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Lista 6 de C´lculo I
            a                     2010-2                                                                             11


   UFES - Universidade Federal do Esp´
                                     ırito Santo                                                 Derivada por defini¸˜o
                                                                                                                   ca
   DMAT - Departamento de Matem´tica
                               a
                                                                                            Regras b´sicas de deriva¸˜o
                                                                                                    a               ca
                                   LISTA 6 - 2010-2                                 Diferenciabilidade × continuidade

             ıcios 1. a 3. use a defini¸˜o de derivada de uma fun¸˜o para calcular f ′ (x0 ) e determine
    Nos exerc´                        ca                        ca
a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico da fun¸˜o no ponto (x0 , f (x0 )).
      ca                          a          ca
               √                       √                        x+4                                     1        1
  1. f (x) =       x2 + 4, x0 =            5       2. f (x) =       , x0 = 0                3. f x) =     , x0 =
                                                                x+2                                     x        2
  4. Quantas retas tangentes ao gr´fico de y = x3 + 3x s˜o paralelas ` reta y = 6x + 1? Determine
                                   a                     a           a
     as equa¸˜es dessas tangentes.
             co
                  
                   3−x , x<1
                  
  5. Seja f (x) =     2                f ´ diferenci´vel em x = 1?
                                          e         a                    f ´ cont´
                                                                            e     ınua em x = 1?
                   √1
                           , x≥1
                      x
                  
                   −x , x < 1
                  
  6. Seja f (x) =     2              f ´ diferenci´vel em x = 1?
                                        e         a                      f ´ cont´
                                                                           e     ınua em x = 1?
                   √1
                         , x≥1
                      x
                                          {
                                              x2     se x < 1
  7. Determine a e b de modo que f (x) =                        seja diferenci´vel.
                                                                              a
                                            ax + b se x ≥ 1

  8. Seja f tal que |f (x)| ≤ x2 , ∀x ∈ R. Mostre que f ´ diferenci´vel em x = 0.
                                                        e          a

     Derive cada fun¸˜o dos exerc´
                    ca           ıcios 9. a 17. (se poss´
                                                        ıvel, simplifique a fun¸˜o e/ou a derivada da
                                                                              ca
     fun¸˜o)
        ca
              (           )                                                   (        )2
  9. f (x) = 2 x2 + 2x + 1 tan x                                            x2 − 2x + 2
                                                                14. f (x) =
                                                                            x4 + x2 + 1
 10. f (x) = cos2 x
                                                                                    1
               √                                                15. f (x) =
 11. f (x) =       x sen x +    x1/3                                          (x2   + 2)2
                                                                              {
 12. f (x) = 2x cos x tan x                                                       x3 sen (1/x) , x ̸= 0
                                                                16. f (x) =
                                                                                        0      , x=0
                    x sec x
 13. f (x) =                                                    17. f (x) = |2x − 8|, x ̸= 4
               x2   + 2x + 3

     Nos exerc´ıcios 18. a 21. use o gr´fico da fun¸˜o para determinar os valores de x em que a fun¸˜o
                                        a         ca                                                 ca
     ´ diferenci´vel e indique os valores de x em que a derivada ´ (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.
     e          a                                                e
                                                                                   { 2
                                                            √                         x −4 , x≤0
 18. f (x) = |x + 3|     19. f (x) = |x2 − 9|    20. f (x) = |x|      21. f (x) =
                                                                                      4 − x2 , x > 0

                                                      RESPOSTAS
                          √                    √                              √
       ′
        (√ )                  x2 + 4 − 3    5                                      5(   √ )
   1. f   5 = lim
                √                 √      =    ;     reta tangente: y − 3 =            x− 5
                   x→ 5       x− 5         3                                      3
                                                                     ( )
       ′       1                      x                             ′ 1
   2. f (0) = − ; reta tangente: y = − + 2                      3. f     = −4; reta tangente: y = −4x + 4
               2                      2                               2
   4. Duas retas tangentes: y = 6x − 2 e y = 6x + 2
Lista 6 de C´lculo I
            a                                       2010-2                                                                             12


