1. 1
Batlaw: BUT-iïn ärxlägq,däslägq.................... W.Bat-Ärdänä
X¶nasan: Professor .................... B.Dolgorsürän
Lekc 6
Xiqääliïn sädäw: Xawtgaï dax´ ²uluuny täg²itgäl, tüüniï
xälbärüüd
1. ’ugamyn täg²itgäl
F(x,y)=0 (1) täncätgäliïn züün gar talyn F(x,y) ilärxiïlliïg tägtäï
täncüügüï baïlgax x,y bodit xos utga oldoj baïwal ug täncätgäliïg
xoër ül mädägdägqtäï täg²itgäl gänä. Xäräw x,y -iïn aliwaa utgand
F(x,y)=0
täg²itgäl zöw baïwal tüüniïg adiltgal gänä.
2 2 2
Ji²ää n´: (x − y) − x + 2xy − y = 0.
Täg²itgäliïn züün gar tal n´ x,y xuw´sagquudaas gadna a,b,c,... gäx
mätiïn mädägdäägüï baïgaa bolowq todorxoï näg utga awax üsgüüdiïg
aguulsan baïj bolno. Tädgääriïg bid täg²itgäliïn togtmol parametrüüd
gänä. Ji²ää n´:ax+by+c=0 täg²itgäliïn a,b n´ togtmol parametr
bolno. Xäräw x = x0 , y = y0 xos utgyg täg²itgäliïn xuw´sagquudyn
orond orluulan taw´j bodoxod zöw täncäl garq baïwal x0 , y0 xoër utgyg
ögögdsön täg²itgäliïn ²iïd gänä. Ji²ää n´: x=3, y=4 n´ 4x+3y-24=0
täg²itgäliïn ²iïd bolno.
Koordinatyn sistem togtooson xawtgaï däär ¶mar näg ²ugam ögögdsön
baïg. Tägäxäd F(x,y)=0 täg²itgäliïg zöwxön änä ²ugam däär or²ix
büx cägiïn koordinatuud xangadag baïwal tüüniïg ögögdsön ²ugamyn
täg²itgäl gänä. Ögögdsön täg²itgäläär todorxoïlogdox ²ugamyg ug
täg²itgäläär togtoogdox x,y-iïn todorxoïlogdox ²ugamyn grafik gänä.
Änd x,y n´ ögögdsön muruï däär or²ix duryn cägiïn koordinat bolno.
Tüüniïg xuw´sax koordinat gänä.
’ugamyn parametrt täg²itgäl
Muruïn cägiïn xuw´sax koordinat x,y xoër n´ parametr gäj närlägdäx
tuslax qanartaï xuw´sagq t-ääs xamaarsan funkc xälbärtäï ögögdsön
baïwal tädgääriïg ²ugamyn parametrt täg²itgäl gänä.
Ji²ää n´: Koordinatyn äx däär töwtäï r radiustaï toïrgiïn cägiïn
koordinat x,y-iïg x = r cos t, y = r sin t (2) gäj ilärxiïlnä. Üünd t n´

2. 2
[OM] radius (Ox) tänxläg xoëryn xoorondox öncög ba (2) ilärxiïlliïg
toïrgiïn parametrt täg²itgäl gänä. Uqir n´ parametr t-g zaïluulbal
x2 + y 2 = r2 bolno.
3. Xoër cägiïn ogtlolcol olox bodlogo
F(x,y)=0, Q(x,y)=0 täg²itgältäï xoër ²ugam awq tädgääriïn ogtlol-
clyn cägiïg olno gädäg n´ tädgääriïn koordinatyg olno gäsän üg µm.
2 ²ugamyn ogtlolclol gädäg n´ tädgäärt näg zäräg xar³¶alagdax cäg
bolno. Iïmääs ogtlolclyn cägiïn koordinat n´ ögsön täg²itgäl tus
büriïg xangana. Iïmd ogtlolclyn cägiïg oloxyn tuld ögögdsön täg²it-
gälüüdiïg sistemlän bodno.
F (x, y) = 0
Q(x, y) = 0
y = 2x
Ji²ää n´: x=1, y=2 buµu (1,2) bolno.
x + 2y − 5 = 0
4. ’uluuny öncgiïn koäfficienttäï täg²itgäl
Ox tänxlägiïg koordinatyn äxiïg toïruulan cagiïn züüniï xödölgööniï
äsräg qigt ögögdsön ²uluuntaï parallel´ boltol ärgüüläxäd zuragdax
öncgiïg α-aar tämdägläj uul ²uluuny Ox tänxlägt nalsan öncög gäj
närläe.
Todorxoïlolt: Ox tänxlägt nalsan öncgiïn tangensyg ²uluuny öncgiïn
koäfficient gäj närlääd k = tgα gäj tämdäglänä.
y y
M2
y2 − y1
M1 α y-b
x2 − x1 N α
α α b
Zurag 1 x Zurag 2 x
Xäräw ²uluun däär M1 (x1 , y1 ), M2 (x2 , y2 ) cägüüd ögögdsön bol öncgiïn
koäfficient n´ k = x2 −y1 tom³ëogoor ilärxiïlägdänä. Zurag 1.
y
2 −x1
y−b
’uluuny duryn M(x,y)-iïg aw³¶. Zurag 2.
x
= k buµu k = tgα,
y=kx+b änä täg²itgäliïg ²uluuny öncgiïn koäfficienttäï täg²it-
gäl gänä.
Ji²ää 1: Ou tänxlägiïg (0,7) cägäär ogtlon garax Oz -täï 45 gradusyn

