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Plan de Formación para Docentes de Tercer Ciclo y
Educación Media
Ministerio de Educación
2015
Semana 2
MÓDULO II: FLUIDOS Y ONDAS
AGENDA
• Saludo
• Principio de pascal
• Tensión superficial
• Capilaridad
• Ecuación de continuidad
• Principio de Bernoulli
• Aplicaciones del principio de Bernoulli
ESTADO LÍQUIDO
• Las moléculas que forman un líquido no están
confinadas a posiciones fijas, como en los sólidos,
sino que se pueden mover libremente de una
posición a otra deslizándose entre sí. Mientras que
un sólido conserva una forma determinada, un
líquido toma la forma del recipiente que lo
contiene. Las moléculas de un líquido están cerca
unas de otras, y resisten mucho las fuerzas de
compresión.
ESTADO LÍQUIDO
• Tanto los líquidos como los gases pueden fluir, y en
consecuencia ambos se denominan fluidos.
Presión
• Un líquido contenido en un recipiente ejerce fuerzas contra las
paredes de éste. Para describir la interacción entre el líquido y
las paredes conviene introducir el concepto de presión, que se
obtiene dividiendo la fuerza perpendicular entre el área sobre la
cual actúa la fuerza:
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 =
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎
Á𝑟𝑒𝑎
=
𝐹⊥
𝐴
ESTADO LÍQUIDO
• La presión en un líquido depende de la profundidad a
la que consideremos y también de la densidad del
líquido.
p = 𝑝0 +ρ𝑔ℎ
Donde po es la presión que existe sobre la superficie
libre del líquido. Si está al aire libre se tratará de la
presión atmosférica que al nivel del mar y
condiciones normales es 1013 mb =101,325 Pa
ESTADO LÍQUIDO
Unidades de presión
6 5
2 2
1 10 10
dinas N
bar
cm m
 
2
1 1 0.981
kgf
at bares
cm
 
1 1.013 1.033atm bares at 
3
1 1.333 10mm Hg x bares

1 𝑝𝑠𝑖 =6.894x103 Pa
La presión en un líquido es igual a una profundidad
dada independiente de la forma del recipiente:
PRINCIPIO DE PASCAL
• La presión aplicada a un
fluido encerrado se
transmite sin disminución
a todas las partes del
fluido y las paredes del
recipiente.
• La Prensa hidráulica
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
PRESIÓN ABSOLUTA Y PRESIÓN MANOMÉTRICA
• Si la presión dentro de un neumático es igual a la
presión atmosférica, el neumático estará
desinflado. La presión debe ser mayor que la
atmosférica para poder sostener el vehículo, así
que la cantidad significativa es la diferencia entre
las presiones interior y exterior. Cuando decimos
que la presión de un neumático es de “32 libras”
(en realidad 32 lb/in², igual a 220 kPa o 2.2⨯10⁵
Pa), queremos decir que es mayor que la presión
atmosférica.
PRESIÓN ABSOLUTA Y PRESIÓN MANOMÉTRICA
• La presión total en el neumático es de 47 lb/in², o
320 kPa. El exceso de presión más allá de la
atmosférica suele llamarse presión manométrica,
y la presión total se llama presión absoluta. Los
ingenieros usan las abreviaturas psig y psia para
“lb/in² manométrica” y “lb/in² absoluta”,
respectivamente. Si la presión es menor que la
atmosférica, como en un vacío parcial, la presión
manométrica es negativa.
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
• Hasta hoy hemos estudiado los fluidos en reposo,
consideraremos hoy el movimiento de un fluido.
El flujo de fluidos suele ser extremadamente
complejo, como se aprecia en las corrientes de los
rápidos de los ríos o en las flamas de una fogata,
pero algunas situaciones se pueden representar
con modelos idealizados relativamente simples.
Un fluido ideal es incompresible (su densidad no
puede cambiar) y no tiene fricción interna
(llamada viscosidad).
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
• Los líquidos son aproximadamente incompresibles en
casi todas las situaciones, y también podemos tratar
un gas como incompresible si las diferencias de
presión de una región a otra no son muy grandes. La
fricción interna en un fluido causa esfuerzos de corte
cuando dos capas adyacentes de fluido se mueven una
en relación con la otra, como cuando un fluido fluye
dentro de un tubo o alrededor de un obstáculo. En
algunos casos, podemos despreciar estas fuerzas de
corte en comparación con las fuerzas debidas a la
gravedad y a diferencias de presión.
