Cenni all'integrazione definita. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale.

1. Angela Donatiello 1
INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO.
PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE.
TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE.
FORMULA DI LEIBNITZ – NEWTON. APPLICAZIONI. CALCOLO DI AREE.

2. Angela Donatiello 2
Il problema delle aree. Metodo di esaustione.
Il metodo di esaustione è un procedimento (dovuto ad Archimede) utile a calcolare aree di
varie figure geometriche piane. Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che
convergono alla figura data. L'area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei
poligoni.
L'area del cerchio è determinata costruendo una successione di poligoni che assomigliano
sempre di più al cerchio. Ad esempio, una successione di poligoni regolari con numero
crescente di lati: in figura, un pentagono, un esagono e un ottagono. A seconda che si
scelgano poligoni iscritti o circoscritti nella circonferenza, l'area di questa risulterà essere
approssimata inferiormente o superiormente. Entrambe le scelte portano comunque al
limite all'area del cerchio.
Mediante un procedimento simile è possibile calcolare l’area di una superficie a contorno
curvilineo, nota con il nome di trapezoide.

3. Angela Donatiello 3
Si consideri una funzione definita e continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b] e in tale
intervallo la funzione sia positiva.
Si definisce trapezoide la figura piana delimitata dalla
curva y = f(x), dall’asse delle ascisse e dalle rette
parallele all’asse y e passanti per gli estremi
dell’intervallo [a;b]. Tale trapezoide è un quadrilatero
mistilineo.
L’area colorata in figura non può essere calcolata
mediante procedimenti elementari. E’ però possibile
approssimarla secondo il procedimento seguente:
1) si divida l’intervallo [a;b] in n parti uguali di ampiezza
n
ab
x
−
=∆
2) si considerino i rettangoli aventi per base uno dei segmentini di ampiezza x∆ e come
altezza il minimo valore che la funzione assume in tale intervallo

4. Angela Donatiello 4
3) si indichi con ∑
=
∆=∆++∆+∆=
n
1i
in21n xmxm...xmxms la somma delle
aree di questi rettangoli (plurirettangolo inscritto)
4) l’area del trapezoide è approssimata per difetto da ∑
=
∆=
n
1i
in xms
5) si considerino i rettangoli aventi per base uno dei segmentini di ampiezza x∆ e come
altezza il massimo valore che la funzione assume in tale intervallo
6) si indichi con ∑
=
∆=∆++∆+∆=
n
1i
in21n xMxM...xMxMS la somma delle
aree di questi rettangoli (plurirettangolo circoscritto)
7) l’area del trapezoide è approssimata per eccesso da
∑
=
∆=
n
1i
in xMS
8) si ottengono due successioni di aree tali che, per ogni n
naturale, l’area S del trapezoide sia compresa fra l’area per
difetto e l’area per eccesso
nn SSs ≤≤

5. Angela Donatiello 5
Tale approssimazione è tanto migliore, quanto maggiore diventa il
numero di suddivisioni dell’intervallo ossia con il numero n di
suddivisioni che tende ad infinito.
DEFINIZIONE DI INTEGRALE DEFINITO DI UNA FUNZIONE POSITIVA
Teorema. Se la funzione y = f(x) è continua e positiva nell’intervallo [a;b] i limiti delle
successioni sn e Sn per +∞→n sono finiti e coincidono, ossia le due successioni sn e Sn
sono convergenti
n
n
n
n
Slimslim
+∞→+∞→
= finiti
Definizione. Sia y = f(x) una funzione continua e positiva ( o nulla) in un intervallo chiuso e
limitato [a;b] si definisce integrale definito esteso all’intervallo [a;b] il valore comune del
limite delle successioni sn e Sn. Tale valore si indica con la scrittura:
∫ +∞→+∞→
==
b
a
n
n
n
n
Slimslimdx)x(f

