Algebra Linear cap 04

Andrei Bastos
Andrei BastosEstudante um Universidade Federal do Espirito Santo
34
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 4
BASE – DIMENSÃO - COORDENADAS
1 BASE
Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de V é um subconjunto finito
VB ⊂ satisfazendo:
a) B gera V, ou seja, o subespaço gerado por B é igual a V.
b) B é LI.
Exemplo (1): Mostre que )}2,1,1(),2,1,0(),3,2,1{(B −= é base do ℜ3
.
Solução: Para verificar o item (a) da definição, vamos mostrar que qualquer vetor do ℜ3
se escreve
como combinação linear de B. Seja
3
)z,y,x(v ℜ∈= . Então, existem escalares a, b e
c ∈ℜ tais que:
)2,1,1(c)2,1,0(b)3,2,1(a)z,y,x(v −++== ⇒





++=
−+=
+=
c2b2a3z
cba2y
cax
. Resolvendo
o sistema teremos:








+−
=
+−−
=
−+
=
5
zy2x
c
5
z3yx7
b
5
zy2x4
a
, mostrando que o sistema tem solução. Logo,
B gera o ℜ3
. Para mostrar o item (b), lembrando que no ℜ3
, se três vetores não são
coplanares, então eles são LI. Daí é só mostrar que o determinante 0
211
210
321
≠
−
.
Portanto B é base do ℜ3
.
O espaço vetorial nulo V = {0} não possui base, pois o zero é LD. Todos os demais
espaços vetoriais possuem infinitas bases. De todas estas infinitas bases, uma delas é considerada a
mais simples e chamada de Base Canônica. A base canônica de todo espaço vetorial supõe-se
35
conhecida, elas, geralmente, não são dadas nos exercícios. Portanto, vamos listar as base canônicas
do principais espaços vetoriais. São elas:
• ℜ ⇒ }1{
• ℜ2
⇒ )}1,0(),0,1{(
• ℜ3
⇒ )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(
• ℜn
⇒ )}1,...,0,0(),...,0,...,1,0(),0,...,0,1{(
• )(M 2x2 ℜ ⇒






























10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
• )(Pn ℜ ⇒ { }n2
t,...,t,t,1
Teorema da Invariância: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então, qualquer uma de
suas bases têm o mesmo número de vetores.
► Processo Prático para obter uma base de um subespaço do ℜℜℜℜn
Este processo consiste em colocar os vetores candidatos a base do subespaço, dispostos
como linhas de uma matriz e escaloná-la. Depois de escalonada, retirar todas as linhas nulas. As
linhas restantes serão vetores LI e formarão a base procurada.
Exemplo (2): Seja W um subespaço do ℜ4
que possui o seguinte sistema de geradores
)]6,3,0,3(),4,1,1,0(),2,1,0,1(),0,1,1,2[( − . Determine uma base para W.
Solução: Vamos aplicar o processo acima:
21
41
LL2
LL3
6303
4110
0112
2101
+−
+−
→












−
32 LL1
0000
4110
4110
2101
+
→












−
−−












−−
0000
0000
4110
2101
.
Retiradas as linhas nulas, temos que )}4,1,1,0(),2,1,0,1{(B −−= é base de W.
Definição: Um conjunto de vetores V}v,...,v,v{ n21 ⊂ é dito LI-Maximal se:
a) }v,...,v,v{ n21 é LI
b) }w,v,...,v,v{ n21 é LD, Vw ∈∀
36
Proposição (1): Seja V um espaço vetorial. Um conjunto de vetores }v,...,v,v{ n21 é base de V
se for LI-Maximal.
2 DIMENSÃO
Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Denomina-se Dimensão do espaço V,
denotado por dim(V), a quantidade de vetores de qualquer uma de suas bases.
OBS: Se o número de vetores de uma base de um espaço vetorial é finito, então dizemos que o
espaço é de dimensão finita. Os espaços de dimensão infinita não serão objetivos do nossos
estudos.
Assim, analisando as bases canônicas anteriormente listadas, podemos concluir:
• n)dim(;...,3)dim(;2)dim(;1)dim( n32
=ℜ=ℜ=ℜ=ℜ
• 2x24)Mdim( 2x2 ==
• nm)Mdim( mxn ⋅=
• 1n)Pdim( n +=
• 0})0dim({ =
Teorema do Completamento: Em um espaço vetorial de dimensão finita, sempre podemos
completar um conjunto LI de maneira a obter uma base.
Proposição (2): Seja VW ⊆ um subespaço de V. Se )Vdim()Wdim( = então VW = .
Proposição (3): Seja V um espaço vetorial e }v,...,v,v{B n21= uma de suas bases. Então, todo
elemento de V se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores
da base B.
Teorema (1): Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Então:
)WUdim()Wdim()Udim()WUdim( ∩−+=+ .
Teorema (2): Seja V um espaço vetorial tal que n)Vdim( = . Então:
a) Qualquer conjunto com n+1 ou mais vetores é LD.
37
b) Qualquer conjunto LI com n vetores é base de V
Exemplo (3): Seja }0ty2x/)t,z,y,x{(W 4
=+−ℜ∈= . Determine a dimensão de W.
Solução: Para determinar a dimensão de W é necessário determinar uma de suas bases. De W
temos que: ty2x0ty2x −=⇒=+− . Então todo vetor de W é da forma
ℜ∈∀− t,z,y),t,z,y,ty2( . Determinando um sistema de geradores para W:
)1,0,0,1(t)0,1,0,0(z)0,0,1,2(y)t,z,y,ty2( −++=− . O conjunto formado pelos
vetores )}1,0,0,1(),0,1,0,0(),0,0,1,2{(S −= é um sistema de geradores de W.
Aplicando o processo prático de obtenção de base teremos:









