SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 267
Downloaden Sie, um offline zu lesen
Ө
‫اجلبوري‬ ‫ذايب‬ ‫نس‬‫أ‬ ‫ادلكتور‬
‫االدب‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
1
2023
‫سادس‬‫ل‬‫ا‬
‫العلمي‬
‫الاحيايئ‬
Tele@mathematicsiniraq
‫داد‬‫ع‬‫ا‬
‫ا‬
‫بوري‬‫جل‬‫ا‬ ‫ذايب‬ ‫نس‬‫أ‬ ‫تور‬‫ك‬‫دل‬
MATHEMATICS
‫الرياضيات‬
2023
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
2
‫مقدمة‬
‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫اردنا‬ ‫اذا‬
𝒙𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
:‫كاالتي‬ ‫سيكون‬ ‫الحل‬ ‫فان‬
𝒙𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝒙𝟐
= −𝟏,
⇒ 𝒙 = ∓√−𝟏,
‫يساوي‬ ‫مربعه‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ايجاد‬ ‫النستطيع‬ ‫اننا‬ ‫الواضح‬ ‫من‬ ‫انه‬
-1
‫االعداد‬ ‫من‬ ‫جديد‬ ‫نوع‬ ‫تعريف‬ ‫الضروري‬ ‫من‬ ‫لذلك‬ ,
. ) ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ( ‫هي‬ ‫االعداد‬ ‫وهذه‬
( ‫الرمز‬ ‫سنعرف‬ ‫البداية‬ ‫في‬
𝒊 = √−𝟏
. ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫اسم‬ ‫عليه‬ ‫سنطلق‬ ‫والذي‬ )
:‫ان‬ ‫حيث‬
𝑖2
= 𝑖. 𝑖 = √−1. √−1 = −1,
𝑖3
= 𝑖2
. 𝑖 = −1. 𝑖 = −𝑖,
𝑖4
= 𝑖2
. 𝑖2
= −1. −1 = 1,
𝑖5
= 𝑖3
. 𝑖2
= −𝑖. −1 = 𝑖,
: ‫مثال‬
: ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يلي‬ ‫ما‬ ‫اكتب‬
1) 𝑖6
= 𝑖2
. 𝑖2
. 𝑖2
= −1. −1. −1 = −1, 𝒐𝒓 𝒊𝟔
= 𝒊𝟐
. 𝒊𝟒
= −𝟏(𝟏) = −𝟏
2) 𝑖8
= 𝑖2
. 𝑖2
. 𝑖2
. 𝑖2
= −1. −1. −1. −1 = 1, 𝒐𝒓 𝒊𝟖
= 𝒊𝟒
. 𝒊𝟒
= 𝟏. 𝟏 = 𝟏
3) 𝑖16
= (𝑖4
)4
= (1)4
= 1
4) 𝑖17
= (𝑖4
)4
. 𝑖 = (1)4
. 𝑖 = 𝑖
5) 𝑖58
= (𝑖4
)14
. 𝑖2
= (1)14
. (−1) = −1
6) 𝑖12𝑛+93
= (𝑖4
)3𝑛
. 𝑖93
= (1)3𝑛
. (𝑖4)32
. 𝑖 = 𝑖
7) 𝑖−13
= 𝑖−13
. 1 = 𝑖−13
. (𝑖4)4
= 𝑖16−13
= 𝑖3
= −𝑖
8) 𝑖−26
= 𝑖−26
. 1 = 𝑖−26
. (𝑖4)7
= 𝑖28−26
= 𝑖2
= −1
‫استخ‬ ‫يمكن‬ : ‫مالحظة‬
‫دام‬
(i)
. ‫سالب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ألي‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫لكتابة‬
√−𝑏2 = √𝑏2. √−1 = 𝑏𝑖, ∀𝑏 ≥ 0 .
𝟏 ‫الفصل‬
6=4+2
58=56+2
= 4(14)+2
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
3
:‫مثال‬
‫استخدم‬
(i)
: ‫التالية‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫لكتابة‬
1) √−16 = √16. √−1 = 4𝑖
2) √−25 = √25. √−1 = 5𝑖
3) √−12 = √12. √−1 = 2√3 𝑖
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬
, ‫جزئين‬ ‫من‬ ‫العادية‬ ‫بصيغته‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يتكون‬
: ‫ان‬ ‫بحيث‬ , ‫تخيلي‬ ‫والثاني‬ ‫حقيقي‬ ‫االول‬
𝑪 = 𝒂 + 𝒃𝒊,
‫تمثل‬
a
‫اما‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬
b
‫زوج‬ ‫بصورة‬ ‫ايضا‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫كتابة‬ ‫ويمكن‬ . ‫له‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫فتمثل‬
‫كاالتي‬ ‫مرتب‬
(𝒂, 𝒃)
:‫مثال‬
( ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬ ‫استخدم‬
𝒂 + 𝒃𝒊
‫االعداد‬ ‫لكتابة‬ )
: ‫التالية‬
a) −5 = −5 + 0𝑖
b) √−100 = √100. √−1 = 10𝑖 = 0 + 10𝑖
c) – 1 − √−3 = −1 − √3𝑖
d)
1+√−25
4
=
1
4
+
5
4
𝑖
e) 𝑖999
= (𝑖4
)249
. 𝑖2
. 𝑖 = 1. −1. 𝑖 = 0 − 𝑖
f) 𝑖4𝑛+1
= (𝑖4
)𝑛
. 𝑖 = 1. 𝑖 = 0 + 𝑖
:‫ان‬ ‫أي‬ . ‫والتخيلية‬ ‫الحقيقية‬ ‫اجزائهما‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫تتساوى‬ :‫مالحظة‬
𝒄𝟏 = 𝒄𝟐 ⇔ 𝒂𝟏 = 𝒂𝟐, 𝒃𝟏 = 𝒃𝟐
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ :‫مثال‬
x , y
:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬
a) 2𝑥 − 1 + 2𝑖 = 1 + (𝑦 + 1)𝑖
R R
I I
❖
‫بالحقيقي‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫نساوي‬
. ‫بالتخيلي‬ ‫والتخيلي‬
❖
‫لـ‬ ‫معادلة‬ : ‫معادلتين‬ ‫نكون‬
x
‫ومعادلة‬
‫لـ‬
y
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬
x,y
.
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
4
Sol/
2𝑥 − 1 = 1 ⟹ 2𝑥 = 1 + 1 ⟹ 2𝑥 = 2
∴ 𝑥 = 1
2 = 𝑦 + 1 ⟹ 𝑦 = 2 − 1
∴ 𝑦 = 1
b) (2𝑦 + 1) − (2𝑥 − 1)𝑖 = −8 + 3𝑖
Sol/
2𝑦 + 1 = −8 ⟹ 2𝑦 = −8 − 1 ⟹ 2𝑦 = −9
∴ 𝑦 =
−9
2
−2𝑥 + 1 = 3 ⟹ −2𝑥 = 3 − 1 ⟹ 2𝑥 = −2
∴ 𝑥 = −1
‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬
❖
‫والطرح‬ ‫الجمع‬ ‫عمليتي‬ :ً‫ال‬‫او‬
❖
‫ليكن‬ :‫مالحظة‬
𝒄𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊
‫و‬
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊
: ‫فان‬ , ‫مركبان‬ ‫عددان‬
𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 = (𝒂𝟏 + 𝒂𝟐)+(𝒃𝟏 + 𝒃𝟐)𝒊.
:‫مثال‬
‫كل‬ ‫في‬ ‫المركبين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬
: ‫يأتي‬ ‫مما‬
a) 3+4√2𝑖 , 5-2√2𝑖
(3+4√2𝑖 )+ (5-2√2𝑖 ) = (3+5)+(4√2 −2√2)𝑖
=8+2√2𝑖
R
I
R I R I
R
I
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
5
b) 3 , 2-5𝑖
(3+2) + (0-5)𝑖 = 5-5𝑖
c) 1 − 𝑖, 3𝑖
1-𝑖 + 3𝑖 = (1 + 0) + (−1 + 3)𝑖 = 1 + 2𝑖.
:‫مثال‬
‫ناتج‬ ‫جد‬
(𝟕 − 𝟏𝟑𝒊) − (𝟗 + 𝟒𝒊)
(7 − 13𝑖) − (9 + 4𝑖) =7 − 13𝑖 − 9 − 4𝑖 = (7 − 9) − (13 − 4)𝑖
=−2 − 17𝑖
:‫مثال‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬
(𝟐 − 𝟒𝒊) + 𝒙 = −𝟓 + 𝒊
Sol
𝑥 = −5 + 𝑖 − 2 + 4𝑖 ⟹ 𝑥 = (−5 − 2) + (1 + 4)𝑖
∴ 𝑥 = −7 + 5𝑖
❖
‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬
. ‫اخرى‬ × ‫حدودية‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫باستخدام‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫اي‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬
‫كان‬ ‫اذا‬ ‫انه‬ ‫اي‬
‫لدينا‬
𝒄𝟏 =
𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊
‫و‬
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊
: ‫فان‬
𝒄𝟏. 𝒄𝟐 = (𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊)(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊)
= 𝒂𝟏𝒂𝟐 + 𝒂𝟏𝒃𝟐𝒊 + 𝒃𝟏𝒂𝟐𝒊 + 𝒃𝟏𝒃𝟐𝒊𝟐
= (𝒂𝟏𝒂𝟐 − 𝒃𝟏𝒃𝟐) + (𝒂𝟏𝒃𝟐 + 𝒃𝟏𝒂𝟐)𝒊.
❖
‫الثاني‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫مع‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫يساوي‬ ‫اخر‬ ‫عدد‬ ‫من‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫طرح‬ ‫ان‬
❖
‫نظير‬
a+bi
‫هو‬
–a-bi
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
6
:‫مثال‬
:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫الضرب‬ ‫حاصل‬ ‫جد‬
a) (𝟐 − 𝟑𝒊)(𝟑 − 𝟓𝒊)
(2 − 3𝑖)(3 − 5𝑖) = 6 − 10𝑖 − 9𝑖 + 15𝑖2
= 6 − 15 − 19𝑖
= −9 − 19𝑖
b) (𝟐 + 𝒊)(𝟑 + 𝟔𝒊)
(2 + 𝑖)(3 + 6𝑖) = 6 + 12𝑖 + 3𝑖 + 6𝑖2
= 6 − 6 + 15𝑖
= 0 + 15𝑖 = 15𝑖
c) (𝟑 + 𝟒𝒊)𝟐
(3 + 4𝑖)2
= 9 + 24𝑖 + 16𝑖2
= 9 − 16 + 24𝑖
= −7 + 24𝑖
d) −
𝟓
𝟐
(𝟒 + 𝟑𝒊)
−
5
2
(4 + 3𝑖) = −
5
2
4 −
5
2
3𝑖 = −10 −
15
2
𝑖
e) (𝟏 + 𝒊)𝟒
− (𝟏 − 𝒊)𝟒
(1 + 𝑖)4
− (1 − 𝑖)4
= ((1 + 𝑖)2
)2
− ((1 − 𝑖)2
)2
= (1 + 2𝑖 + 𝑖2
)2
− (1 − 2𝑖 + 𝑖2
)2
= (1 − 1 + 2𝑖)2
− (1 − 1 − 2𝑖)2
= (2𝑖)2
− (2𝑖)2
= 4𝑖2
− 4𝑖2
= −4 + 4 = 0 + 0𝑖
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
7
❖
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫ان‬
𝒄 = 𝒂 + 𝒃𝒊
: ‫هو‬
𝑐̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.
‫خصائص‬
‫مرافق‬
‫المركب‬ ‫العدد‬
( )
( )
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
1 1
2
2 2
1)
2)
3)
4)
5)( ) , 0.
c c c c
c c c c
c c
if c a bi c c a b
c c
c
c c
 = 
 = 
=
 = +   = +
= 
:‫مثال‬
‫كان‬ ‫اذا‬
1 2
1 , 3 2
c i c i
= + = −
: ‫ان‬ ‫فاثبت‬
( )
( )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
2 2
1)
2)
3)
c c c c
c c c c
c c
c c
 = 
 = 
 
=
 
 
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
8
Sol/
1-
( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
1 2
. . .:
1 3 2 4 4
. . .: (1 ) (3 2 ) 1 3 2
4
. . . .
L H S c c
c c i i i i
R H S c c i i i i
i
L H S R H S

+ = + + − = − = +
+ = + + − = − + +
= +
 =
2-
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
2
1 2
2
. . .:
(1 )(3 2 ) 3 2 3 2
3 2 5 5
. . .:
(1 ) (3 2 ) (1 )(3 2 )
3 2 3 2 3 2 5
. . . .