  5. f ´ diferenci´vel em x = 1 pois f ′ (1) = −1/2; f ´ cont´
       e          a                                    e     ınua em x = 1, pois tem um teorema que garante
     que toda fun¸˜o diferenci´vel num ponto ´ cont´
                  ca           a                e    ınua nesse ponto.
                                                      1
  6. f n˜o ´ cont´
         a e      ınua em x = 1, pois lim− f (x) = − ̸= lim+ f (x) = 1; f n˜o ´ diferenci´vel em x = 1 pois
                                                                             a e          a
                                        x→1           2    x→1
     se fosse, f seria cont´
                           ınua em x = 1 (tem um terorema que garante que toda fun¸˜o diferenci´vel num
                                                                                       ca         a
     ponto ´ cont´
            e     ınua nesse ponto) e j´ provamos que f n˜o ´ cont´
                                        a                  a e     ınua em x = 1.
  7. a = 2 e b = −1        8. Use o teorema do sandu´ ıche para calcular a derivada pela defini¸˜o
                                                                                              ca
      ′
              ( 2        ) 2                                 [          2
                                                                                    ]
  9. f (x) = 2 x + 2x + 1 sec x + 2(2x + 2) tan x = 2(x + 1) (x + 1) sec x + 2 tan x
 10. f ′ (x) = −2 cos x sen x = − sen 2x
                 1           √           1          sen x + 2x cos x       1
 11. f ′ (x) = √ sen x + x cos x + x−2/3 =                  √         + √ 3
               2 x                       3                2 x           3 x2
 12. f (x) = 2x cos x tan x = 2x sen x ⇒ f ′ (x) = 2( sen x + x cos x)
               ( 2           )                                                [          (                ) ]
       ′
                x + 2x + 3 (x sec x tan x + sec x) − [x(sec x)(2x + 2)]        3 − x2 + x3 + 2x2 + 3x tan x sec x
 13. f (x) =                                      2                        =                              2
                                     (x2 + 2x + 3)                                         (x2 + 2x + 3)
               ( 4           )[ (             )         ] (              )2 ( 3        )
       ′
                x + x2 + 1 2 x2 − 2x + 2 (2x − 2) − x2 − 2x + 2               4x + 2x
 14. f (x) =                                              2                               =
                                            (x4 + x2 + 1)
                ( 2            )( 4             )
               2 x − 2x + 2 2x − 3x3 − 2
            =                         2
                        (x4 + x2 + 1)
                                                                      {
                   ( 2    )−3                                                    1             1
       ′                                 −4x                  ′          −x cos + 3x2 sen          , x ̸= 0
 15. f (x) = −2 x + 2          (2x) =          3         16. f (x) =             x             x
                                       (x2 + 2)                          0                         , x=0
                                  {                                     {
                                    −2x + 8 se x < 4                        −2 se x < 4          2(x − 4)
 17. x ̸= 4, f (x) = |2x − 8| =                             ⇒ f ′ (x) =                       =
                                      2x + 8 se x > 4                        2 se x > 4           |x − 4|

                            y
                               4                     f (x) = |x + 3| n˜o ´ diferenci´vel em x = −3 pois o gr´fico tem um bico no ponto
                                                                      a e           a                       a
                                                     (−3, f (−3)) = (−3, 0). E diferenci´vel em R − {−3}.
                                                                               ´          a
                               2
 18.
                                        x            (i) ̸ ∃x tal que f ′ (x) = 0
        –6 –4 –2                    2
                               –2                    (ii) f ′ (x) > 0 : x ∈ (−3, ∞)            (iii) f ′ (x) < 0 : x ∈ (−∞, −3)
                       y
                  12
                  10
                   8                                 f (x) = |x2 − 9| n˜o ´ diferenci´vel em x = ±3 pois o gr´fico tem um bico nos
                                                                       a e           a                             a
                                                     pontos (−3, f (−3)) = (−3, 0) e (3, f (3)) = (3, 0) . E diferenci´vel em R − {−3, 3}.
                                                                                                           ´          a
                   6
 19.
                   4
                                                     (i) f ′ (x) = 0: x = 0
                   2                                 (ii) f ′ (x) > 0 : x ∈ (−3, 0) ∪ (3, ∞)   (iii) f ′ (x) < 0 : x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 3)
                                                x
       –6 –4 –2            2        4       6
               –2
                                                               √
                   3
                       y                             f (x) = |x| n˜o ´ diferenci´vel em x = 0 pois o gr´fico tem um bico no ponto
                                                                      a e           a                  a
                   2
                                                                          ´ diferenci´vel em R − {0}.
                                                     (0, f (0)) = (0, 0). E          a
 20.               1

       –4 –3 –2 –1         1 2 3 4
                                                x    (i) ̸ ∃x tal que f ′ (x) = 0
                 –1                                  (ii) f ′ (x) > 0 : x ∈ (0, ∞)             (iii) f ′ (x) < 0 : x ∈ (−∞, 0)
                       y


