‫על־יסודיים‬ ‫ספר‬ ‫לבתי‬ ‫בגרות‬ .‫א‬ :‫הבחינה‬ ‫סוג‬ ‫ישראל‬ ‫מדינת‬
‫אקסטרניים‬ ‫לנבחנים‬ ‫בגרות‬ .‫ב‬ ‫החינוך‬ ‫משרד‬
2014 ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ :‫הבחינה‬ ‫מועד‬
315 ,035805 :‫השאלון‬ ‫מספר‬
‫הבגרות‬ ‫בחינת‬ ‫לשאלות‬ ‫תשובות‬ ‫הצעת‬
‫ה‬‫ק‬‫י‬‫ט‬‫מ‬‫ת‬‫מ‬
‫שני‬ ‫שאלון‬ – ‫לימוד‬ ‫יחידות‬ 4
‫לנבחן‬ ‫הוראות‬
.‫רבעים‬ ‫ושלושה‬ ‫שעה‬ :‫הבחינה‬ ‫משך‬ .‫א‬
:‫פרקים‬ ‫שני‬ ‫זה‬ ‫בשאלון‬ :‫ההערכה‬ ‫ומפתח‬ ‫השאלון‬ ‫מבנה‬ .‫ב‬
‫נקודות‬ 33 3
1
— 33 3
1
#1 — ‫במרחב‬ ‫טריגונומטריה‬ ,‫סדרות‬ — ‫ראשון‬ ‫פרק‬
‫ואינטגרלי‬ ‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬ ,‫ודעיכה‬ ‫גדילה‬ — ‫שני‬ ‫פרק‬
,‫טריגונומטריות‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬
‫ולוגריתמיות‬ ‫מעריכיות‬ ‫פונקציות‬
‫נקודות‬ 66 3
2
— 33 3
1
#2 — ‫חזקה‬ ‫ופונקציות‬
‫נקודות‬100 — ‫סה"כ‬
:‫בשימוש‬ ‫מותר‬ ‫עזר‬ ‫חומר‬ .‫ג‬
.‫לתכנות‬ ‫הניתן‬ ‫במחשבון‬ ‫התכנות‬ ‫באפשרויות‬ ‫להשתמש‬ ‫אין‬ .‫גרפי‬ ‫לא‬ ‫מחשבון‬ )1(
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫במחשבון‬ ‫התכנות‬ ‫באפשרויות‬ ‫או‬ ‫גרפי‬ ‫במחשבון‬ ‫שימוש‬
.)‫(מצורפים‬ ‫נוסחאות‬ ‫דפי‬ )2(
:‫מיוחדות‬ ‫הוראות‬ .‫ד‬
.‫בלבד‬ ‫מספרה‬ ‫את‬ ‫סמן‬ ;‫השאלה‬ ‫את‬ ‫תעתיק‬ ‫אל‬ )1(
‫כאשר‬ ‫גם‬ ,‫הפתרון‬ ‫שלבי‬ ‫את‬ ‫במחברת‬ ‫רשום‬ .‫חדש‬ ‫בעמוד‬ ‫שאלה‬ ‫כל‬ ‫התחל‬ )2(
.‫מחשבון‬ ‫בעזרת‬ ‫מתבצעים‬ ‫החישובים‬
.‫ומסודרת‬ ‫ברורה‬ ‫ובצורה‬ ‫בפירוט‬ ,‫חישובים‬ ‫כולל‬ ,‫פעולותיך‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫הסבר‬
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫או‬ ‫בציון‬ ‫לפגיעה‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫פירוט‬ ‫חוסר‬
.‫מהמשגיחים‬ ‫שקיבלת‬ ‫בדפים‬ ‫או‬ ‫הבחינה‬ ‫במחברת‬ ‫להשתמש‬ ‫יש‬ ‫לטיוטה‬ )3(
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫אחרת‬ ‫בטיוטה‬ ‫שימוש‬
.‫כאחד‬ ‫ולנבחנים‬ ‫לנבחנות‬ ‫ומכוונות‬ ‫זכר‬ ‫בלשון‬ ‫מנוסחות‬ ‫זה‬ ‫בשאלון‬ ‫ההנחיות‬
! ‫ה‬ ‫ח‬ ‫ל‬ ‫צ‬ ‫ה‬ ‫ב‬
/‫לדף‬ ‫מעבר‬ ‫/המשך‬

315 ,035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 2 -
1 ‫שאלה‬
)‫נקודות‬ 333
1
( ‫במרחב‬ ‫טריגונומטריה‬ ,‫סדרות‬ – ‫ראשון‬ ‫פרק‬
. 2-1 ‫מהשאלות‬ ‫אחת‬ ‫על‬ ‫ענה‬
.‫שבמחברתך‬ ‫הראשונה‬ ‫התשובה‬ ‫רק‬ ‫תיבדק‬ ,‫אחת‬ ‫משאלה‬ ‫יותר‬ ‫על‬ ‫תענה‬ ‫אם‬ !‫לב‬ ‫שים‬
‫סדרות‬
. II ‫והצעה‬ I ‫הצעה‬ ,‫חודשיים‬ ‫בתשלומים‬ ‫אבק‬ ‫שואב‬ ‫לקניית‬ ‫הצעות‬ ‫שתי‬ ‫קיבל‬ ‫אדם‬ .1
.‫המחיר‬ ‫אותו‬ ‫האבק‬ ‫לשואב‬ ‫היה‬ ‫ההצעות‬ ‫בשתי‬
,‫שקלים‬ 180 ‫הוא‬ ‫הראשון‬ ‫התשלום‬ :I ‫הצעה‬
.‫לו‬ ‫שקדם‬ ‫מהתשלום‬ ‫שקלים‬ 15 ‫ב־‬ ‫גדול‬ ‫נוסף‬ ‫תשלום‬ ‫וכל‬
,‫שקלים‬ 195 ‫הוא‬ ‫הראשון‬ ‫התשלום‬ : II ‫הצעה‬
.‫לו‬ ‫שקדם‬ ‫מהתשלום‬ ‫שקלים‬ 15 ‫ב־‬ ‫קטן‬ ‫נוסף‬ ‫תשלום‬ ‫וכל‬