L H S c c
i i i i i
i i i
R H S c c
i i i i
i i i i i
L H S R H S

= + − = − + −
= + + = + = −

= +  − = − +
= + − − = + − = −
 =
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
9
3-
1
2
2 2
1
2
2 2
. . .:
3 2 3 2 1 3 3 2 2
1 1 1 1 1
1 5 1 5 1 5
2 2 2 2 2
. . .:
3 2 3 2 3 2 1 3 3 2 2
1 1 1 1 1
1
1 5 1 5
2 2 2
. . . .
c
L H S
c
i i i i i
i i i
i
i i
c
R H S
c
i i i i i i
i i i
i
i
i
L H S R H S
 
 
 
− − − − − −
     
= =  =
     
+ + − +
     
−
   
= = − = +
   
   
− + + + + + −
= = =  =
− − + +
+
+
= = +
 =
:‫مثال‬
‫للعدد‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫جد‬
2 2
c i
= −
. ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫وضعه‬
Sol/
2 2
1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 1 1
8 8 8 4 4
i i
c i i i
i i
i
+ +
= =  =
− − + +
+
= = + = +
❖
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫ان‬
c
‫هو‬
𝟏
𝒄
❖
❖
‫مقام‬ × ‫ومقام‬ ‫بسط‬ × ‫بسط‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ‫المقام‬ ‫مرافق‬ × ‫نضرب‬
❖
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
10
:‫تمرين‬
: ‫المركب‬ ‫لعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬
1)
𝟐−𝒊
𝟑+𝟒𝒊
=
2 − 𝑖
3 + 4𝑖
.
3 − 4𝑖
3 − 4𝑖
=
6 − 8𝑖 − 3𝑖 − 4
9 + 16
=
2 − 11𝑖
25
=
2
25
−
11
25
𝑖
2)
𝟏𝟐+𝒊
𝒊
=
12 + 𝑖
𝑖
.
−𝑖
−𝑖
=
−12𝑖 − 𝑖2
1
=
1 − 12𝑖
1
= 1 − 12𝑖
3)
𝒊
𝟐+𝟑𝒊
=
𝑖
2 + 3𝑖
×
2 − 3𝑖
2 − 3𝑖
=
2𝑖 + 3
4 + 9
=
3 + 2𝑖
13
=
3
13
+
2
13
𝑖
4) (
𝟑+𝒊
𝟏+𝒊
)
𝟑
= (
3 + 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
)
3
= (
3 − 3𝑖 + 𝑖 − 𝑖2
1 + 1
)
3
= (
4 − 2𝑖
2
)
3
= (
4
2
−
2𝑖
2
)
3
= (2 − 𝑖)3
= (2 − 𝑖)2
. (2 − 𝑖) = (4 − 4𝑖 − 1)(2 − 𝑖)
= (3 − 4𝑖)(2 − 𝑖) = 6 − 3𝑖 − 8𝑖 − 4 = 2 − 11𝑖
5)
𝟐+𝟑𝒊
𝟏−𝒊
×
𝟏+𝟒𝒊
𝟒+𝒊
=
2 + 8𝑖 + 3𝑖 − 12
4 + 𝑖 − 4𝑖 + 1
=
−10 + 11𝑖
5 − 3𝑖
=
−10 + 11𝑖
5 − 3𝑖
×
5 + 3𝑖
5 + 3𝑖
=
−50 − 30𝑖 + 55𝑖 − 33
52 + 32
==
−83 + 25𝑖
34
=
−83
34
+
25
34
𝑖
6) (𝟏 + 𝒊)𝟑
+ (𝟏 − 𝒊)𝟑
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
11
= (1 + 𝑖)2(1 + 𝑖) + (1 − 𝑖)2(1 − 𝑖)
= (1 + 2𝑖 − 1)(1 + 𝑖) + (1 − 2𝑖 + 1)(1 − 𝑖)
= (1 + 2𝑖 − 1 + 𝑖 − 2 − 𝑖) + (1 − 2𝑖 + 1 − 𝑖 − 2 − 𝑖)
= 2𝑖 − 2 − 2𝑖 − 2 = −4 + 0𝑖
:‫تمرين‬
‫ان‬ ‫اثبت‬
1)
1
(2−𝑖)2 −
1
(2+𝑖)2 =
8
25
𝑖.
L.H.S:
1
(2−𝑖)2 −
1
(2+𝑖)2 =
1
4−4𝑖−1
−
1
4+4𝑖−1
=
1
3−4𝑖
×
3+4𝑖
3+4𝑖
−
1
3+4𝑖
×
3−4𝑖
3−4𝑖
=
3 + 4𝑖
9 + 16
−
3 − 4𝑖
9 + 16
=
3 + 4𝑖 − 3 + 4𝑖
25
=
8
25
𝑖
2) (1 − 𝑖)(1 − 𝑖2)(1 − 𝑖3) = 4
L.H.S: (1 − 𝑖)(1 − 𝑖2)(1 − 𝑖3) = (1 − 𝑖)(1 − (−1))(1 − 𝑖2
. 𝑖)
= 2(1 − 𝑖)(1 + 𝑖) = 2(1 + 𝑖 − 𝑖 − 𝑖2)
= 2(1 − (−1)) = 2.2 = 4 = R.H.S
❖
‫المقدار‬ ‫تحليل‬ ‫يمكن‬
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
: ‫يأتي‬ ‫وكما‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝒙𝟐
− 𝒚𝟐
𝒊𝟐
= (𝒙 − 𝒚𝒊)(𝒙 + 𝒚𝒊)
❖
‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫حد‬ ‫كل‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ‫ونبسط‬ ‫التربيع‬ ‫نفك‬
❖
❖
‫بدل‬ ‫نعوض‬
𝒊𝟐
= −𝟏
‫وبدل‬
𝒊𝟑
= −𝒊
‫نضرب‬ ‫ثم‬
❖
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
12
:‫مثال‬
‫بصورة‬ ‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬
a+bi
.
a) 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑥2
− 𝑦2
𝑖2
= (𝑥 − 𝑦𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖)
b) 9𝑥2
+ 49𝑦2
= 9𝑥2
− 49𝑦2
𝑖2
= (3𝑥 − 7𝑦𝑖)(3𝑥 + 7𝑦𝑖)
c) 85 = 81 + 4 = 81 − 4𝑖2
= (9 − 2𝑖)(9 + 2𝑖)
d) 125 = 100 + 25 = 100 − 25𝑖2
= (10 − 5𝑖)(10 + 5𝑖)
‫تمرين‬
:
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬
x , y
:‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬
1) 𝒚 + 𝟓𝒊 = (𝟐𝒙 + 𝒊)(𝒙 + 𝟐𝒊).
Sol/
𝑦 + 5𝑖 = 2𝑥2
+ 4𝑥𝑖 + 𝑥𝑖 − 2 ⇒ 𝑦 + 5𝑖 = 2𝑥2
− 2 + 5𝑥𝑖
𝑦 = 2𝑥2
− 2 … (1) and 5 = 5𝑥 …. (2),
( ‫معادلة‬ ‫من‬
2
)
( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
1
: )
𝑥 =
5
5
= 1,
𝑦 = 2(1)2
− 2 = 0.
2) 𝟖𝒊 = (𝒙 + 𝟐𝒊)(𝒚 + 𝟐𝒊) + 𝟏
8𝑖 = 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑖 − 4 + 1 ⇒ 8𝑖 = 𝑥𝑦 − 3 + 2(𝑥 + 𝑦)𝑖
⇒ 𝑥𝑦 − 3 = 0 … (1), (𝑥 + 𝑦) = 4 … (2)
( ‫معادلة‬ ‫من‬
1
)
𝒙 =
𝟑
𝒚
( ‫في‬ ‫نعوضها‬
2
)
❖
‫الى‬ + ‫نحول‬
−𝒊𝟐
‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫باستخدام‬ ‫نحلل‬ ‫ثم‬
❖
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
13
[(
3
𝑦
+ 𝑦) = 4] × 𝑦 ⇒ 3 + 𝑦2
= 4𝑦 ⇒ 𝑦2
− 4𝑦 + 3 = 0
(𝑦 − 3)(𝑦 − 1) = 0
Either 𝑦 = 3 ⇒ 𝑥 =
3
3
= 1, or 𝑦 = 1 ⇒ 𝑥 =
3
1
= 3.
3) (
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
) + (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐
.
⇒ (
1 − 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = 1 + 4𝑖 − 4
⇒ (
1 − 𝑖 − 𝑖 + 𝑖2
12 + 𝑖2
) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = −3 + 4𝑖
⇒ (
−2𝑖
2
) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = −3 + 4𝑖 ⇒ 𝑥 + 𝑦𝑖 − 𝑖 = −3 + 4𝑖
⇒ 𝑥 = −3, and 𝑦 − 1 = 4 ⇒ 𝑦 = 5.
4)
𝟐−𝒊
𝟏+𝒊
𝒙 +
𝟑−𝒊
𝟐+𝒊
𝒚 =
𝟏
𝒊
.
(
2 − 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
) 𝑥 + (
3 − 𝑖
2 + 𝑖
×
2 − 𝑖
2 − 𝑖
) 𝑦 =
1
𝑖
×
−𝑖
−𝑖
⇒ (
2 − 2𝑖 − 𝑖 − 1
1 + 1
) 𝑥 + (
6 − 3𝑖 − 2𝑖 − 1
4 + 1
) 𝑦 =
−𝑖
1
⇒ (
1 − 3𝑖
2
) 𝑥 + (
5 − 5𝑖
5
) 𝑦 = −𝑖 ⇒ (
1 − 3𝑖
2
) 𝑥 + (1 − 𝑖)𝑦 = −𝑖
⇒
1
2
𝑥 −
3
2
𝑥𝑖 + 𝑦 − 𝑦𝑖 = −𝑖
1
2
𝑥 + 𝑦 = 0 … (1) and −
3
2
𝑥 − 𝑦 = −1 … (2),
1
2
𝑥 + 𝑦 = 0 … (1)
−
3
2
𝑥 − 𝑦 = −1 … (2)
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
14
−
2
2
𝑥 = −1 ⇒ −𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 = 1, ( ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬
1
)
1
2
(1) + 𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 = −
1
2
.
:‫مثال‬
‫كان‬ ‫اذا‬
𝒙−𝒚𝒊
𝟏+𝟓𝒊
,
𝟑−𝟐𝒊
𝒊
‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
Sol/
: ‫فان‬ , ‫مترافقان‬ ‫العددان‬ ‫ان‬ ‫بما‬
(
𝑥 − 𝑦𝑖
1 + 5𝑖
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=
3 − 2𝑖
𝑖
⇒
𝑥 + 𝑦𝑖
1 − 5𝑖
=
3 − 2𝑖
𝑖
‫ألن‬
(
𝒄𝟏
𝒄𝟐
̅) =
𝒄𝟏
𝒄𝟐
̅̅̅
̅
⇒ (𝑥 + 𝑦𝑖)𝑖 = (1 − 5𝑖)(3 − 2𝑖) ⇒ 𝑥𝑖 − 𝑦 = 3 − 2𝑖 − 15𝑖 − 10
⇒ 𝑥𝑖 − 𝑦 = −7 − 17𝑖
⇒ 𝑥 = −17, 𝑦 = 7
:‫مثال‬
‫قيمتي‬ ‫جد‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
‫تحققان‬ ‫اللتين‬
𝒚
𝟏+𝒊
=
𝒙𝟐+𝟒
𝒙+𝟐𝒊
.
Sol/
𝑦
1 + 𝑖
=
𝑥2
+ 4
𝑥 + 2𝑖
⇒
𝑦
1 + 𝑖
=
𝑥2
− 4𝑖2
𝑥 + 2𝑖
⇒
𝑦
1 + 𝑖
=
(𝑥 − 2𝑖)(𝑥 + 2𝑖)
𝑥 + 2𝑖
R R
I I
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
15
⇒
𝑦
1 + 𝑖
= 𝑥 − 2𝑖 ⇒ 𝑦 = (𝑥 − 2𝑖)(1 + 𝑖)
⇒ 𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑖 − 2𝑖 + 2 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 2, and
𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2,
𝑦 = 2 + 2 = 4.
‫اضافية‬ ‫تمارين‬
1
)
: ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬
a) 𝑖5
b) 𝑖124
c) 𝑖−7
d) 𝑖−15
e) √−25 f) 𝑖(1 + 𝑖)
g) (2 + 3𝑖)2
+ (12 + 2𝑖) h) (1 + 𝑖)2
+ (1 − 𝑖)2
i)
1+𝑖
1−𝑖
j)
1+2𝑖
−2+𝑖
k)
3+4𝑖
3−4𝑖
2
‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬ )
a) 41 b) 29
3
)
‫قيمتي‬ ‫جد‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
‫تحققان‬ ‫اللتين‬
(
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
) + (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐
.
4
‫كان‬ ‫اذا‬ )
𝟑+𝒊
𝟐−𝒊
6
𝑥+𝑦𝑖
‫و‬
‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
R
R I
I
R
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
16
➢ The square root of complex number
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬
: ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذو‬ ‫اليجاد‬
▪
‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫نضع‬
𝑐 = 𝑎 + 𝑏𝑖
.
