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Integrales Triples

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Teoría Integrales Triples

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Integrales Triples

  1. 1. INTEG RALES TRIPLES 209 TEMA 4 INTEG RALES TRIPLES INIEQBALIBLELE Er. .. Sea D una region cerrada y acotada del espacio IR3. Sea f: IR3 —> IR unafuncion definida sobre la region D. Los pasos que conducen a la definicién de integral triple son semejantes a Ios que conducen a la definicién de integral doble (Tema 1) y se resumirian asi: 1. Consideramos una red tridimensional de pianos que contenga a D siendo D; i =1 subregiones de la red, de volflmenes respectivos Avi, totalmente con- tenidas en R. 2. Escogemos (xi, yi, zi) punto arbitrario de Di para i =1 n 3. Calculamos Ia suma f(xi, yi, zi) Avi 4. Consideramos redes cada vez mas finas que contengan a D, de modo que Ias dimensiones de cada subregion tiendan a O. y el nflmero de subregiones contenidas en D sea cada vez mayor. Entonces definimos: n jg] f(x, y, z) dV ; = nn_r: Li§1 f(xi, yi, zi)AVi n i n in r I La funcién escalar de tres variables f definida en la region D cerrada y acotada se dice que es integrable sobre D si y solo si verifica Ia existencia del limite anterior y su valor es finito. El valor del Iimite recibe el nombre de integral triple de l sobre D. nii'n fiin in rili Si la funcion f es continua en la region D cerrada y acotada entonces f es inte- grable sobre D. Pri Iin rlril En coordenadas rectangulares cartesianas dV = dx dy dz.
  2. 2. INTEGRALES TRIPLES 210 (1) k f(x, y,z)dxdydz = km f(x, y,z)dxdydz ke IR D D (2) iii mx. y.z)+g<x. y.z>1dxdydz = D = f(x, y, z) dxdydz + g (x, y,z)dx dy dz D D (3) Si D = D1 u D2 donde D1 n D2 es a lo sumo una superficie, m f(x, y,z)dxdydz = m f(x, y,z)dxdydz + m f(x, y,z)dxdydz D D1 D2 Supongamos que la region de integracion D esta limitada inferiormente por la grafica de 2 = p1(X, y) y superiormente por la grafica de z = y2(x. y), de manera que en el piano xy la proyeccion de D viene dada por: < < a1_x_a2 ¢, <x> sy s¢2<x> a1sxsa2 Qmsysgm v, (x. y) S 2 S v_, _(x. y) entonces: a2 ¢2(x) ‘V2 (xvy) mr(x, y,z)dxdydz= j (J ( j f(x, y,z)dz)dy )dx 0 3, ¢, (x) w, <x. y) Las dos oltimas integraciones indican el plano coordenado sobre el que se proyecta el dominio D.
  3. 3. INTEG RALES TRIPLES 21 1 Para efectuar una integral triple tendremos 3! = 6 posibilidades en cuanto al orden de integracion se refiere. lntgrprgtggion y gpligggigngs gt; [a integral triple (1) Si f(x, y, 2) =1 en D, entonces: Volumen (D) = 1 dx dy dz D (2) Si D es un solido cuya masa total esta distribuida en forma conocida siguiendo una funcion de densidad )1 = p (x, y, z), entonces: Masa deD = M(D) = p(x, y, 2) dx dy dz D (3) Las coordenadas ( x, y. 2) del centro de masas del solido D son: §= M—2[1-1j1£jxu(x, y,z)dxdydz y= fi1(Tj)IbUyp(x, y,z)dxdydz 2 = 11/T26) zu(x, y,z)dxdydz (4) El momento de inercia del solido D respecto a una recta r resulta ser: I1, = d2(x, y, z) u (x, y, z) dx dy dz donde d (x, y, z) denotala distancia del punto (x, y, z) ala recta r. E 1 . 1 . I 1 Consideramos el cambio de variable dado por la aplicacion: x = X (u, v, w) y = Y (u, v, w) z = Z (u, v, w) siendo D‘ la region del espacio uvw que se aplica en la region D del espacio xyz. Si se cumplen Ias condiciones siguientes: - Las funciones X, Y, Z,8X/ au, BX/ av, BX/ aw, BY/ Bu, BY/ av, BY/ aw, 82/Bu, 82/av, az/ aw son continuas en D‘. - La aplicacion de D’ sobre D es biyectiva. - El jacobiano de la aplicacion J (u, v, w) ¢ 0.
  4. 4. INTEGRALES TRIPLES 21 2 entonces: mt(x, y,z)dxdydz D =11] f(X(u. v,w), Y(u, v,w), Z(u, v,w)) | J(u, v,w)| dudvdw D. mi vril I (1) Coordenadas cilindricas x= rcos9 y= rsene Z= Z J(r,9,z)= r (2) Coordenadas esféricas y= rsen¢sene x= rsen¢cos9} z= rcosq> J(r, ¢,e)= r2sen¢ TEQBEMA DE LA QIVERQENQIA Di grgengia gig ug Qampg vggtgrigl Paraelcampovectorial F: IR3 -9 IR3 (X. y.Z) —> (F1(X. Y.Z). F2(X. Y.Z)uFa(X. V.Z)) se define la divergencia de F como el siguiente campo escalar:
  5. 5. INTEGRALES TRIPLES 213 r ivrni Sea F: IR3 —> IR3 un campo vectorial cuyas componentes sean funciones continuas con primeras derivadas parciales continuas en un dominio del espacio que contenga a la region D cerrada y acotada. Sea S, frontera de la region D, una superficie regular a trozos y n vector normal exterior a S. Entonces: J F- n dS = divF dx dy dz S D o analogamente: BF aF aF [S1 F1dyAdz+F2dzAdx+F3dx/ xdy = (—a—x‘ + 717? + T“) dxdydz mfl La integral de superficie de F - n se interpreta como el flujo neto que atraviesa la superficie cerrada S en direccion de la normal exterior; este valor es igual a la integral triple sobre la region D del campo escalar div F, que se interpreta como el flujo que se genera en el interior de 8. SBD
  6. 6. INTEGRALES TRIPLES 4.1 4.2 4.3 214 TEMA 4. PROBLEMAS Calcular Ias siguientes integrales triples: (a) xy2z2 dx dy dz D D solido limitado por la superficie z = xy y los pianos y = x, x = 1, z = O (b) (1 +x+y+z)'3dxdydz D D solido limitado por el piano x + y + z = 1 y Ios pianos coordenadas. (c) dx dy dz D D solido limitado por el paraboloide z = x2 + y3, el piano x + y = 1, y los pianos de coordenadas. Calcular Ias integrales triples que se indican: (a) xyz dx dy dz D D= { (x, y,z)e IR3 / x2+y2+z2s1, x20, y. >.O, 220} (b) 1/ X2 + y2 dx dy dz D D= { (x, y,z)e IR3 I x2+y2sz2, oszs1} Calcular las siguientes integrales triples empleando, segon convenga, un cambio a coordenadas cilindricas o esféricas. (a) (x2 + ya) dx dy dz D D solido limitado por las superficies z = 2 y x2 + y2 = 22. (b) mzdxdydz D D esfera de centro el origen y radio a. (c) 111 dxdydz D D solido limitado entre dos esferas concéntricas de radios respectivos a y b ( b > a > 0 ).