−
→









−
+
0100
2010
1001
0100
0012
1001
21 LL2
. A matriz está escalonada e não apresenta
nenhuma linha nula. Logo, os vetores são LI e constituem uma base de W, ou seja, S é
base de W. Portanto, 3)Wdim( = .
OBS: Um erro muito comum entre os alunos é confundir a quantidade de coordenadas de um vetor,
com a quantidade de vetores de uma base. Veja o exemplo (3). A base de W é
)}1,0,0,1(),0,1,0,0(),0,0,1,2{(S −= , cujos vetores têm 4 coordenadas, mas
3)Wdim( = , porque na base S temos 3 vetores.
Exemplo (4): Seja ]ttt62,tt1,ttt2,t21[U 323232
+−−−+−+−= . Qual é a dimensão
de U?
Solução: O enunciado diz que o subespaço )(PU 3 ℜ⊂ é gerado pelos vetores dados. Para
determinar uma base de U, podemos usar o processo prático, escrevendo uma matriz com
os coeficientes dos polinômios dados.
Então:












−
−
→












−−
−
−
−
→












−−
−
−
−
+−
+
+−
+−
0000
0000
1120
0021
1120
1120
1120
0021
1162
1101
1120
0021
32
42
31
41
LL1
LL1
LL1
LL2
Retiradas as linhas nulas, os polinômios restantes forma uma base de U, ou seja,
}tt2,t21{B 32
−+−= é base de U. Portanto, 2)Udim( = .
38
Exemplo (5): Sejam U e W, subespaços do ℜ3
, onde }0zy2x/)z,y,x{(U 3
=+−ℜ∈= e
}0zy2x3/)z,y,x{(W 3
=++ℜ∈= . Determine uma base e a dimensão para
WU + e WU ∩ . O WU3
⊕=ℜ ?
Solução: Primeiro, vamos determinar uma base e a dimensão para U e W. Podemos escrever:
}z,y),z,y,zy2{(U ℜ∈∀−= ⇒ )1,0,1(z)0,1,2(y)z,y,zy2( −+=− ⇒
)}1,0,1(),0,1,2{(BU −= é base de U ⇒ 2)Udim( =
}y,x),y2x3,y,x{(W ℜ∈∀−−= ⇒ )2,1,0(y)3,0,1(x)y2x3,y,x( −+−=−−
⇒ )}2,1,0(),3,0,1{(BW −−= é base de W ⇒ 2)Wdim( =
a) Para determinar uma base de U+W, devemos obter um sistema de geradores fazendo a
união da base de U com a base de W e usar o processo prático de obtenção de base.
Então, seja )}2,1,0(),3,0,1(),1,0,1(),0,1,2{(BBS WU −−−=∪= o sistema de
geradores de U+W. Aplicando o processo teremos:












−
−
−
→












−
−
−
→












−
−
−
→












−
−
−
++−+
+−
000
200
210
301
800
200
210
301
610
200
210
301
012
101
210
301
434231
41
LL4LL1LL1
LL2
.
)}2,0,0(),2,1,0(),3,0,1{(B WU −−−=+ é base de U+W ⇒ 3)WUdim( =+ .
b) Pelo Teorema (1): )WUdim()Wdim()Udim()WUdim( ∩−+=+ ⇒
)WUdim(223 ∩−+= ⇒ 1)WUdim( =∩ . Portanto, sua base tem que conter
apenas um vetor comum a U e a W. Para determinar estes vetor, que está na
interseção, fazemos:
)2,1,0()3,0,1()1,0,1(b)0,1,2(a)z,y,x( −β+−α=−+= ⇒