▪
‫ان‬ ‫نفرض‬
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 𝑎 + 𝑏𝑖
.
▪
‫مع‬ ‫والتخيلي‬ ‫الحقيقي‬ ‫مع‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫باخذ‬ ‫المعادلة‬ ‫ونحل‬ ‫التربيع‬ ‫نفك‬
. ‫التخيلي‬
===========================================
:‫مثال‬
: ‫التالية‬ ‫لالعداد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
1) 𝒄 = 𝟖 + 𝟔𝒊
Sol/
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 8 + 6𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= 8 + 6𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 8 … (1), and
2𝑥𝑦 = 6 ⇒ 𝑦 =
6
2𝑥
=
3
𝑥
… (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
)
𝑥2
− (
3
𝑥
)
2
= 8 ⇒ [𝑥2
−
9
𝑥2
= 8] × 𝑥2
𝑥4
− 9 = 8𝑥2
⇒ 𝑥4
− 8𝑥2
− 9 = 0 ⇒ (𝑥2
− 9)(𝑥2
+ 1) = 0,
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
17
Either (𝑥2
− 9) = 0 ⇒ 𝑥2
= 9 ⇒ 𝑥 = ∓3
Or (𝑥2
+ 1) = 0 ⇒ 𝑥2
= −1
‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬
x
( ‫معادلة‬ ‫في‬
2
)
𝑦 =
3
3
= 1 or 𝑦 =
3
−3
= −1
∴ 𝑐1 = 3 + 𝑖, 𝑐2 = −3 − 𝑖
‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬
c
: ‫هي‬
𝟑 + 𝒊 , −𝟑 − 𝒊 .
2) 𝒄 = −𝟔𝒊
Sol/
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 0 − 6𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= 0 − 6𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 0 … (1), and
2𝑥𝑦 = −6 ⇒ 𝑦 =
−6
2𝑥
=
−3
𝑥
… (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )
𝑥2
− (
−3
𝑥
)
2
= 0 ⇒ [𝑥2
−
9
𝑥2
= 0] × 𝑥2
𝑥4
− 9 = 0 ⇒ (𝑥2
− 3)(𝑥2
+ 3) = 0, either (𝑥2
− 3) = 0 ⇒ 𝑥2
= 3 ⇒ 𝑥 = ∓√3 or
(𝑥2
+ 3) = 0 ⇒ 𝑥2
= −3
‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬
x
( ‫معادلة‬ ‫في‬
2
)
‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬
x
‫حقيقي‬ ‫عدد‬
‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬
x
‫حقيقي‬ ‫عدد‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
18
𝑦 =
3
√3
= √3 or 𝑦 =
3
−√3
= −√3
∴ 𝑐1 = √3 + √3𝑖, 𝑐2 = −√3 − √3𝑖
‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬
c
: ‫هي‬
√𝟑 + √𝟑𝒊 , −√𝟑 − √𝟑𝒊.
3)
𝟒
𝟏−√𝟑𝒊
Sol/
4
1 − √3𝑖
×
1 + √3𝑖
1 + √3𝑖
=
4 + 4√3𝑖
12 + (√3)
2 =
4 + 4√3𝑖
4
= 1 + √3𝑖
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 1 + √3𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= 1 + √3𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 1 … (1), and
2𝑥𝑦 = √3 ⇒ 𝑦 =
√3
2𝑥
… (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )
𝑥2
− (
√3
2𝑥
)
2
= 1 ⇒ [𝑥2
−
3
4𝑥2
= 1] × 4𝑥2
4𝑥4
− 3 = 4𝑥2
⇒ 4𝑥4
− 4𝑥2
− 3 = 0 ⇒ (2𝑥2
− 3)(2𝑥2
+ 1) = 0,
Either (2𝑥2
− 3) = 0 ⇒ 2𝑥2
= 3 ⇒ 𝑥 = ∓√
3
2
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
19
Or (𝑥2
+ 1) = 0 ⇒ 𝑥2
= −1 .
‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬
x
( ‫معادلة‬ ‫في‬
2
)
𝑦 =
√3
√2 . √2(−
√3
√2
)
=
1
√2
or 𝑦 =
√3
√2 . √2(
−√3
√2
)
=
−1
√2
‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬
c
: ‫هي‬
±(√
3
2
+
1
√2
𝑖).
‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬
x
‫حقيقي‬ ‫عدد‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
20
➢ Solving the equation in ℂ
‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
ℂ
‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫لحل‬ ) ‫الدستور‬ ( ‫العام‬ ‫القانون‬ ‫نستخدم‬
𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
:‫ان‬ ‫اي‬
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
:‫مثال‬
‫في‬ ‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
ℂ
:
1) 𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝟎
Sol/ 𝑎 = 1, 𝑏 = 4, 𝑐 = 5
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−4 ± √42 − 4(1)(5)
2
⇒ 𝑥 =
−4±√16−20
2
=
−4±√−4
2
=
−4±2𝑖
2
= −2 ± 𝑖
∴ 𝑆 = {−2 − 𝑖, −2 + 𝑖}
2) 𝑧2
= −12
Sol/
𝑧 = ±√−12 = ±√3 × 4𝑖 = ±2√3𝑖
∴ 𝑆 = {−2√3𝑖, 2√3𝑖}, ‫مترافقان‬ ‫جذران‬.
3) 𝒛𝟐
− 𝟑𝒛 + 𝟑 + 𝒊 = 𝟎
𝒂 = 𝟏, 𝒃 = −𝟑, 𝒄 = 𝟑 + 𝒊
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
21
𝑧 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
3 ± √(−3)2 − 4(1)(3 + 𝑖)
2
=
3 ± √9 − 12 − 4𝑖
2
=
3 ± √−3 − 4𝑖
2
‫لـ‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫ايجاد‬ ‫اوال‬ ‫يجب‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لحل‬
−𝟑 − 𝟒𝒊
. ‫السابقة‬ ‫بالطريقة‬
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= −3 − 4𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= −3 − 4𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= −3 … (1)
⇒ 𝑦 =
−4
2𝑥
=
−2
𝑥
… . . (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
: )
𝑥2
− (
−2
𝑥
)
2
= −3 ⇒ [𝑥2
−
4
𝑥2
= −3] × 𝑥2
⇒ 𝑥4
− 4 = −3𝑥2
⇒ 𝑥4
+ 3𝑥2
− 4 = 0
⇒ (𝑥2
+ 4)(𝑥2
− 1) = 0
𝑥2
= 1 ⇒ 𝑥 = ±1, ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
2
)
𝑦 =
−2
±1
= ±2
‫االن‬
‫قيمة‬ ‫نعوض‬
‫جذر‬
−𝟑 − 𝟒𝒊
√−3 − 4𝑖 = ±(1 − 2𝑖)
: ‫ان‬ ‫اي‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
22
𝑧 =
3 ± (1 − 2𝑖)
2
Neither 𝑧 =
3
2
−
1+2𝑖
2
= 1 + 𝑖 or 𝑧 =
3
2
+
1−2𝑖
2
= 2 − 𝑖.
. ‫مترافقين‬ ‫ليسا‬ ‫الجذران‬
4 ) 𝒛𝟐
+ 𝟐𝒛 + 𝒊(𝟐 − 𝒊) = 𝟎
Sol
𝑧2
+ 2𝑧 + 𝑖(2 − 𝑖) = 0 ⇒ 𝑧2
+ 2𝑧 + 2𝑖 + 1 = 0
𝑧 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−2 ± √22 − 4(1)(2𝑖 + 1)
2
=
−2 ± √4 − 8𝑖 − 4
2
=
−2 ± √−8𝑖
2
‫لـ‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫ايجاد‬ ‫اوال‬ ‫يجب‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لحل‬
−𝟖𝒊
. ‫السابقة‬ ‫بالطريقة‬
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= −8𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= −8𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 0 … (1)
⇒ 𝑦 =
−8
2𝑥
=
−4
𝑥
… . . (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
: )
𝑥2
− (
−4
𝑥
)
2
= 0 ⇒ [𝑥2
−
16
𝑥2
= 0] × 𝑥2
⇒ 𝑥4
− 16 = 0
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
23
⇒ (𝑥2
− 4)(𝑥2
+ 4) = 0
∴ 𝑥2
− 4 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2, ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
2
)
𝑦 =
−4
±2
= ±2
‫االن‬
‫قيمة‬ ‫نعوض‬
‫جذر‬
−8𝑖
√−8𝑖 = ±(2 − 2𝑖)
𝑧 =
−2 ± (2 − 2𝑖)
2
Neither 𝑧 =
−2
2
−
2+2𝑖
2
= −2 + 𝑖 or 𝑧 =
−2
2
+
2−2𝑖
2
= 0 − 𝑖.
. ‫مترافقين‬ ‫ليسا‬ ‫الجذران‬
: ‫وكاالتي‬ ‫جذورها‬ ‫باستخدام‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ :‫مالحظة‬
•
. ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫الجذر‬ ‫نكتب‬
•
‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬
(𝒄𝟏 + 𝒄𝟐)
.
•
‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫نجد‬
(𝒄𝟏 × 𝒄𝟐)
.
•
‫العامة‬ ‫الصيغة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
𝒙𝟐
− (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐)𝒙 + (𝒄𝟏 × 𝒄𝟐) = 𝟎
•
. ‫مرافقه‬ ‫هو‬ ‫االخر‬ ‫فان‬ ‫معلوم‬ ‫واحدهما‬ ‫حقيقية‬ ‫المعادلة‬ ‫جذور‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
24
:‫مثال‬
: ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬
• ±(2 + 2𝑖)
𝑐1 + 𝑐2 = (2 + 2𝑖) + (−2 − 2𝑖) = 2 − 2 + (2 − 2)𝑖 = 0
𝑐1 × 𝑐2 = (2 + 2𝑖) × (−2 − 2𝑖) = −4 − 4𝑖 − 4𝑖 + 4 = −8𝑖
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
− −8𝑖 = 0
• 𝑀 =
3−𝑖
1+𝑖
, 𝐿 = (3 − 2𝑖)2
𝑀 =
3 − 𝑖
1 + 𝑖
=
3 − 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
=
3 − 3𝑖 − 𝑖 − 1
1 + 1
=
2 − 4𝑖
2
= 1 − 2𝑖
𝐿 = (3 − 2𝑖)2
= 9 − 12𝑖 − 4 = 5 − 12𝑖
𝑀 + 𝐿 = (1 − 2𝑖) + (5 − 12𝑖) = (1 + 5) + (−2 − 12)𝑖 = 6 − 14𝑖
𝑀 × 𝐿 = (1 − 2𝑖)(5 − 12𝑖) = 5 − 12𝑖 − 10𝑖 − 24 = −19 − 22𝑖
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
− (6 − 14𝑖)𝑥 + (−19 − 22𝑖) = 0
:‫مثال‬
: ‫هو‬ ‫جذراها‬ ‫واحد‬ ‫الحقيقية‬ ‫المعمالت‬ ‫ذات‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬
1) 𝑨 = 𝟑 − 𝟒𝒊.
Sol/
‫هو‬ ‫االخر‬ ‫جذرها‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حقيقية‬ ‫معامالت‬ ‫لها‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
B=(3+4i)
𝐴 + 𝐵 = (3 − 4𝑖) + (3 + 4𝑖) = 6 + 0𝑖 = 6
𝐴 × 𝐵 = (3 − 4𝑖)(3 + 4𝑖) = 9 + 12𝑖 − 12𝑖 + 16 = 25
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
25
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
− 6𝑥 + 25 = 0
2 ) 𝑨 =
√𝟐+𝟑𝒊
𝟒
Sol/
‫حقيقية‬ ‫معامالت‬ ‫لها‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫هو‬ ‫االخر‬ ‫جذرها‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬
√𝟐−𝟑𝒊
𝟒
= 𝐵
𝐴 + 𝐵 = (
√2
4
+
3
4
𝑖) + (
√2
4
−
3
4
𝑖) = (
√2
4
+
√2
4
) + (
3
4
𝑖 −
3
4
𝑖)
=
√2
2
+ 0𝑖 =
1
√2
𝐴 × 𝐵 = (
√2
4
+
3
4
𝑖) (
√2
4
−
3
4
𝑖) =
2
16
−
3√2
16
𝑖 +
3√2
16
𝑖 +
9
16
=
11
16
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
−
1
√2
𝑥 +
11
16
= 0
:‫تمرين‬
‫ا‬
‫كان‬ ‫ذا‬
𝟑 + 𝒊
‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬ ‫هو‬
𝒙𝟐
− 𝒂𝒙 + (𝟓 + 𝟓𝒊) = 𝟎
‫قيمة‬ ‫فما‬
a
‫؟‬ ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫هو‬ ‫وما‬ ‫؟‬
Sol/
= ‫الخر‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬
L
: ‫هو‬ ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫فان‬
𝐿 × (3 + 𝑖) = 5 + 5𝑖 ⇒ 𝐿 =
5 + 5𝑖
3 + 𝑖
⇒ 𝐿 =
5 + 5𝑖
3 + 𝑖
×
3 − 𝑖
3 − 𝑖
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
26
⇒ 𝐿 =
15 − 5𝑖 + 15𝑖 + 5
9 + 1
=
20 + 10𝑖
10
= 2 + 𝑖
: ‫الجذرين‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫وان‬
⇒ 𝑎 = 𝐿 + 𝑀
⇒ 𝒂 = (2 + 𝑖) + (3 + 𝑖) = 5 + 2𝑖
⇒ 𝑎 = 5 + 2𝑖
➢ Geometric Representation of Complex Numbers
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يمثل‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬
z
‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫بصورة‬
(𝒙, 𝒚)
‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬
𝒛(𝒙, 𝒚)
.