                   4                                           {
                                                                x2 − 4 , x ≤ 0
                                                     f (x) =                         n˜o ´ cont´
                                                                                       a e       ınua em x = 0 pois o gr´fico tem um
                                                                                                                           a
                   2                                            4 − x2 , x > 0
 21.                                                 salto em x = 0, logo f (x) n˜o ´ diferenci´vel em x = 0. E diferenci´vel em R−{0}.
                                                                                 a e           a              ´          a
                   0                            x
       –4 –3 –2            1 2 3 4
                                                     (i) ̸ ∃x tal que f ′ (x) = 0
                  –2
                                                     (ii) ̸ ∃x tal que f ′ (x) > 0        (iii) f ′ (x) < 0 : x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
                  –4

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Ex algebra (9)

  • 1. Lista 6 de C´lculo I a 2010-2 11 UFES - Universidade Federal do Esp´ ırito Santo Derivada por defini¸˜o ca DMAT - Departamento de Matem´tica a Regras b´sicas de deriva¸˜o a ca LISTA 6 - 2010-2 Diferenciabilidade × continuidade ıcios 1. a 3. use a defini¸˜o de derivada de uma fun¸˜o para calcular f ′ (x0 ) e determine Nos exerc´ ca ca a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico da fun¸˜o no ponto (x0 , f (x0 )). ca a ca √ √ x+4 1 1 1. f (x) = x2 + 4, x0 = 5 2. f (x) = , x0 = 0 3. f x) = , x0 = x+2 x 2 4. Quantas retas tangentes ao gr´fico de y = x3 + 3x s˜o paralelas ` reta y = 6x + 1? Determine a a a as equa¸˜es dessas tangentes. co   3−x , x<1  5. Seja f (x) = 2 f ´ diferenci´vel em x = 1? e a f ´ cont´ e ınua em x = 1?  √1  , x≥1 x   −x , x < 1  6. Seja f (x) = 2 f ´ diferenci´vel em x = 1? e a f ´ cont´ e ınua em x = 1?  √1  , x≥1 x { x2 se x < 1 7. Determine a e b de modo que f (x) = seja diferenci´vel. a ax + b se x ≥ 1 8. Seja f tal que |f (x)| ≤ x2 , ∀x ∈ R. Mostre que f ´ diferenci´vel em x = 0. e a Derive cada fun¸˜o dos exerc´ ca ıcios 9. a 17. (se poss´ ıvel, simplifique a fun¸˜o e/ou a derivada da ca fun¸˜o) ca ( ) ( )2 9. f (x) = 2 x2 + 2x + 1 tan x x2 − 2x + 2 14. f (x) = x4 + x2 + 1 10. f (x) = cos2 x 1 √ 15. f (x) = 11. f (x) = x sen x + x1/3 (x2 + 2)2 { 12. f (x) = 2x cos x tan x x3 sen (1/x) , x ̸= 0 16. f (x) = 0 , x=0 x sec x 13. f (x) = 17. f (x) = |2x − 8|, x ̸= 4 x2 + 2x + 3 Nos exerc´ıcios 18. a 21. use o gr´fico da fun¸˜o para determinar os valores de x em que a fun¸˜o a ca ca ´ diferenci´vel e indique os valores de x em que a derivada ´ (i) nula (ii) positiva (iii) negativa. e a e { 2 √ x −4 , x≤0 18. f (x) = |x + 3| 19. f (x) = |x2 − 9| 20. f (x) = |x| 21. f (x) = 4 − x2 , x > 0 RESPOSTAS √ √ √ ′ (√ ) x2 + 4 − 3 5 5( √ ) 1. f 5 = lim √ √ = ; reta tangente: y − 3 = x− 5 x→ 5 x− 5 3 3 ( ) ′ 1 x ′ 1 2. f (0) = − ; reta tangente: y = − + 2 3. f = −4; reta tangente: y = −4x + 4 2 2 2 4. Duas retas tangentes: y = 6x − 2 e y = 6x + 2