β−α−=
β=
α=−
23b
a
ba2
⇒
substituindo a 1ª e a 2ª equações na 3ª, teremos: a2)ba2(3b −−−= ⇒ a4b = .
Então: )4,1,2(a)1,0,1(a4)0,1,2(a)z,y,x( −=−+= ⇒ )}4,1,2{(B WU −=∩ é
base de WU ∩ .
c) O ℜ3
não é soma direta de U com W porque 01)WUdim( ≠=∩ ⇒
}0{WU ≠∩
39
Exemplo (6): Determine uma base e a dimensão para o espaço das soluções do sistema linear





=−
=++
=−−−
0tz
0tyx2
0tzyx
:L
Solução: Como o sistema L é SPI, ele possui infinitas soluções do tipo
}t,z,y,x),t,z,y,x{(S ℜ∈∀= . Este conjunto de soluções forma um espaço vetorial.
Vamos achar a solução geral do sistema L. Resolvendo o sistema, teremos:
}x),x3,x3,x5,x{(S ℜ∈∀−= . Então: )}3,3,5,1{(B −= é base de S ⇒ 1)Sdim( = .
3 COORDENADAS DE UM VETOR
A partir de agora, trabalharemos, sempre, com bases ordenadas. Uma base ordenada é
aquela em que as posições dos vetores estão fixadas, ou seja, dada uma base qualquer
}v,...,v,v{B n21= , então, v1 sempre será o primeiro vetor, v2 sempre será o segundo, assim por
diante até o último que sempre será vn.
Definição: Sejam V um espaço vetorial e }v,...,v,v{B n21= uma de suas bases ordenadas.
Qualquer vetor Vv ∈ se escreve, de maneira única, como combinação linear da base
B. Existem escalares Ka,...,a,a n21 ∈ , tais que nn2211 va...vavav +++= .
Assim, os escalares n21 a,...,a,a são chamados de coordenadas do vetor v em relação
a base B, denotado por:












=
n
2
1
B
a
...
a
a
]v[
Exemplo (7): Determine as coordenadas do vetor )8,5,1(v −−= em relação:
a) Base canônica b) )}1,1,2(),01,2(),0,1,1{(B −=
Solução:
a) A base canônica do ℜ3
é )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(C = . Então:
40
)1,0,0(c)0,1,0(b)0,0,1(a)8,5,1(v ++=−−= ⇒





−=
=
−=
8c
5b
1a
⇒










−
−
=
8
5
1
]v[ C
b) Escrevendo v como combinação da base B teremos:
)1,1,2(c)1,0,2(b)0,1,1(a)8,5,1(v −++=−−= ⇒





−=+
=−
−=++
8cb
5ca
1c2b2a
⇒










−=
10
18
15
]v[ B
OBS: Note que, as coordenadas de qualquer vetor (de qualquer espaço vetorial) em relação à base
canônica do espaço é ele mesmo (ver exemplo (7), item (a)) . Portanto, se nada for dito, as
coordenadas de um vetor, vêm sempre dadas em relação à base canônica do espaço.
Exemplo (8): Determine as coordenadas do vetor
2
tt42)t(p ++= em relação a base
}t3t21,t1,2{B 2
−+−−=
Solução: Vamos escrever p(t) com combinação linear dos vetores da base B. Então:
)t3t21(c)t1(b)2(att42)t(p 22
−++−+−=++= ⇒
22
t)c3(t)c2b()cba2(tt42 −++−+++−=++ ⇒





−=
+−=
++−=
c31
c2b4
cba22
⇒










−
−
−
=
3
1
3
14
2
7
B)]t(p[
Exercícios Propostos
41
1) Seja }a4aaea5a2a/)(Ptatataa{W 32132o3
3
3
2
21o −=−=ℜ∈+++= . Deter-
mine uma base e a dimensão de W. Resp: 2)Wdim(}tt45,tt2{B 32
=⇒+−−++=
2) Determine uma base e a dimensão para W+U e W∩U, onde:
}t3ze0y2x/)t,z,y,x{(W 4
−==−ℜ∈=
}0tz2yx2/)t,z,y,x{(U 4
=−+−ℜ∈=
Resp: 4)UWdim()}3,0,0,0(),1,3,0,0(),1,0,1,0(),0,0,2,1{(B UW =+⇒−−−=+
1)UWdim(1,3,
3
7
,
3
14
B UW =∩⇒












−=∩
3) Seja






−==ℜ∈





= cdeb2a/)(M
dc
ba
W 2x2 . Determine uma base e a dimensão de
W e estenda a base de W para obter uma base de )(M 2x2 ℜ .
Resp:












−





=
11
00
,
00
12
BW e
























−





=
10
00
,
00
01
,
11
00
,
00
12
B 2x2M
4) Determine um base e a dimensão do espaço das soluções do sistema







=++
=+++−
=+−+−
=+++
0t7z5y6
0t3zy4x2
0tzy3x3
0t2z2yx
Resp: 2)Sdim(e)}6,0,7,5(),0,6,5,7{(B =−−−−=
5) Mostre que o
3
ℜ é soma direta do 0z5y2x:)( =+−π com a reta z
1
y
2
x
:)r( =
−
= .

