O documento discute a história e aplicações de progressões geométricas. Os egípcios usavam progressões para prever enchentes e plantar grãos. Eles podiam somar progressões geométricas de 6 termos multiplicando por um fator comum. A fórmula para a soma de termos finitos de uma progressão geométrica é apresentada, assim como a fórmula para o produto dos termos. Exemplos ilustram como usar as fórmulas.

1. Progressão Geométrica
• Soma dos Termos
• Produto
• Aplicações

2. UM POUCO DA HISTÓRIA
 As progressões tiveram seus primeiros estudos através do
babilônicos.
 Pelos egípcios a progressão era usada para verificar os períodos
de enchentes do rio Nilo, pois eles precisavam saber quando
haveria inundação, e deste modo eles poderiam plantar na
época certa garantindo seus alimentos.

3. No Papiro de Rhind também aparece uma progressão geométrica muito
interessante formada pelas frações ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 do Hekat,
(unidade comum do volume usada para medir quantidade de grãos). Os
termos dessa sequência são conhecidos como frações dos olhos do deus
Hórus.

4. Os egípcios estavam aptos a somar progressões geométricas com 6 elementos, usando
multiplicação por um fator comum:
𝑆 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
Os egípcios multiplicariam todos os elementos por 64 ( o ultimo denominador) e
encontrariam :
𝑆. 64 =
1
2
. 64 +
1
4
. 64 +
1
8
. 64 +
1
16
. 64 +
1
32
. 64 +
1
64
. 64
64 . 𝑆 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
𝑆 =
63
64

5. Soma dos termos da P.G. finita
Dada a P.G.(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎 𝑛) , a soma 𝑆 𝑛 dos n primeiros termos da P.G.
é dada por:
𝑆 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ... + 𝑎 𝑛
Multiplicando a igualdade por q, onde 𝑞 é a razão da P.G dada:
𝑞 . 𝑆𝑛 = 𝑞 . 𝑎1 + 𝑞 . 𝑎2 + 𝑞 . 𝑎3 + … + 𝑞. 𝑎 𝑛
𝑞 . 𝑆𝑛 = 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + … + 𝑎 𝑛+1
Fazendo - , temos:
𝑞 . 𝑆 𝑛 = 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ... + 𝑎 𝑛 + 𝑎 𝑛+1
− 𝑆 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ... + 𝑎 𝑛
𝑞 . 𝑆 𝑛 − 𝑆 𝑛 = 𝑎 𝑛+1 − 𝑎1
II
I
I
II I 𝑆 𝑛( 𝑞 − 1) = 𝑎1 𝑞 𝑛
− 1
𝑆 𝑛 =
𝑎1(𝑞 𝑛
− 1)
𝑞 − 1

6. Em uma pequena cidade, 5 pessoas ficam
sabendo em certo dia, que Mirin e Jorge
começaram a namorar. No dia seguinte,
cada uma delas contou essa “fofoca” para
outras duas pessoas. Cada uma dessas
pessoas repassou, no dia seguinte, essa
“fofoca” para outras duas pessoas e, assim,
sucessivamente. Passados oito dias, quantas
pessoas já estarão sabendo da “fofoca”?
Resposta: 1275 pessoas estarão sabendo.
“Eita povo fofoqueiro”
Resolução
𝑎1 = 5
𝑛 = 8
𝑞 = 2
𝑆8 = ?
𝑆 𝑛 =
𝑎1(𝑞 𝑛 − 1)
𝑞 − 1
𝑆8 =
5 (28 − 1)
2 − 1
𝑆8 =
5 . 255
1
𝑺 𝟖 = 𝟏𝟐𝟕𝟓

7. Produto dos termos de uma P.G. limitada
Em uma P.G. (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎 𝑛) de razão 𝑞, o produto de seus
𝑛 termos 𝑃𝑛, é dado por:
𝑎1 = 𝑎1
𝑎2 = 𝑎1 . 𝑞
𝑎3 = 𝑎1 . 𝑞2
𝑎4 = 𝑎1 . 𝑞3
𝑎 𝑛 = 𝑎1 . 𝑞 𝑛−1
Multiplicando as igualdades, temos:
𝑎1. 𝑎2. 𝑎3. 𝑎4 … . 𝑎 𝑛 = 𝑎1. 𝑎1. 𝑎1. 𝑎1. … . 𝑎1. 𝑞. 𝑞2
. 𝑞3
… . 𝑞 𝑛−1
𝑛
...
...
Somando os expoentes de “𝑞”:
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 − 1 =
1+𝑛−1 . 𝑛−1
2
=
𝑛(𝑛−1)
2
𝑃𝑛 = 𝑎1
𝑛
. 𝑞
𝑛(𝑛−1)
2

8. Qual o produto dos 5 primeiros termos de
uma PG, cuja razão é 2 e o primeiro termo
vale 1 e o 5° termo 16?
Resposta: O produto será 1024.
Resolução
𝑃5 = ?
𝑞 = 2
𝑎1 = 1
𝑎5 = 16
𝑃𝑛 = 𝑎1
𝑛
. 𝑞
𝑛(𝑛−1)
2
𝑃5 = 15. 2
5 .4
2
𝑃5 = 210
𝑃5 = 1024