  • 2. Lista 6 de C´lculo I a 2010-2 12 5. f ´ diferenci´vel em x = 1 pois f ′ (1) = −1/2; f ´ cont´ e a e ınua em x = 1, pois tem um teorema que garante que toda fun¸˜o diferenci´vel num ponto ´ cont´ ca a e ınua nesse ponto. 1 6. f n˜o ´ cont´ a e ınua em x = 1, pois lim− f (x) = − ̸= lim+ f (x) = 1; f n˜o ´ diferenci´vel em x = 1 pois a e a x→1 2 x→1 se fosse, f seria cont´ ınua em x = 1 (tem um terorema que garante que toda fun¸˜o diferenci´vel num ca a ponto ´ cont´ e ınua nesse ponto) e j´ provamos que f n˜o ´ cont´ a a e ınua em x = 1. 7. a = 2 e b = −1 8. Use o teorema do sandu´ ıche para calcular a derivada pela defini¸˜o ca ′ ( 2 ) 2 [ 2 ] 9. f (x) = 2 x + 2x + 1 sec x + 2(2x + 2) tan x = 2(x + 1) (x + 1) sec x + 2 tan x 10. f ′ (x) = −2 cos x sen x = − sen 2x 1 √ 1 sen x + 2x cos x 1 11. f ′ (x) = √ sen x + x cos x + x−2/3 = √ + √ 3 2 x 3 2 x 3 x2 12. f (x) = 2x cos x tan x = 2x sen x ⇒ f ′ (x) = 2( sen x + x cos x) ( 2 ) [ ( ) ] ′ x + 2x + 3 (x sec x tan x + sec x) − [x(sec x)(2x + 2)] 3 − x2 + x3 + 2x2 + 3x tan x sec x 13. f (x) = 2 = 2 (x2 + 2x + 3) (x2 + 2x + 3) ( 4 )[ ( ) ] ( )2 ( 3 ) ′ x + x2 + 1 2 x2 − 2x + 2 (2x − 2) − x2 − 2x + 2 4x + 2x 14. f (x) = 2 = (x4 + x2 + 1) ( 2 )( 4 ) 2 x − 2x + 2 2x − 3x3 − 2 = 2 (x4 + x2 + 1) { ( 2 )−3 1 1 ′ −4x ′ −x cos + 3x2 sen , x ̸= 0 15. f (x) = −2 x + 2 (2x) = 3 16. f (x) = x x (x2 + 2) 0 , x=0 { { −2x + 8 se x < 4 −2 se x < 4 2(x − 4) 17. x ̸= 4, f (x) = |2x − 8| = ⇒ f ′ (x) = = 2x + 8 se x > 4 2 se x > 4 |x − 4| y 4 f (x) = |x + 3| n˜o ´ diferenci´vel em x = −3 pois o gr´fico tem um bico no ponto a e a a (−3, f (−3)) = (−3, 0). E diferenci´vel em R − {−3}. ´ a 2 18. x (i) ̸ ∃x tal que f ′ (x) = 0 –6 –4 –2 2 –2 (ii) f ′ (x) > 0 : x ∈ (−3, ∞) (iii) f ′ (x) < 0 : x ∈ (−∞, −3) y 12 10 8 f (x) = |x2 − 9| n˜o ´ diferenci´vel em x = ±3 pois o gr´fico tem um bico nos a e a a pontos (−3, f (−3)) = (−3, 0) e (3, f (3)) = (3, 0) . E diferenci´vel em R − {−3, 3}. ´ a 6 19. 4 (i) f ′ (x) = 0: x = 0 2 (ii) f ′ (x) > 0 : x ∈ (−3, 0) ∪ (3, ∞) (iii) f ′ (x) < 0 : x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 3) x –6 –4 –2 2 4 6 –2 √ 3 y f (x) = |x| n˜o ´ diferenci´vel em x = 0 pois o gr´fico tem um bico no ponto a e a a 2 ´ diferenci´vel em R − {0}. (0, f (0)) = (0, 0). E a 20. 1 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x (i) ̸ ∃x tal que f ′ (x) = 0 –1 (ii) f ′ (x) > 0 : x ∈ (0, ∞) (iii) f ′ (x) < 0 : x ∈ (−∞, 0) y 4 { x2 − 4 , x ≤ 0 f (x) = n˜o ´ cont´ a e ınua em x = 0 pois o gr´fico tem um a 2 4 − x2 , x > 0 21. salto em x = 0, logo f (x) n˜o ´ diferenci´vel em x = 0. E diferenci´vel em R−{0}. a e a ´ a 0 x –4 –3 –2 1 2 3 4 (i) ̸ ∃x tal que f ′ (x) = 0 –2 (ii) ̸ ∃x tal que f ′ (x) > 0 (iii) f ′ (x) < 0 : x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞) –4