3 fe2011 cb-tprob

FONAMENTS D’ELECTRÒNICA

Tema 2.- CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORS

FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORS

2.- CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORS

2.1- El condensador ideal. (Classe 11)
2.2- Propietats dels condensadors. (Classe 11)
2.3.- Circuits RC. Fórmula del valor inicial i final. (Classe 11)
2.4.- Anàlisi de circuits RC. (Classe 12)
2.5.- Bobina (o inductor) ideal. (Classe 12)
2.6.- Propietats de les bobines. (Classe 12)
2.7.- Anàlisi de circuits RL. (Classe 13)
2.8.- Transformador ideal. (Classe 13)



2.1.- Concepte de condensador ideal

El condensador ideal es un element de circuit que es representa amb el símbol de
la figura i te la següent propietat: q
vc = c c
C c

on qc es la càrrega acumulada en l’interior del condensador i C una constant
anomenada capacitat del condensador.
La unitat de C es el Farad = Coulomb/Volt
Derivant l’expressió anterior, i tenint en compte que el corrent que entra al
condensador es ic = dqc/dt, resulta una expressió alternativa pel condensador:
dvc
ic = C
dt c

Principi físic del condensador:
Les càrregues s’acumulen en una placa. La càrrega c

acumulada crea un camp elèctric entre plaques que
expulsa les càrregues de la segona placa.



2.2.- Propietats dels condensadors

1.- Continuïtat de vc en el temps: vc(t+) = vc(t-)
Si no fos així dvc/dt seria infinit, però ic no pot ser físicament infinit.
2.- En règim permanent el condensador equival a un circuit obert, ja que al ser vc constant, la
seva derivada es zero i ic = 0.
3.- El condensador emmagatzema energia elèctrica en el seu interior en forma de camp elèctric.
Ec = ½ C vc2
Aquesta es l’energia que C absorbeix de la font, i es també
l’energia que dissipa RL quan se li connecta el condensador
carregat a la tensió vc

4.- Associació de condensadors:
En paral·lel: Cp = C1 + C2
En série: Cs-1= C1-1 + C2-1
Noteu que es dual a la llei d’associació de resistències



2.3.- Circuits RC. Fórmula del valor inicial i final

Els circuits RC s’analitzen aplicant les lleis de Kirchhoff i la llei del condensador en aquest
element. Surt una equació diferencial en vc.
En circuits RC lineals amb un sol condensador sempre es ic
pot substituir el circuit que “veu” C pel seu equivalent de Rth
+ +
Thévenin:
vth vc C
dv dv
vth = Rth ·ic + vc ic = C c vth = Rth C c + vc - -
dt dt
Aquesta equació diferencial es pot integrar directament:
dvc vth − vc dvc dt −t
= =− ln(vc − vth ) = +M vc − vth = e M e −t / CRth
dt CRth vc − vth CRth CRth
vc = vth + N ·e −t / CRth vc (∞) = vth vc (0) = vth + N vc (t ) = vc (∞) + [ vc (0) − vc (∞)]·e −t /τ τ = CRth

El valor inicial vc(0) es calcula per continuïtat de vc: vc(0)≡ vc(0+) = vc(0-). El valor final vc(∞)
es calcula suposant que C es un circuit obert. Quan s’analitza un circuit després d’una
commutació produïda a t = to, el terme exponencial es exp[(t-to)/τ] enlloc de exp(t/τ).



2.4.- Anàlisi de circuits RC

Per a t = 0- (just abans de tancar l’interruptor): vc(0-) = 10 V
ja que suposem règim permanent ⇒ C = circuit obert
Per a t >=0 (10-vc)/10k = ic + (vc-20)/10k; ic = C·dvc/dt
Substituint i reordenant: C·dvc/dt + vc(2/10k) = 30/10k
Resolent per la fórmula dels valors inicial i final: vc
15
vc(0) = vc(0+) = vc(0-) = 10 V
10
vc(∞) = 10 + im·10k; im = (20-10)/20k; vc(∞) = 15 V
t
3τ
τ = RthC; Rth = 10k||10k = 5k; τ = C·5k ic
1 mA
vc(t) = 15 + (10-15)·exp(-t/τ) = 15 -5·exp(-t/τ)
Per altra banda ic = C·dvc/dx = +(5/Rth)·exp(-t/τ) =
t
3τ
= 1·exp(-t/τ) mA
Noteu que quan t = 3τ s’arriba aproximadament al valor final


2.5.- Concepte de bobina (o inductor) ideal
La bobina ideal es un element de circuit que es representa amb el símbol de
la figura i te la següent propietat:
vL = L·diL/dt
on L es una constant anomenada coeficient d’autoinducció de la bobina.
La unitat de L es el Henry = Volt·segon/Amper

