Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.
1    Batlaw: BUT-iïn ärxlägq,däslägq.................... W.Bat-ÄrdänäX¶nasan: Professor             ....................  ...
2Üünd: A-xuw´sagqdyn koäfficientuudyn matric buµu sistemiïn ma-tric, X xuw´sagqdyn bagana matric, W sul gi²üüdiïn bagana m...
3tom³ëogoor                                                                        1  3 −2     3         20      4...
4garna. Änd däädäx indeks       (I)-n´   äxniï alxmyn daraa garsan ²inä koäf-ficientuudyg tämdägläsän bolno.              ...
5argaar bod.Bodolt: Sistemiïn örgötgösön matricyn biqwäl:                                                               ...
6 4.   Nägän törliïn ²ugaman täg²itgäliïn sistem. ’iïdiïn                       tulguur sistemBüx sul gi²üüd n´ tägtäï tän...
7n xuw´sagqtaï m täg²itgäliïn sistem (1)-iïn erönxiï ²iïd tüünd xar-galzax nägän törliïn ²ugaman täg²itgäliïn sistem (9)-i...
Nächste SlideShare
Wird geladen in …5
×

Mat1 lec4

835 Aufrufe

Veröffentlicht am

  • Als Erste(r) kommentieren

Mat1 lec4

  1. 1. 1 Batlaw: BUT-iïn ärxlägq,däslägq.................... W.Bat-ÄrdänäX¶nasan: Professor .................... B.Dolgorsürän Lekc 4 Xiqääliïn sädäw: ’TS-iïg bodox Gauss, Krameryn teoremuud, urwuu matricyn arga, ’TS-iïg ²injläx 1. ’TS    a11 x1 + a12 x2 + ... + a1j xj + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2j xj + ... + a2n xn = b2     ...  (1)   ai1 x1 + ai2 x2 + ... + aij xj + ... + ain xn = bi ...     am1 x1 + am2 x2 + ... + amj xj + ... + amn xn = bm Üünd: aij , bi , (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) duryn togtmol toonuud baaij -g täg²itgäliïn ül mädägdäx xuw´sagqdyn koäfficientuud, bi -g sulgi²üüd gänä. (1) xälbäriïn sistemiïg n ül mädägdägqtäï m täg²it-gäliïn sistem gänä. Änä sistemiïg towqoor n aij xj = bi , (i = 1, 2, ..., m) (2) j=1gäj biqnä. Ül mädägdägqiïn orond orluulan tawixad sistemiïn täg²it-gäl büriïg zöw täncätgäl bolgodog x1 = k1 , x2 = k2 , ..., xn = kn gäsänärämbälägdsän n toonuudyg (1) sistemiïn ²iïd gänä. Xäräw sistemn´ ¶daj näg ²iïdtäï bol niïctäï, ²iïdgüï bol niïcgüï sistem gänä.Niïctäï sistem täg²itgäl n´ coryn ganc ²iïdtäï bol todorxoï, nägääsilüü ²iïdtäï bol todorxoïgüï gänä. (1) sistem täg²itgäliïg matricanxälbärtäï biqwäl A·X =B (3)bolno. Änd       a11 a12 ... a1n x1 b1  a21 a22 ... a2n   x   b A=  ... ; X =  2 ; B= 2  ... ... ...   ...   ...  am1 am2 ... amn xn bm