:‫مثال‬
‫مثل‬
: ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ‫التالية‬ ‫العمليات‬
1)(3 + 4 𝑖) + (5 + 2𝑖)
(3 + 4 𝑖) + (5 + 2𝑖)
= (3 + 5) + (4 + 2)𝑖 = 8 + 6𝑖
2)(6 − 2 𝑖) − (2 − 5𝑖)
(6 − 2 𝑖) − (2 − 5𝑖)
= (6 − 2 𝑖) + (−2 + 5𝑖)
= 4 + 3𝑖
Figure 1: Geometric Representation (𝟑 + 𝟒 𝒊) + (𝟓 + 𝟐𝒊)
Figure 2: Geometric Representation (𝟔 − 𝟐𝒊) − (𝟐 − 𝟓𝒊)
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
27
‫تمرين‬
. ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬ ‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫اكتب‬ :
.
a) 𝑧1 = 2 + 3𝑖
𝑧1 = 2 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(2, 3)
−𝑧1 = −2 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(−2, − 3)
b) 𝑧1 = −1 + 3𝑖
𝑧1 = −1 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(−1, 3)
−𝑧1 = 1 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(1, − 3)
‫تمرين‬
. ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫االعداد‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬ :
a) 𝑧1 = 5 + 3𝑖
𝑧1 = 5 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(5, 3)
𝑧̅1 = 5 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(5, −3)
Figure 3: the geometric Representation for example a
Figure 4: the geometric Representation for example b
Figure 5: the geometric Representation for example a
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
28
b ) 𝑧 = −2𝑖
𝑧 = 0 − 2𝑖 ⇒ 𝑝1(0, −2)
𝑧̅ = 0 + 2𝑖 ⇒ 𝑝2(0, 2)
:‫تمرين‬
‫كان‬ ‫اذا‬
𝒛𝟏 = 𝟒 − 𝟐𝒊
‫و‬
𝒛𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒊
:‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬
a) −3𝑧2 = −3(1 + 2𝑖) = −3 − 6𝑖 ⇒ 𝑝1(−3, −6)
b) 2𝑧1 = 2(4 − 2𝑖) = 8 − 4𝑖 ⇒ 𝑝2(8, −4)
c) 𝑧1 − 𝑧2 = (4 − 2𝑖) − (1 + 2𝑖) = 3 − 4𝑖 ⇒ 𝑝3(3, −4)
d) 𝑧1 + 𝑧2 = (4 − 2𝑖) + (1 + 2𝑖) = 5 + 0𝑖 ⇒ 𝑝4(5, 0)
Figure 6: the geometric Representation for example b
(a) (b) (c) (d)
Figure 6: the geometric Representation for example
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
29
➢ Polar form of complex number
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
❖
‫ليكن‬
z
‫بالنقطة‬ ‫هندسيا‬ ‫ممثل‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬
𝒑(𝒙, 𝒚)
‫فان‬
(𝒓, 𝜽)
‫للنقطة‬ ‫القطبي‬ ‫االحداثي‬ ‫يمثل‬
p
‫حيث‬
O
‫تمثل‬
‫و‬ )‫االصل‬ ‫(نقطة‬ ‫القطب‬
𝑶𝑿
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
. ‫االبتدائي‬ ‫الضلع‬ ‫يمثل‬
❖
‫ليكن‬
r
‫فان‬ ‫سالب‬ ‫غير‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬
r
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مقياس‬ ‫يسمى‬
z
: ‫حيث‬
𝒓 = ‖𝒛‖ = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
❖
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬
𝜽 = 𝐚𝐫𝐠(𝒛)
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝒙
𝒓
=
𝒙
‖𝒛‖
⇒ ℝ(𝒛) = 𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝒚
𝒓
=
𝒚
‖𝒛‖
⇒ 𝑰(𝒛) = 𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽
❖
‫كانت‬ ‫اذا‬
𝜽
‫من‬ ‫كال‬ ‫فان‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫سعة‬ ‫هي‬
𝜽 + 𝟐𝒏𝝅, 𝒏 ∈ ℤ
. ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لنفس‬ ‫سعة‬ ‫ايضا‬ ‫يكون‬
❖
‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫اما‬
𝜽 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅)
. ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫القيمة‬ ‫لها‬ ‫فيقال‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫على‬ ‫الدالة‬
Figure 8: Polar form of complex number
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
30
‫الخاصة‬ ‫الزوايا‬ ‫جدول‬
:‫مثال‬
‫ليكن‬
𝒛 = 𝟏 + √𝟑𝒊
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬
𝒛
.
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (√3)2 = √12 + 3 = √4 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
1
2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
√3
2
⇒ sin 𝜃 ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬.
∴ arg(𝑧) =
𝜋
3
.
:‫مثال‬
‫ليكن‬
𝒛 = −𝟏 − 𝒊
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬
𝒛
.
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−12 + (−1)2 = √1 + 1 = √2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬
‫سالبة‬
‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬
‫الثالث‬ ∴ arg(𝑧) = 𝜋 +
𝜋
4
=
5𝜋
4
.
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
31
:‫مثال‬
‫ليكن‬
𝒛 = −𝟏 − √𝟑𝒊
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬
𝒛
.
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−12 + (−√3)2 = √1 + 3 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
2
⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
−√3
2
⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬
‫سالبة‬
‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬
‫الثالث‬ .
∴ arg(𝑧) = 𝜋 +
𝜋
3
=
4𝜋
3
.
: ‫مالحظة‬
1
)
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬
𝒛 = 𝟎
. ‫قيمة‬ ‫له‬ ‫ليس‬ ‫الصفري‬ ‫المتجه‬ ‫الن‬ ‫معلومة‬ ‫غير‬
2
)
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
z
: ‫هي‬
𝒛 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝒓(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜽)
=========================================================
:‫مثال‬
: ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬
a) 𝑧 = −2 + 2𝑖
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−22 + (2)2 = √8 = 2√2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫سالبه‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬.
∴ arg(𝑧) = 𝜋 −
𝜋
4
=
3𝜋
4
.
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2√2(cos
3𝜋
4
+ 𝑖 sin
3𝜋
4
)
b) 7i
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
32
7𝑖 = 7(𝑖) = 7 (cos
𝜋
2
+ 𝑖sin
𝜋
2
)
➢ De Moivre’s Theorem
‫ديموفر‬ ‫مبرهنة‬
‫ليكن‬
𝒛𝟏
‫و‬
𝒛𝟐
‫أن‬ ‫حيث‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬
𝒛𝟏 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 , 𝒛𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝑
,
‫فان‬
𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = (𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽) (𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝑)
= 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝐬𝐢𝐧 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑
= (𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝑 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑) + 𝒊(𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝐬𝐢𝐧 𝜽)
= 𝐜𝐨𝐬(𝜽 + 𝝑) + 𝒊(𝐬𝐢𝐧(𝜽 + 𝝑))
‫كانت‬ ‫واذا‬
𝜽 = 𝝑
‫فان‬
(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝟐
= 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 + 𝒊(𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽)
‫فان‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬
(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝒏
= 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝜽, ∀𝒏 ∈ ℕ, 𝜽 ∈ ℝ
==========================================================
:‫مثال‬
‫ناتج‬ ‫جد‬
a) (cos
3𝜋
8
+ 𝑖sin
3𝜋
8
)4
‫ديموفر‬ ‫مبرهنة‬ ‫وباستخدام‬
(cos
3𝜋
8
+ 𝑖sin
3𝜋
8
)4
= cos 4
3𝜋
8
+ 𝑖sin 4
3𝜋
8
= cos
3𝜋
2
+ 𝑖sin
3𝜋
2
= 0 + 𝑖(−1) = −𝑖
b) (𝐜𝐨𝐬
𝟓𝝅
𝟐𝟒
+ 𝒊𝐬𝐢𝐧
𝟓𝝅
𝟐𝟒
)𝟒
(cos
5𝜋
24
+ 𝑖sin
5𝜋
24
)4
= cos 4
5𝜋
24
+ 𝑖sin 4
5𝜋
24
= cos
5𝜋
6
+ 𝑖sin
5𝜋
6
cos
5𝜋
6
+ 𝑖sin
5𝜋
6
= −
√3
2
+ 𝑖 (
1
2
)
❖
‫هنا‬
θ = 5 (30) = 150
‫إذن‬ ،
θ
‫لذلك‬ ، ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬
cos θ
‫و‬ ‫سالبة‬
sin
‫موجبة‬
.
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
33
c) (𝐜𝐨𝐬𝜃 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜃)𝟖
(𝐜𝐨𝐬 𝜃 − 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜃)𝟒
cos 𝑛𝜃 − 𝑖sin 𝑛𝜃 = (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)−𝑛
‫المتطابقة‬ ‫هذه‬ ‫باستخدام‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ‫حل‬ ‫يمكن‬
(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)8 (cos 𝜃 − 𝑖sin 𝜃)4
= (cos 8𝜃 + 𝑖sin 8𝜃) (cos 4𝜃 − 𝑖sin 4𝜃)
= (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)8 (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)−4
= (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)4
= cos 4𝜃 + 𝑖sin 4𝜃
==========================================================
d) (1 + 𝑖)11
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (1)2 = √2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫ايضا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
‫االول‬ .
∴ 𝜃 =
𝜋
4
.
𝑧11
= 𝑟11(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)11
= (√2)
11
(cos
𝜋
4
+ 𝑖 sin
𝜋
4
)11
= (√2
2
)
5
. √2 (cos
𝜋
4
+ 𝑖 sin
𝜋
4
)11
= 32√2 (cos 11
𝜋
4
+ 𝑖 sin 11
𝜋
4
)
= 32√2 (−
1
√2
+
1
√2
𝑖) = −32 − 32𝑖.
==========================================================
c) (1 − 𝑖)7
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (−1)2 = √2
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
34
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫لها‬
‫سالبة‬
‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ,
‫الرابع‬ ..
∴ arg (𝑧) = 2𝜋 −
𝜋
4
=
7𝜋
4
.
𝑧7
= 𝑟7(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)7
= (√2)
7
(cos
7𝜋
4
+ 𝑖 sin
7𝜋
4
)7
= (√2
2
)
3
. √2 (cos
7𝜋
4
+ 𝑖 sin
7𝜋
4
)7
= 8√2 (cos 7
7𝜋
4
+ 𝑖 sin 7
7𝜋
4
)
= 8√2 (
1
√2
+
1
√2
𝑖) = 8 + 8𝑖.
‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬
‫لكل‬
𝒏 ∈ ℤ+
, 𝜽 ∈ ℝ
‫فان‬ ,
√𝒛
𝒏
= 𝒓
𝟏
𝒏 [𝐜𝐨𝐬
𝜽 + 𝟐𝝅𝒌
𝒏
+ 𝒊 𝐬𝐢𝐧
𝜽 + 𝟐𝝅𝒌
𝒏
],
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 − 𝟏.
❖
. ‫المركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫النسبية‬ ‫االسس‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫او‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫جذور‬ ‫اليجاد‬ ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫تستخدم‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
35
‫تمرين‬
4
:
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
(−𝟏 + √𝟑𝒊)
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
Sol/
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √(−1)2 + (√3)2 = √4 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
2
⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
√3
2
⇒ sin 𝜃 ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬.
∴ arg (𝑧) = 𝜋 −
𝜋
3
=
2𝜋
3
.
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2(cos
2𝜋
3
+ 𝑖 sin
2𝜋
3
)
𝑧
1
2 = 𝑟
1
2(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)
1
2
𝑧
1
2 = (2)
1
2 (cos
2𝜋
3
+ 2𝜋𝑘
2
+ 𝑖sin
2𝜋
3
+ 2𝜋𝑘
2
)
= √2 (cos
2𝜋 + 6𝜋𝑘
6
+ 𝑖sin
2𝜋 + 6𝜋𝑘
6
)
For 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = √2 (cos
2𝜋
6
+ 𝑖sin
2𝜋
6
) = √2 (cos
𝜋
3
+ 𝑖sin
𝜋
3
)
= √2 (
1
2
+
√3
2
𝑖) =
1
√2
+
√3
√2
𝑖
If 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = √2 (cos
2𝜋+6𝜋
6
+ 𝑖sin
2𝜋+6𝜋
6
) = √2 (cos
4𝜋
3
+ 𝑖sin
4𝜋
3
)
= √2 (
−1
2
−
√3
2
𝑖) =
−1
√2
−
√3
√2
𝑖
=====================================================
❖
‫هنا‬
n=3
‫اذا‬
k
‫قيمتين‬ ‫لها‬
𝒌 = 𝟎, 𝟏
.