Principi físic de la bobina:
El corrent que circula per les espires de la bobina crea un camp magnètic.
La variació del flux d’aquest camp magnètic en cada espira origina una
diferencia de potencial en ella. La suma de les diferencies de potencial a les
diverses espires origina la tensió vL en els terminals de la bobina



2.6.- Propietats de les bobines

1.- Continuïtat de iL en el temps: iL(t+) = iL(t-)
2.- En règim permanent la bobina equival a un curtcircuit, ja que al fer-se i L constant la seva
derivada es fa zero, i així també ho fa vL.
3.- La bobina emmagatzema energia elèctrica en el seu interior en forma de camp magnètic.
EL = ½ L iL2
EL es l’energia que la bobina absorbeix del circuit al activar-la amb un corrent iL, i es
l’energia que lliura al circuit quan es desactiva.
4.- Associació de bobines
En paral·lel: Lp-1 = L1-1 + L2-1
En série: Ls = L1 + L2
Noteu que segueix les mateixes lleis que l’associació de resistències.



2.7.- Analisi de circuits RL

Es un anàlisi dual al dels circuits RC. Cal canviar vc per iL, ic per vL.
La resolució de l’equació diferencial porta a:
iL(t) = iL(∞) + [iL(0)-iL(∞)]·exp(-t/τ) amb τ = L/Rth
Exemple:
Ia = iL + (vL-Va)/R; vL = L·diL/dt; (L/R)·diL/dt + iL = Ia + Va/R
iL(0+) = iL(0-) = Va/R (ja que L equival a un curtcircuit per t = 0-) iL
Va/R+Ia
iL(∞) = Ia + Va/R (ja que L equival a un curtcircuit en règim
Va/R
permanent)
t
τ = L/Rth; Rth = R 3τ
vL
iL(t) = Ia+Va/R + (Va/R-Ia-Va/R)·exp(-t/τ) = Va/R + Ia·(1-exp(-t/τ) RIa

Per altra banda: vL(t) = L·diL/dt = LIa(-exp(-t/τ)(-1/τ) =
=RIa·exp(-t/τ) t
3τ
Noteu que s’arriba al règim permanent després de 3τ



2.8.- Concepte de transformador ideal
Principi físic del transformador.
Està constituït per dos enrotllaments sobre un nucli magnètic. Un d’ells s’anomena primari,
amb N1 voltes, i l’altre secundari amb N2 voltes.
El nucli magnètic confina el camp magnètic generat pels corrents a les espires.
La variació del flux magnètic en una espira genera una diferència de potencial. Sumant les
tensions de les espires d’un enrotllament s’obté la tensió en els terminals.

v2 (t ) N 2 i2 (t ) −1 −1
= ≡n = =
v1 (t ) N1 i1 (t ) N 2 / N1 n

− i1
P = P + P2 = i1v1 + i2 v2 = i1v1 + (
1 )( nv1 ) = 0
Propietats del transformador ideal n
1.- La relació entre tensions i entre corrents és funció del nombre d’espires. Noteu que les
tensions i corrents han de ser variables en el temps per fer variar el flux magnètic
2.- El transformador transmet energia, sense dissipar-la ni emmagatzemar-la.



EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.

1.- Calculeu la càrrega emmagatzemada en el
condensador de 20 µF en el circuit de la figura, 10 V 10 µF
20 µF 30 µF
suposant que abans d’aplicar la tensió de 10 V els
condensadors estaven descarregats.

Els condensadors en paral·lel de 20 µF i 30 µF equivalen a un condensador de 50 µF (se sumen
les capacitats). Aquest condensador equivalent està en sèrie amb el de 10 µF, donant una
capacitat equivalent de 50/6 µF (producte dividit per suma com en les resistències en paral·lel).
Aplicant la llei del condensador, la càrrega interna d’aquest condensador equivalent serà Q c =
C·Vc = 50/6·10-6 x 10 = 500/6 µC. Aquesta es la càrrega que ha lliurat el generador de 10 V, per
la qual cosa la càrrega interna del condensador de 10 µF serà també aquesta, es a dir 500/6
µC. La tensió entre terminals d’aquest condensador serà Vc1 = Qc/C = 500/6·10-6/10·10-6 = 50/6
V.
La tensió entre terminals dels altres dos condensadors serà Vc2 = 10V - 50/6 V = 10/6 V. La
càrrega interna del condensador de 20 µF serà Qc2 = 20 µF x Vc2 = 200/6 µC, i la del
condensador de 30 µF serà Qc3 = 30 µF x Vc2 = 300/6 µC. Cal notar que Qc2 + Qc3 = 500/6 µC
que es la càrrega interna lliurada pel generador i emmagatzemada pel condensador de 10 µF.