  7. 7. INTEG RALES TRIPLES 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 215 Calcular el voiumen del solido limitado por el cilindro x2 + y2 = 4 y los pianos z = 0, z = 4. Calcular el voiumen del solido limitado por el cilindro x2 + y2 = 1 y Ios pianos z=2-x, z= O. Calcular el voiumen del solido limitado por ei cilindro x2 + y2 = 1 y los pianos z=0, x+y+z=2. Calcular el voiumen comprendido entre Ias superficies z = 2 - x2 - y2 y Z = Calcular el voiumen del solido limitado por el paraboloide z = x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 2. Calcular el voiumen del cuerpo limitado por el paraboloide z = x2 + y2 y el cono z = 2 - (x2 + y2)1/2. Calcular el voiumen del cuerpo limitado por el cono 22 = x2 + y2 y la semiesfera x2 + y2 + 22 = 16, z 2 O. Calcular ei voiumen comun a Ios interiores de Ias esferas x2 + y2 + 22 = 1 y x2+y2+z2=2z. Calcular el voiumen de la region del espacio Iimitada por el paraboloide 2 +1 = x2+y2, elciiindro x2+y2=4 yelplano z= -3. Calcular el voiumen del cuerpo limitado inferiormente por el paraboloide x2 + y2 = 4z y superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 5. Calcular el voiumen del solido limitado por el piano 2 = 0, el cilindro circular x2 + y2 = 2x y el semicono 22 = x2 + y2, z 2 O. Calcular el voiumen del solido que es el interior del cilindro x2 + y2 = x limitado por la esfera x2 + y2 + 22 = 1.
  8. 8. INTEGRALES TRIPLES 216 4.16 Calcular ei voiumen del solido limitado por el cilindro paraboiico 2y2 = x y Iosplanos z=0, x+2y+z=4. 4.17 Calcular ei voiumen del recinto del espacio limitado por los pianos z = 1/5, z=4/5 ylasesferas x2+y2+z2=1, x2+y2+(z-1)2=1. 4.18 Calcular el voiumen del solido limitado por las superficies z2 = x2 + y2, 2z= x2+y2, z=1, z=1/2. 4.19 Probar que el momento de inercia de una bola esférica maciza de densi- dad constante respecto a uno cualquiera de sus diametros es 2/5 M R2, donde M denota Ia masay R el radio de la bola. 4.20 Calcular la divergencia de los siguientes campos vectoriales: 4.21 (a) F(x. y.z)= (x"‘. xvz. yz2) (b) (c) F (x. y. 2) = (X2 . sen (xv) . yze*) id) (9) F(x, y,z)= (yinx, x|ny, xylnz) F(x, y,z)= (eXYsenz, e><Zseny, eY2cosx) F(x. y.z)= (X2-y2.y2-z2.x2-22) Para el campo vectorial F : IR3 -9 IR3 cuyas componentes sean fun- ciones continuas con derivadas parciales de primer y segundo orden continuas, demostrar que: div ( rot F ) = 0 4.22 Empieando el teorema de la divergencia, calcular las integrales de super- ficie de los campos vectoriales F sobre las superficies S que se indican: S 5 cubo con centro el origen y aristas de longitud 2. (a) F(><. y.z)= (yz. xz. xy) (b) F(x, y,z)= (x-y, y-z, x-y) Ssfrontera de [O,1]3. (C) 1] (x+y)dyAdz+(y+z)dzAdx+(x+z)dx/ xdy S S E superficie del cuerpo limitado por z = 4 — x2 - y2 y z = 0.
  9. 9. INTEGRALES TRIPLES 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 217 (d) xydy/ dz+y2dzAdx+y2dx/ xdy S Sssuperficiedelcuerpo 0sxs1,0sys1,0szs1. Verificar el teorema de la divergencia para la region del espacio D limi- tada por el paraboloide z = 2 - x2 - y2 y ei piano 2 = 0, y para ei campo F(x, y,z)= (2x+y,2y2,z). Calcular las integrales de superficie de los campos vectoriales F sobre las superficies S que se indican: (a) F(x. y.z)= (x+y. y+z. x+z) S E frontera del solido limitado por ei cilindro x2 + y2 = 9 y Ios pianos Z = 0, Z = 5. (b) F(X. y.z)= (3><2.Xy. z) S E tetraedro limitado por ei piano x + y + z = 1 y Ios pianos de coor- denadas. (C) F(x. y.z)= (3y. -Xz. yX2) S 5 frontera de la region Iimitada por ei paraboloide 22 = x2 - y2 y el piano z = 2. Calcular la integral del campo F (x, y, z) = ( xyz , sen (x2 - 22) , z - 1/2 yz2) sobre la superficie formada por el piano 2x - y + z = 1 y ios pianos de coordenadas. Calcular la integral del campo vectorial F (x, y, z) = ( x2, ex - y, 3x - sen xy ) sobre la superficie Iimitada por la porcion del paraboloide z - 2 = - x2 - y2, para 2 2 0, y la semiesfera x2 + y2 + z2 = 2, para 2 s 0. 5 Puede aplicarse ei teorema de la divergencia? Calcular las integrales de superficie de los campos vectoriales F sobre las superficies S que se indican: (a) xdyAdz+ydzAdx+zdx/ xdy S S= {(x, y,z)e IR3 / x2+y2+z2=a2} (b) xyz dy A dz S S=8[0,1]3
  10. 10. INTEG RALES TRIPLES 21 8 (c) (y cos2x+y3)dzAdx+(x sen2x-3zy2)dxAdy SS= {(x, y,z)eIR3/x2+y2+z2=4} (d) xzdy/ dz+yzdzAdx+dxAdy SS= aD, D= {(x, y,z)e IR3 / x2+y2+z2525, 35255} (e) 2xdyAdz+yzdzAdx+3zdx/ xdy S S=8D, D= {(x, y,z)e IR3 / x2+y254, X50, y50, 05255} 4.28 Calcular la integral de superficie (rot F ) ~ n dS siendo el campo: s F(x, y,z)= (-y, x2,z3) yiasuperficie S: x2+y2+z2=1, -1/25251.