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
• El trayecto de una partícula individual en un fluido en
movimiento se llama línea de flujo. Si el patrón
global de flujo no cambia con el tiempo, entonces
tenemos un flujo estable. En un flujo estable, cada
elemento que pasa por un punto dado sigue la misma
línea de flujo. En este caso, el “mapa” de las
velocidades del fluido en distintos puntos del espacio
permanece constante, aunque la velocidad de una
partícula específica pueda cambiar tanto en magnitud
como en dirección durante su movimiento.
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
• Una línea de corriente es una curva cuya tangente
en cualquier punto tiene la dirección de la
velocidad del fluido en ese punto. Si el patrón de
flujo cambia con el tiempo, las líneas de corriente
no coinciden con las de flujo. Consideraremos
sólo situaciones de flujo estable, en las que las
líneas de flujo y las de corriente son idénticas.
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
• Las líneas de flujo que pasan por el borde de un
elemento de área imaginario, como el área A en la
figura, forman un tubo llamado tubo de flujo. De
acuerdo con la definición de línea de flujo, si el flujo es
estable, el fluido no puede cruzar las paredes laterales
de un tubo de flujo; los fluidos de diferentes tubos de
flujo no pueden mezclarse.
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
• La figura ilustra patrones de flujo de fluidos de izquierda a
derecha alrededor de varios obstáculos. Las fotografías se
tomaron inyectando un tinte en el agua que fluye entre dos
placas de vidrio cercanas. Estos patrones son
representativos del flujo laminar, en el que capas
adyacentes de fluido se deslizan suavemente una sobre
otra, y el flujo es estable. (Una lámina es una hoja
delgada.) Si la tasa de flujo es suficientemente alta, o si
las superficies de frontera causan cambios abruptos en la
velocidad, el flujo puede volverse irregular y caótico. Esto
se llama flujo turbulento. En flujo turbulento no hay un
patrón de estado estable; el patrón de flujo cambia
continuamente.
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
• Ecuación de continuidad
• La masa de un fluido en movimiento
no cambia al fluir. Esto conduce a una
relación cuantitativa importante
llamada ecuación de continuidad.
Considere una porción de un tubo de
flujo entre dos secciones transversales
estacionarias con áreas A1 y A2 Los
valores de la rapidez del fluido en
estas secciones son vl y v2,
respectivamente. No fluye fluido a
través de los costados del tubo porque
la velocidad del fluido es tangente a la
pared en todos sus puntos.
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
• Ecuación de continuidad
• Durante un breve intervalo de
tiempo dt, el fluido en A1 se mueve
una distancia v1 dt, así que un
cilindro de fluido de altura v1 dt y
volumen dV1 = A1v1 dt fluye hacia el
tubo a través de A1. Durante ese
mismo lapso, un cilindro de volumen
dV2 = A2v2 dt sale del tubo a través
de A2.
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
• Ecuación de continuidad
• Consideremos primero el caso de un
fluido incompresible cuya densidad ρ
tiene el mismo valor en todos los
puntos. La masa dm1 que fluye al
tubo por A1 en el tiempo dt es dm1 =
ρA1v1dt. De manera similar, la masa
dm2 que sale por A2 en el mismo
tiempo es dm2 = ρA2v2 dt. En flujo
estable, la masa total en el tubo es
constante, así que dm1 = dm2
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
• Ecuación de continuidad
Entonces
𝜌𝐴1 𝑣1 𝑑𝑡 = 𝜌𝐴2 𝑣2 𝑑𝑡
𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2
El producto Av es la tasa de flujo de
volumen (caudal) dV/dt, la rapidez
con que el volumen cruza una
sección del tubo
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝐴𝑣
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
Ecuación de continuidad
Si el fluido es compresible, la
densidad cambia por lo que podemos
generalizar la ecuación de
continuidad así:
𝜌1 𝐴1 𝑣1 = 𝜌2 𝐴2 𝑣2
Si el fluido es más denso en el punto 2
que en el punto 1 (ρ1 < ρ2), la tasa de
flujo de volumen en el punto 2 será
menor que en el punto 1 (A2v2 < A1v1).
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
• Ecuación de continuidad. Ejemplo
• Como parte de un sistema de lubricación para
maquinaria pesada, un aceite con densidad de 850
kg/m3 se bombea a través de un tubo cilíndrico de
8.0 cm de diámetro a razón de 9.5 litros por
segundo. a) Calcule la rapidez del aceite y la tasa
de flujo de masa. b) Si el diámetro del tubo se
reduce a 4.0 cm, ¿qué nuevos valores tendrán la
rapidez y la tasa de flujo de volumen? Suponga
que el aceite es incompresible.