. I ‫בהצעה‬ ‫התשלומים‬ ‫ממספר‬ 2 ‫ב־‬ ‫גדול‬ ‫היה‬ II ‫בהצעה‬ ‫התשלומים‬ ‫מספר‬
. II ‫בהצעה‬ ‫התשלומים‬ ‫מספר‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
.‫האבק‬ ‫שואב‬ ‫של‬ ‫המחיר‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ב‬
‫במרחב‬ ‫טריגונומטריה‬
. ABCD ‫ריבוע‬ ‫שבסיסה‬ SABCD ‫ישרה‬ ‫פירמידה‬ ‫נתונה‬ .2
.‫ס"מ‬ a ‫הוא‬ ‫הריבוע‬ ‫צלע‬ ‫של‬ ‫האורך‬
AC ,‫הבסיס‬ ‫לאלכסון‬ ‫שווה‬ , SO ,‫הפירמידה‬ ‫גובה‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
SC ‫שבין‬ ‫הזווית‬ ‫את‬ ‫חשב‬ .‫א‬
.‫הפירמידה‬ ‫של‬ ‫הבסיס‬ ‫למישור‬
. SC ‫למקצוע‬ ‫אנך‬ ‫העבירו‬ A ‫מקדקוד‬ .‫ב‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ E ‫בנקודה‬ ‫המקצוע‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫האנך‬
. CE ‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ a ‫באמצעות‬ ‫הבע‬
.‫סמ"ר‬ 40 ‫הוא‬ AEC ‫המשולש‬ ‫ששטח‬ ‫נתון‬ .‫ג‬
. a ‫את‬ ‫חשב‬
/3 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
A B
CD
E
O
S
C
1 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
.‫חשבונית‬ ‫סדרה‬ ‫היא‬ ‫ההצעות‬ ‫בשתי‬ ‫התשלומים‬ ‫סדרת‬ .‫א‬
a 1801= :‫הוא‬ ‫בשקלים‬ ‫הראשון‬ ‫התשלום‬ I ‫בהצעה‬
d 151= :‫הוא‬ ‫בשקלים‬ ‫הקבוע‬ ‫ההפרש‬
,I‫בהצעה‬‫החודשיים‬‫התשלומים‬‫מספר‬‫את‬ n‫ב־‬‫נגדיר‬
( ) (345 15 )
S
n n n n
2
2 180 1 15
2n
I $ $
=
+ -
=
+^ h6 @
:‫מתקיים‬ ‫לכן‬
b 1951= :‫הוא‬ ‫בשקלים‬ ‫הראשון‬ ‫התשלום‬ II ‫בהצעה‬
d 152 =- :‫הוא‬ ‫בשקלים‬ ‫הקבוע‬ ‫ההפרש‬
n 2+ :‫הוא‬ II ‫בהצעה‬‫החודשיים‬‫התשלומים‬‫מספר‬
( )( ) ( ) (375 15 )( 2)
S
n n n n
2
2 195 1 15 2
2n
II
2
$
=
+ + - +
=
- +
+
^ h6 @
:‫מתקיים‬ ‫לכן‬
,‫ההצעות‬ ‫בשתי‬ ‫זהה‬ ‫האבק‬ ‫שואב‬ ‫של‬ ‫מחירו‬
S Sn
I
n
II
2= + :‫מתקיים‬ ‫לכן‬
0
(345 15 ) (375 15 )( 2)n n n n
2 2
+
=
- +
0
n30 7502 =
0
n 5!=
n 5= :‫לכן‬ , n 02
n 2 7+ = :‫הוא‬ II ‫בהצעה‬ ‫התשלומים‬ ‫מספר‬ .‫א‬
(345 15 5)
S 5 10502
I
5
$
$=
+
= :‫בנוסחה‬ ‫נציב‬ .‫ב‬
‫שקלים‬ 1050 :‫הוא‬ ‫האבק‬ ‫שואב‬ ‫של‬ ‫המחיר‬
/3 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

315 ,035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 3 -
2 ‫שאלה‬
. I ‫בהצעה‬ ‫התשלומים‬ ‫ממספר‬ 2 ‫ב־‬ ‫גדול‬ ‫היה‬ II ‫בהצעה‬ ‫התשלומים‬ ‫מספר‬
. II ‫בהצעה‬ ‫התשלומים‬ ‫מספר‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
.‫האבק‬ ‫שואב‬ ‫של‬ ‫המחיר‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ב‬
‫במרחב‬ ‫טריגונומטריה‬
. ABCD ‫ריבוע‬ ‫שבסיסה‬ SABCD ‫ישרה‬ ‫פירמידה‬ ‫נתונה‬ .2
.‫ס"מ‬ a ‫הוא‬ ‫הריבוע‬ ‫צלע‬ ‫של‬ ‫האורך‬
AC ,‫הבסיס‬ ‫לאלכסון‬ ‫שווה‬ , SO ,‫הפירמידה‬ ‫גובה‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
SC ‫שבין‬ ‫הזווית‬ ‫את‬ ‫חשב‬ .‫א‬
.‫הפירמידה‬ ‫של‬ ‫הבסיס‬ ‫למישור‬