Recomendados

Aula espaço vetorial von
Aula espaço vetorialAula espaço vetorial
Aula espaço vetorialTuane Paixão
27.1K views38 Folien
Algebra von
AlgebraAlgebra
AlgebraSam Santos
6.5K views12 Folien
Alg aula04 von
Alg aula04Alg aula04
Alg aula04Luiz Leite Santos
7.7K views62 Folien
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 04 von
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  04GEOMETRIA ANALÍTICA cap  04
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 04Andrei Bastos
3.8K views13 Folien
Integração cálculo 4 von
Integração cálculo 4Integração cálculo 4
Integração cálculo 4Alexandre Neris
5.9K views52 Folien

Más contenido relacionado

Was ist angesagt?

Vetor resumo von
Vetor resumoVetor resumo
Vetor resumoLuciano Rebouças
498 views5 Folien
Equações Exatas exercicios von
Equações Exatas exerciciosEquações Exatas exercicios
Equações Exatas exerciciosCursinho Vest. Jr.
6.8K views3 Folien
Cadeno 1 integrais duplos e intregrais de linha von
Cadeno 1 integrais duplos e intregrais de linhaCadeno 1 integrais duplos e intregrais de linha
Cadeno 1 integrais duplos e intregrais de linhaBowman Guimaraes
3.1K views48 Folien
Geometria analítica: Notas de Aula von
Geometria analítica: Notas de AulaGeometria analítica: Notas de Aula
Geometria analítica: Notas de AulaAndré Gustavo Santos
1.7K views45 Folien
¦Lgebra linear 02 aula 01-01-produto escalar von
¦Lgebra linear 02 aula 01-01-produto escalar¦Lgebra linear 02 aula 01-01-produto escalar
¦Lgebra linear 02 aula 01-01-produto escalarPedro Povoleri
1.3K views13 Folien
Calculo a diva fleming solucionário von
Calculo a   diva fleming solucionárioCalculo a   diva fleming solucionário
Calculo a diva fleming solucionárioLuis Fernando Belens de Oliveira
62.5K views746 Folien

Was ist angesagt?(19)

Cadeno 1 integrais duplos e intregrais de linha von Bowman Guimaraes
Cadeno 1 integrais duplos e intregrais de linhaCadeno 1 integrais duplos e intregrais de linha
Cadeno 1 integrais duplos e intregrais de linha
Bowman Guimaraes3.1K views
¦Lgebra linear 02 aula 01-01-produto escalar von Pedro Povoleri
¦Lgebra linear 02 aula 01-01-produto escalar¦Lgebra linear 02 aula 01-01-produto escalar
¦Lgebra linear 02 aula 01-01-produto escalar
Pedro Povoleri1.3K views
Prova de edo von Molequita
Prova de edoProva de edo
Prova de edo
Molequita251 views
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iii von Bruno Luz
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis   unid iiiCálculo diferencial e integral de várias variáveis   unid iii
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iii
Bruno Luz12.9K views
cálculo 3 Integrais sobre regiões planas von Gilza Simão
cálculo 3 Integrais sobre regiões planascálculo 3 Integrais sobre regiões planas
cálculo 3 Integrais sobre regiões planas
Gilza Simão2K views
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle von samuelsaocristovao
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterleRespostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
samuelsaocristovao151.5K views
Amii a complexa_2011 von Diogo Freire
Amii a complexa_2011Amii a complexa_2011
Amii a complexa_2011
Diogo Freire1.4K views
Cammpos vetoriais disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3 von Bowman Guimaraes
Cammpos vetoriais  disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3Cammpos vetoriais  disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
Cammpos vetoriais disciplinas calculo_iii_lista04_calculo3
Bowman Guimaraes1.8K views

Destacado

Mineria en el Ecuador por Liliana Yanchaguano von
Mineria en el Ecuador por Liliana YanchaguanoMineria en el Ecuador por Liliana Yanchaguano
Mineria en el Ecuador por Liliana YanchaguanoLilianaYanchaguano
606 views23 Folien
Informe ODM espanol - Hacia un desarrollo sostenible que no deje a nadie atrás von
Informe ODM espanol - Hacia un desarrollo sostenible que no deje a nadie atrásInforme ODM espanol - Hacia un desarrollo sostenible que no deje a nadie atrás
Informe ODM espanol - Hacia un desarrollo sostenible que no deje a nadie atrásMovimiento ATD Cuarto Mundo España
698 views142 Folien
UBC Phar400 Employment Law-11Oct2013 von
UBC Phar400 Employment Law-11Oct2013UBC Phar400 Employment Law-11Oct2013
UBC Phar400 Employment Law-11Oct2013Gerry Spitzner
557 views44 Folien
We remember the holocaust von
We remember the holocaustWe remember the holocaust
We remember the holocaustLuseland School
225 views6 Folien
Algebra Linear cap 05 von
Algebra Linear cap  05Algebra Linear cap  05
Algebra Linear cap 05Andrei Bastos
686 views4 Folien
Secuencia fisica 1er bimestre von
Secuencia fisica 1er bimestreSecuencia fisica 1er bimestre
Secuencia fisica 1er bimestrehedj661205uw1juanherrera
67 views6 Folien