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
Ecuación de continuidad. Ejemplo
La tasa de flujo de volumen dV/dt es igual al producto
A1v1, donde A1 es el área de sección transversal del tubo
de 8.0 cm de diámetro (y radio de 4.0 cm), por lo tanto:
𝑣1 =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝐴1
=
9.5
𝐿
𝑠
10−3 𝑚3
𝐿
𝜋 4.0 × 10−2 𝑚 2
= 1.9
𝑚
𝑠
La tasa de flujo de masa es 𝜌
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 856
𝑘𝑔
𝑚3 9.5 ×
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
Ecuación de Bernoulli
• Según la ecuación de continuidad, la rapidez de flujo
de un fluido puede variar a lo largo de las trayectorias
del fluido. La presión también puede variar; depende
de la altura, al igual que en la situación estática y
también de la rapidez de flujo. Podemos deducir una
relación importante, llamada ecuación de Bernoulli,
que relaciona la presión, la rapidez de flujo y la altura
para el flujo de un fluido ideal. La ecuación de
Bernoulli es una herramienta indispensable para
analizar los sistemas de plomería, las plantas
hidroeléctricas y el vuelo de los aviones.
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
Ecuación de Bernoulli
Para deducir la ecuación de Bernoulli,
aplicamos el teorema del trabajo y la energía
al fluido en una sección de un tubo de flujo.
Consideramos el elemento de fluido que en
algún instante inicial está entre las dos
secciones transversales a y c. Los valores de
la rapidez en los extremos inferior y superior
son v1 y v2. En un pequeño intervalo de
tiempo dt, el fluido que está en a se mueve a
b, una distancia ds1 = v1 dt, y el fluido que
está inicialmente en c se mueve a d, una
distancia ds2 = v2 dt
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
Ecuación de Bernoulli
El fluido es incompresible, así que, por
la ecuación de continuidad, el volumen
de fluido dV que pasa por cualquier
sección transversal durante el tiempo dt
es el mismo.
Es decir, dV = A1 ds1 = A2 ds2.
El trabajo neto dW efectuado sobre
el elemento por el fluido
circundante durante este
desplazamiento es, por lo tanto,
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
Ecuación de Bernoulli
(Recordemos que p = F/A, entonces F = pA)
𝑑𝑊 = 𝑝1 𝐴1 𝑑𝑠1 − 𝑝2 𝐴2 𝑑𝑠2
𝑑𝑊 = 𝑝1 − 𝑝2 𝑑𝑉
El cambio en energía cinética es:
𝑑𝐾 =
1
2
𝜌𝐴1 𝑑𝑠1 𝑣1
2 −
1
2
𝜌𝐴2 𝑑𝑠2 𝑣2
2
𝑑𝐾 =
1
2
𝜌 𝑣1
2 − 𝑣2
2 𝑑𝑉
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
Ecuación de Bernoulli
El cambio en la energía potencial entre los
dos fracciones de fluido es
𝑑𝑈 = 𝜌𝑑𝑉𝑔𝑦1 − 𝜌𝑑𝑉𝑔𝑦2
𝑑𝑈 = 𝜌𝑑𝑉𝑔 𝑦1 − 𝑦2
La ley de conservación de la energía
nos dice que el trabajo realizado debe
ser igual a la suma del cambio de enrgía
cinética y energía potencial
𝑑𝑊 = 𝑑𝐾 + 𝑑𝑈
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
Ecuación de Bernoulli
Por lo tanto
𝑝1 − 𝑝2 𝑑𝑉 =
1
2
𝜌𝑑𝑉 𝑣1
2
− 𝑣2
2
+ 𝜌𝑔 𝑦1 − 𝑦2 𝑑𝑉
𝑝1 − 𝑝2 =
1
2
𝜌 𝑣1
2
− 𝑣2
2
+ 𝜌𝑔 𝑦1 − 𝑦2
Esta es la ecuación de Bernoulli, que la podemos re-
escribir así:
𝑝1 +
1
2
𝜌𝑣1
2
+ 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑝2 +
1
2
𝜌𝑣2
2
+ 𝜌𝑔𝑦2
MÓDULO II: HIDRODINÁMICA
Ecuación de Bernoulli
Podemos concluir que
𝑝 +
1
2
𝜌𝑣2
+ 𝜌𝑔𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

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Presentación 1 semana 2

  • 1. Plan de Formación para Docentes de Tercer Ciclo y Educación Media Ministerio de Educación 2015 Semana 2 MÓDULO II: FLUIDOS Y ONDAS
  • 2. AGENDA • Saludo • Principio de pascal • Tensión superficial • Capilaridad • Ecuación de continuidad • Principio de Bernoulli • Aplicaciones del principio de Bernoulli
  • 3. ESTADO LÍQUIDO • Las moléculas que forman un líquido no están confinadas a posiciones fijas, como en los sólidos, sino que se pueden mover libremente de una posición a otra deslizándose entre sí. Mientras que un sólido conserva una forma determinada, un líquido toma la forma del recipiente que lo contiene. Las moléculas de un líquido están cerca unas de otras, y resisten mucho las fuerzas de compresión.