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
36
‫تمرين‬
6
:
‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
‫االربعة‬
‫للعدد‬
(−𝟏𝟔)
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
Sol/
𝑧 = −16 = 16(cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋)
𝑧
1
4 = (16)
1
4(cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋)
1
4 = 2 (cos
𝜋+2𝜋𝑘
4
+ 𝑖sin
𝜋+6𝜋𝑘
4
)
𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = 2 (cos
𝜋
4
+ 𝑖sin
𝜋
4
) = 2 (
1
√2
+
1
√2
𝑖) = √2 + √2𝑖
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos
3𝜋
4
+ 𝑖sin
3𝜋
4
) = 2 (−
1
√2
+
1
√2
𝑖) = −√2 + √2𝑖
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = 2 (cos
5𝜋
4
+ 𝑖sin
5𝜋
4
) = 2 (−
1
√2
−
1
√2
𝑖) = −√2 − √2𝑖
𝑘 = 3 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos
7𝜋
4
+ 𝑖sin
7𝜋
4
) = 2 (
1
√2
−
1
√2
𝑖) = √2 − √2𝑖
‫تمرين‬
7
:
‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
‫الستة‬
‫للعدد‬
(−𝟔𝟒𝒊)
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
Sol/
𝑧 = −64𝑖 = 64 (cos
3𝜋
2
+ 𝑖sin
3𝜋
2
)
𝑧
1
6 = (64)
1
6 (cos
3𝜋
2
+ 𝑖sin
3𝜋
2
)
1
6
= 2 (cos
3𝜋
2
+2𝜋𝑘
6
+ 𝑖sin
3𝜋
2
+6𝜋𝑘
6
)
= 2 (cos
3𝜋 + 4𝜋𝑘
12
+ 𝑖sin
3𝜋 + 4𝜋𝑘
12
)
𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = 2 (cos
3𝜋
12
+ 𝑖sin
3𝜋
12
) = 2 (
1
√2
+
1
√2
𝑖) = √2 + √2𝑖
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos
7𝜋
12
+ 𝑖sin
7𝜋
12
) = 2 (−
1
√2
+
1
√2
𝑖) = −√2 + √2𝑖
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
37
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = 2 (cos
11𝜋
12
+ 𝑖sin
11𝜋
12
)
𝑘 = 3 ⇒ 𝑧4 = 2 (cos
15𝜋
12
+ 𝑖sin
15𝜋
12
) = 2 (cos
5𝜋
4
+ 𝑖sin
5𝜋
4
)
= 2 (−
1
√2
−
1
√2
𝑖) = −√2 − √2𝑖
𝑘 = 4 ⇒ 𝑧5 = 2 (cos
19𝜋
12
+ 𝑖sin
19𝜋
12
)
𝑘 = 5 ⇒ 𝑧6 = 2 (cos
25𝜋
12
+ 𝑖sin
25𝜋
12
)
:‫مثال‬
‫للمقدار‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬
(√𝟑 + 𝒊)𝟐
. ‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
Sol/
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √(√3)2 + (1)2 = √4 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
√3
2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫له‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
1
2
⇒ sin 𝜃 ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫ايضا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫له‬.
∴ 𝜃 =
𝜋
6
.
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2(cos
𝜋
6
+ 𝑖 sin
𝜋
6
)
𝑧2
= 𝑟2(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)2
= 22
(cos
2𝜋
6
+ 𝑖 sin
2𝜋
6
) = 4 (cos
𝜋
3
+ 𝑖 sin
𝜋
3
)
𝑧
2
5 = 𝑟
2
5(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)
2
5 = (2)
2
5 (cos 5.
𝜋
3
+2𝜋𝑘
2
+ 𝑖sin 5.
𝜋
3
+2𝜋𝑘
2
)
= √4
5
(cos
5𝜋 + 30𝜋𝑘
6
+ 𝑖sin
5𝜋 + 30𝜋𝑘
6
)
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
38
𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = √4
5
(cos
5𝜋
6
+ 𝑖sin
5𝜋
6
) = √4
5
(−
√3
2
+
1
2
)
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = √4
5
(cos
35𝜋
6
+ 𝑖sin
35𝜋
6
)
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = √4
5
(cos
65𝜋
6
+ 𝑖sin
65𝜋
6
)
𝑘 = 3 ⇒ 𝑧4 = √4
5
(cos
95𝜋
6
+ 𝑖sin
95𝜋
6
)
𝑘 = 4 ⇒ 𝑧5 = √4
5
(cos
155𝜋
6
+ 𝑖sin
155𝜋
6
)
===========================================================
:‫مثال‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬
𝑥3
+ 1 = 0
‫حيث‬
𝑥 ∈ ℂ
.
Sol/
𝑥3
+ 1 = 0 ⇒ 𝑥3
= −1 ⇒ 𝑥3
= −1(1) = cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋
⇒ 𝑥 = (cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋)
1
3 = cos
𝜋+2𝜋𝑘
3
+ 𝑖sin
𝜋+2𝜋𝑘
3
𝑘 = 0 ⇒ 𝑥1 = cos
𝜋
3
+ 𝑖sin
𝜋
3
=
1
2
+
√3
2
𝑖
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = cos
3𝜋
3
+ 𝑖sin
3𝜋
3
= −1 + 0 𝑖 = −1
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = cos
5𝜋
3
+ 𝑖sin
5𝜋
3
=
1
2
−
√3
2
𝑖
∴ 𝑆 = {
1
2
+
√3
2
𝑖 , −1 ,
1
2
−
√3
2
𝑖}.
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
39
‫اضافية‬ ‫تمارين‬
1
)
: ‫من‬ ‫لكل‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫جد‬
a) 𝑧 = −1 + √3𝑖 b) 𝑧 = −1 + 𝑖 c) 𝑧 = 1 − 𝑖
2
)
: ‫من‬ ‫لكل‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬
a) –i b) -7i c) 3 d) 5i e) 2 f) -1
3
)
: ‫ناتج‬ ‫جد‬
a) (cos
7𝜋
12
+ 𝑖 sin
7𝜋
12
)
−3
b)
(cos 2𝜃+𝑖 sin 2𝜃)5
(cos 3𝜃+𝑖 sin 2𝜃)3
4
)
( ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
27𝑖
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ )
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
1
: ‫القطوع‬ ‫من‬ ‫انواع‬ ‫ثالثة‬ ‫فيتكون‬ ‫مختلفة‬ ‫بمسنويات‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫سطح‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫المخروطية‬ ‫القطوع‬ ‫تتكون‬
❖
. ‫مولداته‬ ‫الحد‬ ‫مواز‬ ‫بمستو‬ ‫المخروط‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ : ‫المكافئ‬ ‫القطع‬
❖
. ‫مولداته‬ ‫احد‬ ‫وال‬ ‫قاعدته‬ ‫يوازي‬ ‫ال‬ ‫بمستو‬ ‫المخروط‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ : ‫الناقص‬ ‫القطع‬
❖
. ‫القائم‬ ‫المخروط‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫بمستو‬ ‫المخروط‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ : ‫الزائد‬ ‫القطع‬
: ‫المخروطي‬ ‫للقطع‬ ‫العامة‬ ‫المعادلة‬
(𝒙 − 𝒙𝟏)𝟐
+ (𝒚 − 𝒚𝟏)𝟐
= 𝒆𝟐
.
|𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄|
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
‫حيث‬
e
. ‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ ‫هي‬
❖
‫(أو‬ ‫ببؤره‬ ‫ويحدد‬ ‫الخاصة‬ ‫معادلته‬ ‫القطوع‬ ‫انواع‬ ‫من‬ ‫نوع‬ ‫ولكل‬
.) ‫ببؤرتين‬
: ‫حاالت‬ ‫اربعة‬ ‫وله‬
❖
‫تنتمي‬ ‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
: ‫هي‬ ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬
𝒚𝟐
= 𝟒𝒑𝒙, ∀𝒑 > 𝟎
❖
: ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝒙 = −𝒑
❖
: ‫البؤره‬
𝑭(𝒑, 𝟎)
Tele@mathematicsiniraq
‫اعداد‬
‫ا‬
‫لدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
𝟏
‫ئ‬‫المكاف‬ ‫القطع‬
Limit
𝟐 ‫الفصل‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
2
❖
‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
: ‫هي‬ ‫السالب‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬
𝒚𝟐
= − 𝟒𝒑𝒙, ∀𝒑 > 𝟎
❖
: ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝒙 = 𝒑
❖
: ‫البؤره‬
𝑭(−𝒑, 𝟎)
❖
‫تنتمي‬ ‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
: ‫هي‬ ‫الموجب‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬
𝒙𝟐
= 𝟒𝒑𝒚, ∀𝒑 > 𝟎
❖
: ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝒚 = −𝒑
❖
: ‫البؤره‬
𝑭(𝟎, 𝒑)
❖
‫تنتمي‬ ‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
: ‫هي‬ ‫السالب‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬
𝒙𝟐
= −𝟒𝒑𝒚, ∀𝒑 > 𝟎
❖
: ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝒚 = 𝒑
❖
: ‫البؤره‬
𝑭(𝟎, −𝒑)
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
3
‫مثال‬
1
:
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝒚𝟐
= 𝟒𝒙
𝑦2
= 4𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥
⇒ 4𝑝𝑥 = 4𝑥 ⇒ 4𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 =
4
4
= 1
∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(1,0) ‫البؤره‬
𝑥 = −𝑝 ⇒ 𝑥 = −1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
===========================================================
‫مثال‬
2
:
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝒚𝟐
= −𝟖𝒙
.
𝑦2
= −8𝑥
𝑦2
= −4𝑝𝑥
⇒ −4𝑝𝑥 = −8𝑥 ⇒ 4𝑝 = 8 ⇒ 𝑝 =
8
4
= 2
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−2,0) ‫البؤره‬
𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑥 = 2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
===========================================================
‫مثال‬
3
:
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝒚𝟐
= −𝟒𝒙
. ‫ارسمه‬ ‫ثم‬
𝑦2
= −4𝑥
𝑦2
= −4𝑝𝑥
⇒ −4𝑝𝑥 = −4𝑥 ⇒ −4𝑝 = −4
⇒ 𝑝 =
−4
−4
= 1
𝑥 = 1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−1,0) ‫البؤره‬
❖
‫لحل‬
‫بمقارنة‬ ‫نقوم‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫المسائل‬
‫القياسية‬ ‫بالمعادلة‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المعطاة‬ ‫المعادلة‬
‫ونستخرج‬ ‫للقطع‬
p
. ‫والدليل‬ ‫البؤرة‬ ‫نكتب‬ ‫ثم‬
❖
. ‫الدليل‬ ‫اشارة‬ ‫عكس‬ ‫دائما‬ ‫البؤرة‬ ‫اشارة‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
4
‫مثال‬
4
:
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝒚𝟐
= 𝟒𝒙
. ‫ارسمه‬ ‫ثم‬
𝑦2
= 4𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥
⇒ 4𝑝𝑥 = 4𝑥 ⇒ 4𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 =
4
4
= 1
𝑥 = 1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(1,0) ‫البؤره‬
𝑦2
= 4𝑥 ⇒ 𝑦 = ±2√𝑥
===========================================================
‫مثال‬
4
:
: ‫علم‬ ‫اذا‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫أ‬
)
( ‫بؤرته‬
0
,
3
.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬ )
𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(3,0)
⇒ 𝑝 = 3
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ⇒ 𝑦2
= 4(3)𝑥 ⇒ 𝒚𝟐
= 𝟏𝟐𝒙
‫ب‬
)
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝟐𝒙 − 𝟔 = 𝟎
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬
2𝑥 − 6 = 0
2𝑥 = 6 ⇒ 𝑥 =
6
2
= 3
∴ 𝑥 = 3 ⇒ 𝑝 = 3
𝑦2
= −4𝑝𝑥 = −4(3)𝑥 = −12𝑥
𝑥 1 2
𝑦
= ±2√𝑥
±2 ±2√2
‫بالمقارنة‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
5
‫تمرين‬
2
/
b
:
: ‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫والدليل‬ ‫المحور‬ ‫ومعادلتي‬ ‫والرأس‬ ‫البؤره‬ ‫جد‬
2𝑥 + 16𝑦2
= 0
2𝑥 + 16𝑦2
= 0 ⇒ 16𝑦2
= −2𝑥 ⇒ 𝑦2
= −
1
8
𝑥
𝑦2
= −
1
8
𝑥
𝑦2
= −4𝑝𝑥
⇒ −
1
8
𝑥 = −4𝑝𝑥 ⇒ −
1
8
= −4𝑝 ⇒ 𝑝 =
1
32
𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑥 =
1
32
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹 (−
1
32
, 0) ‫البؤره‬
========================================================
‫مثال‬
5
:
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬
𝟑𝒙𝟐
− 𝟐𝟒𝒚 = 𝟎
.
