1. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ‫בגרות‬ ,1 ‫שאלה‬ 807 ‫שאלון‬
.AB ‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫נמצא‬ .‫א‬
yAB − 6 = 6−0
0−(−8) · (x − 0)
yAB = 0.75x + 6
‫מקביל‬ EC ‫הישר‬ ,E(a, 0.75a + 6) ‫מתקיים‬ ‫ולכן‬ xE = a ‫נסמן‬ .P(x, y) ‫נקודה‬ ‫נסמן‬
.mBC = mP B ‫ו־‬ mEO = mP O ‫מתקיים‬ .C(0, 0.75a + 6) ‫ולכן‬ x ‫ה־‬ ‫לציר‬
:mEO = mP O ‫מתוך‬
0.75a+6−0
a−0 = y−o
x−0
0.75a+6
a = y
x
0.75xa + 6x = ya
0.75xa − ya = −6x
a =
−6x
0.75x − y
(1)
:mBC = mP B ‫מתוך‬
0.75a+6−0
0−(−8) = y−o
x−(−8)
0.75a+6
8 = y
x+8
(0.75a + 6)(x + 8) = 8y
0.75xa + 6a + 6x + 48 = 8y
a =
8y − 6x − 48
0.75x + 6
(2)
:P ‫הנקודה‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫ונמצא‬ (2) ‫ו־‬ (1) ‫בין‬ ‫נשווה‬
−6x
0.75x−y = 8y−6x−48
0.75x+6
(0.75x − y)(8y − 6x − 48) = −6x(0.75x + 6)
:‫נקבל‬ ‫המשוואה‬ ‫סידור‬ ‫לאחר‬
y = 1.5x + 6
‫ולכן‬ ‫לינארית‬ ‫משוואה‬ ‫היא‬ y ‫־‬ ‫ה‬ ‫לערכי‬ P ‫נקודה‬ ‫של‬ x ‫ערכי‬ ‫בין‬ ‫המקשרת‬ ‫המשוואה‬
.‫ישר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ P ‫נקודה‬
1

2. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ‫בגרות‬ ,1 ‫שאלה‬ 807 ‫שאלון‬
:‫המתואר‬ ‫המצב‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫נסרטט‬ .‫ב‬
A
B
E
C
P0
‫והגובה‬ OA ‫היא‬ ‫הצלע‬ ,‫בגובה‬ ‫הצלע‬ ‫ממכפלת‬ ‫מחצית‬ ‫לפי‬ ‫המשולש‬ ‫של‬ ‫שטחו‬ ‫את‬ ‫נחשב‬
.‫בסרטוט‬ ‫בכחול‬ ‫מסומן‬
‫ונמצאת‬ ‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫היא‬E ‫נקודה‬ .E ‫נקודה‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫יש‬ ‫קודם‬ ‫אך‬ ,C ‫נקודה‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
:AB ‫הקוטר‬ ‫על‬
E(0+(−8)
2 , 6+0
2 ) = E(−4, 3)
:‫ולכן‬ y ‫־‬ ‫ה‬ ‫ציר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ C ‫נקודה‬
C(0, 3)
:yEO ‫ו־‬ yBC ‫הישרים‬ ‫מפגש‬ ‫היא‬ P0 ‫נקודה‬
yEO − 0 = 3−0
−4−0 · (x − 0)
yEO = −0.75x
yBC − 0 = 0−3
−8−0 · (x − (−8))
yBC = 3
8 x + 3
:P0 ‫נקודה‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
3
8 x + 3 = −0.75x
9
8 x = −3
xP = −8
3
.P0(−8
3 , 2) ‫נקבל‬ ‫שמצאנו‬ ‫מהמשוואת‬ ‫באחת‬ ‫הצבה‬ ‫ע"י‬
:‫הוא‬ ‫המשולש‬ ‫של‬ ‫שטחו‬ ‫ולכן‬ 8
3 ‫הוא‬ ‫המשולש‬ ‫גובה‬ ,OA = 6 ‫היא‬ ‫המשולש‬ ‫צלע‬
S∆OP0A =
6· 8
3
2 = 8
.‫יח"ר‬ 8 ‫הוא‬ ‫המבוקש‬ ‫המשולש‬ ‫של‬ ‫שטחו‬
2

3. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ‫בגרות‬ ,2 ‫שאלה‬ 807 ‫שאלון‬
:‫מאוד‬ ‫חשוב‬ ‫יחס‬ ‫נזכיר‬ ‫לשאלה‬ ‫שניגש‬ ‫לפני‬
u v
A
B C
D t · x(1 − t) · x
.
−−→
BD = (1 − t)
−−→
BC ‫ו־‬
−−→
DC = t
−−→
BC ‫נתון‬
.v ‫ו־‬ u ‫לוקטורים‬
−−→
AD ‫בין‬ ‫הקשר‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫ונרצה‬
−−→
BC = x ‫נסמן‬
:∆ABD ‫מתוך‬
−−→
AD =
−−→
AB +
−−→
BD
−−→
AD = u + (1 − t)x
:∆ACD ‫מתוך‬
−−→
AD =
−→
AC +
−−→
CD =
−→
AC −
−−→
DC
−−→
AD = v − tx
:‫הנתונים‬ ‫בשאר‬ ‫כתלות‬ x ‫של‬ ‫ערכו‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
−−→
AD =
−−→
AD
u + (1 − t)x = v − tx
x = v − u
:‫ונקבל‬
−−→
AD ‫עבור‬ ‫מהמשוואת‬ ‫אחת‬ ‫בכל‬ ‫נציב‬
−−→
AD = tu + (1 − t)v
.
−−→
AD = 1
2 u + 1
2 v ‫מתקיים‬ ‫היה‬ ‫ולכן‬ t = 1
2 ‫אז‬ ‫תיכון‬ ‫היה‬ AD ‫אם‬ :‫הערה‬
1

4. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ‫בגרות‬ ,2 ‫שאלה‬ 807 ‫שאלון‬
‫הנתון‬ ‫לפי‬ ,
−→
AT = 1
2 u + 1
2 v ‫להגיד‬ ‫נוכל‬ BC ‫הצלע‬ ‫אמצע‬ ‫היא‬ T ‫שנקודה‬ ‫מכיוון‬ .‫א‬
:‫להגיד‬ ‫נוכל‬
−−→
AM = α
−→
AT
−−→
AM = α1
2 u + α1
2 v
.1
LC = 4
7 x ‫ו־‬ AL = 3
7 x ‫ולכן‬ AC = x ‫נסמן‬ ,4AL = 3LC ‫נתון‬
−→
BL = 4
7
−−→
BA + 3
7
−−→
BC = −4
7 u + 3
7
−−→
BC = −4
7 u + 3
7 (v − u) = −u + 3
7 v
:‫ולכן‬
−−→
BM = β
−→
BL :‫נתון‬
−−→
BM = −βu + β 3
7 v
:‫ולכן‬ (
−−→
BM = −
−−→
MB :‫)נזכיר‬
−−→
AM +
−−→
MB =
−−→
AB ‫מתקיים‬
[α1
2 u + α1
2 v] − [−βu + β 3
7 v] = u
α1
2 u + α1
2 v + βu − β 3
7 v = u
:‫לרשום‬ ‫נוכל‬ ‫המקדמים‬ ‫לפי‬
1
2 α + β = 1
1
2 α − 3
7 β = 0
.β = 0.7 ‫ו־‬ α = 0.6 ‫נקבל‬ ‫המשוואה‬ ‫פתרון‬ ‫ולאחר‬
.‫ב‬
‫קטע‬ ‫אמצע‬ ‫בעזרת‬ ‫זו‬ ‫נקודה‬ ‫של‬ ‫הגיאומטרי‬ ‫המקום‬ ‫את‬ ‫נמצא‬ ‫־‬ B(x, y) ‫נקודה‬ ‫נסמן‬ (1)
.‫נתון‬ ‫אשר‬ AT ‫מרחק‬ ‫ובעזרת‬ (BC ‫)קטע‬
:C ‫נקודה‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
v = (x − 1, y − 0) = (7, 7) → C(8, 7)
:‫קטע‬ ‫אמצע‬ ‫לפי‬
(xT , yT ) = (8+x
2 , 7+y
2 )
:‫מרחק‬ ‫לפי‬
√
50 = (8+x
2 − 1)2 + (7+y
2 − 0)2
50 = (8+x
2 − 1)2
+ (7+y
2 )2
.‫השאלה‬ ‫בראשית‬ ‫בפיתוח‬ ‫השתמשנו‬1
2

5. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ‫בגרות‬ ,2 ‫שאלה‬ 807 ‫שאלון‬
:‫נקבל‬ ‫המשוואה‬ ‫סידור‬ ‫לאחר‬
(x + 6)2
+ (y + 7)2
= (10
√
2)2
.‫מעגל‬ ‫משוואת‬
:‫נתון‬ ‫ביחס‬ ‫קטע‬ ‫חלוקת‬ ‫לפי‬ (2)
(xL, yL) = (3·8+4·1
7 , 3·7+4·0
7 )
.L(4, 3) ‫ולכן‬
:‫שמצאנו‬ ‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫לפי‬ xL = xB = 4 ‫מתקיים‬ (3)
(4 + 6)2
+ (yB + 7)2
= (10
√
2)2
‫הפתרון‬ ‫ולכן‬ L ‫מקודה‬ ‫את‬ ‫מייצג‬ B1(4, 3) ‫הפתרון‬ ‫אך‬ ,B2(4, −17) ‫או‬ B1(4, 3) ‫נקבל‬
.B(4, −17) ‫הוא‬
3

6. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ‫בגרות‬ ,4 ‫שאלה‬ 807 ‫שאלון‬
.f (x) = 2 ln(x)·(2−ln(x))
x·(1−ln(x))2 ‫הנגזרת‬ ‫נתונה‬ .‫א‬
.‫חלקים‬ ‫למספר‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫את‬ ‫נחלק‬ (1)
:ln(x) ‫פונקציית‬ ‫עבור‬ ,1 ‫דרישה‬
x > 0
:‫יתאפס‬ ‫שהמכנה‬ ‫אסור‬ :2 ‫דרישה‬
x = 0
:‫יתאפס‬ ‫שהמכנה‬ ‫אסור‬ :3 ‫דרישה‬
1 − ln(x) = 0
ln(x) = 1
x = e
.x > 0, x = e ,‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫את‬ ‫לנו‬ ‫יתן‬ ‫הפתרונות‬ ‫כל‬ ‫חיתוך‬
:x = e ‫מציבים‬ ‫כאשר‬ ‫הנגזרת‬ ‫לפונקציית‬ ‫קורה‬ ‫מה‬ ‫נבדוק‬ (2)
f (x = e) = 2 ln(e)·(2−ln(e))
e·(1−ln(e))2 = 2
0
.x = e ‫כאשר‬ ‫נוספת‬ ‫אנכית‬ ‫אסימפטוטה‬
‫לתחום‬ ‫מחוץ‬ ‫זה‬ ‫ערך‬ ,x = 0 ‫נציב‬ ,y ‫־‬ ‫ה‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫חיתוך‬ .‫הצירים‬ ‫עם‬ ‫חיתוך‬ ‫נמצא‬ (3)
:y = 0 ‫נציב‬ x ‫־‬ ‫ה‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫חיתוך‬ .y ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫חיתוך‬ ‫אין‬ ‫ולכן‬ ‫ההגדרה‬
0 = 2 ln(x)·(2−ln(x))
x·(1−ln(x))2
0 = 2 ln(x) · (2 − ln(x))
:‫הביטוי‬ ‫את‬ ‫לאפס‬ ‫ראשונה‬ ‫דרך‬
2 ln(x) = 0 → x = 1
:‫הביטוי‬ ‫את‬ ‫לאפס‬ ‫שנייה‬ ‫דרך‬
2 − ln(x) = 0 → ln(x) = 2 → x = e2
.(e2
, 0) ‫ו־‬ (1, 0) ‫הם‬ ‫הצירים‬ ‫עם‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬
:‫הא"ש‬ ‫פתרון‬ ‫ע"י‬ ‫שלילית‬ ‫או‬ ‫חיובית‬ ‫הנגזרת‬ ‫פונקצית‬ ‫מתי‬ ‫נבדוק‬ (4)
0 < 2 ln(x)·(2−ln(x))
x·(1−ln(x))2
0 < [2 ln(x) · (2 − ln(x))] · [x · (1 − ln(x))2
]
1

7. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ‫בגרות‬ ,4 ‫שאלה‬ 807 ‫שאלון‬
.x = e2
‫ו־‬ x = e ,x = 1 ,(‫ההגדרה‬ ‫לתחום‬ ‫)מחוץ‬ x = 0 ‫עבור‬ ‫מתאפס‬ ‫הביטוי‬
:‫נקבל‬ ‫הנחש‬ ‫שיטת‬ ‫לפי‬
1 e e20 −
+ +
−
‫עבור‬ ‫שלילית‬ ‫הפונקציה‬ ,e < x < e2
‫ו־‬ 1 < x < e ‫עבור‬ ‫חיובית‬ ‫הנגזרת‬ ‫פונקצית‬
.x > e2
‫ו־‬ 0 < x < 1
:‫הנגזרת‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ .‫ב‬
.‫ג‬
y = −4 ‫הישר‬ ‫הוא‬ ‫שהמשיק‬ ‫מכיוון‬ ‫הקיצון‬ ‫מנקודות‬ ‫באחת‬ ‫משיק‬ ‫בהכרח‬ ‫המשיק‬ (1)
‫)הנגזרת‬ x ‫־‬ ‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותכת‬ ,f (x) ,‫הנגזרת‬ ‫פונקצית‬ ‫כאשר‬ .(‫אפס‬ ‫המשיק‬ ‫של‬ ‫)שיפועו‬
‫בנקודה‬ f(x) ‫לפונקציה‬ ‫משיק‬ y = −4 ‫הישר‬ (‫קיצון‬ ‫יש‬ f(x) ‫לפונקציה‬ ‫ולכן‬ ‫מתאפסת‬
.(e2
, −4) ‫היא‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬ .x = e2
‫שבה‬
‫הקיצון‬ ‫נקודת‬ ‫לאחר‬ ‫יורדת‬ ‫הפונקציה‬ ‫ולכן‬ ‫לירידה‬ ‫מעלייה‬ ‫עוברת‬ ‫הנגזרת‬ x = e2
‫ב‬ (2)
.f(e3
) < −4 ‫ולכן‬
:‫נקבל‬ ‫אינטגרל‬ ‫לפי‬ (3)
0.5 =
´ e3
e2 f (x)dx = f(x)|e3
e2
0.5 = f(e3
) − f(e2
)
:‫ולכן‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ (e2
, −4) ‫שהנקודה‬ ‫ראינו‬
0.5 = f(e3
) − (−4) → f(e3
) = −4.5
2

8. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ‫בגרות‬ ,5 ‫שאלה‬ 807 ‫שאלון‬
‫קובע‬ ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ .0 < a < 1 ,f(x) = ax+1
a2x−1 ‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬ .‫א‬
:‫נדרוש‬ ‫ולכן‬ ‫יתאפס‬ ‫שהמכנה‬ ‫שאסור‬
a2x
− 1 = 0
a2x
= 1
2x = 0
.x = 0 ,‫אפס‬ ‫מלבד‬ x ‫כל‬ ‫הוא‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫ולכן‬
.f(−x) = −f(x) ‫מקיימת‬ ‫זוגית‬ ‫אי‬ ‫פונקציה‬ .‫ב‬
f(−x) = a−x+1
a−2x−1 = a−x
·a
a−2x−1 =
a
ax
1
a2x −1
=
a
ax
1−a2x
a2x
= a·a2x
ax(1−a2x) = a·ax
1−a2x
−f(x) = − ax+1
a2x−1 = − ax
·a
a2x−1 = ax
·a
−a2x+1
.‫זוגית‬ ‫אי‬ ‫הפונקציה‬ ‫ולכן‬ f(−x) = −f(x) ‫מתקיים‬
‫של‬ ‫הנגזרות‬ ‫את‬ ‫בנפרד‬ ‫נרשום‬ ‫הנוחות‬ ‫למען‬ .‫הנגזרת‬ ‫לפי‬ ‫וירידה‬ ‫עלייה‬ ‫תחומי‬ ‫נמצא‬ .‫ג‬
:‫והמכנה‬ ‫המונה‬
(ax+1
) = ax+1
· 1 · ln(a)
(a2x
− 1) = a2x
· 2 · ln(a)
:‫מנה‬ ‫של‬ ‫נגזרת‬ ‫לפי‬ ‫נגזור‬ ,f(x) ,‫הפונקציה‬ ‫את‬
f (x) = [ax+1
·1·ln(a)·(a2x
−1)]−[(ax+1
)·a2x
·2·ln(a)
(a2x−1)2 = ln(a)·ax+1
[(a2x
−1)−2a2x
]
(a2x−1)2
= ln(a)·ax+1
[−a2x
−1]
(a2x−1)2 = −ln(a)·ax+1
[a2x
+1]
(a2x−1)2
:‫ביטווים‬ ‫למספר‬ ‫המונה‬ ‫את‬ ‫נפרק‬ .0 < a < 1 ‫ש‬ ‫ידוע‬
.‫חיובי‬ ‫תמיד‬ :−ln(a)
.‫חיובי‬ ‫תמיד‬ :ax+1
.‫חיובי‬ ‫תמיד‬ :a2x
+ 1
‫ז"א‬ ,‫חיובית‬ ‫שהנגזרת‬ ‫מקבלים‬ ‫אנו‬ ‫ולכן‬ (‫הזוגית‬ ‫החזקה‬ ‫)בגלל‬ ‫חיובי‬ ‫תמיד‬ ‫גם‬ ‫המכנה‬
.‫מוגדרת‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ x = 0 ‫וכאשר‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫בכל‬ ‫עולה‬ ‫הפונקציה‬ .f (x) > 0
1

9. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ‫בגרות‬ ,5 ‫שאלה‬ 807 ‫שאלון‬
:‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ .‫ד‬
.xT = −1 ‫ולכן‬ f (1) = f (−1) ‫ולכן‬ ‫זוגית‬ ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ .‫ה‬
f(−1) = a2
1−a2
T(−1, a2
1−a2 )
2