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Lección 1 Conjunto y propiedades de los números reales.pptx

  1. MATEMÁTICA I Docente: Eco. Arenas Rojas Luis 2023- I
  2. Los números Reales Sesión 01
  3. OBJETIVO S Sesión 01 • Objetivo 1 Identificar el concepto y características de los números reales, de manera correcta • Objetivo 2 Discriminar y utilizar de manera correcta las propiedades de los números reales
  4. CONTENIDOS Sesión 01 Contenido 1 Los Números Reales Contenido 2 Propiedades de los números Reales
  5. 01 Contenido 1
  6. NÚMEROS Naturales NÚMEROS Reales
  7. NÚMEROS Naturales NÚMEROS Reales Un conjunto o “colección de objetos”. (personas, ciudades, lapiceros o un conjunto de objetos que hay en un momento dado sobre una mesa) . Se dice que estos conjuntos están bien definidos cuando se sabe si un determinado elemento pertenece o no a ese conjunto. Es el conjunto de números que contiene a los números “racionales y los irracionales”. Los números reales son los números enteros, positivos negativos, fracciones, decimales, π, e, etc.
  8.  Los números enteros están estrechamente vinculados a los objetos ya que sirven para contar cosas.  Los NN son representados por números comprendidos del 1 al 9.  Nuestro Sistema Decimal considera diez dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
  9.  Los ℕ se forman sumándoles la unidad.  El primer ℕ es el 1 (uno), luego le sigue el dos 2 (dos, 1+1), después el 3 (tres, 2+1), 4 (cuatro, 3+1), 5 (cinco, 4+1), 6, 7...  Todo número tiene dos valores: a) Valor por sí mismo: que es siempre el mismo valor esté donde esté colocada cada cifra. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 b) Valor de posición: Es el valor que tiene cada cifra de acuerdo al lugar que ocupa en la cantidad: Características de los Números naturales
  10. # Tabla de Posición Unidad de millar centena decena Unidad decimo centésimo milésimo 32 17 24 8 2386 500 841 10.9 0.08
  11. # Tabla de Posición Unidad de millar centena decena Unidad decimo centésimo milésimo 32 3 2 17 1 7 24 2 4 8 8 2386 2 3 8 6 500 5 0 0 841 8 4 1 10.9 1 0 9 0.08 0 0 8
  12. # Tabla de Posición Unidad de millar centena decena Unidad decimo centésimo milésimo 8888 777 6.6 0.5 0.04
  13.  Infinitos (∞)  Cardinales (contar)  Ordinales (ordenar)  Exclusión cero  Con el conjunto de ℕ se pueden formar varios subconjuntos: pares, impares, etc.  También: múltiplos de un número n, divisores, primos, etc. Características de los Números naturales
  14. Características de los Números naturales 1) Si sus únicos divisores son 1 y p. 2) Que contiene un número exacto de veces a otro número o cantidad. 3) Todo número que divide exactamente a p. Si ℕ p un número natural “p” Número entero que solamente es divisible por él mismo (positivo y negativo) y por la unidad (positivo y negativo). Ejm: El ℕ 2 es un número primo porque solamente es divisible por 2, - 2, 1 y -1 Los divisores de un ℕson los ℕ que lo pueden dividir, resultando de cociente otro ℕ y de resto 0. Ser divisor es lo recíproco a ser múltiplo. Ejm: Si 9 es múltiplo de 3, entonces 3 es divisor de 9. Son los ℕ que resultan de multiplicar ese número por otros ℕ. Decimos que un NN es múltiplo de otro si le contiene un número entero de veces. a) Múltiplo b) Divisor c) Primo
  15. NÚMEROS Reales Es el conjunto de números que contiene a los números “racionales y los irracionales”. Los números reales son los números enteros, positivos negativos, fracciones, decimales, π, e, etc.
  16. Clasificación de los Números Los conjuntos numéricos se van ampliando a medida que se necesitas resolver ciertas problemáticas de la vida diaria. Estos conjuntos numéricos reciben un nombre de acuerdo a los números que contienen.