3. 3
öncög üüsgäx ²uluuny täg²itgäl zoxio. k = tg450 = 1, b = 7, y=
x+7 bolno.
Ji²ää 2: Koordinatyn äxiïg daïrsan k=1/5 öncgiïn koäfficienttäï
²uluuny täg²itgäl zoxio. y = 1/5x.
Ji²ää 3: y=x+2 ²uluuny Ox-t nalsan öncgiïg ol. Änd k = tgα = 1
0
tul α = 45 bolno.
Ji²ää 4: Xäräw ²uluun n´ A(2,-4), B(5,5) cägüüdiïg daïrq gardag bol
tüüniï öncgiïn koäfficient k ba Ou-täï ogtlolcson cägiïn koordi-
natyg ol.
−4 = 2k + b
y=kx+b ⇒ ⇒ k=3; b=-10 bolno.
5 = 5k + b
5. Näg cägiïg daïran garsan ²uluuny täg²itgäl
M1 (x1 , y1 ) cägiïg daïrsan ögögdsön k öncgiïn koäfficienttäï täg²it-
gäl zoxio. M cäg ögögdsön ²uluun däär or²ix uqir koordinat n´ tüüniï
täg²itgäliïg xangana. y1 = kx1 + b bolno. Ändääs b-g olj y = kx + b-d
orluulbal y = kx − y1 − kx1 buµu
y − y1 = k(x − x1 ) (3)
bolno.
Ji²ää n´: (2,-3) cägiïg daïrsan k=-3 öncgiïn koäfficienttäï ²ulu-
uny täg²itgäl n´ y + 3 = −3(x − 2) ändääs y=-3x+3 bolno.
6. Xoër cägiïg daïrsan ²uluuny täg²itgäl
M1 (x1 , y1 ), M2 (x2 , y2 ) cägiïg daïrsan ²uluuny täg²itgäl n´
y − y1 x − x1
= (4)
y2 − y1 x2 − x1
baïna.
Ji²ää n´: A(2,1), B(-5,2) cägiïg daïrsan ²uluuny täg²itgäl zoxio.
y−1 x−2
2−1
= −5−2 buµu -7(y-1)=x-2 ändääs x+7y-9=0 bolno.
7. ’uluuny erönxiï täg²itgäl
Täg² öncögt koordinatyn sistemd M1 (a1 , b1 ), M2 (a2 , b2 ) cägüüd aw³¶. Ädgäärääs
ijil zaïd or²ix cägüüdiïn olonlogiïn duryn cägiïg M(x,y) gäe.
y M M2
M1
x

4. 4
|M1 M | = |M M2 |, |M1 M | = (x − a1 )2 + (y − b1 )2 , |M2 M | = (x − a2 )2 + (y − b2 )2
(x − a1 )2 + (y − b1 )2 = (x − a2 )2 + (y − b2 )2
x − 2a1 x + a1 + y 2 − 2b1 y + b2 = x2 − 2a2 x + a2 + y 2 − 2b2 y + b2 bolno.
2 2
1 2 2
(2a2 − 2a1 )x + (2b2 − 2b1 )y + a2 − a2 + b2 − b2 = 0.
1 2 1 2
A = 2a2 −2a1 , B = 2b2 −2b1 , C = a2 −a2 +b2 −b2 gäsän tämdäglälüüdiïg
1 2 1 2
xiïwäl Ax+By+C=0 gäj biqnä.
A C A C
1. B = 0 bol y = − B x − B ; k = − B ; b = − B tämdägläwäl y=kx+b
bolno. Änä n´ k öncgiïn koäfficienttäï Ou tänxlägiïg b koordinat-
taï cägäär ogtolj garsan ²uluuntaï dürsälnä.
2. A = 0, B = 0 bol Ax+C=0 xälbärtäï bolno. x = − C bolno. Änä A
täg²itgäl n´ Ou tänxlägtäï parallel´ ²uluunyg dürsälnä.
3. A=0 bol By+C=0. Änä täg²itgäl Ox-täï parallel´ ²uluunyg
dürsälnä.
A
4. C=0 bol Ax+By=0 y = − B x gäwäl y=kx bolj koordinatyg äxiïg
daïrsan ²uluunyg dürsälnä.
5. A=C=0, B = 0 bol By=0 täg²itgäl y=0 uqir Ox tänxlägiïg dürsälnä.
6. B=C=0 bol Ax=0 täg²itgäl x=0 uqir Ou tänxlägiïg dürsälnä.
Ji²ää n´: (2,3), (4,-5) cägüüdääs ijil zaïd alslagdsan cägüüdiïn olon-
logiïn täg²itgäl zoxio.
(x − 2)2 + (y − 3)2 = (x − 4)2 + (y + 5)2
x − 4x + 4 + y 2 − 6y + 9 = x2 − 8x + 16 + y 2 + 10y + 25 ⇒ x − 4y − 7 = 0
2
bolno.
8. ’uluuny xärqmäär ilärxiïlägdsän täg²itgäl
Ax+By+C=0-iïn A = 0, B = 0, C = 0 bol Ax+By=-C gäj biqääd 2
talyg n´ (-C)-d xuwaaj
x
−C
+ −yC = 1 xälbärtäï bolno a = − C ,
A
b= C
−B
A B
gäsän tämdägläl xiïwäl
x y
+ =1
a b
²uluunyg xärqmäär ilärxiïlägdsän täg²itgäl gänä.
Ji²ää n´: Ox-iïg a=3, Ou-iïg b=-4 koordinattaï cägüüdäär ogtlon
garax ²uluuny täg²itgäl zoxio.
x y
3
+ −4 = 1 buµu 4x − 3y − 12 = 0 bolno.
Tölöwlögöö bolowsruulsan bag² .............................. L.Ariunaa