. SC ‫למקצוע‬ ‫אנך‬ ‫העבירו‬ A ‫מקדקוד‬ .‫ב‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ E ‫בנקודה‬ ‫המקצוע‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫האנך‬
. CE ‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ a ‫באמצעות‬ ‫הבע‬
.‫סמ"ר‬ 40 ‫הוא‬ AEC ‫המשולש‬ ‫ששטח‬ ‫נתון‬ .‫ג‬
. a ‫את‬ ‫חשב‬
/3 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
A B
CD
E
O
S
C
2 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
O ‫הגובה‬ ‫עקב‬ ‫לכן‬ ,‫ישרה‬ ‫פירמידה‬ SABCD .‫א‬
. ABCD ‫הריבוע‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫הוא‬
,‫זה‬ ‫את‬ ‫זה‬ ‫וחוצים‬ ‫לזה‬ ‫זה‬ ‫שווים‬ ‫האלכסונים‬ ‫בריבוע‬
.‫האלכסונים‬ ‫מפגש‬ ‫הוא‬ ‫הריבוע‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫לכן‬
, a ‫צלעו‬ ‫שאורך‬ ‫ריבוע‬ ‫הוא‬ ‫הפירמידה‬ ‫בסיס‬
AC a a a 22 2= + = :‫הוא‬ AC ‫האלכסון‬ ‫אורך‬ ‫לכן‬
OC
AC a
2 2
2
= = :‫לכן‬ ,‫זה‬ ‫את‬ ‫זה‬ ‫חוצים‬ ‫בריבוע‬ ‫האלכסונים‬
SO AC a 2= = :‫לכן‬ , AC ‫הבסיס‬ ‫לאלכסון‬ ‫שווה‬ SO ‫הפירמידה‬ ‫גובה‬
SC ‫שבין‬ ‫הזווית‬ ‫לכן‬ ,‫ישרה‬ ‫הפירמידה‬
SCOB :‫היא‬ ‫הפירמידה‬ ‫של‬ ‫הבסיס‬ ‫למישור‬
tan SCO OC
SO
B = :‫מתקיים‬ SOC ‫ישר־זווית‬ ‫במשולש‬
tan SCO
a
a
2
2
2
2B = =
0
.SCO 63 43oB = :‫היא‬ ‫הפירמידה‬ ‫של‬ ‫הבסיס‬ ‫למישור‬ SC ‫שבין‬ ‫הזווית‬ ‫לכן‬
.cos AC
CE
63 43o = :‫מתקיים‬ ) AEC 90oB = ( AEC ‫ישר־זווית‬ ‫במשולש‬ .‫ב‬
.cos
a
CE
63 43
2
o =
0
. .cosCE a a2 63 43 0 632o= =
/4 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

315 ,035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 4 -
.2 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
I ‫דרך‬ .‫ג‬
sin
S
AAC CE CE
2AEC
$ $ B
=i : AEC ‫משולש‬ ‫שטח‬ ‫חישוב‬
. .cos sin
S
a
2
2 63 43 63 43
40AEC
o o2$ $
= =i :‫הצבה‬
0
.sin
S
a
2
126 86
40AEC
o2
= =i
0
a = ‫ס"מ‬ 10
II ‫דרך‬
.tan CE
AE
63 43o = :‫מתקיים‬ AEC ‫במשולש‬
0
. .tanAE CE a63 43 1 26o$= =
S
AE EC
2AEC
$
=i
. .
S
a a
2
1 26
40
0 63
AEC
$
= =i
0
a = ‫ס"מ‬ 10
‫ס"מ‬ 10 :‫הוא‬ a ‫הריבוע‬ ‫צלע‬ ‫של‬ ‫האורך‬
/5 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

315 ,035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 5 -
3 ‫שאלה‬
)‫נקודות‬ 66 3
2
( ‫חזקה‬ ‫ופונקציות‬
.)‫נקודות‬ 333
1
— ‫שאלה‬ ‫(לכל‬ 5-3 ‫מהשאלות‬ ‫שתיים‬ ‫על‬ ‫ענה‬
.‫שבמחברתך‬ ‫הראשונות‬ ‫התשובות‬ ‫שתי‬ ‫רק‬ ‫ייבדקו‬ ,‫שאלות‬ ‫משתי‬ ‫יותר‬ ‫על‬ ‫תענה‬ ‫אם‬ !‫לב‬ ‫שים‬
. ( )f x
e
x 2
x2
2
=
-
‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬ .3
.‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
.‫סוגן‬ ‫את‬ ‫וקבע‬ ,‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הקיצון‬ ‫נקודות‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )1( .‫ב‬