  2. 2. 2Üünd: A-xuw´sagqdyn koäfficientuudyn matric buµu sistemiïn ma-tric, X xuw´sagqdyn bagana matric, W sul gi²üüdiïn bagana matricbolno. 2. n ül mädägdägqtäï n ²ugaman täg²itgäliïn sistem. Krameryn düräm ba urwuu matricyn arga(1) sistemiïn ül mädägdägqiïn too täg²itgäliïn tootoï täncüü, ö.x.m=n baïg. Tägwäl sistemiïn matric n´ kwadrat matric baïx tüüniïtodorxoïlogqiïg sistemiïn todorxoïlogq gääd = |A| gäj tämdägläe.Urwuu matricyn arga (1) sistmeiïg m=n üed erönxiï xälbärt An×ngäsän sistemiïn matricyg n´ ül böxöx ö.x. tüüniï todorxoïlogq |A| =0 baïx üed ²iïdiïg ol³ë. Änä toxioldold A−1 urwuu matric or²in −1baïna. (3) matrican tägcätgäliïn xoër talyg züün talaas n´ A -äär −1 −1 −1 −1ürjüülbäl A (A · X) = A · B bolox ba A · (A · X) = (A · A) · X =E · X = X bolox tul urwuu matricyn argaar sistemiïn ²iïd n´: X = A−1 · B (4)gäsän bagana matric bolloo.Krameryn teorem Sistemiïn matric A-iïn todorxoïlogq , xarinA matricyn j-r baganyg sul gi²üüniï baganaar solixod garax todorx-oïlogq n´ j baïg. Tägwäl =0 üed sistem n´: j xj = , j = (1, 2, ..., n) (5)tom³ëogoor todorxoïlogdox coryn ganc ²iïdtäï baïna. (5) tom³ëogKrameryn tom³ëo gänä.Ji²ää 1: Täg²itgäliïn sistemiïg a) Urwuu matricyn argaar b) Krameryndürmäär bod.       1 −1 1 x1 3Bodolt: 1) A =  2 1 1  , X =  x2  , B =  11  gäj 1 1 2 x3 8tämdägläwäl ögögdsön sistem A · X = B xälbärtäï bolno. Todorxoïlogq|A| = 5 = 0 uqraas A−1 urwuu matric n´ or²in baïna.Ändääs A ma-  1 3 −2 −1 1 tricyn urwuu matricyg olwol A = 5 −3 1 1  bolox ba (4) 1 −2 3
  3. 3. 3tom³ëogoor        1 3 −2 3 20 4 1 1 X = A−1 · B =  −3 1 1   11  =  10  =  2  5 5 1 −2 3 8 5 1Ööröör xälbäl sistemiïn ²iïd(4,2,1) bolno.2) Sistemiïn todorxoïlogq = |A| = 5 = 0 uqir Krameryn teore-moor sistem coryn ganc ²iïdtäï. A matricyn xargalzan näg, xoër,gurawdugaar baganyg sul gi²üüniï baganaar solixod garax matricuu-dyn 1, 2, 3 todorxoïlogqdyg todorxoïl³ë: 3 −1 1 1 3 1 1 −1 3 1 = 11 1 1 = 20; 2 = 2 11 1 = 10; 3 = 2 1 11 =5 8 1 2 1 8 2 1 1 8Odoo Krameryn düräm (5)-aar: 1 20 2 10 3 5 x1 = = = 4; x2 = = = 2; x3 = =1 5 5 5Ööröör xälbäl sistemiïn ²iïd (4,2,1) bolno. 3. Gaussyn argan xuw´sagq büxiï m ²ugaman täg²itgäliïn sistem (1)-iïn ²iïdiïgerönxiï xälbärt awq üz´e. Gaussyn arga n´ xuw´sagquudyg daraalanzaïluulax arga bögööd älementar xuwirgaltaar sistem täg²itgäliïgtüüntäï täncüü ²atalsan sistemiïn (gurwaljin) xälbärt ²iljüüldägba tüünääs süülqiïn xuw´sagqaas äxlän daraaluulan üldsän büx xuw´sagqiïgolno.(1) sistemd x1 xuw´sagqiïn ömnöx koäfficient a11 = 0 gäj üz´e. Xäräwa11 = 0 bol x1 -iïn koäfficient tägääs ¶lgaataï täg²itgäliïg sis-temiïn äxänd biqij baïryg sol´j a11 = 0 baïxyg xanga¶. 1-r alxam. Nägdäx täg²itgäliïg xargalzax toonuudaar (quxamdaa− a21 , − a31 , ..., − am1 ) ürjüülj garsan täg²itgälüüdiïg 2 dax´, 3 dax´, ... a11 a11 a11, m däx (1) sistemiïn täg²itgälüüdäd nämj, x1 -iïg xoërdax´ täg²it-gälääs äxlän daraagiïn täg²itgälüüdääs zaïluulna. Tägwäl:   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1   (I) (I) (I)    a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ... (6) (I) (I) (I) ai2 x2 + ... + ain xn = bi      (I) (I) (I) ... am2 x2 + ... + amn xn = bm 
  4. 4. 4garna. Änd däädäx indeks (I)-n´ äxniï alxmyn daraa garsan ²inä koäf-ficientuudyg tämdägläsän bolno. (I) 2-r alxam. Xäräw a22 = 0 gäj üz´e. Xoërdax´ täg²itgäliïg (I) (I) (I) a a axargalzax toonuudaar (− 32 , − 42 , ..., − m2 ) ürjüülän garsan täg²it- (I) (I) (I) a22 a22 a22gälüüdiïg xargalzan guraw döröw gäx mätqilän m-r sistemiïn täg²it-gälüüd däär nämj, gurawdugaar täg²itgälää äxlän daraagiïn täg²it-gälüüdääs x2 ül mädägdägqiïg zaïluul³¶. x3 , x4 , ..., xr−1 ül mädägdägqiïgdäs daraalan zaïluulax üïldliïg caa²id ürgäljlüülbäl (r-1)-r alxmyndaraa:   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1r xr + a1(r+1) xr+1 + ... + a1n xn = b1  (I) (I) (I) (I) (I) a22 x2 + ... + a2r xr + a2(r+1) xr+1 + ... + a2n xn = b2       ... (r−1) (r−1) (r−1) (7)   arr xr + ar−1 xr+1 + ... + arn xn = br r(r+1)  (r−1) 0 = br+1      (r−1) 0 = bmsistem garna. Sistemiïn süülqiïn m-r täg²itgälüüdiïn tägiïn toon´ züün tald 0 · x1 + 0 · x2 + ... + 0 · xn xälbäräär tämdäglägdänä. Xäräw (r−1) (r−1)br+1 , ..., bm toonuudaas ¶daj näg n´ tägääs ¶lgaataï baïwal täncätgälzörqild xüräx uqir (1) sistem niïcgüï bolno. Iïmd niïctäï sistemiïn (r−1) (r−1)xuw´d br+1 , ..., bm toonuud bügd tägtäï täncüü.(1) sistemääs tüüntäï täncüü qanartaï (7) sistemd ²iljix xuwirgal-tyg Gaussyn argyn ²uud alxam gäj närläx ba (7) sistemääs ül mädägdägqiïgoloxyg urwuu alxam gänä. Gaussyn xuwirgaltyg täg²itgälüüdiïn xuw´dbus xarin tädgääriïn koäfficientuudyn matricyn xuw´d güïcätgäx n´ilüü toxiromjtoï. Sistem (1)–iïn örgötgösön matricyg awq üz´e.   a11 a12 ... a1n b1  a21 a22 ... a2n b2  A1 =   ...  (8) ... ... ... ...  am1 am2 ... amn bmÄnd süülqiïn bagana n´ sul gi²üüdiïn bagana orson baïna.   x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 6  2x1 + 4x2 − 2x3 − 3x4 = 18 Ji²ää 2: täg²itgäliïn sistemiïg Gaussyn  3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4  2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8 
