PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL KE NORMAL

1. Me = Rata-rata Mo
NAMA : ANDRIANI WIDI ASTUTI
NIM : 06022681519001
MATA KULIAH : PELUANG DAN STATISTIK
PROGRAM STUDI : MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL KE NORMAL
A. Pengertian Distribusi Normal
Definisi :
Jika X sebuah variabel acak kontinu. Maka X mempunyai fungsi densitas. Fungsi densitas pada
X = x, dengan persamaan :
Keterangan :
Dalam distribusi Normal berlaku :
Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, maka digunakan rumus :
Gambar distribusi normal :
Sifat-sifat Distribusi Normal :
a. Berbentuk lonceng atau genta simetris terhadap

2. b. Garfiknya selalu berada diatas sumbu X
c. Mempunyai satu modus atai satu puncak (unimodal)
d. Grafiknya mendekati (beramsitotkan) sumbu x, dimulai dan ke kanan dan
ke kiri
e. Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.
B. Pengertian Disribusi Binomial
Distribusi binomial atau distribusi binomium adalah suatu distribusi yang distribusinya
merupakan hasil suatu eksperimen yang terdiri dan peristiwa “sukses (S)” dan peristiwa “gagal (G)”
Peluang terjadinya peristiwa S, P(S) = p dan
Peluang terjadinya peristiwa G, P(G) = 1 – p = q
Kemudian eksperimen itu diulang sampai n kali di dalam keadaan bersamaan, dan diantara
peristiwa sukses terjadi sebanyak x kali, maka peristiwa gagal sebanyak (n – x) kali.
Probabilitas pada distribusi probabilitas binomium terjadi dalam x kali :
C. Hubungan distribusi Binomial dan Normal
Bila n besar sekali, distribusi binomial dapat disesuaiakan sedemikan rupa sehingga dapat
didekati dengan distribusi normal standar. Dalam hal ini akan di bahas penyesuaian tersebut dapat
dilakukan sehingga menghasilkan sebuah pendekatan yang sangat tepat sekali. Karena disini telah
mengubah variabel acak diskrit dari distribusi binomaial menjadi variabel acak kontinu dalam
distribusi normal, maka nilai x perlu mendapatkan penyesuaian dengan cara menambah atau
mengurangi dengan 0,5. Seperti telah kita ketahui, variable random x atau jumlah sukses dalam n
percobaan binomial merupakan penjumlahan dari variable random n dimana tiap peubah acak
(variate) dimaksudkan bagi setiap percobaan binomial dan tiap percobaan menghasilkan nilai 0 atau
1.
Dalam keadaan yang biasa, jumlah dari beberapa variable random selalu mendekati distribusi
normal, sehingga distribusi jmlah variable diatas dapat didekati dengan distribusi normal bila n
makin menjadi besar.
Batas distribusi binomial dapat di fahami secara berangsur-angsur dengan memperhatikan tiga
hal pokok sebagai berikut :
1. Distribusi binomial merupakan sebuah distribusi yang diskrit sedangkan distribusi normal
merupakan sebuah distribusi yang kontinu, sehingga probabilitas yang dinyatakan dengan
ordinat binomial perlu diganti dengan luas binomial karena luas selalu dipakai untuk
menyatakan probabilitas dalam distribusi yang kontinu.
2. Skala X perlu diganti dengan skala Z agar tidak terjadi proses “bergerak” dan “mendatar”
bila n berangsur-angsur menjadi besar.
3. Pendekatan secara normal terhadap probabilitas binomial dapat dilakukan dengan
menghitung luas yang terdapat dibawah kurva normal.
Jumlah probabilitas atau luas yang terdapat diantara kurva dan sumbu X adalah sama
dengan 1. Hal demikian dapat dilihat pada diagram dibawah ini :