.‫הצירים‬ ‫עם‬ ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )2(
.‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫סרטט‬ )3(
. x ‫ה־‬ ‫לציר‬ ‫אנכים‬ ‫העבירו‬ ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הקיצון‬ ‫נקודות‬ ‫דרך‬ .‫ג‬
.‫האנכים‬ ‫בין‬ ‫המרחק‬ ‫את‬ ‫מצא‬
, ( ) ( )sin cosf x a x x2= - ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הגרף‬ ‫נתון‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬ .4
. x0 2# # r ‫בתחום‬
.‫פרמטר‬ ‫הוא‬ a
. x 6
7r
= ‫שבה‬ ‫קיצון‬ ‫נקודת‬ ‫יש‬ ‫לפונקציה‬
. a ‫של‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
, a = 0.5 ‫בפונקציה‬ ‫הצב‬ .‫ב‬
.)2(-)1( ‫התת־סעיפים‬ ‫על‬ ‫וענה‬
.x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫את‬ ‫הנתון‬ ‫בתחום‬ ‫מצא‬ )1(
y ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬ x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫על‬ , f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )2(
.)‫בציור‬ ‫האפור‬ ‫(השטח‬
/4 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
y
x
3 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
x ‫לכל‬ e 0x2 2 : f(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ .‫א‬
x ‫לכל‬ ‫מוגדרת‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫לכן‬
f'(x)
( )
e
x x2 2
x
2
2=
- + +
:‫היא‬ f(x) ‫של‬ ‫הנגזרת‬ )1( .‫ב‬
f'(x) 0=
x x 2 02- + + =
0
,x x1 2=- = :‫הן‬ ‫לקיצון‬ "‫ה"חשודות‬ ‫הנקודות‬
: f'(x) ‫הנגזרת‬ ‫סימן‬ ‫את‬ ‫נבדוק‬
:‫בטבלה‬ ‫התוצאות‬ ‫ריכוז‬3201-2-x
-0+0-f'(x)
4‫מקסימום‬ ‫נקודת‬3‫מינימום‬ ‫נקודת‬4f(x)
( , )e1 2- - :‫היא‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫המינימום‬ ‫נקודת‬
( , )
e
2
2
4 :‫היא‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫המקסימום‬ ‫נקודת‬
/6 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

315 ,035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 6 -
.3 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬ )2(
( )f
e
0
0 2
20=
-
=- : y ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬
( , )0 2- :‫היא‬ y ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬
f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬
( )f x 0= : x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬
e
x 2
0x2
2 -
=
0
x 2!=
( , ) , ( , )2 0 2 0- :‫הם‬ x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬
:‫היא‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ )3(y
x
x 2= :‫היא‬ ‫המקסימום‬ ‫נקודת‬ ‫דרך‬ ‫העובר‬ x ‫ה־‬ ‫לציר‬ ‫האנך‬ ‫משוואת‬ .‫ג‬
x 1=- :‫היא‬ ‫המינימום‬ ‫נקודת‬ ‫דרך‬ ‫העובר‬ x ‫ה־‬ ‫לציר‬ ‫האנך‬ ‫משוואת‬
( )2 1 3- - = :‫הוא‬ ‫האנכים‬ ‫בין‬ ‫המרחק‬
/7 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

