sin2 (x) − 2 cos2 (x
נשווה את הנגזרת לאפס ובעזרת זהויות נקבל את הפתרונות:
1
0 = )cos(x) = ± 3 , sin(x
לאחר שנתחשב בתחומי ההגדרה נקבל 074.901 = xו־ 025.07 = .xנבדוק בעזרת נגזרת
שנייה ונקבל 0 < ) 074.901 = h (xולכן עבור זווית של 074.901 אורכו של DEמקסימלי.
5
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il
- 6. חורף 4102, תשע"ד שאלון 608
נתייחס גם למצב בו הגובה עובר מחוץ למשולש, במקרה זה הסרטוט נראה כך:
D
A
2x
C
B
E
במקרה זה הפתרון זהה לפתרון שמצאנו, זווית ראש היא זווית קהה השווה ל־ 074.901.
סרטוט זה מייצג את הבעיה בצורה אמינה יותר כי זווית הראש היא זווית קהה ולכן הגובה
עובר מחוץ למשולש.
שאלה 9:
א. הפונקציה קעורה מטה מכיוון שמתקיים 0 < ) ,f (xהפונקציה ) f (xעולה וללא נקודות
קיצון בקטע הנתון ולכן 0 > )2.1( .f
ב. הטענה נכונה. לפי הנתון הנגזרת יורדת ככל שעולים בערכי ה־ xולכן השיפוע קטן,
ניתן לראות בפונקציה ) f (xשככל שעולים בערכי ה־ xהפונקציה בעלת שיפוע הולך וקטן
ולכן הטענה נכונה.
f
ג. נגזור את הפונקציה ) g(xונקבל ) ,g (x) = √(xבתחום הנתון 0 > ) f (xוגם
)f (x
0 > )f (x
2
ולכן 0 > ) g (xולכן הפונקציה ) g(xעולה בתחום הנתון.
ד. ננסה לפתור את המשוואה:
f
)√(x) = f (x
)f (x
2
ונקבל:
0 = ]1 −
1√ [)f (x
)f (x
2
בקטע 3.1 ≤ 1.1 ≤ xהנגזרת מקיימת 0 > ) f (xולכן נפתור את המשוואה:
1=
1√
)f (x
2
1
ונקבל ) , 4 = f (xטענה זו אינה נכונה לתחום הנתון ולכן למשוואה הנ"ל אין פתרון בתחום
הנתון.
6
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il
![חורף 4102, תשע"ד שאלון 608
סדרה שלישית:
1
1
1
... , 4a2 , a3 , a
2a
מתוך נתון הסכום של הסדרה הנתונה נוכל לרשום 6 = 1−qומתוך נתון הסכום של
הסדרה השנייה נוכל לרשום 2) −3 = −aיש לשים לב לכך שהמנה של הסדרה השנייה היא
1+q
) .((−qפתרון מערכת המשוואות תיתן 1 = qו־ 4 = 2 aולכן הסדרה השלישית:
3
... ,52.2 ,57.0 ,52.0 → ... , 2) 1(·4 ,
1
3
מתקיים 3 =
57.0
52.0
=
52.2
57.0
1
1
1 ·4 , 4
3
ולכן הסדרה השלישית היא סדרה הנדסית עם מנה 3 = .qIII
ב. נעזר בנוסחה לסכום בסדרה הנדסית )הסדרה השלישית אינה סדרה הנדסית אינסופית
מתכנסת בגלל שמנתה גדולה מ־ 1(:
→ 2187 = 3n
)1− 0.25(3n
1−3
= 52.372
על ידי הוצאת lnנקבל 7 = .n
שאלה 3:
א. נגדיר מאורעות:
מאורע A־ תושב משתתף בחוג לריקודי עם. מאורע A־ תושב שלא משתתף בחוג
לריקודי עם.
מאורע B־ תושב בשתתף בחוג לתאטרון. מאורע B־ תושב שלא משתתף בחוג
לתאטרון.
נתון )) P (A B) = P (A) · P (Bמאורעות בלתי תלווים(, בטבלה נסמן ב־ xאת
ההסתברות לבחירת תושב שמשתתף בחוג לריקודי עם ולפי הנתונים נקבל:
A
A
0.5x
B
B
1
x
הסתברות מותנה:
B) = x · 0.5x
→ 0.3x = P (A
)P (A B
)P (B
= 6.0 = )P (A|B
פתרון המשוואה הוא 6.0 = ) xהפתרון 0 = xיורד( ולכן
81.0 = 6.0 · 5.0 · 6.0 = ) .P (A Bאחוז התושבים שמשתתפים בחוג לריקודי עם וגם
בחוג לתאטרון הוא %81.
ב. 81.0 מתוך 6.0 הם 3.0 ולכן ההסתברות שנבחר משתתף בחוג לתאטרון היא 3.0. נפתור
בעזרת הסתברות בינומית )נגדיר הצלחה כתושב שמשתתף בחוג לתאטרון( ומאורע משלים:
6
6
( + 0−6)3.0 − 1( 03.0 · )
= ) 1−6)3.0 − 1( 13.0 · )
0
1
([ − 1 = ])1( 61 − [P6 (0) + P
975.0 = ]203.0 + 711.0[ − 1
ולכן ההסתברות שלפחות שני תושבים משתתפים בחוג לתאטרון היא 975.0.
2
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)