3𝑥2
− 24𝑦 = 0 ⇒ 3𝑥2
= 24𝑦 ⇒ 𝑥2
= 8𝑦
𝑥2
= 8𝑦
𝑥2
= 4𝑝𝑦
⇒ 8𝑦 = 4𝑝𝑦 ⇒ 8 = 4𝑝 ⇒ 𝑝 = 2
⇒ 𝐹(0,2) ‫البؤره‬
𝑦 = −𝑝
⇒ 𝑦 = −2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
6
‫مثال‬
6
:
( ‫بؤرته‬ )‫أ‬ : ‫علم‬ ‫اذا‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
5
,
0
‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬ )
𝑭(𝟎, 𝒑) = 𝑭(𝟎, 𝟓)
⇒ 𝑝 = 5
𝑥2
= 4𝑝𝑦 ⇒ 𝑥2
= 4(5)𝑦
⇒ 𝑥2
= 20𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫الدليل‬ ‫معادلة‬ ) ‫ب‬
y=7
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬
𝑦 = 7 ⇒ 𝑝 = 7
𝑥2
= −4𝑝𝑦 ⇒ 𝑥2
= −4(7)𝑦
⇒ 𝑥2
= −28𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
==========================================================
‫تمرين‬
1
:‫د‬/
‫دليله‬ ‫معادلة‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
4y-3=0
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
4𝑦 − 3 = 0 ⇒ 4𝑦 = 3 ⇒ 𝑦 =
3
4
⇒ 𝑝 =
3
4
𝑥2
= −4𝑝𝑦 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
𝑥2
= −4 (
3
4
) 𝑦 ⇒ 𝑥2
= −3𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹(0, −
3
4
) ‫البؤرة‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
7
‫مثال‬
7
:
( ‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
4
,
2
‫و‬ )
(2,-4)
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬
. ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫بؤرته‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫رسم‬ ‫من‬ **
(2,-4) (2,4) ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬ ‫النقاط‬
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ‫القياسية‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
(−4)2
= 4𝑝(2) ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫بالتعويض‬
⇒ 16 = 8𝑝 ⇒ 𝑝 =
16
8
= 2
∴ 𝑝 = 2
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ⇒ 𝑦2
= 4(2)𝑥
⇒ 𝑦2
= 8𝑥 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
===========================================================
‫مثال‬
8
:
‫بالنقطة‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ويمر‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
(3,-5)
.
: ‫معلوم‬ ‫غير‬ ‫البؤرة‬ ‫موقع‬ ‫ألن‬ ‫القياسية‬ ‫للمعادلة‬ ‫احتماالن‬ ‫يوجد‬ **
‫السالب‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫األولى‬ ‫الحالة‬
𝑦2
= −4𝑝𝑥
𝑥 = 3 ‫اليسار‬ ‫نحو‬ ‫تتجه‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫اذا‬ , ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫الدليل‬
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−3,0) ⇒ 𝑝 = 3
⇒ 𝑦2
= −4(3)𝑥 ⇒ 𝑦2
= −12𝑥 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫الموجب‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫الثانية‬ ‫الحالة‬
𝑥2
= 4𝑝𝑦
𝑦 = −5 ‫الدليل‬
∴ 𝐹(0, 𝑝) = 𝐹(0,5) ⇒ 𝑝 = 5
⇒ 𝑥2
= 4(5)𝑦 ⇒ 𝑥2
= 20𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
8
‫تمرين‬
4
:
‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
(-3,4)
‫معادلته‬ ‫فجد‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫األولى‬ ‫الحالة‬
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
𝑥 = −3 ‫الدليل‬
∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(3,0) ⇒ 𝑝 = 3
⇒ 𝑦2
= 4(3)𝑥 ⇒ 𝑦2
= 12𝑥 : ‫هي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬
‫السالب‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫الثانية‬ ‫الحالة‬
𝑥2
= −4𝑝𝑦 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
𝑦 = 4 ‫الدليل‬
∴ 𝐹(0, −𝑝) = 𝐹(0, −4) ⇒ 𝑝 = 4
⇒ 𝑥2
= −4(4)𝑦 ⇒ 𝑥2
= −16𝑦 :‫هي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬
=========================================================
‫تمرين‬
5
:
‫معادلته‬ ‫مكافئ‬ ‫قطع‬
𝑨𝒙𝟐
+ 𝟖𝒚 = 𝟎
‫بالنقطة‬ ‫ويمر‬
(1,2)
‫قيمة‬ ‫جد‬
A
‫وارسم‬ ‫ودليله‬ ‫بؤرته‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
. ‫القطع‬
‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ /‫الحل‬
(1,2)
: ‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ‫فهي‬ ‫اذا‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬
𝐴(1)2
+ 8(2) = 0 ⇒ 𝐴 + 16 = 0 ⇒ 𝐴 = −16
∴ −16𝑥2
+ 8𝑦 = 0 ⇒ −16𝑥2
= −8y
⇒ 𝑥2
=
−8
−16
y ⇒ 𝑥2
=
1
2
y
𝑥2
= 4𝑝𝑦 ⇔ 𝑥2
=
1
2
y ‫بالمقارنة‬
4𝑝 =
1
2
⇒ 𝑝 =
1
2
(
1
4
) =
1
8
∴ 𝑦 = −
1
8
‫الدليل‬
⇒ 𝐹(0,
1
8
) ‫البؤرة‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
9
===========================================================
‫مثال‬
9
:
‫بؤرته‬ ‫أن‬ ‫علم‬ ‫اذا‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫بستخدام‬
(√𝟑, 𝟎)
.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
/ ‫الحل‬
𝑀𝐹 = 𝑀𝑄
⇒ √(𝑥 − √3)
2
+ (𝑦 − 0)2
= √(𝑥 − (−√3)) 2 + (𝑦 − 𝑦) 2
⇒ √𝑥2 − 2√3𝑥 + 3 + 𝑦2 = √𝑥2 + 2√3𝑥 + 3
⇒ 𝑥2
− 2√3𝑥 + 3 + 𝑦2
= 𝑥2
+ 2√3𝑥 + 3
⇒ 𝑦2
= 4√3𝑥
=========================================================
‫تمرين‬
6
:
‫بؤرته‬ )‫أ‬ :‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬
(7,0)
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬
𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1) 2 + (𝑦2 − 𝑦1) 2
𝑀𝐹 = 𝑀𝑄
⇒ √(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 0)2
= √(𝑥 − (−7)) 2 + (𝑦 − 𝑦) 2
⇒ √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 𝑦2 = √𝑥2 + 14𝑥 + 49
⇒ 𝑥2
− 14𝑥 + 49 + 𝑦2
= 𝑥2
+ 14𝑥 + 49
⇒ 𝑦2
= 28𝑥
‫الدليل‬ ‫معادلة‬ )‫ب‬
𝒚 = √𝟑
.
𝑦 = √3 ⇒ 𝐹(0, −√3)
𝑀𝐹 = 𝑀𝑄
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
10
⇒ √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − (−√3))
2
= √(𝑥 − 𝑥) 2 + (𝑦 − √3) 2
⇒ √𝑥2 + 𝑦2 + 2√3𝑦 + 3 = √𝑦2 − 2√3𝑦 + 3
⇒ 𝑥2
+ 𝑦2
+ 2√3𝑦 + 3 = 𝑦2
− 2√3𝑦 + 3
⇒ 𝑥2
= −4√3𝑦
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
11
‫الناقص‬ ‫القطع‬ : ً‫ا‬‫ثاني‬
:‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫حسب‬ ‫حالتين‬ ‫وله‬ ‫وبؤرتين‬ ‫وقطبين‬ ‫رأسين‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ ‫بيضوي‬ ‫شكل‬ ‫له‬
❖
( ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ : ‫األولى‬ ‫الحالة‬
𝑎2
‫تحت‬
𝑥2
)
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹1(𝑐, 0), 𝐹2(−𝑐, 0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(𝑎, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) ‫الراسان‬
𝑀1(0, 𝑏), 𝑀2(0, −𝑏) ‫القطبان‬
❖
( ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ : ‫الثانية‬ ‫الحالة‬
𝑎2
‫تحت‬
𝑦2
)
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹1(0, 𝑐), 𝐹2(0, −𝑐) ‫البؤرتان‬
𝑉1(0, 𝑎), 𝑉2(0, −𝑎) ‫الراسان‬
𝑀1(𝑏, 0), 𝑀2(−𝑏, 0) ‫القطبان‬
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2
𝐴 = 𝑎𝑏𝜋 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫مساحة‬
𝑃 = 2𝜋√
𝒂𝟐+𝒃𝟐
𝟐
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫محيط‬
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2−𝑏2
𝑎
‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
12
‫مثال‬
1
:
. ‫المركزي‬ ‫واالختالف‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫واحداثي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬
1.
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
Sol
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 25 ⟹ 𝑎 = 5, 𝑏
2
= 16 ⟹ 𝑏 = 4
2a= 2(5)=10 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ , 2𝑏 = 2(4) = 8 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √25 − 16 = √9 = 3
𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1(3,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2(−3,0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(5,0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−5,0) ‫الراسان‬
𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1(0,4) ‫و‬ 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2(0, −4) ‫القطبان‬
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
3
5
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
==========================================================
2. (4𝑥2 + 3𝑦2 =
4
3
) ×
3
4
⟹ 3𝑥2 +
9
4
𝑦2 = 1
𝑥2
1
3
+
𝑦2
4
9
= 1
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1 ⟹ 𝑎2 =
4
9
⟹ 𝑎 =
2
3
, 𝑏
2
=
1
3
⟹ 𝑏 =
1
√3
2a= 2(
2
3
)=
4
3
‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ , 2𝑏 = 2 (
1
√3
) =
2
√3
‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √
4
9
−
1
3
= √
1
9
=
1
√9
=
1
3
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
13
𝐹1(0, 𝑐) ⟹ 𝐹1 (0,
1
3
), 𝐹2(0, −𝑐) ⟹ 𝐹2 (0, −
1
3
) ‫البؤرتان‬
𝑉1(0, 𝑎) ⟹ 𝑉1 (0,
2
3
) , 𝑉2(0, −𝑎) ⟹ 𝑉2 (0, −
2
3
) ‫الراسان‬
𝑀1(𝑏, 0) ⟹ 𝑀1 (
1
√3
, 0) , 𝑀2(−𝑏, 0) ⟹ 𝑀2 (−
1
√3
, 0) ‫القطبان‬
𝒆 =
𝒄
𝒂
=
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
=
𝟑
𝟔
=
𝟏
𝟐
‫المر‬ ‫االختالف‬
‫كزي‬
===========================================================
‫تمرين‬
1
:
. ‫المركزي‬ ‫واالختالف‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫واحداثي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬
a. 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒚𝟐
= 𝟏
𝑥2
1
+
𝑦2
1
2
= 1
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 1 ⟹ 𝑎 = 1, 𝑏
2
=
1
2
⟹ 𝑏 =
1
√2
2a= 2(1)= 2 , 2𝑏 = 2 (
1
√2
) =
2
√2
= √2
𝑦 = 0 , 𝑥 = 0
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √1 −
1
2
= √
1
2
=
1
√2
𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1 (
1
√2
,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2 (−
1
√2
,0)
𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(1,0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−1,0)
𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1 (0,
1
√2
) 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2 (0, −
1
√2
)
‫بالمقارنة‬
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
14
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
1
√2
1
=
1
√2
==========================================================
b. 9𝒙𝟐
+ 𝟏𝟑𝒚𝟐
= 117 ⟹
9𝑥2
117
+
13𝑦2
117
= 1
𝑥2
13
+
𝑦2
9
= 1
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 13 ⟹ 𝑎 = √13, 𝑏
2
= 9 ⟹ 𝑏 = 3
2a= 2(√13)= 2 √13 , 2𝑏 = 2(3) = 6
𝑦 = 0 , 𝑥 = 0
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √13 − 9 = √4 = 2
𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1(2 ,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2(−2,0)
𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(√13, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−√13, 0)
𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1(0,3) 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2(0, −3)
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
2
√13
‫مثال‬
2
:
‫جد‬
: ‫يلي‬ ‫كما‬ ‫وراساه‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
Ex. 𝑭𝟏(𝟑, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟑, 𝟎) , 𝑽𝟏(𝟓, 𝟎) , 𝑽𝟐(−𝟓, 𝟎)
𝑐 = 3 ⟹ 𝑐2
= 9, 𝑎 = 5 ⟹ 𝑎2
= 25
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
9 = 25 − 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 25 − 9 = 16 ⟹ 𝑏 = 4
Ө
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
15
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
∴
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
===================================================
‫مثال‬
3
:
‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫على‬ ‫محوراه‬ ‫وينطبق‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬
‫طوله‬ ً‫ا‬‫جزء‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫ويقطع‬
8
‫طوله‬ ‫جزءا‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫ومن‬ ‫وحدات‬
12
‫جد‬ ‫ثم‬ , ‫وحدة‬
. ‫ومحيطه‬ ‫منطقته‬ ‫ومساحة‬ ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
2𝑏 = 8 ⟹ 𝑏 = 4 ⟹ 𝑏2
= 16
2𝑎 = 12 ⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2
= 36
∴
𝑥2
16
+
𝑦2
36
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √36 − 16 = √20 ⟹ 𝑐 = 2√5
2𝑐 = 2(2√5) = 4√5 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
𝐴 = 𝑎𝑏𝜋 = 6(4)𝜋 = 24𝜋 ‫القطع‬ ‫مساحة‬
𝑃 = 2𝜋√
𝑎2+𝑏2
2
= 2𝜋√
36+16
2
= 2𝜋√
52
2
= 2𝜋√26 ‫القطع‬ ‫محيط‬
‫تمرين‬
2
:
‫جد‬
‫المعادلة‬
‫القياسية‬
‫للقطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫في‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫في‬
‫كل‬
‫مما‬
‫يأتي‬
:
a) 𝑭𝟏(𝟓 , 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟓, 𝟎)
𝑐 = 5 ⟹ 𝑐2
= 25
2𝑎 = 12 ⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2 = 36
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
25 = 36 − 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 36 − 25
= 11 ⟹ 𝑏 = √11
❖
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫يقطع‬
8
‫طول‬ ‫اذا‬ , ‫وحدات‬
‫الكبير‬ ‫المحور‬
2b
=
8
.