  11. 11. INTEGRALES TRIPLES SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DEL TEMA 4 4.1 Calcular las siguientes integrales triples: (a) xy2z2 dx dy dz D D solido limitado por la superficie z = xy y Ios pianos y = x, x = 1, z = Y Descripcion de D: 05x51 05y5x O525xy X)’ I x y222 dz dy dx = 0 xy222 dx dydz = D 00 1 1 xy2x3y3dydx = —11—8—(J)’ x4x6dx = 1515- [x11]0 = -1-19-E (b) (1 +x+y+z)'3 dx dydz D 219 0 D solido limitado por el piano x + y + 2 = 1 y los pianos coordenados. Descripcion de D: 05x51 05y51-x 05251-x-y
  12. 12. INTEG RALES TRIPLES 1-x 1*)’ (1+x+y+z)'3dxdydz =1 D 0 0 1-x 11-X-v 1-x -11 1 -2 = ?_| 'I (1+x+y+z) 0 0 O 1'X 1 1 - = %i [-1-y+<1+x+y>‘] dx = %i< 0 0 0 Mo) 1_ ___J_ _ 4x1+x)dx_ _i 1.1.. _1_ __52_ ‘2(4 8 '"2)'2'"216 (c) dx dy dz D j 1 (1+x+y+z)—3dzdydx = 0 1 dydx = i[% -(1 +x+y)'2]dydx 0 0 220 D solido limitado por el paraboloide z = x2 + y2, el piano x + y = 1, y ios pianos de coordenadas. _ 2 2 Z " X + y Descripcion de D: x+y=1 05x51 05y51-x D V 05z5x2+ 2 X Y 1 x 11-x x2+y2 11-x 2 2 dxdydz =11 I dzdydz = _[ I (x +y )dydx = D o 0 0 0 0 1 2 1 3 d [X3 X4 (LX1411 1 1 1 _6[[x(1-x)+-3—(1-x)]_x—_3.. -—4.. - 12 0-3-4+-12 4.2 Calcular las integrales triples que se indican:
  13. 13. INTEG RALES TRIPLES 221 (a) xyz dx dy dz D D= { (x, y,z)e IR3 / x2+y3+z2s1, x20, yzo. 220} Descripcién de D: xyzdzdydx= 1 1-x2 11~/1-x2 = §J J xy<1-x2-y2>dydx= §J J [<x-x3>y-xy"1dydx= 0 0 0 0 1 2 22 1 _1_ 31-x (1-X) _1_ _ as __1_ _26[[(x-x) 2 -x 4 ]dx_8‘J; (x 2x+x)dx_48 (b) m , /x2 + y2 dx dy dz D D= { (x, y,z)elR3/x2+y2sz2, 05251} Descripcién de D: -1sxs1 -1-xzs S+1-X2 Por Ia simetria del dominio y del integrando:
  14. 14. INTEGRALES TRIPLES 222 1&7 1 =11 J J x2+ ya dz dy dx x2+y2 dz dy dx 1/ x2+ ya dx dy dz D 1/ 1—x2 1 =4]. I [1/x2+y2-(x2+y2)]dydx= 0 0 . x= rcos6 03631:/2 Cambsoapolares: y= rsene} J(r,6)= r 0SrS1 1:/21 '2 [r3 r4]1 n =4J J. (I'- )f'dfd9=21l: -3—-—4- = '6' 0 0 0 4.3 Calcular Ias siguientes integrales triples empleando, segfln convenga, un cambio a coordenadas cilindricas o esféricas. (a) m (x2 + y2) dx dy dz D D sélido limitado por las superficies z = 2 y x2 + y2 = 22. Z La interseccién del plano z = 2 con el paraboloide X2 + y2 = 22 es una curva cuya proyeccién en el plano xy es la circunferencia x2 + y2 = 4.
  15. 15. INTEG RALES TRIPLES 223 x = r cos 6 Empleando coordenadas cilindricas: Y = F 59” 9 J (r, 9, z) = r Z= Z 0srs2 el sélido D se describe como: o g 9 g 21; 1/2 r2 $25 2 21: 2 2 (x2+y2)dxdydz = JI I r2 rdzdrde = D 0 01/2r2 2 3 1 re r4 r6 2 16 1: =21'C6[| '(2-E )dl'=21t "E-E 0= 3 (b) m zdx dy dz D D esfera de centro el origen y radio a. Coordenadas esféricas: y= rsen¢sen9 z= rcos¢ | J(r, ¢,e)| =r2sen¢ x= rsen¢cos9} Descripcion de D en esféricas: O00 I/ |/ |/ IAI/ |/ r a 4) 1: 9 21: 21: I 0 1C a jbflzdxdydz 6[6[ rcos¢r2sen¢drd¢d6= 21:-0-a4/4=0 21: 1: a = _[ d9 I oos¢sen<| >d¢ I r3dr o o 0 (c) dx dy dz D
  16. 16. INTEGRALES TRIPLES 224 D solido limitado entre dos esferas concéntricas de radios respectivos a y b ( b > a > 0 ). Se trata de hallar ei volumen entre dos esferas concéntricas; podemos su- poner que su centro es ei origen de coordenadas. Coordenadas esféricas: y= rsen¢sen9 z= rcos¢ | J(r, ¢,9)| =r2sen¢ x= rsen¢cos9} asrsb Os¢sx 056521: Descripcion de D en esféricas: 21:1: b 21: 1: b dxdydz = J I I r2sen¢drd¢d6 = Jd9 I send) dfip I i2dr= D 0 0 3 0 0 3 (b3-a*°’)= “" <b“’-a"‘> =2Ti'. -2 3- . 1_ 3 4.4 Calcular el voiumen del solido limitado por el cilindro x2 + y2 = 4 y los pianos z = 0, z = 4. Coordenadas cilindricas: y = rsen e Z= Z J(r, e,z)= r x= rcos0} Descripcion de D en cilindricas: Os9$2n 0srs2 0szs4
  17. 17. INTEG RALES TRIPLES 225 21:24 21: 2 4 Vo| (D) = dxdydz rdzdrde = jde j rdrjdz =161: D 000 0 0 0 4.5 Calcular el volumen del solido limitado por ei cilindro x2 + y2 = 1 y los planos z=2-x, z=0. Coordenadas cilindricas: y = rsen 6 Z = Z J(r, e,z)= r x= rcose} Descripcion de D en cilindricas: 0S9S21: 0srs1 0szs2-rcose 21:12-roost-) Vo| (D) = m dxdydz = jj j rdzdrde = D 0 0 0 21:1 21:1 = J I r(2-rcos9)drd6 = _[ J(2r-r2cose)drd9 = 0 0 0 0 21: senej = 21: 0 1_ 3 21: = I (1-1§ cose)d6 = [6- 0 4.6 Calcular el voiumen del solido limitado por el cilindro x2 + y2 = 1 y Ios planos z=0, x+y+z=2.