  5. 5. 5argaar bod.Bodolt: Sistemiïn örgötgösön matricyn biqwäl:   1 2 3 −2 6 10  2 4 −2 −3 18 19     3 2 −1 2 4 10  2 −3 2 1 −8 −6Süülqiïn baganyg x¶naltyn bagana gäj närläx ba änä n´ möriïn älemen-tüüdiïn niïlbärtäï täncüü toonuudaas togtono. Änä baganaar xuwirgaltzöw xiïgdsän äsäxiïg ²algana.     1 2 3 −2 6 10 1 2 3 −2 6 10  0 0 −8 1 6 −1   0 −4 −10 8 −14 −20   0 −4 −10 8 −14 −20  ∼  0 0 −8 1     6 −1  0 −7 −4 5 20 14 0 −7 −4 5 20 142 dax´ möriïg (-7/4)-öör ürjij garsan möriïg döröwdäx mörd nämj x2 -iïg gurawdax´ möröös äxlän büx möröös zaïluulbal:    1 2 3 −2 6 10 1 2 3 −2 6 10 0 −4 −10 8 −14 −20   0 −4 −10 8 −14 −20  ∼  0 0 −8 1 6 −1   0 0 −8 1 6 −1  0 0 13.5 9 4.5 27 0 0 0 − 117 117 16 8 0 (2)a33 = −8 = 0 gädgiïg toocoj gurawdax´ möriïg 13.5 = 27 ürjij, garsan 8 16möriïg döröwdäx mörd nämj, süülqiïnxääs x3 -iïg zaïluul³¶. Tägwäl(süülqiïn matric) daraax sistem garna:   x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 6  −4x2 − 10x3 + 8x4 = −14    −8x3 + x4 = 6 − 117 x4 = 117  16 8Ändääs Gaussyn argyn urwuu alxmyg a²iglan sistemiïn ²iïd {1, 2, −1, 2}bolno.’TS-iïg ²injläx Kroneker Kapelliïn teorem. Xäräw ündsänba örgötgösön matricyn ranguud n´ täncüü baïwal (1) sistem n´ niïc-täï ba xäräw ündsän matricyn rang n´ örgötgösön matricyn rangaasbaga baïwal (1) sistem n´ niïcgüï baïna.
  6. 6. 6 4. Nägän törliïn ²ugaman täg²itgäliïn sistem. ’iïdiïn tulguur sistemBüx sul gi²üüd n´ tägtäï täncüü n xuw´sagqtaï m ²ugaman täg²it-gäliïn sistemiïg nägän törliïn ²ugaman täg²itgäliïn sistem gänä.Änä n´ daraax xälbärtäï baïna.   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1j xj + ... + a1n xn = 0  a21 x1 + a22 x2 + ... + a2j xj + ... + a2n xn = 0  (9)   ... am1 x1 + am2 x2 + ... + amj xj + ... + amn xn = 0 (9) sistem n´ ürgälj niïctäï tul tär n´ ¶magt ¶daj täg (0 0 ... 0)²iïdtäï baïdag. Xäräw (9) sistemiïn xuw´d m=n bögööd tüüniï todor-xoïlogq n´ tägääs ¶lgaataï baïwal ug sistem n´ zöwxön täg ²iïdtäï baïxn´ Krameryn teoremoos ilärxiï. Täg bi² ²iïd n´ nägän törliïn sis-tem täg²itgäliïn xuw´d xuw´sagqiïn toonoos täg²itgäliïn too bagabaïxad bolomjtoï buµu tädgääriïn too adil baïxad sistemiïn todor-xoïlogq tägtäï täncüü baïna. (9) sistemiïn x1 = k1 , x2 = k2 , x3 =k3 , ..., xn = kn ²iïdiïg e1 = (k1 , k2 , ..., kn ) mör xälbäräär tämdägläe.Nägän törliïn ²ugaman täg²itgäliïn sistemiïn ²iïd n´ daraax qa-naruudtaï baïna.1. e1 = (k1 , k2 , ..., kn ) n´ (9) sistemiïn ²iïd bol λe1 = (λk1 , λk2 , ..., λkn ) Xäräwn´ mön sistemiïn ²iïd bolno.2. Xäräw e1 = (k1 , k2 , ..., kn ) ba e2 = (l1 , l2 , ..., ln ) sistemiïn ²iïdüüd bolädgääriïn ²ugaman xoslol C1 e1 + C2 e2 = (C1 k1 + C2 l1 ; C1 k2 + C2 l2 ; ...; C1 kn + C2 ln ), ∀C1 , C2 ∈ RTodorxoïlolt: Xäräw (9) sistemiïn ²iïd bür n´ e1, e2, ..., ek ²iïdüüdiïn²ugaman xoslol bolj baïwal ²ugaman xamaaralgüï e1 , e2 , ..., ek ²iïdiïnsistemiïg tulguur gänä.Teorem. Xäräw nägän törliïn ²ugaman täg²itgäliïn sistemiïn ünd-sän matricyn rang n´ xuw´sagqiïn too n-ääs (9) sistemiïn baga baïwal²iïdiïn tulguur sistem n´ n-r sistemääs togtono. Iïmd (9) ²ugamannägän törliïn täg²itgäliïn sistemiïn erönxiï ²iïd n´: c1 e1 + c2 e2 + ... + ck ek (10)Änd: e1 , e2 , ..., ek n´ ²iïdiïn duryn tulguur sistem, c1 , c2 , ..., ck duryntoo ba k = n − r.
  7. 7. 7n xuw´sagqtaï m täg²itgäliïn sistem (1)-iïn erönxiï ²iïd tüünd xar-galzax nägän törliïn ²ugaman täg²itgäliïn sistem (9)-iïn erönxiï²iïd ba ug sistem (9)-iïn tuxaïn ²iïdiïn niïlbärtäï täncüü.Ji²ää 3: Sistemiïg ²injlääd Gaussyn argaar bod. Daraa n´ büx suur´²iïdiïg ol.   2x1 − x2 + x3 − x4 = 5 x1 + 2x2 − 2x3 + 3x4 = −6 3x1 + x2 − x3 + 2x4 = −1      2 −1 1 −1 2 −1 1 −1 5Bodolt: A =  1 2 −2 3  , A1 =  1 2 −2 3 −6  3 1 −1 2 3 1 −1 2 −1A-ündsän matric, A1 -örgötgösön matric. Sistemiïn örgötgösön matri- xuwirga¶. Üüniï tuld 1 2-r mörniï baïryg  cyg  ba sol³ë:  2 −1 1 −1 5 1 2 −2 3 −6 1 2 −2 3 −6 1 2 −2 3 −6  ∼  0 −5 5 −7 17  ∼  0 −5 5 −7 17  ∼ 3 1 −1 2 −1 0 −5 5 −7 17 0 0 0 0 0 1 2 −2 3 −6 uqir rangA = rangA1 = 2 baïna. 0 −5 5 −7 17 1 2 = −5 = 0 uqir x1 , x2 -yg suur´ xuw´sagqaar songon awq bolno. 0 −5Üldsän x3 , x4 n´ qölööt xuw´sagq bolno. Tägwäl suur´ xuw´sagqdygbaruun gar tald gargaj biqwäl: x1 + 2x2 = −6 + 2x3 − 3x4 −5x2 = 17 − 5x3 + 7x4 x2 = − 17 + x3 − 5 x4 , 5 7ändääs x1 = −6 + 2x3 − 3x4 − 2 − 17 + x3 − 5 x4 = 4 − 1 x4 , 5 7 5 5qölööt xuw´sagqid duryn utga ögwöl x3 = C1 , x4 = C2 sistemiïn x¶z-gaargüï olon ²iïd oldono.x1 = 4 − 1 C2 , x2 = − 17 + C1 − 7 C2 , x3 = C1 , x4 = C2 tul sistemiïn 5 5 5 5 4²iïdiïg 5 − 1 C2 ; − 17 + C1 − 5 C2 ; C1 ; C2 gäj biqij bolno. 5 5 7Tölöwlögöö bolowsruulsan bag² ................................... L.Ariunaa

×