Similar a Algebra Linear cap 04

áLgebra linear von
áLgebra linearáLgebra linear
áLgebra linearIzabelly Karine
2.2K views8 Folien
Algebra linear exercicios_resolvidos von
Algebra linear exercicios_resolvidosAlgebra linear exercicios_resolvidos
Algebra linear exercicios_resolvidosRodolfo Sena da Penha
112 views16 Folien
1928 d von
1928 d1928 d
1928 dTuane Paixão
2.8K views9 Folien
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 03 von
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  03GEOMETRIA ANALÍTICA cap  03
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 03Andrei Bastos
800 views8 Folien
Aula 4 espaços vetoriais von
Aula 4   espaços vetoriaisAula 4   espaços vetoriais
Aula 4 espaços vetoriaisFernanda Paola Butarelli
1.2K views28 Folien
Lista de exercícios produto vetorial produto misto von
Lista de exercícios produto vetorial produto mistoLista de exercícios produto vetorial produto misto
Lista de exercícios produto vetorial produto mistoProf Paulo Roberto Batista
17.5K views3 Folien

Similar a Algebra Linear cap 04(20)

GEOMETRIA ANALÍTICA cap 03 von Andrei Bastos
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  03GEOMETRIA ANALÍTICA cap  03
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 03
Andrei Bastos800 views
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02 von Andrei Bastos
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02
Andrei Bastos2.1K views
616a9aa93f9554aa9a9550f5bd9a16147866a87d von Mariza Roberto
616a9aa93f9554aa9a9550f5bd9a16147866a87d616a9aa93f9554aa9a9550f5bd9a16147866a87d
616a9aa93f9554aa9a9550f5bd9a16147866a87d
Mariza Roberto655 views

Más de Andrei Bastos

Lógica de programação em ppt von
Lógica de programação em pptLógica de programação em ppt
Lógica de programação em pptAndrei Bastos
4.4K views52 Folien
Geometria analitica exercicios resolvidos von
Geometria analitica exercicios resolvidosGeometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidosAndrei Bastos
25.4K views9 Folien
Apostila vetores e geometria analitica von
Apostila vetores e geometria analiticaApostila vetores e geometria analitica
Apostila vetores e geometria analiticaAndrei Bastos
76K views157 Folien
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09 von
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09Andrei Bastos
680 views8 Folien
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 08 von
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  08GEOMETRIA ANALÍTICA cap  08
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 08Andrei Bastos
2.3K views17 Folien
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 07 von
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  07GEOMETRIA ANALÍTICA cap  07
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 07Andrei Bastos
769 views8 Folien

Más de Andrei Bastos(20)

Lógica de programação em ppt von Andrei Bastos
Lógica de programação em pptLógica de programação em ppt
Lógica de programação em ppt
Andrei Bastos4.4K views
Geometria analitica exercicios resolvidos von Andrei Bastos
Geometria analitica exercicios resolvidosGeometria analitica exercicios resolvidos
Geometria analitica exercicios resolvidos
Andrei Bastos25.4K views
Apostila vetores e geometria analitica von Andrei Bastos
Apostila vetores e geometria analiticaApostila vetores e geometria analitica
Apostila vetores e geometria analitica
Andrei Bastos76K views
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09 von Andrei Bastos
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 09
Andrei Bastos680 views
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 08 von Andrei Bastos
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  08GEOMETRIA ANALÍTICA cap  08
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 08
Andrei Bastos2.3K views
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 07 von Andrei Bastos
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  07GEOMETRIA ANALÍTICA cap  07
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 07
Andrei Bastos769 views
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 06 von Andrei Bastos
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  06GEOMETRIA ANALÍTICA cap  06
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 06
Andrei Bastos1.8K views
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 05 von Andrei Bastos
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  05GEOMETRIA ANALÍTICA cap  05
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 05
Andrei Bastos1.6K views
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 01 von Andrei Bastos
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  01GEOMETRIA ANALÍTICA cap  01
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 01
Andrei Bastos2.7K views
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10 von Andrei Bastos
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 10
Andrei Bastos2.5K views
Java Comunicação Serial von Andrei Bastos
Java Comunicação SerialJava Comunicação Serial
Java Comunicação Serial
Andrei Bastos1.9K views
Provas Discursivas UFES 2010 von Andrei Bastos
Provas Discursivas UFES 2010Provas Discursivas UFES 2010
Provas Discursivas UFES 2010
Andrei Bastos5.8K views
C a linguagem de programação von Andrei Bastos
C   a linguagem de programaçãoC   a linguagem de programação
C a linguagem de programação
Andrei Bastos4.3K views