6. Angela Donatiello 6
a = estremo inferiore di integrazione
b = estremo superiore di integrazione
f(x) = funzione integranda
ATTENZIONE!!!!! L’integrale definito è un numero puro, mentre l’integrale indefinito è un
insieme di funzioni della x (l’insieme delle primitive della funzione).
Si può dare una definizione più generale di integrale definito anche per funzioni non
necessariamente positive. In tal caso l’integrale definito può anche essere negativo.
DEFINIZIONE GENERALE DI INTEGRALE DEFINITO
Sia y=f(x) una funzione continua in [a;b] non necessariamente positiva.
Si suddivida l’intervallo [a;b] in un numero finito di parti non
necessariamente della stessa ampiezza n21 x,...,x,x ∆∆∆ . Si
consideri in ogni intervallo ]x;x[ 1ii + un punto ci appartenente
all’intervallo suddetto.
Per ognuno dei punti ci si consideri il valore della funzione in tal
punto e si rappresentino i rettangoli aventi per base
l’intervallino ix∆ e per altezza )c(f i .

7. Angela Donatiello 7
Si consideri poi la somma ∑
=
∆=∆++∆+∆=
n
1i
iinn2211 )c(fx)c(fx...)c(fx)c(fxS
Fra le ampiezze degli intervallini si consideri quella massima maxx∆ .
Quando 0xmax →∆ allora anche tutte le altre ampiezze tendono a zero.
Si definisce quindi integrale definito della funzione continua f(x) esteso all’intervallo [a;b] il
valore del limite a cui tende la somma S, al tendere di 0xmax →∆ .
∑∫
=→∆→∆
∆==
n
1i
ii
b
a
0x0x
)c(fxlimSlimdx)x(f
maxmax
PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO
1) ∫ =
a
a
0dx)x(f
2) dx)x(fdx)x(f
b
a
a
b
∫ ∫−= con a > b
3) ∫ ∫ ∫+=
b
a
c
a
b
c
dx)x(fdx)x(fdx)x(f con a < c < b proprietà di additività

8. Angela Donatiello 8
4) ∫ ∫ ∫+=+
b
a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[ integrale definito della somma di
funzioni continue in [a;b]
5) ∫∫ =⋅
b
a
b
a
dx)x(fkdx)x(fk integrale definito del prodotto di una costante per una
funzione continua in [a;b]
6) ∫ ∫≤
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(f con )x(g)x(f ≤ funzioni continue in [a;b]
7) ∫∫ ≤
b
a
b
a
dx|)x(f|dx)x(f con f(x) continua in [a;b]
8) ∫ −=
b
a
)ab(kkdx integrale di una funzione costante

9. Angela Donatiello 9
INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELL’INTEGRALE DEFINITO
Nel caso di funzione costante positiva f(x) = k
∫ −=
b
a
)ab(kkdx coincide cioè con l’area del rettangolo di base
(b – a ) e altezza k.
In genere,
se y = f(x) è una funzione continua positiva o nulla in [a;b],
allora l’integrale definito esteso all’intervallo [a;b] è positivo, il trapezoide si trova al di
sopra dell’asse delle ascisse e ∫
b
a
dx)x(f coincide con l’area
del trapezoide
se y = f(x) è una funzione negativa, allora l’integrale definito
esteso all’intervallo [a;b] è negativo, il trapezoide si trova al di
sotto dell’asse delle ascisse e ∫
b
a
dx)x(f coincide con l’opposto
dell’area del trapezoide.