  18. 18. INTEG RALES TRIPLES 226 Coordenadas cilindricas: y = rsen 9 Z = Z J(r,6,z)= r x= rcos9} Descripcion de D en cilindricas: 056521: 05 r51 05252-r(cos(-)+sen9) 2,; 1 2-r(cos6+sene) Vo| (D) = dxdydz =1 1 1 rdzdrde = D 0 0 0 21:1 21: =1 j[2r-r2(oose+sene)]drde =1 [1-1§(cos9+sen9)]d6 = 21: 0 0 0 4.7 Calcular ei voiumen comprendido entre las superficies z=2-x2-y2 y 2 = 1/2. Proyeccién en ei plano xy de la curva interseccién: 2'x2'y2 2 2 _1_ X H! = 2 Z Z II mloo En coordenadas cilindricas: x= rcos9 y= rsen6 J(r. (-). Z)= r Z= Z 059521: D se describe como: 05 r51/3/2 1/25252-r2
  19. 19. INTEGRALES TRIPLES 227 21:. /372-1*"’ Jfi Vo| (D)=111dxdydz=1 1 1 rdzdrd6=21:1r(2-12-1/2)dr= D O O 1/2 0 1/33 3/2 3 2 _1_ 4 9 =21'C61(El'-l'3)dl'=21t1:4r24r0 = —8‘1t 4.8 Calcular el voiumen del solido limitado por el paraboloide z = x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + 22 = 2. Proyeccién de la curva intersecciénz Z= X2+y2 1 x2+y2+z2=2 sustituyendo X2 + y2 por z: z+z2=2 z2+z-2=0 solucionesz z = 1, z = -2 La (mica solucién valida es 2 = 1; esto indica que la curva interseccién esta en 2 = 1, por lo tanto, su proyeccion en el plano coordenado xy es: x2+y2 =1 Descripcion del solido D en coordenadas cilindricas: x= rcose 050527: y= rsen9 J(r_e, z)= r O5r51 Z= Z r25z5+ 2-11 21: J2-r2 voI(D)=111dxdydz= 1 1 1 rdzdrd9= D o 0 ,2 1 1 32 = 21t1(l'/2-1'2 -r3)dr= 21:11 EIEL/ .. -L4—1 = 0 2 3/2 4 0
  20. 20. INTEG RALES TRIPLES 4.9 228 = 21:11/3(2/2-1)-1/41= 8'/26” 1: Calcular el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide z = x2 + y2 y el cono z = 2 - ( x2 + y2)1/2. Curva interseccion del cono y el paraboloide: Z= X2 +y2 z=2-11 x2+y2 sustituyendo x2+ y2 por z: Z=2 -1/E liarnando t= f2: t2+t-2=0 Soluciones: t=1,t= —2 F=2—t soluciones para 2: 2 =12; z = 1, 2 = 4 La solucién vélida es 2 = 1. La solucién z = 4 es el corte con la pane superior del cono (por encima de su vértice). Asi pues, Ia proyeccion de la curva interseccién sobre el plano xy es: x2 + y2 = 1 Descripcion del cuerpo D en coordenadas cilindricas: x= rcos9 056521: y= rsen6 J(r, e,z)= r O5r51 Z= Z r25z52-r f Vo| (D) dxdydz= ?c rdzdrd9=21:1r(2-r-r2)dr= D 0 0 11 0.2 1 = 21: 1 (21-12-r3)dr = 31: O
  21. 21. INTEG RALES TRIPLES 229 4.10 Calcular el volumen del cuerpo limitado por el cono 22 = x2 + y2 y la semiesfera x2 + y2 + 22 =16, z 2 0. Z Coordenadas esféricas: x = rsen <1) cos 9 X2+Y2+Z2=15(Y=4) y= rsenq>sen9} z = rcos 41 Id <r. ¢.e>I= «2sen¢ '3 z2=x2+y2(¢=1c/4) Z 4’ r Y Y x x 9 Descripcion de las fronteras de D en coordenadas esféricas: Cono: z2=x2+y2; oos2q>= sen2¢; tg¢= i1 Al considerar Ia parte superior: tg <11 = 1; 41 = 1:/4 Esfera: x2 + y2 + 22 = 42 ; r = 4 Descripcion en esféricas de D: O 5 r 5 4 0 5 <1 5 1:/4 0 5 9 5 21: 21: 1:/4 4 Vol (D) = dxdydz =1 1 1 r2sen¢drd¢d9 = D 0 0 0 21: 1:/4 4 64 2 - 2 =1d91senq>d¢1r2dr = 2n(-J2/2+1)% 43= %)— 1: o o 0 4.1 1 Calcular el voiumen comfin a los interiores de las esferas x2 + y2 + z2 = 1 y x2+y2+z2=2z.
  22. 22. INTEGRALES TRIPLES 230 X +Y2+Z2=2Z Casquetesuperiorde x2+y2+z2=1: z= + 1-x -y Laesfera x2+y2+z2=2z es: y x2+y2+(z-1)2=1 X H, +z2._.1 Casqueteinfeiion z=1- 1-x2-ya El casquete superior de x2 + y2 + 22 = 1 es la frontera superior de D y el casquete inferior de x2 + y2 + (z - 1)2 = 1 es la frontera inferior de D. Proyeccién sobre ei piano xy de la curva interseccién de ambas esferas: x2+y2+(z-1)2=11 2 2 2_ _ X +y2+Z2=1 1-z +(z-1) -1 z_1/2 Ambas esferas se cortan en z = 1/2, ia proyeccion de su interseccion es: x2 + y2 = 3/4 Descripcion de D en coordenadas cilindricas: x= rcos9 056521: y= rsen9 J(r'9’z). __r OSFSE/2 Z= Z 1- 1-r25z5x/1-12 21:1/3/21/1-r2 Vo| (D)=111dxdydz=1 1 1 rdzdrd9= D 0 01-41-12 5/2 1 r2312 2 5/2 = 21:1(2rx/1-r2-r)dr=21: --(—¥--L = —5—1: 0 3/2 2 0 12 4.12 Calcular el voiumen de la region dei espacio Iimitada por ei paraboloide 2+1 = x2+y2, elciiindro x2+y2=4 yelplano z= -3.
  23. 23. INTEG RALES TRIPLES 231 En coordenadas cilindricas: x= rcos9 y= rsen9 J(r,9,z)= r Z= Z Descripcion de la region D: 050521: 05:52 -3525-1+? 21:2—1+r2 Voi(D) = dxdydz =11 1 rdzdrd9 = D 0 0 -3 2 2 = 21:1r(-1+r2+3)dr = 21:1(2r+r3)dr = 161: 0 0 4.13 Calcular ei voiumen del cuerpo limitado inferiormente por ei paraboloide x2 + y2 = 42 y superiormente por la esfera x2 + y2 + 22 = 5. Interseccién de las superficies: x2+y2=4z 1 x2+y2+z2=5 sustituyendo x2 + y2 por 4 z: 4z+z2=5 ’‘ *V2”2=5 z2+4z-5=o soluciones z = 1, z = -5 La solucién valida es 2 = 1 y supone que ambas superficies se cortan en el piano 2 = 1. Para hallar su proyeccion en ei piano coordenado basta sustituir en una cualquiera de las dos ei valor de 2 por 1, y obtener: x2+y2=4
  24. 24. INTEGRALES TRIPLES 232 Descripcién de D en coordenadas cilindricas: Os0S21r ; :::2:%}. .m, =, z= z Tfrzszs 5-r2 21:2‘/5-r"’ Vol(D)= _mdxdydz= I _[rdzdrd6= D o o 1_,2 4 2 2 3/2 =2zcj(r 5-r2-1/4r*‘)dr=21c[-J. (i'_"2)__-_‘_r4] = 0 2 3/2 16 O =23—"(5J§-4) 4.14 Calcular el Volumen del sélido limitado por el plano z = 0, el cilindro circular x2 + y2 = 2x y el semicono 22 = X2 + y2, z 2 0. Elcilindro x2+y3=2x es (x-1)2+y2=1. Por Ia simetria del sélido consideramos sélamente la mitad correspon- diente a la proyeccién sobre el primer cuadrante de xy, D’. 2 Y Z= +y[ x2+y2 x2+y2=2x Y X D x cos 9 sen 9 x r En coordenadas cilindricas: y r } J (r, 9, z) = r z 2 el cilindro x2 + y2 = 2x resulta ser r = 2 cos 0, para 0 5 6 s 1:/2.