  • 4. ESTADO LÍQUIDO • Tanto los líquidos como los gases pueden fluir, y en consecuencia ambos se denominan fluidos. Presión • Un líquido contenido en un recipiente ejerce fuerzas contra las paredes de éste. Para describir la interacción entre el líquido y las paredes conviene introducir el concepto de presión, que se obtiene dividiendo la fuerza perpendicular entre el área sobre la cual actúa la fuerza: 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐹⊥ 𝐴
  • 5. ESTADO LÍQUIDO • La presión en un líquido depende de la profundidad a la que consideremos y también de la densidad del líquido. p = 𝑝0 +ρ𝑔ℎ Donde po es la presión que existe sobre la superficie libre del líquido. Si está al aire libre se tratará de la presión atmosférica que al nivel del mar y condiciones normales es 1013 mb =101,325 Pa
  • 6. ESTADO LÍQUIDO Unidades de presión 6 5 2 2 1 10 10 dinas N bar cm m   2 1 1 0.981 kgf at bares cm   1 1.013 1.033atm bares at  3 1 1.333 10mm Hg x bares  1 𝑝𝑠𝑖 =6.894x103 Pa
  • 7. La presión en un líquido es igual a una profundidad dada independiente de la forma del recipiente:
  • 8. PRINCIPIO DE PASCAL • La presión aplicada a un fluido encerrado se transmite sin disminución a todas las partes del fluido y las paredes del recipiente. • La Prensa hidráulica 𝐹1 𝐴1 = 𝐹2 𝐴2
  • 9. PRESIÓN ABSOLUTA Y PRESIÓN MANOMÉTRICA • Si la presión dentro de un neumático es igual a la presión atmosférica, el neumático estará desinflado. La presión debe ser mayor que la atmosférica para poder sostener el vehículo, así que la cantidad significativa es la diferencia entre las presiones interior y exterior. Cuando decimos que la presión de un neumático es de “32 libras” (en realidad 32 lb/in², igual a 220 kPa o 2.2⨯10⁵ Pa), queremos decir que es mayor que la presión atmosférica.
  • 10. PRESIÓN ABSOLUTA Y PRESIÓN MANOMÉTRICA • La presión total en el neumático es de 47 lb/in², o 320 kPa. El exceso de presión más allá de la atmosférica suele llamarse presión manométrica, y la presión total se llama presión absoluta. Los ingenieros usan las abreviaturas psig y psia para “lb/in² manométrica” y “lb/in² absoluta”, respectivamente. Si la presión es menor que la atmosférica, como en un vacío parcial, la presión manométrica es negativa.
  • 11. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA • Hasta hoy hemos estudiado los fluidos en reposo, consideraremos hoy el movimiento de un fluido. El flujo de fluidos suele ser extremadamente complejo, como se aprecia en las corrientes de los rápidos de los ríos o en las flamas de una fogata, pero algunas situaciones se pueden representar con modelos idealizados relativamente simples. Un fluido ideal es incompresible (su densidad no puede cambiar) y no tiene fricción interna (llamada viscosidad).
  • 12. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA • Los líquidos son aproximadamente incompresibles en casi todas las situaciones, y también podemos tratar un gas como incompresible si las diferencias de presión de una región a otra no son muy grandes. La fricción interna en un fluido causa esfuerzos de corte cuando dos capas adyacentes de fluido se mueven una en relación con la otra, como cuando un fluido fluye dentro de un tubo o alrededor de un obstáculo. En algunos casos, podemos despreciar estas fuerzas de corte en comparación con las fuerzas debidas a la gravedad y a diferencias de presión.
