Explicación clara y con recursos de la web

1. NÚMEROS NATURALES Y
ENTEROS
MATEMÁTICAS 1º ESO

2. NÚMEROS NATURALES Y
DIVISIBILIDAD
• 1.SISTEMAS DE NUMERACIÓN:
• Desde la antigüedad el hombre ha inventado métodos para contar las cosas,
ejemplo: los romanos utilizaban algunas letras mayúsculas del alfabeto latino (I, V,
X, L, C, D, M) para representar los números.
• Realiza las siguientes actividades:
• http://www.genmagic.net/mates3/nro1c.swf
• Nosotros utilizamos unos símbolos llamados cifras, utilizamos 10 cifras para formar
cualquier número de nuestro sistema de numeración. Al conjunto de todos estos
números se llama “números naturales”. Los números naturales están formados por
todos los números positivos.
• N= ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...)
• Los números naturales los representamos en una recta ordenados de menor a
mayor, en la recta señalamos un punto que marcamos con el número 0 y a la
derecha de 0 y con las mismas separaciones situamos de menor a mayor los
siguientes números naturales.
• La cantidad de números naturales es infinita pues siempre se puede añadir un
número más.
• Aquí se poidría añadir una dirección de internet:
• http://www.digital-text.com/muestra_capitulos/m101e.html

3. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
• Es el conjunto de nomas que se utilizan para escribir y expresar
cualquier número. Nuestro sistema tiene dos características
fundamentales:
• es decimal: pues utiliza 10 cifras para construir todos los
números. Por lo tanto, una unidad de cualquier orden equivale a
10 unidades del orden inmediato inferior y a la inversa, 10
unidades de cualquier orden constituyen una unidad del orden
inmediato superior.
• b) es posicional: pues el valor que representa cada cifra depende de
la posición que ocupe dentro del número. Ej.: en el nº 58.655
aparece tres veces la cifra 5, pero cada una de ellas tiene otro valor,
si vamos de derecha a la izquierda, el primer 5 que encontramos
representa las unidades, por eso vale 5, el 2º 5 representa las
decenas y vale 50, el 3º centenas de mil y vale: 500.000.

4. LECTURA DE NÚMEROS
NATURALES
• 1º Dividiremos el número en grupos de seis
cifras, intercalando subíndices 1,2,3
• 2º Cada grupo de seis lo dividiremos en dos
grupos de tres cifras mediante un punto.
• 3º Se empieza a leer el número empezando
por la izquierda, leyendo trillón al llegar al
subíndice 3, billón al 2, y millón al 1; se lee
mil cada vez que llegamos a un punto.

5. ENTRETENIMIENTO
• Se recomienda la lectura del siguiente libro:
http://www.librosmaravillosos.com/eldiablodelosnumeros/index.html
1. Escribe en un papel el numero 12345679 (ojo, falta el 8) pide a un amigo
que te diga una cifra del 1 al 9, multiplícala mentalmente por 9, escribe el
resultado bajo el numero 12345679 y pide a tu amigo que multiplique las
dos cifras. Se asombrara del resultado.
2. Pon sobre la mesa un sobre cerrado, un papel y un lapicero, pide a un
amigo que escriba en él papel cualquier numero de tres cifras, por
ejemplo 528, después que escriba este mismo numero con las cifras
invertidas, en nuestro ejemplo 825, que reste el menor del mayor,
825-528=297 y por ultimo que sume los dígitos del numero obtenido,
2+7+9=18.
Entonces abre el sobre y saca un papel que pusiste antes de cerrarlo con
la frase "El numero obtenido es el 18"
¿Qué como lo sabias? el resultado siempre es 18, únicamente una
precaución, el numero inicial no puede ser capicúa, al hacer la resta daría
0 de resultado.

6. ENTRETENIMIENTO
3. Pon otro sobre encima de la mesa y pide que escriban esta vez un
numero de 4 dígitos, por ejemplo 2536, debajo de este otro con los
mismos dígitos pero en otro orden, por ejemplo 3265, que resten el menor
del mayor, 3265-2536=729, que sumen los dígitos del numero obtenido,
7+2+9=18, si el resultado es un numero de dos dígitos que los sumen
entre si, 1+8=9, entonces abre el sobre y saca el papel donde escribiste
"El numero obtenido es el 9" ¿Sorprendido?
4. Escoge un número de tres cifras, el que más te guste, y escríbelo dos
veces seguidas para tener un número de seis cifras. Divídelo por 7: verás
que da exacto. Divide el cociente por 11: vuelve a ser exacto. Y el segundo
cociente divídelo otra vez, ahora por 13. ¡Sorpresa! No solamente vuelve a
ser exacto, sino que el cociente final es el número de tres cifras del que
has partido. Puedes comprobar que pasa siempre lo mismo, sea cual sea
el número elegido. Se trata de que encuentres las razones por las que eso
sucede.
Ejemplo: 475 ..... 475475 : 7 = 67925 : 11 = 6175 : 13 = 475

7. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON
NÚMEROS NATURALES
• De la suma y multiplicación:
 conmutativa: el orden de los sumandos o de los factores no varía el
resultado.
• Ej: 4+2 = 2+4; 3X5 = 5X3
 asociativa: el orden en que se realicen las sumas o multiplicaciones no
varía el resultado.
• Ej: (3+1)+2 = 3+(1+2); (2X7)X3 = 2X(7X3)
• Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: esta
propiedad permite transformar productos en sumas y al revés.
• Ej: 3X(2+6) = 3X2 + 3X6
• Factor común: cuando se aplica la propiedad distributiva para
transformar una suma o una resta en un producto, se dice que
se ha sacado factor común.
• Ej: 5X3 + 2X3 = 3X(5+2); 6X9 – 6X5 = 6X(9-5)

8. MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN
NÚMERO
• Un número es múltiplo de otro cuando es el
resultado de multiplicar el segundo por cualquier
número natural.
• Por tanto, para obtener los múltiplos de un
número se multiplica ese número por los
números naturales.
• Ej: los múltiplos de 2 son:
• 2X0=0, 2X1=1, 2X2=4, 2X3=6, 2X4=8,….
• Un número es divisor de otro cuando la división
del segundo por el primero da exacta.
• Ej: 6:2=3, por tanto 3 es divisor de 6.

9. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
• Para calcularlos:
• 1º descompongo cada número en
producto de factores primos
• 2º es m.c.d.es igual al producto de los
fctores primos comunes elevados al
menor exponente.
• 3º el m.c.m. es igual al producto de los
factores primos, comunes y no comunes,
elevados al mayor exponente

10. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
• Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o en cifra
par.
Un número es divisible por 3 si lo es la suma de sus
cifras.
Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5.
Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 al
mismo tiempo.
Un número es divisible por 10 si acaba en 0.
Un número es divisible por 11 si lo es la diferencia entre
la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma
de las que ocupan lugar par

11. NÚMEROS ENTEROS:
CONCEPTOS
Son los números naturales preceidios del signo + y – y el “0”
1.Regla de los signos:
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores
absolutos (número natural que resulta al quitar el signo)y luego se pone
el signo, si son factores con signos iguales se pone signo +, si son
distintos -.
Ejemplo: (+3)x(-2)=(-6)
(-4)x(-5)=(+20)

12. PROPIEDADES DE LOS
NÚMEROS ENTEROS
• 2. Propiedad distributiva:
Permite transformar productos en sumas y al contrario.
El producto de un entero por una suma es igual a la suma de los productos
de dicho número por cada sumando.
Ejemplo:(-4)x((+3)+(-5))=(-4)x(+3)+(-4)x(-5)
(-4)x(-2)=(+8); (-12)+(+20)=(+8)
el resultado es el mismo.
3. Sacar factor común:
Es una aplicación de la propiedad distributiva.
Si tenemos una suma en la que todos los sumandos tienen un factor común
(número igual),
la escribiremos en forma de producto.
Ejemplo: (-2)x(+6)+(-5)x(-2)=(-2)x((+6)+(-5))
los sumandos (-2)x(+6) y (-5)x(-2) los hemos transformado en producto

13. OPERACIONES COMBINADAS
• Son operaciones mixtas sobre enteros, es decir, se hacen distintas
operaciones, sumas, restas, productos o cocientes. Para ello es
necesario establecer una prioridad a la hora de operar.
•
-para poder sumar o restar dos números deben estar sueltos, no
podemos sumar dos números si uno de ellos está unido por el
otro lado a otra expresión mediante un signo de multiplicar.
- las operaciones combinadas se resuelven en varios pasos, todo lo
que no se resuelva en un paso se debe copiar otra vez tal como
estaba, sin olvidarlo ni cambiarlo de posición.
- por eso, antes de comenzar a resolver operaciones
combinadas debemos observar la expresión y plantearnos una
estrategia a seguir, lo que vamos a hacer antes y después.

14. REGLA OP. COMBINADAS
• Para realizar operaciones combinadas con
números enteros debemos tener en cuenta la
jerarquía de operaciones, de modo que:
• -Primero se realizan los corchetes y luego los
paréntesis
• -Después las multiplicaciones y divisiones.
• -Después las sumas y las restas.
• -Cuando dos operaciones tienen la misma
importancia se realizan de izquierda a derecha.

15. EXPLICACIÓN PASO A PASO
Inicialmente calculamos las expresiones que hay
dentro de cada corchete, si dentro de un corchete hay
algún paréntesis se opera dentro del paréntesis.
4 [ -9 (8-6-4) -8 ] +2 [ - (-9+3+9) -3 ]
Se quitan los paréntesis que hay dentro de cada corchete
operando con su contenido
4[-9(-2)-8]+2[-(+3)-3]
Calculamos dentro de los corchetes
4[18-8]+2[-6]=4·10+2·(-6)
Finalmente multiplicamos y sumamos, concediendo
prioridad al producto
40-12=28