  25. 25. INTEG HALES TRIPLES 233 O 5 9 5 112/2 Descripcion de D‘ en cilindricas: 0 5 r 5 2 cos 9 05z5r 1|: /2 20089 I’ Tc/2 20059 Vo| (D) = 2] j Jrdzdrde = 2] J rzdrde = 0 0 0 0 0 161:/2 3 161:/2 2 = —— cos(-)d6=-—— (1-sen9)cos9d6= 3 O 3 0 4.1 5 Calcular ei voiumen del solido que es el interior del cilindro x2 + y? = x limitado por la esfera x2 + y2 + 22 = 1. El cilindro x2 + y3 = x es, completando cuadrados, (x - 1/2)? + y2 = (1/2)2. Por Ia simetria de la figura consideraremos Ia parte superior y de ésta Ia porcion del primer octante; por lo tanto: Vol (D) = 4m dx dy dz D. x = r cos 6 En coordenadas cilindricas: y = r sen 9 J (r, 6, z) = r Z = 2 el cilindro x2 + y2 = x resulta ser r = cos 6, para 0 5 6 5 Tt/2.
  26. 26. INTEGRALES TRIPLES 234 05651:/2 05r5cos6 05z5J1-F Descripcion de D‘ en cilindricas: J -:2 Vo| (D) = 4“? wise 1] rdzdrde = 41? cojsen/1-r2 drde = 0 0 0 0 0 /2 3/2 0059 /2 1! 1! (1-r2) ] -4 3 -2 __ = — e-1 d0 = I [ 3/2 3 I “e” ’ 0 0 0 1t/2 1t/2 3 =5‘1J[(1-cos26)sen6-1]d(-)=11-[-cos6+9£—§-9] = 3 0 3 3 0 21: __§ 3 9 4.1 6 Calcular el volumen del solido limitado por el cilindro paraboiico 2y2 = x y Iosplanos z=0, x+2y+z=4. Para la determinacién del solido D necesitamos saber cual es la inter- seccién de la parabola 2y2 = x con la recta x = 4 - 2y. La parabola y la recta son, respectivamente, Ias intersecciones del cilindro parabélico y del plano dados con el plano coordenado z = 0.
  27. 27. INTEG RALES TRIPLES 235 x=2y2 2 . 2 _ _ y=1 x=4_2y} 2y =4-2y, y +y-2-0, y= _2 Descripcion del solido D: -25y51 2y25x54-2y 05254-x-2y 14-2V4-X-2y 14-2y VoI(D)= _[ J’ J dzdxdy= I [(4-x-2y)dxdy= -2 2y2 o -2 2,2 4. 1 x2 2y 1 4 3 2 81 = '[ +4y "6y = ?- -2 2y2 -2 4.1 7 Calcular el volumen del recinto del espacio limitado por los planos z = 1/5, z=4/5 ylasesferas x2+y2+z2= 1, x2+y2+ (z- 1)2=1. En seccién: Este recinto esta limitado por cuatro fronteras.
  28. 28. INTEGRALES TRIPLES 236 S : Disco sobre el piano 2 = 1/5 limitado por x2 + y2 + (z - 1)2 = 1 Proyeocién en el plano xy: x2+y2 = (3/5)2 S : Porcion de esfera x2 + y2 + (z - 1)2 = 1 Iimitada por z = 1/5 y por la 2 esfera X2 + y2 + 22 = 1 Proyeccién de las curvas interseccién en el plano xy: 2 2 x2 + y2 = (3/5) X2 + y2 = (/3- /2) S : Porcién de esfera x2 + y2 + z2 = 1 Iimitada por z = 4/5 y por la esfe- ra x2+y2+(z-1)2=1 Proyeccién de las curvas interseccién en el plano xy: x2 + y2 = (3/5)2 x2 + y2 = (J5 /2)2 2 2+y2+z =1 8 : Disco sobre el plano z = 4/5 limitado por x , 2 Proyeccuon en el plano xy: x2+y2 = (3/5) Para calcular el voiumen del recinto lo descomponemos en dos: Por un lado, D1, porcién de cilindro circular recto cuyo radio es 3/5 y cuya altura es la diferencia de alturas entre los planos z = 4/5 y z = 1/5 , es decir, 3/5. _ §2§_2._7__ Vo| (D1)_1:(5) 5 -125 1: Por otro lado, D2, que representa un anillo que rodea a la porcion del cilindro anterior. Para poder determinar D2 es necesario tener presente que su proyeccion sobre el plano xy es: En coordenadas cilindricas: x = rcos 6 y= rsen6 J(r,9,z)= r Z= Z Descripcion de D2: 059521: 3/55 rs/ T3/2 1-x/1-:2 525+‘/1-:2
  29. 29. INTEGRALES TRIPLES 237 21: J3/2J1-12 J3/2 vmmQ= ] ] ] rumw=2n](mJLF-nm= 0 3/51“/ "172 3/5 3/2 5/2 =2,c[_<1-F) _fi] P63,‘ 3/2 2 500 3/5 Porlotantoz _ _ 27 63 _1n Vol (D) _ Vol (D1)+Vol (D2) - —125 1: + 500 1: - -500 1: 4.18 Calcular el volumen del solido limitado por las superficies 22 = x2 + y2, 2z= x2+y2, Z=1, Z=1/2. En seccién: x= rcose En cilindricas y = r sen 6 J (r, 6, z) = r, D se describe como: Z= Z 056521: 056521: 1/25r51 D1 15r5J§ D2 1/Zszsr 1/235251 ya que la proyeccion de las intersecciones es: 2 2 2 z = x +y 2 2: 2 =1 2:1/2 } x +y (1/2) e—> r /2
  30. 30. INTEGRALES TRIPLES 238 2 2 2 z= x +y} x2+y2=12 e-9 r=1 z=1 Por Io tanto, para D1: 1§5z5+ x2+y2 <—) 1§5z_<_r _1_ 2 2 z"2(x HM} x2+y2=1 (—> r=1 Z=1/2 Por lo tanto, para D2: 1§(x2+y2)5z51 <-—> —12—r25z51 Entonces: 21:1 r 21:J'2-1 Vo| (D) = dxdydz = ]] ]rdzdrde+] ] ] rdzdrde = D o1/21/2 0 11/2,? 1 5 11 = 27:]r(r-1/2)dr + 21:]r(1-1/2r2)dr= §4—1: 1/2 1 4.1 9 Probar que el momento de inercia de una bola esférica maciza de densi- dad constante respecto a uno cualquiera de sus diametros as 2/5 M R2, donde M denota Ia masa y R el radio de la bola. Z Densidad de la bola: u (x, y,z) = k En coordenadas esféricas: D x= rsen¢cos9 y= rsen<| >sen9 | J (r,9,¢)| =r2senq> Y z= rcos<| > 059521: X la bola se describe como: o ggpg 1; 05r5R
