2. INTEGRAL TAK TENTU
CONTOH :
1.∫ 3 dx = 3x + c
2.∫ 5 dt = 5t + c
3.∫ 8 dQ = 8Q + c
4.∫ 56 du = 56 u + c
3. 2. ∫ ax b dx = a x b+1 + c
b+1
CONTOH :
1.∫ 4X3 dx = 4 x 4 + c = x4 + c
4
2. ∫ 3x8 dx = 3 x 9 + c =1/3X9 + C
9
4. 3. ∫ aUb dU = a U b+1 + c
b+1 U=f(x)
CONTOH :
1. ∫ (2X+ 1)dx = … 2. ∫ (4X + 4) dX = … -1
X2 + X (4X2+8X+6)3 4 (4x2+8x+6)2
Jawab : jawab :
Misal : U = X2 + X Misal : U =4X2+8X+6
dU =( 2X + 1)dX dU =(8X+8)dX
∫ (2X + 1)dx = ∫ dU dU =2(4X+4)dX
X2 + X U dU =(4X+4)dX
= Ln U + C 2
= Ln ( X2 + X ) + C ∫ dU = ∫ ½ U -3 dU
2U3
= ½.1/-2 .U-2 + C
= - ¼(4X2+8X+6) -2 + C
5. 4.∫UdV = U.V - ∫VdU
RUMUS DI ATAS ADALAH
CONTOH : RUMUS INTEGRAL PARSIAL
∫X.eX dx = ….
Misal : U = X
du = dx
dv = eX dx
V=∫eX dX = eX + C
∫X.eX dx = U.V - ∫V dU
= X.eX - ∫ eX dx
= X.eX - eX + C
6. 5.∫ ex dx = ex + c
6.∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x)dx+∫g(x)dx
7.∫n.f(x)dx = n∫f(x)dx
8. INTEGRAL TERTENTU
UNTUK a < c < b,berlaku
b b b b
1.∫ f(x) dx = [F(X)] = F(b)- F(a) 4. ∫ k f(x) dx =k ∫ f(x) dx
a a a a
a b b b
2.∫ f(x) dx = 0 5. ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
a a a a
b a c b b
3.∫ f(x) dx = - ∫ f(x) dx 6. ∫f(x)dx + ∫f(x)dx = ∫ f(x)dx
a b a c a
11. SURPLUS KONSUMEN
Fungsi demand Fungsi demand
SK
SK
SK
P1
Q Q
O Q1 O
P P
12. SURPLUS PRODUSEN
P P
SP P1 Fungsi supply
SP
P1 Fungsi supply
Q Q
O Q1 O Q1
13. P P
Fungsi demand
SK SK
Fungsi supply
P1
P1
SP SP
Q
O Q1
O
Q
0 Q1
14. PENGETAHUAN DASAR
LUAS DAERAH
Y CARA I : L= axt
2
5 L= 4x3
LUAS = …? 2
L= 6 satuan luas
2
X CARA II : Integral
O 4 4
L= ∫(5-3/4x)dx – 2x4
CARA III: INTEGRAL 0
5 4
L=∫(
2
) dy ²
= (5X – ¾.1/2X )] - 8
0
Y= 5-3/4x
= (5.4 – 3/8.16) – (5.0-1/4.0) – 8
X= 20/3 – 4y
= (20 – 6) – 0 – 8
5
= 14 - 8
L = ∫ (20/3 – 4/3Y)dy
= 6 satuan luas
2
L= 6 satuan luas
15. LUAS DAERAH
P
6 CARA I: INTEGRAL
5
LUAS
P= 6 – 3/25 Q ² L=∫ ( 6 – 3/25Q²)dQ – 3x5
3
0 5
0 Q
5
L = (6Q – 3/25.1/3Q³)] – 15
0
L = 10 satuan luas
CARA II: INTEGRAL
6
L=∫ (50 – 25/3P)1/2 dP
3 6
L = { 2/3(50 – 25/3P)3/2.(-3/25)} ]
3
L = { - 2/5 (50 – 25/3P)3/2
L = 10 satuan luas
16. P
LUAS= …?
2
P 2 Q
6 3 CARA II : INTEGRAL
6
2 ∫
L = 6X6 - (2 + 2/3Q)dQ
Q 0 6
0
6
{
L = 36 – 2Q + 2/3.1/2Q² }]
0
CARA I : RUMUS L = 36 – 24 = 12 satuan luas
L = axt
2 CARA III : integral
L= 4x6 6
2 ∫
L = ( 3/2 P – 3 ) dP
L = 12 satuan luas 2 6
L = ( 3/4P – 3P ) ] = 9 + 3 = 12 satuan luas
2
17. LUAS DAERAH
P
P = 2 + 1/5Q²
7 CARA I : INTEGRAL
LUAS 5
2 L = 7x5 - ∫( 2 + 1/5Q²)dQ
Q 0 5
0 5
]
L = 35 - (2Q + 1/5.1/3Q³)
0
L = 35 - 10 - 8 1/3
CARA II : INTEGRAL L = 16 ⅔ satuan luas
7
∫
L = (5P - 10)1/2 dP
2 7
L = { 2/3(5P - 10)
3/2. ⅕ }]
2
L = 2/15.{ 25 } 3/2
L = 16 ⅔ satuan luas
18. P P = 5 + 1/12Q2
1.Fungsi pendapatan 2. 12
dari suatu pabrik
diberikan sebagai
berikut : LUAS I
8
R = 6 + 350Q – 2Q2 LUAS II
Fungsi produksinya : P = 12 - 1/9Q2
Q = 3L 5
Jika jumlah tenaga Q
kerja yang ada 25 0 6
orang,berapakah
MPRL dan jelaskan
artinya .
19. 6 P P = 5 + 1/12Q2
Luas I = ∫(12 - 1/9Q2)dQ - 8X6 2. 12
0
6
= ( 12Q + 1/9.1/3Q3) ] - 48
0 LUAS I
= (12.6 + 1/27.63 – (12.0 + 8
1/27.03) - 48 LUAS II
P = 12 - 1/9Q2
= (72 + 1/27.216 – 0) - 48 5
= (72 + 8 – 0) - 48 Q
0 6
= 80 – 48
= 32
20. 6 P P = 12 - 1/9Q2
Luas II = 6X8 - ∫(5 + 1/12Q2)dQ 2.
0 12
6
= 48 – ( 5Q + 1/12.1/3Q3) ]
0 LUAS I
= 48 – (5.6 + 1/36.63 – (5.0 + 8
1/36.03) LUAS II
P = 5 + 1/12Q2
= 48 – (30 + 1/36.216 – 0) 5
= 48 - (30 + 6 - 0) Q
0 6
= 48 – 36
= 12
21. 1.Fungsi pendapatan dari suatu pabrik diberikan sebagai berikut :
R = 6 + 350Q – 2Q2
Fungsi produksinya : Q = 3L
Jika jumlah tenaga kerja yang ada 25 orang,berapakah MPRL dan
jelaskan artinya .
Jawab :
R = 6 + 350Q - 2Q² Q = 3L
dR = 350 – 4Q dQ = 3
dQ dL
MPRL = dR = dR . dQ
dL dQ dL
= (350 – 4Q).3
L = 25 Q =3L = 75
dR = (350 – 300).3 = 175
dL
Artinya: Untuk setiap penambahan Tenaga Kerja sebanyak 25 orang akan
menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 175 ,dan sebaliknya