Algebra Linear cap 04

  • 1. 34 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR CAPÍTULO 4 BASE – DIMENSÃO - COORDENADAS 1 BASE Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de V é um subconjunto finito VB ⊂ satisfazendo: a) B gera V, ou seja, o subespaço gerado por B é igual a V. b) B é LI. Exemplo (1): Mostre que )}2,1,1(),2,1,0(),3,2,1{(B −= é base do ℜ3 . Solução: Para verificar o item (a) da definição, vamos mostrar que qualquer vetor do ℜ3 se escreve como combinação linear de B. Seja 3 )z,y,x(v ℜ∈= . Então, existem escalares a, b e c ∈ℜ tais que: )2,1,1(c)2,1,0(b)3,2,1(a)z,y,x(v −++== ⇒      ++= −+= += c2b2a3z cba2y cax . Resolvendo o sistema teremos:         +− = +−− = −+ = 5 zy2x c 5 z3yx7 b 5 zy2x4 a , mostrando que o sistema tem solução. Logo, B gera o ℜ3 . Para mostrar o item (b), lembrando que no ℜ3 , se três vetores não são coplanares, então eles são LI. Daí é só mostrar que o determinante 0 211 210 321 ≠ − . Portanto B é base do ℜ3 . O espaço vetorial nulo V = {0} não possui base, pois o zero é LD. Todos os demais espaços vetoriais possuem infinitas bases. De todas estas infinitas bases, uma delas é considerada a mais simples e chamada de Base Canônica. A base canônica de todo espaço vetorial supõe-se
  • 2. 35 conhecida, elas, geralmente, não são dadas nos exercícios. Portanto, vamos listar as base canônicas do principais espaços vetoriais. São elas: • ℜ ⇒ }1{ • ℜ2 ⇒ )}1,0(),0,1{( • ℜ3 ⇒ )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{( • ℜn ⇒ )}1,...,0,0(),...,0,...,1,0(),0,...,0,1{( • )(M 2x2 ℜ ⇒                               10 00 , 01 00 , 00 10 , 00 01 • )(Pn ℜ ⇒ { }n2 t,...,t,t,1 Teorema da Invariância: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então, qualquer uma de suas bases têm o mesmo número de vetores. ► Processo Prático para obter uma base de um subespaço do ℜℜℜℜn Este processo consiste em colocar os vetores candidatos a base do subespaço, dispostos como linhas de uma matriz e escaloná-la. Depois de escalonada, retirar todas as linhas nulas. As linhas restantes serão vetores LI e formarão a base procurada. Exemplo (2): Seja W um subespaço do ℜ4 que possui o seguinte sistema de geradores )]6,3,0,3(),4,1,1,0(),2,1,0,1(),0,1,1,2[( − . Determine uma base para W. Solução: Vamos aplicar o processo acima: 21 41 LL2 LL3 6303 4110 0112 2101 +− +− →             − 32 LL1 0000 4110 4110 2101 + →             − −−             −− 0000 0000 4110 2101 . Retiradas as linhas nulas, temos que )}4,1,1,0(),2,1,0,1{(B −−= é base de W. Definição: Um conjunto de vetores V}v,...,v,v{ n21 ⊂ é dito LI-Maximal se: a) }v,...,v,v{ n21 é LI b) }w,v,...,v,v{ n21 é LD, Vw ∈∀
  • 3. 36 Proposição (1): Seja V um espaço vetorial. Um conjunto de vetores }v,...,v,v{ n21 é base de V se for LI-Maximal. 2 DIMENSÃO Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Denomina-se Dimensão do espaço V, denotado por dim(V), a quantidade de vetores de qualquer uma de suas bases. OBS: Se o número de vetores de uma base de um espaço vetorial é finito, então dizemos que o espaço é de dimensão finita. Os espaços de dimensão infinita não serão objetivos do nossos estudos. Assim, analisando as bases canônicas anteriormente listadas, podemos concluir: • n)dim(;...,3)dim(;2)dim(;1)dim( n32 =ℜ=ℜ=ℜ=ℜ • 2x24)Mdim( 2x2 == • nm)Mdim( mxn ⋅= • 1n)Pdim( n += • 0})0dim({ = Teorema do Completamento: Em um espaço vetorial de dimensão finita, sempre podemos completar um conjunto LI de maneira a obter uma base. Proposição (2): Seja VW ⊆ um subespaço de V. Se )Vdim()Wdim( = então VW = . Proposição (3): Seja V um espaço vetorial e }v,...,v,v{B n21= uma de suas bases. Então, todo elemento de V se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores da base B. Teorema (1): Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Então: )WUdim()Wdim()Udim()WUdim( ∩−+=+ . Teorema (2): Seja V um espaço vetorial tal que n)Vdim( = . Então: a) Qualquer conjunto com n+1 ou mais vetores é LD.