315 ,035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 7 -
4 ‫שאלה‬
. x ‫ה־‬ ‫לציר‬ ‫אנכים‬ ‫העבירו‬ ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הקיצון‬ ‫נקודות‬ ‫דרך‬ .‫ג‬
.‫האנכים‬ ‫בין‬ ‫המרחק‬ ‫את‬ ‫מצא‬
, ( ) ( )sin cosf x a x x2= - ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הגרף‬ ‫נתון‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬ .4
. x0 2# # r ‫בתחום‬
.‫פרמטר‬ ‫הוא‬ a
. x 6
7r
= ‫שבה‬ ‫קיצון‬ ‫נקודת‬ ‫יש‬ ‫לפונקציה‬
. a ‫של‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
, a = 0.5 ‫בפונקציה‬ ‫הצב‬ .‫ב‬
.)2(-)1( ‫התת־סעיפים‬ ‫על‬ ‫וענה‬
.x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫את‬ ‫הנתון‬ ‫בתחום‬ ‫מצא‬ )1(
y ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬ x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫על‬ , f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )2(
.)‫בציור‬ ‫האפור‬ ‫(השטח‬
/4 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
y
x
4 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
f'(x) ( )cos sina x x2 2= + : f(x) ‫של‬ ‫הנגזרת‬ .‫א‬
x 6
7r
= ‫שבה‬ ‫הקיצון‬ ‫בנקודת‬
( ) ( )cos sina0 2 2 6
7
6
7
$
r r
= + :‫מתקיים‬ ‫לכן‬ ,‫מתאפסת‬ ‫הנגזרת‬
0
( )a0 2 2
1
2
1
$= + -
0
a 2
1
= :‫הוא‬ a ‫של‬ ‫הערך‬
( )f x 0= : x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬ )1( .‫ב‬
( )sin cosx x2
1
2 0- =
0
sin cos cosx x x 0$ - =
0
( )cos sinx x 1 0- =
0
,cos sinx x0 1= =
0 0
‫שלם‬ k , x k x k2 2 2
r
r
r
r= + = + :‫הם‬ ‫הכלליים‬ ‫הפתרונות‬
,x x2 2
3r
r= = :‫הם‬ x0 2# # r ‫בתחום‬ ‫הפתרונות‬
‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬
( , ) , ( , )2 0 2
3
0
r
r :‫הן‬ ‫בתחום‬ x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬
/8 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

315 ,035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 8 -
.4 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
, f(x) ‫של‬ ‫הגרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ )2(
( ) ( ( ) )sin cosS f x dx x x dx2
1
2
0
2
0
2
= - = - +
r r
# # :‫הוא‬ y ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬ x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫על‬‫השטח‬
‫האפור‬
0
0
( )cos
sinS
x
x4
2 2
;= +
r
‫השטח‬
‫האפור‬
0
( ) ( )
cos
sin
cos
sinS 4 2 4
0
0 4
1
1 4
1
0
r r
= + - + = - + - +a bk l‫השטח‬
‫האפור‬
S 2
1
= :‫הוא‬ ‫המבוקש‬ ‫השטח‬‫השטח‬
‫האפור‬
/9 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

315 ,035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 9 -
5 ‫שאלה‬‫נספח‬ + 315 , 035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 4 -
!‫בהצלחה‬