  31. 31. INTEGRALES TRIPLES 239 Si tomamos como diametro de la bola el eje OZ tendremos: 12 = (x2 + y'‘’) u (x, y, 2) dx dy dz = ‘ICE = k] ] ? r2sen2¢ r2sen¢drd¢d9 = 2k1: fsen3¢d¢ ? r4dr = 0 0 0 0 0 W = %k1:R5] (1 . cos2¢) sen 1> d0 = %k7:R5 cos 11> + -3,, -cos3¢ Y = -1% k1:R5 o 0 Por otro lado, la masa total M de una bola homogénea es: M = kdxdydz = k2]u] ? r2senq>drd¢d9 = %k1:Fl3 D 0 0 0 Asi pues, sustituyendo M en I1: 5 _2i -2 2 k1:R —53k1:RFl —5MR _8_ Z 15 4.20 Calcular Ia divergencia de Ios siguientes campos vectoriales: (a) F(x. y.z)= (x2.Xyz. yz2) divF = V-F = (337.-837. 7% )-(x2,xyz, yz2) = 2x+xz+2yz (b) F(x, y,z)= (y| nx, xlny, xylnz) divF = % + 6 + :2! (c) F(x, y,z)= (x2,sen(xy) , yzeX) divF = 2x +xcos(xy)+yex
  32. 32. INTEGRALES TRIPLES 240 (d) F(x, y,z)= (eXYsenz, eXZseny, eYZcosx) divF = yexysenz+e"zcosy+yeyZcosx (e) F(x. y.z)= (x2-y2.y2-22.x2-22) divF = 2x+2y-2z 4.21 4.22 Para el campo vectorial F : IR3 —> IR3 cuyas componentes sean fun- ciones continuas con derivadas parciales de primer y segundo orden continuas, demostrar que: div(rotF)=0 i j k _a_ _g_ _a__ BF3 aF2 BF1 BF3 aF2 a1=1 f0tF= ax By 82 = (W-37.-3-_. ,_—--8;)? -.(-T'W) F1 F2 F3 entonces: BF aF BF 8F a1= BF - _ A _3 _ _2 Q. __1 _ _3 _3_ __.2 _ _1 d'v(r°tF) ‘ ax ( ay 82 + By ( az ax + £92 ( ax ay 82F 82F a21= a21= 82F 62F div(rotF)—- 3- 2+ ‘- 3+ 2- ‘ ' axay axaz ayaz ayax azax azay por lo tanto: div (rot F) = 0 ya que en las condiciones del enunciado podemos asegurar la igualdad de las derivads cruzadas. Empleando el teorema de la divergencia, calcular las integrales de super- ficie de Ios campos vectoriales F sobre las superficies S que se indican: S E cubo con centro el origen y aristas de longitud 2. (a)F(xIyIZ)= (yzIxzvXy)
  33. 33. INTEGRALES TRIPLES 241 Este problema es idéntico al 3.13 (a); ahora lo resolveremos aplicando el teorema de la divergencia. Campo: F(x, y,z)= (yz, xz, xy); divF=0 Recinto de integracion: D = [-1, 1] x [-1, 1] x [-1, 1] 1 ]] F-ndS = Odxdydz = ] ] ]odzdydx = o s D -1-1-1 (b) F (x, y, z) = (x — y, y - z, x - y) S E frontera de [0,1]3. Este problema es idéntico al 3.13 (b); resolucion por aplicacion del teore- ma de la divergencia. Campo: F(x, y,z)= (x-y, y-z, x-y); divF=2 D= [O,1]x[O,1]x[0,1] 1 V S=3[0.1]3 ] F-ndS = divFdxdydz = ] ] ]2dzdydx = 2 S D 0 0 0 (c) (x+y)dy/ dz+ (y+z)dzAdx+(x+z)dxAdy S S E superficie del cuerpo limitado por z = 4 - x2 — y2 y z = 0. Este problema ya ha sido resuelto en 3.14 (a) calculando Ias integrales de superficie sobre cada una de las dos superficies regulares que Iimitan el cuerpo.
  34. 34. INTEG RALES TRIPLES 242 Descripcién de D: -25x52 -J 4-x25y5+J 4-X2 05254-X2-y2 S = 8D x = r cos 9 En cilindricas y = r sen 9 J (r, 9,2) = r, D se describe como: z = z 0 5 9 5 21: 05r52 05254-3 Campo: F(x, y,z)= (x+y, y+z, x+z); divF=3 Entonces, por el teorema de la divergencia: ]] (x+y)dyAdz+(y+z)dzAdx+(x+z)dx/ xdy = divF dxdydz = S D 21:24-r2 2 = 3dxdydz = ]] ] 3rdzdrd9 = 61:] r(4-r2)dr = 241: D 0 0 0 0 (d) xydy/ dz+y2d2Adx+y2dx/ xdy S Sasuperficiedelcuerpo 05x51,05y51,05z51. En el problema 3.14 (b) se obtuvo el valor de esta integral calculando las integrales de superficie sobre las seis caras del cubo unidad; empleare- mos ahora el teorema de la divergencia. Z S = 3D Descripcion de D: 05x51 D 05y51 1 V 05251
  35. 35. INTEG RALES TRIPLES 243 Campo: F(x, y,z)= (xy, y2,y2); divF= y+2y+0=3y H xydy/ dz+y2dzAdx+y2dx/ xdy = divF dxdydz = S D = Sydxdydz = J1J1’J'3ydzdydx = } dx‘f3ydyj1'dz = % D 0 0 0 0 0 0 4.23 Verificar el teorema de la divergencia para la regién del espacio D limi- tada por el paraboloide z = 2 - x2 - y2 y el plano z = 0, y para el campo F(x. y.z)= (2x+y.2y'= ‘,z)- El teorema de la divergencia afirma que I F - n dS = div F dx dy dz 3 D siendo S = BD y cumpliéndose Ias demés condiciones de su enunciado. Para verificar el teorema calcularemos ambos miembros de la igualdad en este problema concreto. Campo: F(x, y,z)= (2x+y,2y2,z); divF=4y+3 Curva interseccién del paraboloide y el plano: 2 §f§"‘2'V} x2+y"‘= (J§>2 2 En coordenadas cilindricas: n x = rcos 6 y= rsene J (r, e,z)= r 2 = Z D se describe como: S1 V_ s s 2: ’ §: :': ZE2
  36. 36. INTEGRALES TRIPLES 244 1:: /— -3 IgdivFdxdydz= IgI(4y+3)dxdydz= :f f26[(4rsen6+3)rdzdrde= 21t5 = j I(4r2sen6+3r)(2-r2)drd6 = 0 0 21: 5 I2- = I senede I 4r2(2-r2)dr + 21: I (6r-3r3)dr = 0 0 2 = 0 +21c[3'2' '3‘ V4J‘F= 61: 0 Hacemos ahora el célculo directo de las integrales de superficie. x= vcosu OS <2 S paraboloide y= vsen u U ' 7° 1 z=2_v2 osvs/ § g—LA%)—; = (-2v2cosu, -2v2senu, -v) vector normal exterior: (2 vzcos u , 2 vasen u , v ) 21lIvr2- H F-ndS = I I(2vcosu+vsenu,2v2sen2u,2-v2)- S 1 0 0 -(2v2cosu,2v2senu, v)dvdu = 21m’; = _[ I(4v3cos2u+2v3senucosu+4v4sen3u+2v -v3)dvdu = 0 0 21: /5 21: J3 = I (1+cos2u)du I 2v3dv + J senucosudu J2v3dv + o 0 o o 21: 5 5 + _[ (1 -cos2u)senudu I 4v4dv + 21: I (2v-v3)dv = 0 0 0