  • 4. 37 b) Qualquer conjunto LI com n vetores é base de V Exemplo (3): Seja }0ty2x/)t,z,y,x{(W 4 =+−ℜ∈= . Determine a dimensão de W. Solução: Para determinar a dimensão de W é necessário determinar uma de suas bases. De W temos que: ty2x0ty2x −=⇒=+− . Então todo vetor de W é da forma ℜ∈∀− t,z,y),t,z,y,ty2( . Determinando um sistema de geradores para W: )1,0,0,1(t)0,1,0,0(z)0,0,1,2(y)t,z,y,ty2( −++=− . O conjunto formado pelos vetores )}1,0,0,1(),0,1,0,0(),0,0,1,2{(S −= é um sistema de geradores de W. Aplicando o processo prático de obtenção de base teremos:          − →          − + 0100 2010 1001 0100 0012 1001 21 LL2 . A matriz está escalonada e não apresenta nenhuma linha nula. Logo, os vetores são LI e constituem uma base de W, ou seja, S é base de W. Portanto, 3)Wdim( = . OBS: Um erro muito comum entre os alunos é confundir a quantidade de coordenadas de um vetor, com a quantidade de vetores de uma base. Veja o exemplo (3). A base de W é )}1,0,0,1(),0,1,0,0(),0,0,1,2{(S −= , cujos vetores têm 4 coordenadas, mas 3)Wdim( = , porque na base S temos 3 vetores. Exemplo (4): Seja ]ttt62,tt1,ttt2,t21[U 323232 +−−−+−+−= . Qual é a dimensão de U? Solução: O enunciado diz que o subespaço )(PU 3 ℜ⊂ é gerado pelos vetores dados. Para determinar uma base de U, podemos usar o processo prático, escrevendo uma matriz com os coeficientes dos polinômios dados. Então:             − − →             −− − − − →             −− − − − +− + +− +− 0000 0000 1120 0021 1120 1120 1120 0021 1162 1101 1120 0021 32 42 31 41 LL1 LL1 LL1 LL2 Retiradas as linhas nulas, os polinômios restantes forma uma base de U, ou seja, }tt2,t21{B 32 −+−= é base de U. Portanto, 2)Udim( = .
  • 5. 38 Exemplo (5): Sejam U e W, subespaços do ℜ3 , onde }0zy2x/)z,y,x{(U 3 =+−ℜ∈= e }0zy2x3/)z,y,x{(W 3 =++ℜ∈= . Determine uma base e a dimensão para WU + e WU ∩ . O WU3 ⊕=ℜ ? Solução: Primeiro, vamos determinar uma base e a dimensão para U e W. Podemos escrever: }z,y),z,y,zy2{(U ℜ∈∀−= ⇒ )1,0,1(z)0,1,2(y)z,y,zy2( −+=− ⇒ )}1,0,1(),0,1,2{(BU −= é base de U ⇒ 2)Udim( = }y,x),y2x3,y,x{(W ℜ∈∀−−= ⇒ )2,1,0(y)3,0,1(x)y2x3,y,x( −+−=−− ⇒ )}2,1,0(),3,0,1{(BW −−= é base de W ⇒ 2)Wdim( = a) Para determinar uma base de U+W, devemos obter um sistema de geradores fazendo a união da base de U com a base de W e usar o processo prático de obtenção de base. Então, seja )}2,1,0(),3,0,1(),1,0,1(),0,1,2{(BBS WU −−−=∪= o sistema de geradores de U+W. Aplicando o processo teremos:             − − − →             − − − →             − − − →             − − − ++−+ +− 000 200 210 301 800 200 210 301 610 200 210 301 012 101 210 301 434231 41 LL4LL1LL1 LL2 . )}2,0,0(),2,1,0(),3,0,1{(B WU −−−=+ é base de U+W ⇒ 3)WUdim( =+ . b) Pelo Teorema (1): )WUdim()Wdim()Udim()WUdim( ∩−+=+ ⇒ )WUdim(223 ∩−+= ⇒ 1)WUdim( =∩ . Portanto, sua base tem que conter apenas um vetor comum a U e a W. Para determinar estes vetor, que está na interseção, fazemos: )2,1,0()3,0,1()1,0,1(b)0,1,2(a)z,y,x( −β+−α=−+= ⇒      β−α−= β= α=− 23b a ba2 ⇒ substituindo a 1ª e a 2ª equações na 3ª, teremos: a2)ba2(3b −−−= ⇒ a4b = . Então: )4,1,2(a)1,0,1(a4)0,1,2(a)z,y,x( −=−+= ⇒ )}4,1,2{(B WU −=∩ é base de WU ∩ . c) O ℜ3 não é soma direta de U com W porque 01)WUdim( ≠=∩ ⇒ }0{WU ≠∩