  17. Entero Positivo (Z+) o Números Naturales (NN) Cero Entero Negativo (Z-) Enteros (Z) Es el conjunto de números que utilizamos para contar. 𝑍+𝑜 ℕ = {1,2,3,4 … } 𝑍− = {… , −5, −4, −3, −2, −1} 𝑍 = {… − 5, −4, −3, −2 − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 … } Números Enteros Clasificación de los Números reales
  18. Cociente Entero Positivo Cero Cociente Entero Negativo Enteros o Cocientes Enteros(Z) 6 1 = 6 [División exacta] 0 1 = 0 −5 1 = −5 Números Cocientes Clasificación de los Números reales
  19. Cocientes No Enteros Positivos Cocientes No Enteros Negativos Cocientes No Enteros(Z) [División No exacta] −3 8 = −0.375 7 3 = 2. 3 Números Cocientes Clasificación de los Números reales
  20. Racional Entero Positivo Racional Entero Negativo Racionales (r) −5 1 = −5 6 1 = 6 Números Racionales Es el conjunto de números que se pueden expresar de la forma fraccional a/b donde a y b son enteros y b ≠ 0. Cero 0 1 = 0 División exacta División No exacta 7 3 = 2. 3 0 1 = 0 −3 8 = −0.375 Clasificación de los Números reales
  21. Irracional Positivo Irracional Negativo Irracionales (i) −𝜋 = − 3.141592 … 2 = 1.4143413… Es el conjunto de números que no se pueden expresar de la forma fraccional a/b donde a y b son enteros y b ≠ 0. Números Irracionales Clasificación de los Números reales
  22. Reales (RN) Es el conjunto de números que contiene a los racionales y los irracionales. 𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜: 6 1 = 6 𝐶𝑒𝑟𝑜: 0 1 = 0 𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: − 5 1 = −5 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜: 7 3 = 2.33 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: − 3 8 = −0.375 𝐼𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜: − 2 = 1.4142413 … 𝐼𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝜋 = 3.141592 … Clasificación de los Números reales
  23. Clasificación de los Números
  24. Los NN son representados mediante puntos sobre una recta. Para ello se debe fijar la posición del Punto 0 y la largura del Segmento Unidad, que será el segmento que llevaremos sobre la recta sucesivas veces según el valor del número. Es posible establecer una correspondencia entre los números cardinales y los puntos de una recta numérica de la siguiente manera: Se selecciona un punto arbitrario de la recta para representar el cero (0). Ubicamos otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). El segmento formado se denomina segmento unidad Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento unidad. Recta de los Números Reales
  25.  En general, cualquier número que esté a la izquierda en la recta numérica de un número cualquiera es menor (<) a éste; y de la misma manera los que se ubican a la derecha es el mayor. (>) Ordenamiento de ℕ Recta de los Números Reales
  26. Propiedades de los números Reales Contenido 2
  27. Propiedades de los Números Reales • Propiedad transitiva de la igualdad • Propiedad conmutativa de la suma y de la multiplicación • Propiedad asociativa de la suma y de la multiplicación • Propiedades del inverso • Propiedades distributivas
  28. Propiedad transitiva de la igualdad Si a = b y b = c, entonces a = c Por tanto, dos números que sean iguales a un tercer número son iguales entre sí. Por ejemplo, si x=y i y=7, entoncesx=7 (𝑋 − 3)2+9(x- 3)+14=0 𝑤2 + 9𝑤 + 14 = 0 Propiedades de los Números Reales
  29. Propiedad conmutativa de la suma y de la multiplicación a + b = b + a y ab = ba • Esto significa que dos números pueden sumarse o multiplicarse en cualquier orden. Por ejemplo, 3 + 4 = 4 + 3 y 7(-4) = (-4)(7) Propiedades de los Números Reales
  30. Propiedad asociativa de la suma y de la multiplicación a + (b + c) = (a + b) + c y a(bc) = (ab)c • Esto significa que en la suma o multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden. Por ejemplo 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4; en ambos casos la suma es 9. En forma semejante, 2x + (x + y) = (2x + x) + y ; • 6( 1 3 . 5) = (6 . 1 3 ) . 5. Propiedades de los Números Reales
  31. Propiedades del inverso (recíproco) • Para cada número real a, existe un único número real denotado por – a tal que, a + (-a) = 0 • El número -a es llamado el inverso aditivo o negativo de a. Propiedades de los Números Reales
  32. Propiedades del inverso aditivo (recíproco) a + (-a) = 0 • Por ejemplo, ya que 6 + (-6) = 0, el inverso aditivo de 6 es -6. El inverso aditivo de un número no necesariamente es un número negativo. • Por ejemplo, el inverso aditivo de -6 es 6, ya que (-6) + (6) = 0. Esto es, el negativo de -6 es 6, de modo que podemos escribir -(-6) = 6. Propiedades de los Números Reales
  33. Propiedades del inverso multiplicativo • Para cada número real a, excepto el cero, existe un único número real denotado por a−1 tal que, a . a−1 = 1 El número a−1 se conoce como el inverso multiplicativo de a. Propiedades de los Números Reales
  34. Propiedades del inverso(reciproco) a . a−1 = 1 • Por tanto, todos los números, con excepción del cero, tienen un inverso multiplicativo. Como se recordará, puede escribirse como a−1 y también 1 𝑎 se llama el recíproco de a. • El recíproco de 0 no está definido. Propiedades de los Números Reales
  35. Propiedades distributivas a(b + c) = ab + ac y (b + c)a = ba+ca La propiedad distributiva puede ser extendida a la forma a (b + c + d) = ab + ac + ad Propiedades de los Números Reales
  36. Resumen • Conclusión 01 • Conclusión 02
  37. Ejercicios
  38. EJERCICIO 0.3 (página 7) 1. Falso. 3. Falso. 5. Falso. 7. Verdadero. 9. Falso. 11. Distributiva. 13. Asociativa. 15. Conmutativa. 17. Definición de resta. 19. Distributiva
  39. Muchas Gracias Docente: Eco. Luis Arenas Rojas larenas@neumann.edu.pe
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