3. Probabilitas variable random X merupakannilai antara a dan b dan dapat dinyatakan sebagai
daerah bergaris dari kurva diagram 10.3.1 diatas. Pada gambar diatas, p(X = a ) = 0 karena luas a
dianggap sama dengan garis f(a) yang memiliki lebar sama dengan 0. Hal tersebut berbeda sekali
dengan probabilitas yang dinyatakan dengan ordinat distribusi yang diskrit sebab p(X = a) dimana a
= 5 tidak usah sama dengan 0.
Penerapan fungsi kontinu terhadap distribusi binomial dapat dilakukan dengan penggunaan luas
untuk menyatakan probabilitas yang biasanya dinyatakan dengan ordinat. Tiap ordinat dari
distribusi binomial diganti dengan luas empat persegi panjang yang berpusat pada X dan yang
memiliki lebar sama dengan satu unit serta memiliki tinggi sama dengan ordinat binomial yang asal,
untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada diagram dibawah ini.
Hubungan antara probabilitas “luas” dengan “ordinat”.
Setiap perubahan pada variable random X akan mengakibatkan proses “bergerak”. Satu cara
untuk membendung “gerakan” tersebut ialah dengan menciptakan sebuah variable baru, yaitu Y =
X – np.
Distribusi variable baru Y memiliki np = 0 dan cara pemusatanya tidak berbeda dari distribusi
normal yang standar. Selain daripada itu, distribusi variable Y tersebut memiliki  = npq . Kita
telah mengetahui bahwa distribusi normal yang standar memiliki  = 0 dan  = 1, sehingga
f(x)
X ba
X-1 X X÷1X+1 X X+1
X- 2
1 X + 2
1 X- 2
1 X + 2
1
f(x-1)
f(x)
f(x+1)
Probabilitas dinyatakan dengan ordinat Probabilitas dinyatakan dengan luas

4. variable random Y yang memiliki  = np = 0 dan  = npq masih perlu disesuaika agar  nya
sama dengan 1.
D. Pendekatan Binomial Terhadap Normal
Telah dijelaskan sebelumnya bahwa apabila n sangat besar (di luar tabel binomial) dan p sangat
kecil (seperti np  5), maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi Poisson. Akan tetapi
apabila n di luar nilai tabel dan p bernilai sangat kecil atau sangat besar, maka distribusi binomial
dapat didekati oleh distribusi normal. Sebagai petunjuk dalam melakukan pendekatan normal dari
binomial adalah :
n  30
np dan n(1 – p)  5
Contoh :
Anggota suatu dewan juri berisikan 55% wanita. Berapa peluang terpilihnya 50 anggota juri
yang dipilih secara acak akan berisikan anggota wanita sebanyak 30 orang atau lebih. Pemilihan ini
jelas merupakan proses binomial dengan n = 50, p = 0,55 dan x  30. Tabel binomial tidak
mempunyai nilai untuk n = 50. Pendekatan Poisson juga tidak dapat dilakukan karena np =
27,5.Demikian pula tehnik menggunakan 1 – p untuk p tidak dapat dilakukan juga karena n(1 – p) =
23,5. Akan tetapi kriteria untuk pendekatan normal sudah dipenuhi dimana parameter binomial
untuk mendekati distribusi normal adalah :
5,27 npB
52,3)1(  pnpB
Sebelum menghitung peluang distribusi normal, terlebih dahulu perlu dihitung suatu koreksi
yang memperkenankan kita melakukan pendekatan dari distribusi diskrit ke distribusi kontinu.
Dalam distribusi kontinu, nilai 29 didefinisikan mengambil nilai antara “28,5 sampai 29,5”, nilai 30
di antara nilai 29,5 sampai 30,5 dan seterusnya. Dengan demikian, nilai-nilai diskrit yang sama atau
lebih besar dari 30 dapat diperlihatkan dalam Gambar 7.3. Akhirnya persoalan di atas dapat
diselesaikan sebagaimana persoalan distribusi normal biasa yaitu :
57,0
52,3
5,275,29


z
Luas area dari 0 sampai 0,57 adalah 0,2157. Jadi :
2843,02157,05,0)5,29( XP

5. Artinya peluang (pendekatan) terpilihnya anggota juri wanita lebih dari 30 orang adalah
0,2843.(Jika dihitung dengan distribusi binomial diperoleh 0,2862).