10. Angela Donatiello 10
Se la funzione è positiva nell’intervallo [a;c] e negativa
nell’intervallo [c;b] con a < c < b allora il trapezoide sarà
in parte al di sopra dell’asse delle ascisse e in parte al di
sotto e la funzione continua f(x) attraverserà l’asse x nel
punto c. In tal caso l’integrale definito esteso
all’intervallo [a;b] potrà anche essere negativo e si
otterrà dalla somma algebrica dei due integrali definiti.
L’area del trapezoide sarà la differenza tra l’integrale
esteso all’intervallo [a;c] e quello esteso all’intervallo
[c;b]
∫ ∫−=
c
a
b
c
dx)x(fdx)x(fS
L’area del trapezoide si ottiene sommando tutte le aree coinvolte; queste hanno tutte
valore positivo; indipendentemente dalla loro posizione rispetto all’asse x. L’area è
nulla se e solo se f(x) = 0 e coincide con l’integrale definito se e solo se f(x) è positiva o
nulla.

11. Angela Donatiello 11
Teorema della media
Se y = f(x) è una funzione continua in un intervallo
[a;b], allora
∫ −=∈∃
b
a
)c(f)ab(dx)x(f:]b;a[c
con ]b;a[c∈
Geometricamente vuol dire che per funzioni positive, l’area del trapezoide può essere
ritenuta equivalente a quella di un rettangolo di uguale base (b- a) e altezza pari al valore f(c)
della funzione in un punto c interno all’intervallo [a;b].
Come si calcola l’integrale
definito? Esiste una relazione
tra l’integrale definito e
l’integrale indefinito ?

12. Angela Donatiello 12
Dimostrazione.
Poiché per ipotesi la funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b], allora per il
teorema di Weierstrass la funzione assume in [a;b] valore massimo M e valore minimo m.
Ciò vuol dire che M)x(fm]b;a[x ≤≤⇒∈∀
Per la proprietà (6) si ha che ∫∫∫ ≤≤
b
a
b
a
b
a
Mdxdx)x(fmdx
Per la proprietà (8) si ha che )ab(Mdx)x(f)ab(m
b
a
−≤≤− ∫
Divido tutto per (b – a) si ha che M
)ab(
dx)x(f
m
b
a ≤
−
≤
∫
Per il teorema dei valori intermedi la funzione assume tutti i valori compresi tra il massimo e
il minimo, quindi )c(f
)ab(
dx)x(f
:]b;a[c
b
a
=
−
∈∃
∫
, pertanto ∫ −=∈∃
b
a
)c(f)ab(dx)x(f:]b;a[c
Il valore f(c) è detto valor medio della funzione in [a;b]

13. Angela Donatiello 13
La funzione integrale
Sia f una funzione continua nell’intervallo [a;b]. Si consideri un punto x qualsiasi
dell’intervallo [a;b]
Si definisce funzione integrale di f in [a;b] la funzione ∫=
x
a
dt)t(f)x(F
Osservazioni:
∫ ==
a
a
0dt)t(f)a(F ∫=
b
a
dt)t(f)b(F

14. Angela Donatiello 14
Il teorema fondamentale del calcolo integrale (di Torricelli – Barrow)
Sia y=f(x) una funzione continua in [a;b]
Allora:
1) Esiste la derivata della funzione integrale ∫=
x
a
dt)t(f)x(F per ogni x in [a;b]
2) Tale derivata coincide con la funzione f(x), ossia )x(f)x('F =
Ciò implica che F(x) è una primitiva della funzione f(x)
Dimostrazione.
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
++ +
=−+=−=−+
hx
x
hx
a
x
a
x
a
hx
x
x
a
dt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(f)x(F)hx(F
(abbiamo applicato la definizione di funzione integrale e la proprietà di additività (3))
Per il teorema della media si ha che )c(hf)c(f)xhx(dt)t(f:]hx;x[c
hx
x
=−+=+∈∃ ∫
+
Pertanto:
)x(f
h
)x(F)hx(F
lim)x('F)c(f
h
)x(F)hx(F
)c(hf)x(F)hx(F
0h
=
−+
=⇒=
−+
⇒=−+
→
Per la continuità della funzione f(x), infatti )x(f)c(flim)c(flim
xc0h
==
→→
.