‫ישראל‬ ‫למדינת‬ ‫שמורה‬ ‫היוצרים‬ ‫זכות‬
‫החינוך‬ ‫משרד‬ ‫ברשות‬ ‫אלא‬ ‫לפרסם‬ ‫או‬ ‫להעתיק‬ ‫אין‬
. .x 0 52- ‫בתחום‬ ( )f x x2 1
4
= + ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫מוצג‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬ .5
. 2- ‫הוא‬ ‫המשיק‬ ‫שיפוע‬ .‫הפונקציה‬ ‫לגרף‬ ‫משיק‬ ‫העבירו‬ .‫א‬
.‫ההשקה‬ ‫נקודת‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )1(
.‫המשיק‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )2(
,‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫על־ידי‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ .‫ב‬
.x 35= ‫הישר‬ ‫על־ידי‬ ,‫המשיק‬ ‫על־ידי‬
.)‫בציור‬ ‫האפור‬ ‫(השטח‬ x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ועל־ידי‬
y
x
5 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
f'(x)
( )x2 1
8
2=
+
-
:‫היא‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הנגזרת‬ )1( .‫א‬
, 2- ‫הוא‬‫המשיק‬‫שיפוע‬‫ההשקה‬‫בנקודת‬
f'(x) 2=- :‫מתקיים‬ ‫לכן‬
( )x2 1
8
22+
-
=-
0
( )x2 1 42+ =
0
. , .x x1 5 0 5=- =
x ‫ה־‬ ‫שיעור‬ ‫לכן‬ , .x 0 52-
.x 0 5= :‫הוא‬ ‫ההשקה‬ ‫נקודת‬ ‫של‬
( . , )0 5 2 :‫הם‬ ‫ההשקה‬ ‫נקודת‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬
‫הפונקציה‬ ‫לגרף‬ ‫המשיק‬ ‫משוואת‬ )2(
( . )y x2 2 0 5- =- - :‫היא‬ (0.5 , 2) ‫ההשקה‬ ‫בנקודת‬
0
y x2 3=- +
/10 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

315 ,035805 '‫מס‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ ,‫פתרון‬ - 10 -
‫ישראל‬ ‫למדינת‬ ‫שמורה‬ ‫היוצרים‬ ‫זכות‬
‫החינוך‬ ‫משרד‬ ‫ברשות‬ ‫אלא‬ ‫לפרסם‬ ‫או‬ ‫להעתיק‬ ‫אין‬
.5 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
y x2 3=- + ‫המשיק‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬ .‫ב‬
( . , )1 5 0 :‫היא‬ x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬
)‫בציור‬ ‫האפור‬ ‫(השטח‬ ‫המבוקש‬ ‫השטח‬
.‫מורכב‬ ‫שטח‬ ‫הוא‬
‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ ‫את‬ S1‫ב־‬ ‫נסמן‬
x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫על‬ , f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬
S x dx2 1
4
.
.
1
0 5
3 5
= +# : x 3= ‫ו־‬ .x 0 5= ‫האנכים‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬
.3 5
.0 5
2 8 2 2n n, ,= -2 (2 1)S n x1 $,= + ; n n2 2
8
2 4, ,= =b l
0
2 4 2.77S n1 , .=
‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ S2‫ב־‬ ‫נסמן‬
,‫המשיק‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬
( . . )
S 2
1 5 0 5 2
12
$
=
-
= : x 2
1
= ‫הישר‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬ x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫על‬
2 4 1 1.77S S S n1 2 , .= - = - :‫הוא‬ ‫בציור‬ ‫האפור‬ ‫השטח‬‫השטח‬
‫האפור‬