  • 13. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA • El trayecto de una partícula individual en un fluido en movimiento se llama línea de flujo. Si el patrón global de flujo no cambia con el tiempo, entonces tenemos un flujo estable. En un flujo estable, cada elemento que pasa por un punto dado sigue la misma línea de flujo. En este caso, el “mapa” de las velocidades del fluido en distintos puntos del espacio permanece constante, aunque la velocidad de una partícula específica pueda cambiar tanto en magnitud como en dirección durante su movimiento.
  • 14. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA • Una línea de corriente es una curva cuya tangente en cualquier punto tiene la dirección de la velocidad del fluido en ese punto. Si el patrón de flujo cambia con el tiempo, las líneas de corriente no coinciden con las de flujo. Consideraremos sólo situaciones de flujo estable, en las que las líneas de flujo y las de corriente son idénticas.
  • 15. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA • Las líneas de flujo que pasan por el borde de un elemento de área imaginario, como el área A en la figura, forman un tubo llamado tubo de flujo. De acuerdo con la definición de línea de flujo, si el flujo es estable, el fluido no puede cruzar las paredes laterales de un tubo de flujo; los fluidos de diferentes tubos de flujo no pueden mezclarse.
  • 16. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA • La figura ilustra patrones de flujo de fluidos de izquierda a derecha alrededor de varios obstáculos. Las fotografías se tomaron inyectando un tinte en el agua que fluye entre dos placas de vidrio cercanas. Estos patrones son representativos del flujo laminar, en el que capas adyacentes de fluido se deslizan suavemente una sobre otra, y el flujo es estable. (Una lámina es una hoja delgada.) Si la tasa de flujo es suficientemente alta, o si las superficies de frontera causan cambios abruptos en la velocidad, el flujo puede volverse irregular y caótico. Esto se llama flujo turbulento. En flujo turbulento no hay un patrón de estado estable; el patrón de flujo cambia continuamente.
  • 17. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA • Ecuación de continuidad • La masa de un fluido en movimiento no cambia al fluir. Esto conduce a una relación cuantitativa importante llamada ecuación de continuidad. Considere una porción de un tubo de flujo entre dos secciones transversales estacionarias con áreas A1 y A2 Los valores de la rapidez del fluido en estas secciones son vl y v2, respectivamente. No fluye fluido a través de los costados del tubo porque la velocidad del fluido es tangente a la pared en todos sus puntos.
  • 18. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA • Ecuación de continuidad • Durante un breve intervalo de tiempo dt, el fluido en A1 se mueve una distancia v1 dt, así que un cilindro de fluido de altura v1 dt y volumen dV1 = A1v1 dt fluye hacia el tubo a través de A1. Durante ese mismo lapso, un cilindro de volumen dV2 = A2v2 dt sale del tubo a través de A2.
  • 19. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA • Ecuación de continuidad • Consideremos primero el caso de un fluido incompresible cuya densidad ρ tiene el mismo valor en todos los puntos. La masa dm1 que fluye al tubo por A1 en el tiempo dt es dm1 = ρA1v1dt. De manera similar, la masa dm2 que sale por A2 en el mismo tiempo es dm2 = ρA2v2 dt. En flujo estable, la masa total en el tubo es constante, así que dm1 = dm2
  • 20. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA • Ecuación de continuidad Entonces 𝜌𝐴1 𝑣1 𝑑𝑡 = 𝜌𝐴2 𝑣2 𝑑𝑡 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 El producto Av es la tasa de flujo de volumen (caudal) dV/dt, la rapidez con que el volumen cruza una sección del tubo 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝐴𝑣
  • 21. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA Ecuación de continuidad Si el fluido es compresible, la densidad cambia por lo que podemos generalizar la ecuación de continuidad así: 𝜌1 𝐴1 𝑣1 = 𝜌2 𝐴2 𝑣2 Si el fluido es más denso en el punto 2 que en el punto 1 (ρ1 < ρ2), la tasa de flujo de volumen en el punto 2 será menor que en el punto 1 (A2v2 < A1v1).
  • 22. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA • Ecuación de continuidad. Ejemplo • Como parte de un sistema de lubricación para maquinaria pesada, un aceite con densidad de 850 kg/m3 se bombea a través de un tubo cilíndrico de 8.0 cm de diámetro a razón de 9.5 litros por segundo. a) Calcule la rapidez del aceite y la tasa de flujo de masa. b) Si el diámetro del tubo se reduce a 4.0 cm, ¿qué nuevos valores tendrán la rapidez y la tasa de flujo de volumen? Suponga que el aceite es incompresible.
