1. SOLUCIONES EXAMEN 2ª EVALUACIÓN 2ºBACHILLERATO
Ejercicio 1:
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema, y resuélvelo si es posible por el
método de Cramer:
Solución:
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la
matriz de los coeficientes:
Luego, ran (A) ≥ 2.
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
Sabemos que la 3a columna depende linealmente de las otras dos primeras. Veamos qué
ocurre con la 4a columna:
Por tanto, ran (A') = 2.
Como ran (A) = ran (A') < no de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
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2. Para resolverlo, podemos prescindir de la 3a ecuación pues es combinación lineal de las
dos primeras. Pasamos la z al 2o miembro y aplicamos la regla de Cramer:
Las soluciones del sistema son:
Ejercicio 2:
Dados los vectores u = (1,0,−3), v = (0,1,2) y w = ( 2,1, k )
a) Obtén los valores de k para que los vectores formen una base
b) Obtén un vector paralelo a v con el mismo módulo de u
Solución:
a)
Una base en el espacio es simplemente un conjunto de tres vectores Linealmente
Independientes.
Por tanto u , v y w formen una base si son Linealmente Independientes, y esto se
cumple si el determinante de la matriz formado por los tres vectores es distinto de cero:
1 0 2
0 1 1 = k+4, si hacemos k+4 = 0, tenemos que k=-4, por tanto para que el
−3 2 k
determinante sea distinto de cero y los vectores formen una base tendrá que ser:
k ≠ -4
2

3. b)
El módulo de u es: u = 12 + 0 2 + (− 2) = 10
2
Un vector paralelo a v es cualquiera de la forma a ⋅ v siendo a un número real
cualquiera:
a ⋅ v = (0, a , 2 a )
Ahora simplemente tenemos que averiguar que valor de a hace que el vector a ⋅ v tenga
módulo 10 . Para ello hacemos que a ⋅ v = 10 y despejaremos la a :
a ⋅ v = 0 2 + a 2 + (2a ) = a 2 + 4a 2 = 5a 2
2
10
5a 2 = 10 , despejamos la a : 5a 2 = 10 ; a 2 =; a2 = 2 ; a = ± 2 .
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Por tanto tenemos dos vectores que cumplen lo pedido:
( ) (
0, 2 ,2 2 y 0,− 2 ,−2 2 )
Ejercicio 3:
Dadas las rectas
a) ¿Pueden ser paralelas?
b) ¿Para que valores de k las rectas se cruzan?
Solución:
a)
Para que r y s sean paralelas sus vectores directores d r y d s tienen que ser paralelos
(proporcionales), o visto de otra forma la matriz M’ formada por estos dos vectores
tiene que tener rango 1:
⎛ 2 2⎞
⎜ ⎟
M’= ⎜ 4 1 ⎟ , tomando el primer menor vemos que es distinto de cero
⎜ 5 3⎟
⎝ ⎠
2 2
= 2-8 = -6, por tanto el rango de M’ es 2
4 1
Por tanto r y s no pueden ser paralelas
b)
3

4. Ejercicio 4:
⎧ x+ y −3 = 0
Dado el plano П: 4x-6y+2z=0 y la recta r: ⎨ , halla la ecuación del
⎩2 y + z − 3 = 0
plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano П
Es el ejercicio 37 de la página 178 del libro modificando la forma de las ecuaciones
dadas.
Solución:
En primer lugar vamos a pasar las ecuaciones de la recta r de implícitas a paramétricas.
Para ello resolvemos el sistema de ecuaciones dado por sus ecuaciones implícitas:
⎧ x+ y −3 = 0
⎨ , es un sistema compatible indeterminado muy sencillo (más incógnitas
⎩2 y + z − 3 = 0
que ecuaciones). Pasamos la incógnita z al 2º miembro y resolvemos en función de
un parámetro λ:
⎧ x+ y =3 3−λ 3+λ
⎨ , z = λ, despejando x e y tenemos que y = ,x=
⎩2 y = 3 − z 2 2
4

5. ⎧ 3 1
⎪x = + λ
⎪ 2 2
⎪ 3 1
Por tanto las ecuaciones paramétricas de la recta quedan r: ⎨ y = − λ
⎪ 2 2
⎪
⎪ z=λ
⎩
El plano П’ que nos piden:
• Pasará por el punto P=(3/2,3/2,0) de la recta r y tendrá como vector director el
vector director de la recta r d r =(1/2, -1/2, 1) = (1, -1, 2), ya que П’ contiene a
la recta r.
• Tendrá como segundo vector director el vector normal del plano П :
nπ = (4, -6, 2) ya que П’ es perpendicular a П
Por tanto las ecuaciones paramétricas del plano quedarán:
⎧ 3
⎪ x = + λ + 4μ
⎪ 2
⎪ 3
П’: ⎨ y = − λ − 6 μ
⎪ 2
⎪
⎪ z = 2λ + 2 μ
⎩
Ejercicio 5:
Calcula la distancia de P(1, 0, 2) a la recta r : (2λ, −λ, 1 + λ).
Solución:
1ª forma:
• Plano π que pasa por P y es perpendicular a r :
Su ecuación es:
π: 2(x − 1) − y + (z − 2) = 0 → π: 2x − y + z − 4 = 0
• Intersección de π y r :
Sustituimos las coordenadas de r en π:
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6. • Distancia pedida:
2ª forma:
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