2.- Calculeu l’energia interna d’un condensador de 100 µF carregat a 10 V.

L’energia emmagatzemada per un condensador carregat a una tensió Vc es:
Ec = (1/2)·C·Vc2. Aquesta es l’energia del camp elèctric creat en el seu interior.

Per tant, l’energia del condensador serà: Ec = (1/2)·100·10-6·(10)2 = 5·10-3 Joules




3.- En el circuit de la figura el condensador està inicialment descarregat. A l’instant t = 0
l’interruptor passa a la posició 1. a) Trobeu l’expressió de Vc(t) i de Ic(t). b) Calculeu l’energia
que el condensador ha absorbit del circuit. A l’instant t0, quan
R1 1 2
ja podem suposar el condensador completament carregat,
l’interruptor passa a la posició 2. c) Trobeu l’expressió de +
Vg R2
Vc(t) i de Ic(t). d) Calculeu l’energia que dissipa la resistència Vc Ic
−
R2 durant el procés de descàrrega del condensador.

Quan t ≥ 0 i mentre l’interruptor està a la posició 1, l’expressió de Vc(t) es pot calcular aplicant
la fórmula dels valors inicial i final suposant que aquest circuit dura un temps infinit.
La propietat fonamental del condensador estableix que Vc(t) ha de ser una funció continua. Per
tant Vc(0) = Vc(0-) on t = 0- es l’instant just abans del contacte de l’interruptor a la posició 1.
Com que en aquesta situació el condensador estava descarregat, Vc(0-) = 0.
Una vegada a la posició 1 el condensador s’anirà carregant fins arribar a un nou règim
estacionari. En aquesta situació el condensador equival a un circuit obert, i per tant Ic = 0. En
conseqüència el valor final de Vc serà Vc(∞) = Vg.
La constant de temps serà τ1 = CRth, que en aquest cas Rth = R1.


Vc (t ) = Vc (∞) + [Vc (0) − Vc (∞)]e − (t −to ) /τ 1 = Vg − Vg e − t /τ 1 = Vg (1 − e − t /τ 1 )
dVc (t ) 1 V g −t / τ
El corrent Ic(t) es calcula a partir de Vc(t): I c (t ) = C = C[−V g e −t / τ 1 ](− ) = + e 1
dt τ1 R1
b) L'energia que ha absorbit el condensador serà la integral des de t = 0 fins a t = ∞ de la energia
que absorbeix el condensador en un dt: dEab = Pab·dt = Vc·Ic·dt. Per tant,
∞ ∞ ∞ dV ∞ 1 t =∞ 1

0 ∫ 0 ∫
0 0 ∫
Ec = dEab = Vc I c dt = Vc [C c ]dt = CVc dVc = CVc2
dt 2 t =0
= CV g2
2 ∫
c) Suposarem que en t = t0 el condensador està carregat a Vg. Per tant, quan l’interruptor passi a la
posició 2 farà circular un corrent per R2, que al procedir de la càrrega interna del condensador
provocarà la seva disminució i amb ella la tensió entre els seus terminals, fins que finalment sigui
Vc = 0. La constant de temps serà τ2 = C·R2. Les expressions de Vc(t) i Ic(t) seran:
Vc (t ) = Vc (∞) + [Vc (t 0 ) − Vc (∞)]e − (t −t0 ) /τ 2 = 0 + (V g − 0)e − (t −t0 ) /τ 2 = Vg e −(t −t0 ) /τ 2
dVc (t ) 1 V g − (t −t ) / τ
I c (t ) = C = CV g [e −(t −t0 ) /τ 2 ](− ) = − e 0 2

dt τ2 R2

d) L’energia que dissiparà R2 serà la integral des de t0 fins a ∞ de la energia que absorbeix R2 en un
dt. Noteu que resulta ser la mateixa energia que∞havia absorbit durant −el(tprocés∞de 1
∞ ∞ ∞ V g2 V g2 e 2 −t0 ) /τ 2 càrrega.
E R2 = ∫
t0
dE ab = ∫
t0
VR I R dt = ∫
t0
Vc [− I c ]dt = ∫
t0 R2
e − 2(t −t0 ) /τ 2 dt =
R2 (−2 / τ 2 )
t0
= CV g2
2



EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS
4.- En el circuit de la figura es demana: a) Trobar l’expressió de Vc(t). b) Trobar l’expressió de
Ic(t). c) Representar Vc(t) i Ic(t). d) Calcular en quin instant el condensador presenta una tensió
de 0 V entre els seus terminals. 1 kΩ Ic Ig
4 mA
+ +
2V Ig(t) Vc 10 µF t
- −

a) El canvi de Ig(t) en t = 0 equival a un interruptor. Per a t < 0 Ig = 0 i per t > 0 Ig = 4 mA. Per
trobar Vc(t) cal trobar Vc(0), Vc(∞) i τ i aplicar la fórmula dels valors inicial i final.
Una propietat fonamental del condensador es que Vc(t) ha de ser una funció continua. Per tant,
Vc(0+) = Vc(0-). Però en t = 0- el generador de corrent es zero i si suposem que el circuit està en
règim estacionari en aquesta situació, el corrent Ic serà = 0, i per tant, Vc(0-) = 2 V.
Quan t → ∞ el circuit torna a estar en un nou règim estacionari i per tant Ic = 0. Aleshores el
corrent Ig = 4 mA circula per la malla formada pel generador de 2 V i la resistència de 1 k Ω.
Per tant, la tensió Vc (∞) = 2 - Ig·1 kΩ = -2 V.
La constant de temps del circuit serà τ = C·Rth, on Rth es la resistència de Thévenin que “veu”
C. Anul·lant els generadors independents, Rth = 1 kΩ, i per tant τ = 10 ms.


L’expressió de Vc(t), tenint en compte que la commutació es produeix en to = 0, serà:
Vc (t ) = Vc (∞) + [Vc (0) − Vc (∞)]e − ( t −to ) /τ = − 2 + [2 − ( −2)]e − (t −0 ) /τ = − 2 + 4e − t /τ
b) El corrent que entra al condensador Ic(t) es calcula derivant Vc(t):
dVc (t ) 4C −t /τ 4C −t /τ
I c (t ) = C· = C·4·e −t /τ ·( −1 / τ ) = − e =− e = − 4·e −t /τ mA
dt τ CRth
Vc(t) Ic(t)
c)
2V

3τ = 30µs 3τ = 30µs
t t

-2 V -4 mA

d) Vc = 0 quan t = tr. Per tant, Vc(tr) = 0 = -2+4exp(-tr/τ). Operant: 2 = 4exp(-tr/τ);
exp(tr/τ) = 4/2 = 2; tr/τ = ln(2); tr = τln(2) = 0,69·10 ms = 6,9 ms




5.- Trobeu IL(t) i VL(t) en el circuit de la figura. I1 = 5 mA; R1=1 kΩ; L = 2 mH.

Com que els circuits RL son duals dels RC, calcularem IL(t) utilitzant la fórmula dels valors
inicial i final, i VL(t) la relació entre la tensió i el corrent a la bobina. IL(t) ha de ser una funció
continua, per la qual cosa IL(0) = IL(0-) = 0, ja que l’interruptor està obert i L no està excitada.
Quan tanquem l’interruptor i s’arriba a un nou règim transitòri la bobina equival a un curt
circuit. En aquesta condicions, IL(∞) = I1 = 5 mA.
La constant de temps es τ = L/Rth = L/R1 = 2 µs.
Per tant: IL(t) = IL(∞∞) + [IL(0)-IL(∞)]exp(-t/τ) = 5 – 5exp(-t/τ) = 5[1-exp(-t/τ)] mA

La tensió en terminals de la bobina serà VL(t) = L(dIL/dt) = L[-5exp(-t/τ)]·(-1/τ)= 5exp(-t/τ) V



EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS
6.- El primari d’un transformador es connecta a 220 V i el seu secundari lliura una tensió de 110
V. Calculeu: a) Relació d’espires entre el primari i el secundari (Ns/Np). b) Si es connecta una
resistència de 100 Ω al secundari, ¿quina resistència es veurà des del primari?

La llei de tensions del transformador estableix que Vs/Vp = Ns/Np. Per tant, Ns/Np = Vs/Vp =
110/220 = 0,5

La resistència equivalent des del primari serà Rp = Vp/Ip
La llei de tensions del transformador estableix que Vp = Vs(Np/Ns) i la llei de corrents
Ip = -Is(Ns/Np). Per tant:
Rp = Vp/Ip = -Vs/Is·(Np/Ns)2
Però en el secundari Vs = -Is·Rs ja que el corrent entra al debanat del secundari pel terminal
positiu de Vs.
Per tant, Rp = +Rs(Np/Ns)2 = Rs(1/0,5)2 = 4·Rs = 400 Ω


3 fe2011 cb-tprob

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (14)

Viewers also liked

Viewers also liked (8)

Similar to 3 fe2011 cb-tprob

Similar to 3 fe2011 cb-tprob (20)

3 fe2011 cb-tprob