15. Angela Donatiello 15
Teorema. Formula di Leibnitz – Newton
b
a
b
a
)]x(F[)a(F)b(Fdx)x(f =−=∫
Dimostrazione.
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si sa che F(x) è una primitiva della funzione
integrale, pertanto tutte le primitive sono del tipo cdt)t(fc)x(F)x(G
x
a
+=+= ∫
Calcoliamo )a(Gccc0cdt)t(fc)a(F)a(G
a
a
=⇒=+=+=+= ∫
Calcoliamo ∫ ∫ +=+=+=
b
a
b
a
)a(Gdt)t(fcdt)t(fc)b(F)b(G
Quindi ∫ −=−=
b
a
)a(F)b(F)a(G)b(Gdx)x(f in quanto due primitive differiscono per una
costante.

16. Angela Donatiello 16
Calcolo integrale definito per parti
[ ] ∫∫ ⋅−⋅=
b
a
b
a
b
a
dx)x(g)x('f)x(g)x(fdx)x('g)x(f
∫∫ =−





=
3
1
23
1
33
1
2
dx
3
x
xln
3
x
xdxlnx
=





−



−=
3
1
3
9
x
1ln
3
1
3ln
3
27
9
26
3ln9
9
1
33ln9 −=





−−=
9986,6≈

17. Angela Donatiello 17
Calcolo integrale con metodo di sostituzione
Quando si effettua il cambio di variabile è necessario
valutare anche i nuovi estremi di integrazione.
∫ +
−
5
1
dx
3x
)2x(
pongo 0t3x >=+
3txt3x 22
−=⇒=+
tdt2dx =
228t5x
24t1x
==⇒=
==⇒=
Procediamo quindi con la sostituzione e con il calcolo.
∫ ∫∫ 





+−−=





−=−=
−−
=
+
−
22
2
22
2
22
2
3
2
25
1
10
3
8
210
3
216
2t5
3
t
2dt)5t(2tdt2
t
23t
dx
3x
)2x(
4673,1)21422(
3
2
3
308230216
2 ≈−=




 +−−
=

18. Angela Donatiello 18
Esercizi svolti in aula
∫
π
π
−=
2
2
4
4dx
x
xsen
∫
−
−=
−+
+
0
2
2
3lndx
3x2x
5x3
∫
−
π
=
++
2
3
2
3
dx
)x2(1x
1
∫
π
+
=
πe
1
2
1e
dx)x(lnsen

19. Angela Donatiello 19
Calcolo di aree
1° CASO
La funzione f(x) è positiva o nulla nell’intervallo [a;b]
Area del trapezoide = ∫
b
a
dx)x(f
2° CASO
La funzione è negativa in [a;b], allora
l’integrale definito è negativo
Area del trapezoide = ∫−
b
a
dx)x(f
3°CASO
La funzione nell’intervallo [a;b]assume sia valori positivi che valori negativi. In tal caso
occorre calcolare l’integrale come somma degli integrali calcolati sugli intervalli aventi per
estremi, oltre ad a e b, anche i punti in cui la funzione interseca l’asse delle ascisse, passando
xcosy =
xsiny −=

20. Angela Donatiello 20
da positiva a negativa o viceversa. Bisogna
naturalmente ricordare che gli integrali definiti
calcolati su intervalli in cui la funzione è negativa
devono essere preceduti dal segno meno.
∫ ∫−=
c
a
b
c
dx)x(fdx)x(fS
c è il punto di intersezione della curva con l’asse x
4°CASO
La superficie di cui si desidera calcolare l’area è
delimitata da due funzioni f(x) e g(x) con )x(g)x(f >
In tal caso l’area è data dall’integrale definito della
differenza tra i valori assunti dalle due funzioni
nell’intervallo [a;b] dove a e b rappresentano le
ascisse dei punti di intersezione delle curve.
Area trapezoide = ∫ −
b
a
dx)]x(g)x(f[
xlogy
2
1=
x3x)x(g
xln)x(f
2
−=
=