  37. 37. INTEGRALES TRIPLES 4.24 2 2 = 21t[1§V4J‘/7+ 0 + O + 21l: [V2'%V4JJ>= 61: 0 O S plano } x2+y2s2 2 N‘<>< II II II O‘<>< vector normal exterior: (0, 0, -1) H F-ndS = (2x+y,2y2,0)-(0,0,-1)dxdy = o S S 2 2 Porlotanto: IF-ndS = F-ndS + F-ndS = 61: S S S1 2 y queda comprobado que: I F - n dS = div F dx dy dz S D 245 Calcular Ias integrales de superficie de Ios campos vectoriales F sobre las superficies S que se indican: (a)F(x, y,z)= (x+y, y+z, x+z) S E frontera del solido limitado por el cilindro x2 + y2 = 9 y los planos z=0, z=5. Al tratarse de una superficie cerrada podemos aplicar el teorema de la divergencia. Campo: F(x, y,z)= (x+y, y+z, x+z); divF=3 x= rcos6 Z= Z En coordenadas cilindricas: y= rsen6} J(r,9,z)= r 0S9s27: Descripcion de D: 05 r53 Oszs5
  38. 38. INTEGRALES TRIPLES 246 2n: 3 5 J] F-ndS = divF dxdydz =1] jsrdzdrde = S D 0 0 0 21: 3 5 = 3 j de l rdr I dz = 135x 0 0 0 (b)F(xvyvz)= (3x2!xyvz) S -= - tetraedro limitado por el plano x + y + z = 1 y los planos de coor- denadas. Campo: F(x, y,z)= (3x2,xy, z); divF=7x+1 z Descripcion de D: x+y+z=1 osxst 0sys1—x 1 y Oszst-x-y 1 s= aD X 11-x1-x-y flFmw= [HmFmwm= jj j0mnawm= S D 0 O 0 11-x 1 1 21" = j j(7x+1)u-x-wdydx= j(7x+1)(1-my-5-y dx= o o 0 0 1 1 2 1 1 3 2 H = J(7»H)§(1m)dx= §g(7x-wx+6x+Udx= §z F(X»Y1Z)= (3Y-‘X1-V22) S E frontera de la region Iimitada por el paraboloide 22 = x2 - y2 y el plano z = 2. div F = 2yz Campo: F(x, y,z)= (3y, -xz, yz2); Podemos aplicar el teorema de la divergencia por tratarse de una super-
  39. 39. INTEGRALES TRIPLES 247 ficie cerrada. Para determinar el dominio D interior de la superficie, buscamos la curva interseccién del paraboloide y el plano: 2 2 x +y =22 2 2: 2 2:2 } x +y 2 X= TCOS9 En coordenadas cilindricas: y= rsene J(r.9.Z)= Z= Z z Descripcion de D: 056521: 105r52 -2425252 21: 2 2 H F-ndS = 2yzdxdydz = _[ I I2(rsen6)z rdzdrde = S D 0 0,2,2 21:2 2 = jIr2sene [Z2] 00 21: 2 drd6= senede (412-1—r6)dr=0 13/2 0 0 4 4.25 Calcular la integral del campo F (x, y, z) = ( xyz , sen (x2 - 22) , z - 1/2 yz2) sobre la superficie formada por el plano 2x - y + z = 1 y los planos de coordenadas. Z Descripcion de D: _ _ 1 05x51/2 2'1 2"” -1+2x5y50 D 05251-2x+y ".1 Y s= aD 1/2
  40. 40. INTEGRALES TRIPLES 248 Como se trata de una superficie cerrada podemos aplicar el teorema de la divergencia. Campo: F (x, y, z) = ( xyz , sen (x2 - 22) , 2 -1/2 yz2) divF= yz+O+1-yz=1 1-2x+y 1/2 0 jj1=-nds= jjjdiv1=dxdydz= j I I 1dzdydx= S D 0-1+2x 0 1/2 0 1/2 1 2 ° =1 [(1-2x+y)dydx= j -(-1+2x)y+§y dx= 0-1+2x o -1+2X 1/2 1/2 1 2 1 L _ 3 1 = E;'§(‘1+2X) dX= z[3(1+2x) L = '1—2' 4.26 Calcular la integral del campo vectorial F (x, y, z) = ( x2, ex - y, 3x - sen xy) sobre la superficie Iimitada por la porcién del paraboloide z - 2 = - x2 - y2, para 2 2 0, y la semiesfera x2 + y2 + 22 = 2, para 2 5 O. 3, Puede aplicarse el teorema de la divergencia? Para 2 2 0 la superficie es el paraboloide z - 2 = - x2 - y2. Su interseccién con el plano z = 0 es la circunferencia x2 + y2 = 2. Para 2 5 0 la superficie es la semiesfera x2 + y2 + 22 = 2. Su interseccion con el plano z = 0 es también Ia circunferencia x2 + y2 = 2. Asi pues, ambas superficies intersecan el plano z = 0 en una misma circunferencia de centro el origen y de radio 21/2. La union de ambas superficies es una superficie cerrada y podra aplicarse el teorema de la divergencia. div F = 2x + 2 Campo: F(x, y,z)= (x2,eX-y,3x-senxy);
  41. 41. INTEGRALES TRIPLES 249 En coordenadas cilindricas: x= rcos9 y= rsen6 J(r,6,z)= r Z= Z D se describe como: OSGSZT: 05r5/-2 -~/2-125252-:2 j F-ndS = m divFdxdydz = m (2x+2)dxdydz = S D D 21:vr2 2-12 = j I j (2rcos9+2)rdzdrd9= 0 0 42-12 21: ~/ .22-:2 1/2 2-12 = jcosedej j2r2dzdr+21cj j 2rdzdr= ° °- 2-12 °- 2-12 J2 =0 + 21:] (4r-2r3+2r/2-re )dr= 0 2 = 21:[2'2' -; - r4- -3%; (2-r2)3/2]‘/ r= 21:(2+ %J2) 0 4.27 Calcular Ias integrales de superficie de los campos vectoriales F sobre las superficies S que se indican: (a) xdy/ dz+ydzAdx+zdx/ xdy S S= {(x, y,z)e IR3 / x2+y2+z2=a2} Por tratarse de una superficie cerrada, esfera de centro (0, 0, O) y radio a, podemos aplicar el teorema de la divergencia.