  • 23. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA Ecuación de continuidad. Ejemplo La tasa de flujo de volumen dV/dt es igual al producto A1v1, donde A1 es el área de sección transversal del tubo de 8.0 cm de diámetro (y radio de 4.0 cm), por lo tanto: 𝑣1 = 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝐴1 = 9.5 𝐿 𝑠 10−3 𝑚3 𝐿 𝜋 4.0 × 10−2 𝑚 2 = 1.9 𝑚 𝑠 La tasa de flujo de masa es 𝜌 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 856 𝑘𝑔 𝑚3 9.5 ×
  • 24. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA Ecuación de Bernoulli • Según la ecuación de continuidad, la rapidez de flujo de un fluido puede variar a lo largo de las trayectorias del fluido. La presión también puede variar; depende de la altura, al igual que en la situación estática y también de la rapidez de flujo. Podemos deducir una relación importante, llamada ecuación de Bernoulli, que relaciona la presión, la rapidez de flujo y la altura para el flujo de un fluido ideal. La ecuación de Bernoulli es una herramienta indispensable para analizar los sistemas de plomería, las plantas hidroeléctricas y el vuelo de los aviones.
  • 25. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA Ecuación de Bernoulli Para deducir la ecuación de Bernoulli, aplicamos el teorema del trabajo y la energía al fluido en una sección de un tubo de flujo. Consideramos el elemento de fluido que en algún instante inicial está entre las dos secciones transversales a y c. Los valores de la rapidez en los extremos inferior y superior son v1 y v2. En un pequeño intervalo de tiempo dt, el fluido que está en a se mueve a b, una distancia ds1 = v1 dt, y el fluido que está inicialmente en c se mueve a d, una distancia ds2 = v2 dt
  • 26. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA Ecuación de Bernoulli El fluido es incompresible, así que, por la ecuación de continuidad, el volumen de fluido dV que pasa por cualquier sección transversal durante el tiempo dt es el mismo. Es decir, dV = A1 ds1 = A2 ds2. El trabajo neto dW efectuado sobre el elemento por el fluido circundante durante este desplazamiento es, por lo tanto,
  • 27. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA Ecuación de Bernoulli (Recordemos que p = F/A, entonces F = pA) 𝑑𝑊 = 𝑝1 𝐴1 𝑑𝑠1 − 𝑝2 𝐴2 𝑑𝑠2 𝑑𝑊 = 𝑝1 − 𝑝2 𝑑𝑉 El cambio en energía cinética es: 𝑑𝐾 = 1 2 𝜌𝐴1 𝑑𝑠1 𝑣1 2 − 1 2 𝜌𝐴2 𝑑𝑠2 𝑣2 2 𝑑𝐾 = 1 2 𝜌 𝑣1 2 − 𝑣2 2 𝑑𝑉
  • 28. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA Ecuación de Bernoulli El cambio en la energía potencial entre los dos fracciones de fluido es 𝑑𝑈 = 𝜌𝑑𝑉𝑔𝑦1 − 𝜌𝑑𝑉𝑔𝑦2 𝑑𝑈 = 𝜌𝑑𝑉𝑔 𝑦1 − 𝑦2 La ley de conservación de la energía nos dice que el trabajo realizado debe ser igual a la suma del cambio de enrgía cinética y energía potencial 𝑑𝑊 = 𝑑𝐾 + 𝑑𝑈
  • 29. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA Ecuación de Bernoulli Por lo tanto 𝑝1 − 𝑝2 𝑑𝑉 = 1 2 𝜌𝑑𝑉 𝑣1 2 − 𝑣2 2 + 𝜌𝑔 𝑦1 − 𝑦2 𝑑𝑉 𝑝1 − 𝑝2 = 1 2 𝜌 𝑣1 2 − 𝑣2 2 + 𝜌𝑔 𝑦1 − 𝑦2 Esta es la ecuación de Bernoulli, que la podemos re- escribir así: 𝑝1 + 1 2 𝜌𝑣1 2 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑝2 + 1 2 𝜌𝑣2 2 + 𝜌𝑔𝑦2
  • 30. MÓDULO II: HIDRODINÁMICA Ecuación de Bernoulli Podemos concluir que 𝑝 + 1 2 𝜌𝑣2 + 𝜌𝑔𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