Derivatives

Ζουρνά Άννας Εισαγωγή στις Παραγώγους

Στιγμιαία ταχύτητα ,[object Object],[object Object]

Στιγμιαία ταχύτητα ,[object Object]

Στιγμιαία ταχύτητα ,[object Object],[object Object],S(t) – S(t 0 ) t – t 0

Στιγμιαία ταχύτητα ,[object Object],S(t) – S(t 0 ) t – t 0 υ (t 0 ) = lim t  t 0

Σχόλιο ,[object Object],Άρα και S(t) – S(t 0 ) t – t 0 > 0 ≥ 0 υ (t 0 )

Σχόλιο ,[object Object],Άρα και S(t) – S(t 0 ) t – t 0 < 0 ≤ 0 υ (t 0 )

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης ,[object Object],Α O

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης ,[object Object],εφαπτομένη στο Α Α Μ 2 Μ 1 O Μ 3

[object Object],Εφαπτομένη γραφικής παράστασης O Α (ε)

x O y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f (x 0 ) A C f x 0

x O C f x 0 A (x 0 , f(x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης

(ε) x O C f x 0 A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης M(x, f(x))

(ε) x O C f x x 0 M (x, f(x)) A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x)

(ε) x O C f x x 0 M A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x) To Α συμπίπτει με το Μ Η (ε) εφάπτεται της C f

x O C f x 0 A (x 0 , f(x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης 0 M x f(x) (ε) Αντίστοιχα εργαζόμαστε όταν το x -> x 0 –

x O C f x 0 A (x 0 , f(x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης 0 M x f(x) (ε) To Α συμπίπτει με το Μ Η (ε) εφάπτεται της C f Αντίστοιχα εργαζόμαστε όταν το x -> x 0 –

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x  x 0

Εξίσωση εφαπτομένης ,[object Object],λ = f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x  x 0

Παράδειγμα ,[object Object],[object Object],= = = = = f(x) – f( 1 ) x – 1 lim x  1 x 2 – 1 x – 1 lim x  1 (x – 1 )(x + 1) x – 1 lim x  1 (x + 1 ) = lim x  1

Παράδειγμα ,[object Object],[object Object],= = = = (x + 1 ) = 2 lim x  1 = f(x) – f( 1 ) x – 1 lim x  1 x 2 – 1 x – 1 lim x  1 (x – 1 )(x + 1) x – 1 lim x  1

Παράδειγμα ,[object Object],[object Object],= 2 Επειδή το όριο είναι ένας πραγματικός αριθμός τότε ορίζεται η εφαπτομένη στο Α (1, 1) και έχει εξίσωση την: y – f(1) = λ (x – 1)  y – 1 = 2 (x – 1)   y – 1 = 2 x – 2  y = 2 x – 1 f(x) – f( 1 ) x – 1 lim x  1

Ορισμός ,[object Object],και είναι πραγματικός αριθμός. f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x  x 0

Ορισμός ,[object Object],f ΄( x 0 ) = f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x  x 0

Σχόλιο ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],f ΄( x 0 ) = f(x 0 + h) – f(x 0 ) h lim h  0

Σχόλιο ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],f ΄( x 0 ) = = 1 f(x 0 h) – f(x 0 ) x 0 (h – 1) lim h  1 x x 0 x 0 x 0

Στιγμιαία ταχύτητα ,[object Object],υ (t 0 ) = S ΄ (t 0 )

Στιγμιαία επιτάχυνση ,[object Object],α (t 0 ) = υ΄ (t 0 )

Εξίσωση εφαπτομένης ,[object Object],Ο συντελεστής διεύθυνσης f ΄ (x 0 ) λέγεται και κλίση της f στο x 0 .

Ορισμός ,[object Object]

Θεώρημα ,[object Object],Για έχουμε:

Θεώρημα ,[object Object],Άρα: Δηλαδή η f είναι συνεχής στο x 0 .

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων ,[object Object],Παράγωγος Απόδειξη

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Παράγωγος Απόδειξη Συνάρτηση

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων ,[object Object],Παράγωγος Απόδειξη ν – στο πλήθος

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Παράγωγος Συνάρτηση Παράγωγος Συνάρτηση

Κανόνες Παραγώγισης ,[object Object]

Κανόνες Παραγώγισης ,[object Object],[object Object],[object Object]

Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων

Παράγωγος Σύνθεσης συναρτήσεων κανόνας της αλυσίδας.

Ασκήσεις ,[object Object]

Derivatives

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Derivatives

Similar to Derivatives (20)

More from A Z

More from A Z (20)

Derivatives