  • 6. 39 Exemplo (6): Determine uma base e a dimensão para o espaço das soluções do sistema linear      =− =++ =−−− 0tz 0tyx2 0tzyx :L Solução: Como o sistema L é SPI, ele possui infinitas soluções do tipo }t,z,y,x),t,z,y,x{(S ℜ∈∀= . Este conjunto de soluções forma um espaço vetorial. Vamos achar a solução geral do sistema L. Resolvendo o sistema, teremos: }x),x3,x3,x5,x{(S ℜ∈∀−= . Então: )}3,3,5,1{(B −= é base de S ⇒ 1)Sdim( = . 3 COORDENADAS DE UM VETOR A partir de agora, trabalharemos, sempre, com bases ordenadas. Uma base ordenada é aquela em que as posições dos vetores estão fixadas, ou seja, dada uma base qualquer }v,...,v,v{B n21= , então, v1 sempre será o primeiro vetor, v2 sempre será o segundo, assim por diante até o último que sempre será vn. Definição: Sejam V um espaço vetorial e }v,...,v,v{B n21= uma de suas bases ordenadas. Qualquer vetor Vv ∈ se escreve, de maneira única, como combinação linear da base B. Existem escalares Ka,...,a,a n21 ∈ , tais que nn2211 va...vavav +++= . Assim, os escalares n21 a,...,a,a são chamados de coordenadas do vetor v em relação a base B, denotado por:             = n 2 1 B a ... a a ]v[ Exemplo (7): Determine as coordenadas do vetor )8,5,1(v −−= em relação: a) Base canônica b) )}1,1,2(),01,2(),0,1,1{(B −= Solução: a) A base canônica do ℜ3 é )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(C = . Então:
  • 7. 40 )1,0,0(c)0,1,0(b)0,0,1(a)8,5,1(v ++=−−= ⇒      −= = −= 8c 5b 1a ⇒           − − = 8 5 1 ]v[ C b) Escrevendo v como combinação da base B teremos: )1,1,2(c)1,0,2(b)0,1,1(a)8,5,1(v −++=−−= ⇒      −=+ =− −=++ 8cb 5ca 1c2b2a ⇒           −= 10 18 15 ]v[ B OBS: Note que, as coordenadas de qualquer vetor (de qualquer espaço vetorial) em relação à base canônica do espaço é ele mesmo (ver exemplo (7), item (a)) . Portanto, se nada for dito, as coordenadas de um vetor, vêm sempre dadas em relação à base canônica do espaço. Exemplo (8): Determine as coordenadas do vetor 2 tt42)t(p ++= em relação a base }t3t21,t1,2{B 2 −+−−= Solução: Vamos escrever p(t) com combinação linear dos vetores da base B. Então: )t3t21(c)t1(b)2(att42)t(p 22 −++−+−=++= ⇒ 22 t)c3(t)c2b()cba2(tt42 −++−+++−=++ ⇒      −= +−= ++−= c31 c2b4 cba22 ⇒           − − − = 3 1 3 14 2 7 B)]t(p[ Exercícios Propostos
  • 8. 41 1) Seja }a4aaea5a2a/)(Ptatataa{W 32132o3 3 3 2 21o −=−=ℜ∈+++= . Deter- mine uma base e a dimensão de W. Resp: 2)Wdim(}tt45,tt2{B 32 =⇒+−−++= 2) Determine uma base e a dimensão para W+U e W∩U, onde: }t3ze0y2x/)t,z,y,x{(W 4 −==−ℜ∈= }0tz2yx2/)t,z,y,x{(U 4 =−+−ℜ∈= Resp: 4)UWdim()}3,0,0,0(),1,3,0,0(),1,0,1,0(),0,0,2,1{(B UW =+⇒−−−=+ 1)UWdim(1,3, 3 7 , 3 14 B UW =∩⇒             −=∩ 3) Seja       −==ℜ∈      = cdeb2a/)(M dc ba W 2x2 . Determine uma base e a dimensão de W e estenda a base de W para obter uma base de )(M 2x2 ℜ . Resp:             −      = 11 00 , 00 12 BW e                         −      = 10 00 , 00 01 , 11 00 , 00 12 B 2x2M 4) Determine um base e a dimensão do espaço das soluções do sistema        =++ =+++− =+−+− =+++ 0t7z5y6 0t3zy4x2 0tzy3x3 0t2z2yx Resp: 2)Sdim(e)}6,0,7,5(),0,6,5,7{(B =−−−−= 5) Mostre que o 3 ℜ é soma direta do 0z5y2x:)( =+−π com a reta z 1 y 2 x :)r( = − = .