  42. 42. INTEG RALES TRIPLES 250 Campo: F(x, y,z)= (x, y,z); divF=3 H xdyAdz+ydzAdx+zdxAdy = divF dxdydz = S D = m 3dxdydz = 3 m 1dxdydz = 3Vol(D) = 3 %1ra3 = 41ca3 D D S = 3D ; D es la bola de centro el origen y radio a. (b) xyz dy A dz S S = 8 [0, 1]3 Como en el caso anterior, S = 8 [0, 1]3, es una superficie cerrada por lo que podemos aplicar el teorema de la divergencia. D = [0, 1]3, cubo recto de aristas de longitud 1. Campo: F(x, y,z)= (xyz,0,0); divF= yz H xyzdyAdz = divF(x, y,z) dxdydz = ‘E ‘1[ ‘1[ yzdzdydx = S D 000 = ix1Z, iy2/21I, rz2/21I, = (c) (y cos2 x + ya) dz A dx + (x senz x - 3zy2) dx A dy s S= {(x, y,z)e [R3 / x2+y2+z2=4} La superficie S es la esfera de centro (O, 0, 0) y radio 2; es una superficie cerrada y podemos aplicar el teorema de la divergencia. Campo: F (x, y, z)= (0,ycos2x+y3 , zsen2x-3zy2) divF= cos2x+3y2+sen2x-3y2=1 S = BD ; D es una bola de radio 2. Asi pues: H (y cos2 x + ya) dz A dx + (x senz x - 3zy2) dx A dy = S
  43. 43. INTEGRALES TRIPLES 11:23 32 = divF dxdydz =1dxdydz = 3 3 (d) xzdyAdz+yzdzAdx+dxAdy S S=8D, D= {(x, y,z)e IR3 / x2+y2+z2525, 35255} Se trata también de una superficie cerrada. x +y2+z2=25 Curva interseccién de la esfera con el plano z = 3: x2+y2+z2=25} 2 z=3 x +y2=42 en z=3 Descripcion de D, interior de S, en coordenadas cilindricas: x= rcoSe 056521: y= rsen 9} J(r,9,z)= r. D resulta ser: 05 r54 Z= Z Campo: F(x, y,z)= (xz, yz,1); divF=2z Aplicando el teorema de la divergencia: If xzdyAdz+yzdzAdx+dxAdy = divF dxdydz S D 21:4 25-? 4 = m 2zdxdydz = jj j 2zrdzdrd(-) = 21: j [rz2]3 D 0 0 3 0 = *“1F ~/25-r2 3Sz5/25-F2 dr 251
  44. 44. INTEGRALES TRIPLES 252 4 = 21cI(1er-r3)dr = 2n[8r2-1;r4]‘ = 1281: 0 0 (e) 2xdyAdz+yzdzAdx+3zdxAdy S S= aD, D= {(x, y,z)e IR3 / x2+y254, x50, y50, 05255} AI tratarse de una superficie cerrada podemos aplicar el teorema de la divergencia. Descripcion de D en cilindricas: rcose rsene J(r,9,z)= r z x Y z nsesmm 05r52 05255 Campo: F(x, y.z)= (2x, yz,3z); divF=5+z H 2xdyAdz+yzdzAdx+3zdxAdy = divF dxdydz = S D 3 = H] (5+z)dxdydz =1}/2 D 1|’. 01:, ” 5 ](5+z)rdzdrd9 = 0 31!/2 2 5 jcie j rdr j (5+z)dz = g2 (25+"‘2—5 ) = 72-51: 7‘ 0 0 4.28 Calcular Ia integral de superficie‘ (rotF)-n dS siendo elcampo: s F(x, y,z)= (-y, x2,z3) ylasuperficie S: x2+y2+z2=1, -1/25251. S no es una superficie cerrada. No puede aplicarse directamente el teore-
  45. 45. INTEG RALES TRIPLES 253 ma de la divergencia. El enunciado se refiere exclusivamente a la superficie de la esfera, como se muestra en el dibujo: Parametrizacién de la superficie S. r = r (u, v): x= senucosv y= senusenv u, veT v z= cosu Determinacién del dominio de parémetros T: _-_1_ 1 25251 (-9 ZSCOSUS1 cosu=1, u=0; cosu= —1/2, u=21r/3; porlotantoz ue(0,21r/3] T= {(u, v) /0<u521t/3,05v521t} Determinacion del vector normal a la superficie: 37: = (cosuoosv, cosusenv, -senu) % = (-senusenv, senucosv,0) 34 A §—r— = senzu cosv, sen2u senv, sen ucosu Bu av que es el vector normal ascendente. Campo: F(x, y,z)= (-y, x2,z3); rotF= (0,0,2x+1)
  46. 46. INTEG RALES TRIPLES 254 En funcion de los parémetros u, v: rot F (u, v) = ( 0 ,0 ,2 sen u cos u +1 ) 21:21:: /3 ‘| ‘rotF-ndS= J _[(0,0.2senucosv+1)- S 0 0 -(sen2ucosv, sen2u senv. senucosu)du dv= 21c21t/3 = _[ I(2senzucosucosv+senucosu)dudv= 0 0 2" 2 3 1 2 "/3 2" =1 §senu0°sv+§senU dv= J'(‘/ '5/4cosv+3/8)dv= 0 0 0 21: _ _3 Q __3;zt_ _[ 4 senv+8v]o_ 4 III I I I . . 2 La superficie S no es cerrada, pero si consideramos S u S‘ donde S’ es el disco que en 2 = -1/2 tapa el agujero que deja S, podemos considerar S u S’ como superficie cerrada y alli aplicar el teorema de la divergencia. H rot F-n dS = U rot F-n dS + rot F-n d3 = div (rot F) dx dy dz SuS' S S‘ D siendo D tal que 8D = S u S‘ SegL’m el problema 4.21, div (rot F) = 0, por lo que la Ultima integral es nula y, por lo tanto: JrotF-ndS = rotF-ndS S S’
  47. 47. INTEGRALES TRIPLES 255 x x Parametrizacién de S‘: y y } (x, y) e 'l'' 2 -1/2 vector normal exterior: (O, 0, -1) La frontera del dominio de parametros T‘ resulta de la proyeccion sobre el plano xy de la curva interseccién de la esfera con el plano z = -1/2. x2+y2+z2=1 I =4/2 x2+y2=3/4 T‘ = { (x, y) / x2+y25 (J5/2)2} entonces: JrotF-ndS = -H rotF-ndS = -1] (0,0,2x+1)-(0,0,-1)dxdy = S S‘ T‘ = (2x+1)dxdy 1" 059521: 05 r5f§/2 En polares 9‘: } J (r, 6): r , T se describe como: / - _U rotF-ndS = ? SJ/2(2rcos9+1)rdrd(-J = S o o 21: 5/2 21: 5/2 = _[cosede j2r2dr+jde I rdr= O+21t%= §4E 0 0 0 0

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