❖
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫يقطع‬
12
‫طول‬ ‫اذا‬ ,‫وحدة‬
‫الصغير‬ ‫المحور‬
2a
=
12
2015-1
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
16
∴
𝑥2
36
+
𝑦2
16
= 1
===================================================
b. 𝑭𝟏(𝟎 , 𝟐), 𝑭𝟐(𝟎, −𝟐)
𝑐 = 2 ⟹ 𝑐2
= 4
𝑏 = 4 ⟹ 𝑏
2
= 16
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
4 = 𝑎2
− 16 ⟹ 𝑎2
= 16 + 4 = 20 ⟹ 𝑎 = √20
∴
𝑥2
16
+
𝑦2
20
= 1
C
.
‫احدى‬
‫بؤرتيه‬
‫تبعد‬
‫عن‬
‫نهايتي‬
‫محوره‬
‫الكبير‬
‫بالعددين‬
5
,
1
‫الترتيب‬ ‫على‬ ‫وحدة‬
‫يوجد‬ ‫اذا‬ , ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫الحل‬
: ‫احتماالن‬
1
)
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2𝑎 = 5 + 1 ‫الرأسين‬ ‫عن‬ ‫البؤرة‬ ‫بعدي‬ ‫مجموع‬
= 6 ⟹ 𝑎 = 3
𝑐 = 𝑎 − (‫االقل‬ ‫البعد‬ ) = 3 − 1 = 2 ⟹ 𝑐 = 2
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
4 = 9 − 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 9 − 4 = 5
∴
𝒙𝟐
𝟗
+
𝒚𝟐
𝟓
= 𝟏
2
)
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
∴
𝒙𝟐
𝟓
+
𝒚𝟐
𝟗
= 𝟏
===================================================
❖
‫عند‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫يتقاطع‬
𝒙 = ±𝟒
‫اذا‬ ,
b=4
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
17
d
.
= ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟏
𝟐
= ‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬
12
. ‫وحدة‬
: ‫احتماالن‬ ‫يوجد‬ ‫اذا‬ , ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫الحل‬
1
)
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2𝑏 = 12 ⟹ 𝑏 = 6 ⟹ 𝑏2
= 6
𝑒 =
𝑐
𝑎
⟹ 𝑎 =
𝑐
𝑒
=
𝑐
1
2
= 2𝑐 ∴ 𝑎 = 2𝑐
𝑎2
= 4𝑐2
...(1)
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
…(2) ⟹ 4𝑐2 = 36 + 𝑐2 ⟹ 4𝑐2 − 𝑐2 = 36 ⟹ 3𝑐2 = 36
𝑐2
= 12 ⟹ 𝑎2
= 4(12) = 48 ( ‫في‬ ‫بالتعويض‬
1
)
∴
𝑥2
48
+
𝑦2
36
= 1
2
)
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
∴
𝑥2
36
+
𝑦2
48
= 1
e
)
= ‫بؤرتيه‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
8
= ‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫ونصف‬ ‫وحدات‬
3
.‫وحدات‬
: ‫احتماالن‬ ‫يوجد‬ ‫اذا‬ , ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫الحل‬
1
)
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2𝑐 = 8 ⟹ 𝑐 = 4 ⟹ 𝑐2
= 16 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
𝑏 = 3 ⟹ 𝑏2
= 9 ‫يساوي‬ ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫نصف‬
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
⟹ 𝑎2
= 9 + 16 = 25
∴
𝑥2
25
+
𝑦2
9
= 1
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
18
2
)
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
∴
𝑥2
9
+
𝑦2
25
= 1
===================================================
‫تمرين‬
3
:
:‫علم‬ ‫اذا‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬
‫النقطتان‬ ‫بؤرتاه‬ .‫أ‬
(𝟎, ±𝟐)
‫النقطتان‬ ‫ورأساه‬
(𝟎, ±𝟑)
.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
𝑭𝟏(𝟎, 𝟐), 𝑭𝟐(𝟎, −𝟐) ‫البؤرتان‬
𝑽𝟏(𝟎, 𝟑), 𝑽𝟐(𝟎, −𝟑) ‫الرأسان‬
𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 = 2(3) = 6
√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 2)2 + √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 + 2)2 = 6
√𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 6 − √𝑥2 + (𝑦 + 2)2
𝑥2
+ (𝑦 − 2)2
= 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 𝑥2
+ (𝑦 + 2)2
𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑦 + 4 = 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑦 + 4
−4𝑦 = 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 4𝑦
12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 36 + 8𝑦 ÷ 4
3√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 9 + 2𝑦
9(𝑥2
+ (𝑦 + 2)2) = 81 + 36𝑦 + 4𝑦2
⟹ 9𝑥2 + 9𝑦2
+ 36𝑦 + 36 = 81 + 36𝑦 + 4𝑦2
⟹ 9𝑥2 + 9𝑦2
− 4𝑦2 = 81 − 36
⟹ 9𝑥2 + 5𝑦
2
= 45 ÷ 45
∴
𝑥2
5
+
𝑦2
9
= 1
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
19
= ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ )‫ب‬
6
‫الثابت‬ ‫والعدد‬ ‫وحدات‬
10
‫ومركزه‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫والبؤرتان‬
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬
2𝑐 = 6 ⟹ 𝑐 = 3 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
2𝑎 = 10 ⟹ 𝑎 = 5 = ‫الثابت‬ ‫العدد‬
10
𝐹1(−3,0), 𝐹2(3,0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(−5,0), 𝑉2(5,0) ‫الرأسان‬
𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 = 10
√(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 0)2 + √(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 0)2 = 10
√(𝑥 + 3)2 + 𝑦2 = 10 − √(𝑥 − 3)2 + 𝑦2
(𝑥 + 3)2
+ 𝑦2
= 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 + (𝑥 − 3)2
+ 𝑦2
𝑥2
+ 6𝑥 + 9 + 𝑦2
= 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 + 𝑥2
− 6𝑥 + 9 + 𝑦2
6𝑥 = 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 − 6𝑥
20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 100 − 12𝑥 ÷ 4 5√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 =
25 − 3𝑥
25((𝑥 − 3)2
+ 𝑦2) = 625 − 150𝑥 + 9𝑥2
⟹ 25𝑥2 − 9𝑥2 − 150𝑥 + 225 + 25𝑦2 = 625 − 150𝑥
⟹ 16𝑥2 + 25𝑦2 = 625 − 225 ⟹ 16𝑥2 + 25𝑦
2
= 400 ÷ 400
∴
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
==========================================================
‫تمرين‬
4
:
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫معادلته‬ ‫الذي‬
𝒚𝟐
+ 𝟖𝒙 = 𝟎
‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ان‬ ‫علما‬
(𝟐√𝟑, √𝟑)
.
𝑦2
+ 8𝑥 = 0 ⟹ 𝑦2
= −8𝑥
𝑦2
= −8𝑥
❖
. ‫بالقياسية‬ ‫مقارنتها‬ ‫ثم‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المعطاة‬ ‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫اوال‬ ‫نجد‬
❖
‫النقطة‬ ‫ومنها‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫نحدد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬
c
‫رقم‬ ‫معادلة‬ ‫ونكون‬
1
.
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
20
𝑦2
= −4𝑝𝑥 −4𝑝𝑥 = −8𝑥 ⟹ 4𝑝 = 8 ⟹ 𝑝 = 2 ⟹ 𝐹(−2,0)
𝐹1(−2,0), 𝐹2(2,0) ⟹ 𝑐 = 2, 𝑐2 = 4
𝑎2
= 𝑏2
+ 4 …. (1)
(2√3, √3) ⟹
(2√3)
2
𝑎2
+
(√3)
2
𝑏2
= 1 ⟹
12
𝑎2
+
3
𝑏2
= 1 × (𝑎2
𝑏2
)
12𝑏2
+ 3𝑎2
= 𝑎2
𝑏2
… (2)
12𝑏2
+ 3(𝑏2
+ 4) = (𝑏2
+ 4)𝑏2
12𝑏2
+ 3𝑏2
+ 12 = 𝑏4
+ 4𝑏2
⟹ 𝑏4
− 11𝑏2
− 12 = 0
(𝑏2
− 12)(𝑏2
+ 1) = 0 ⟹ 𝑏2
= −1 𝑜𝑟 𝑏2
= 12
∴ 𝑎2
= 12 + 4 = 16
∴
𝑥2
16
+
𝑦2
12
= 1
===================================================
‫تمرين‬
5
:
‫جد‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫وبؤرتاه‬
‫على‬
‫محور‬
‫السينات‬
‫ويمر‬
‫بالنقطتين‬
(𝟑, 𝟒), (𝟔, 𝟐)
.
(3)2
𝑎2
+
(4)2
𝑏2
= 1 ⟹
9
𝑎2
+
16
𝑏2
= 1 … (1)
(6)2
𝑎2
+
(2)2
𝑏2
= 1 ⟹
36
𝑎2
+
4
𝑏2
= 1 … (2)
36
𝑎2
+
64
𝑏2
= 4
−
36
𝑎2
∓
4
𝑏2
= −1
60
𝑏2 = 3 ⟹ 𝑏2
=
60
3
= 20 ( ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫بالتعويض‬
1
)
❖
‫بالنقطين‬ ‫يمر‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ان‬ ‫بما‬
(𝟑, 𝟒), (𝟔, 𝟐)
‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضهما‬ ‫معادلته‬ ‫تحققان‬ ‫فهما‬ ‫اذا‬ ,
‫قيم‬ ‫اليجاد‬ ‫الناقص‬
a , b
.
× 4
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
21
9
𝑎2
+
16
20
= 1 ⟹
9
𝑎2
+
4
5
= 1 ⟹
9
𝑎2
= −
4
5
+ 1 ⟹
9
𝑎2
=
1
5
⟹ 𝑎2
= 45
𝑥2
45
+
𝑦2
20
= 1
‫تمرين‬
6
:
‫جد‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫وبؤرتاه‬
‫نقطتا‬
‫تقاطع‬
‫المنحني‬
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
−
𝟑𝒙 = 𝟏𝟔
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ويمس‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬
𝒚𝟐
= 𝟏𝟐𝒙
.
/‫الحل‬
‫نعوض‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫المنحني‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫اليجاد‬
x=0
‫ونجد‬
y
.
𝑥 = 0 ⟹ (0)2
+ 𝑦2
− 3(0) = 16 ⟹ 𝑦2
= 16 ⟹ 𝑦 = ±4
(𝟎, 𝟒), (𝟎, −𝟒) ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ⟹ 𝑐 = 4 ‫التقاطع‬ ‫نقطتي‬ ‫هما‬ ‫البؤرتان‬
𝑦2
= 12𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ⟹ 4𝑝𝑥 = 12𝑥 ⟹ 4𝑝 = 12 ⟹ 𝑝 = 3 ⟹ 𝑥 = −3
⟹ (−3,0) ⟹ (3,0), (−3,0) ‫هما‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫قطبا‬ ‫اذا‬ , ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫يمس‬
⟹ 𝑏 = 3, 𝑏
2
= 9
𝑎2
= 𝑐2
+ 𝑏2
= 16 + 9 = 25
𝑥2
9
+
𝑦2
25
= 1
‫تمرين‬
7
:
‫جد‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫بؤرتاه‬
‫تنتميان‬
‫الى‬
‫محور‬
‫السينات‬
‫ومركزه‬
‫في‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫محوره‬ ‫وطول‬
‫الكبير‬
‫ضعف‬
‫طول‬
‫محوره‬
‫الصغير‬
‫ويقطع‬
‫القطع‬
‫المكافئ‬
𝒚𝟐
+ 𝟖𝒙 = 𝟎
‫عند‬
‫النقطة‬
‫التي‬
= ‫السيني‬ ‫احداثيها‬
-2
.
/‫الحل‬
‫النقطة‬ ‫نعوض‬
2
-
x=
. ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫اليجاد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬
𝑦2
+ 8𝑥 = 0 ⟹ 𝑦2
+ 8(−2) = 0
⟹ 𝑦2 − 16 = 0 ⟹ 𝑦2 = 16 ⟹ 𝑦 = ±4
2𝑎 = 2(2𝑏) ‫اذا‬ , ‫الصغير‬ ‫ضعف‬ = ‫الكبير‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
= 4𝑏 ⟹ 𝑎 = 2𝑏 ⟹ 𝑎2
= 4𝑏2
… (1)
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
22
𝑥 = −2, 𝑦 = 4 ( ‫في‬ ‫التعويض‬ ‫ثم‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضهما‬
1
)
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 ⟹
(−2)2
𝑎2
+
(4)2
𝑏2
= 1 ⟹
4
4𝑏2
+
16
𝑏2
= 1 ⟹
1
𝑏2
+
16
𝑏2
= 1
⟹
17
𝑏
2
= 1 ⟹ 𝑏
2
= 17
𝑎2
= 4(17) = 68
𝑥2
68
+
𝑦2
17
= 1
===================================================
‫تمرين‬
8
:
‫معادلته‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬
𝒉𝒙𝟐
+ 𝒌𝒚𝟐
= 𝟑𝟔
‫يساوي‬ ‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫مربعي‬ ‫ومجموع‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
60
‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ ‫وحدة‬
𝒚𝟐
= 𝟒√𝟑𝒙
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫ما‬ .
h,k
‫؟‬
:‫الحل‬
ℎ𝑥2
+ 𝑘𝑦2
= 36 ⟹
𝑥2
36
ℎ
+
𝑦2
36
𝑘
= 1 ⟹ 𝑎2
=
36
ℎ
, 𝑏2
=
36
𝑘
𝑦2
= 4√3𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥 4𝑝 = 4√3 ⟹ 𝑝 = √3
𝑂(0, √3)
𝐹1(0, √3), 𝐹2(0, −√3) ⟹ 𝑐 = √3 ⟹ 𝑐2
= 3
(2𝑎)2
+ (2𝑏)2
= 60 ⟹ 4𝑎2
+ 4𝑏2
= 60 ⟹ 𝑎2
+ 𝑏2
= 15 … (1)
𝑎2
− 𝑏2
= 𝑐2
⟹ 𝑎2
− 𝑏2
= 3 … (2)
𝑎2
+ 𝑏2
= 15 … (1)
𝑎2
− 𝑏2
= 3 … (2)
2𝑎2
= 18 ⟹ 𝑎2
= 9
𝑏2
= 15 − 𝑎2
= 15 − 9 = 6
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
23
𝑎2
=
36
ℎ
⟹ ℎ =
36
𝑎2
=
36
9
= 4
𝑏2
=
36
𝑘
⟹ 𝑘 =
36
𝑏2
=
36
6
= 6
===================================================
‫تمرين‬
9
:
‫جد‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الناقص‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫واحدى‬
‫بؤرتيه‬
‫هي‬
‫بؤرة‬
‫القطع‬
‫المكافئ‬
𝒙𝟐
= 𝟐𝟒𝒚
‫ومجموع‬
‫طولي‬
‫محوريه‬
( 36 )
‫وحدة‬
.
/‫الحل‬
𝑥2
= 24𝑦
𝑥2
= 4𝑝𝑦 4𝑝𝑦 = 24𝑦 ⟹ 4𝑝 = 24 ⟹ 𝑝 = 6 ⟹ 𝐹(0, −6)
𝐹1(0,6), 𝐹2(0, −6) ⟹ 𝑐 = 6, 𝑐2 = 36
𝑎2
= 𝑏2
+ 36 …. (1)
2𝑎 + 2𝑏 = 36 ⟹ 𝑎 + 𝑏 = 18 ⟹ 𝑎 = 18 − 𝑏 … (2) ‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫مجموع‬
(18 − 𝑏)2
= 𝑏2
+ 36 ⟹ 324 − 36𝑏 + 𝑏2
− 𝑏2
= 36 ( ‫نعوض‬
1
(‫في‬ )
2
)
⟹ 324 − 36 = 36𝑏 ⟹ 36𝑏 = 288 ⟹ 𝑏 =
288
36
= 8 ⟹ 𝑏
2
= 64
𝑎2
= 𝑏2
+ 36 ⟹ 𝑎2
= 64 + 36 ⟹ 𝑎2
= 100
𝑥2
64
+
𝑦2
100
= 1
❖
‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫اوال‬ ‫نجد‬
. ‫بالقياسية‬ ‫مقارنتها‬ ‫ثم‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المعطاة‬
❖
‫النقطة‬ ‫ومنها‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫نحدد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬
c
‫رقم‬ ‫معادلة‬ ‫ونكون‬
1
.
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
24
‫تمرين‬
10
:
‫بؤرتيه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
𝑭𝟏(𝟒, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟒, 𝟎)
‫والنقطة‬
P
‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬
‫المثلث‬ ‫محيط‬ ‫ان‬ ‫بحيث‬
𝑷𝑭𝟏𝑭𝟐
‫يساوي‬
24
. ‫وحدة‬
Sol
𝐹1(4,0), 𝐹2(−4,0)
⟹ 𝑐 = 4
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 + 𝐹1𝐹2 = 24 … (1)
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎, ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝐹1𝐹2 = 2𝑐 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
2𝑎 + 2𝑐 = 24 ⟹ 𝑎 + 𝑐 = 12 ⟹ 𝑎 + 4 = 12 ⟹ 𝑎 = 12 − 4 = 8 ⟹ 𝑎2 = 64
𝑏2
= 𝑎2
− 𝑐2
⟹ 𝑏2
= 64 − 16 = 48
𝑥2
64
+
𝑦2
48
= 1
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
25
‫الزائد‬ ‫القطع‬
: ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫حسب‬ ‫حالتان‬ ‫وله‬
❖
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫البؤرتان‬ : ‫األولى‬ ‫الحالة‬
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹1(𝑐, 0), 𝐹2(−𝑐, 0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(𝑎, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) ‫الرأسان‬
𝑀1(0, 𝑏), 𝑀2(0, −𝑏) ‫القطبان‬
2𝑐 = 𝐹1𝐹2
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
===========================================================
❖
‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫البؤرتان‬ : ‫الثانية‬ ‫الحالة‬
‫الصادات‬
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝐹1(0, 𝑐), 𝐹2(0, −𝑐) ‫البؤرتان‬
𝑉1(0, 𝑎), 𝑉2(0, −𝑎) ‫الرأسان‬
𝑀1(𝑏, 0), 𝑀2(−𝑏, 0) ‫القطبان‬
2𝑐 = 𝐹1𝐹2
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
𝑒 =
𝑐
𝑎
> 1 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
2𝑎 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
2𝑏 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
‫مثال‬
1
‫الزائد‬ ‫للقطع‬ ‫والمرافق‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وطول‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫عين‬ :
𝒙𝟐
𝟔𝟒
−
𝒚𝟐
𝟑𝟔
= 𝟏
‫ارسمه‬ ‫ثم‬
.
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
26
Sol ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬
𝑥2
64
−
𝑦2
36
= 1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
⟹ 𝑎2
= 64 ⟹ 𝑎 = 8, 𝑏2
= 36
⟹ 𝑏 = 6
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √64 + 36 = √100 = 10
𝐹1(10,0), 𝐹2(−10,0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(8,0), 𝑉2(−8,0) ‫الرأسان‬
2𝑎 = 2(8) = 16 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
2𝑏 = 2(6) = 12 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
===========================================================
‫مثال‬
2
:
= ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
6
= ‫المركزي‬ ‫واالختالف‬ ‫وحدات‬
2
. ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫والبؤرتان‬
2𝑎 = 6 ⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2
= 9 = ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
6
𝑒 =
𝑐
𝑎
‫المركزي‬ ‫االختالف‬ ‫قانون‬ ‫باستخدام‬
⟹ 2 =
𝑐
3
⟹ 𝑐 = 2(3) = 6 ⟹ 𝑐2
= 36
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
= 36 − 9 = 27
𝑥2
9
−
𝑦2
27
= 1
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
27
‫مثال‬
3
:
‫المرافقة‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
4
‫النقطتان‬ ‫هما‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫وحدات‬
𝑭𝟏(𝟎, √𝟖), 𝑭𝟐(𝟎, −√𝟖)
.
Sol
2𝑏 = 4 ⟹ 𝑏 = 2 ⟹ 𝑏2
= 4 ‫المرافق‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ‫ان‬ ‫بما‬
4
‫اذا‬ , ‫وحدات‬
𝐹1(0, √8), 𝐹2(0, −√8) ⟹ 𝑐 = √8 ⟹ 𝑐2
= 8
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
⟹ 𝑎2
= 𝑐2
− 𝑏2
= 8 − 4 = 4
𝒚𝟐
𝟒
−
𝒙𝟐
𝟒
= 𝟏
===========================================================
‫تمرين‬
1
:
‫عين‬
‫كل‬
‫من‬
‫البؤرتين‬
‫والرأسين‬
‫ثم‬
‫جد‬
‫طول‬
‫كل‬
‫من‬
‫المحورين‬
‫واالختالف‬
‫المركزي‬
‫للقطوع‬
‫االتية‬ ‫الزائدة‬
:
a) 𝟏𝟐𝒙𝟐
− 𝟒𝒚𝟐
= 𝟒𝟖
Sol
12𝑥2
− 4𝑦2
= 48 ÷ 48
𝑥2
4
−
𝑦2
12
= 1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
⟹ 𝑎2
= 4 ⟹ 𝑎 = 2 ⟹ 2𝑎 = 2(2) = 4 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑏2
= 12 ⟹ 𝑏 = √12 ⟹ 2𝑏 = 2(√12) = 2√12 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √12 + 4 = √16 = 4
𝐹1(4,0), 𝐹2(−4,0) ‫البؤرتان‬
𝑉1(2,0), 𝑉2(−2,0) ‫الرأسان‬
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
4
2
= 2 > 1 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
b) 𝟏𝟔𝒙𝟐
− 𝟗𝒚𝟐
= 𝟏𝟒𝟒
16𝑥2
− 9𝑦2
= 144 ÷ 144
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
28
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
⟹ 𝑎2
= 9 ⟹ 𝑎 = 3, 2𝑎 = 2(3) = 6 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑏2
= 16 ⟹ 𝑏 = √16 ⟹ 𝑏 = 4, 2𝑏 = 2(4) = 8 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √9 + 16 = √25 = 5
===========================================================
‫تمرين‬
2
:
‫اكتب‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الزائد‬
‫في‬
‫الحاالت‬
‫االتية‬
‫ثم‬
‫ارسم‬
‫القطع‬
:
‫أ‬
.
‫النقطتان‬ ‫هما‬ ‫البؤرتان‬
(±𝟓, 𝟎)
‫عند‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫ويتقاطع‬
𝒙 = ±𝟑
. ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
/‫الحل‬
𝐹1(5,0), 𝐹2(−5,0) : ‫هما‬ ‫البؤرتان‬ ‫اذا‬
𝑉1(3,0), 𝑉2(−3,0) ‫القطع‬ ‫رأسي‬ ‫هما‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطتي‬
𝐹1(5,0), 𝐹2(−5,0) ⟹ 𝑐 = 5 ⟹ 𝑐2
= 25
𝑉1(3,0), 𝑉2(−3,0) ⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2
= 9
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
= 25 − 9 = 16
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1
‫ب‬
.
‫طول‬
‫محوره‬
‫الحقيقي‬
( 12 )
‫وحدة‬
‫وطول‬
‫محوره‬
‫المرافق‬
( 10 )
‫وحدات‬
‫وينطبق‬
‫محوراه‬
‫على‬
‫المحورين‬
‫االحداثيين‬
‫ومركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
.
/‫الحل‬
2𝑎 = 12 ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2
= 36
⟹ 𝑉1(6,0), 𝑉2(−6,0)
2𝑏 = 10 ‫المرافق‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
⟹ 𝑏 = 5 ⟹ 𝑏2
= 25
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
29
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √36 + 25 = √61
⟹ 𝐹1(√61, 0), 𝐹2(−√61, 0) ‫البؤرتان‬
:‫احتمالين‬ ‫فناخذ‬ ‫البؤرتان‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ **
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ :ً‫ال‬‫او‬
𝑥2
36
−
𝑦2
25
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ :ً‫ا‬‫ثاني‬
𝑦2
36
−
𝑥2
25
= 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
30
.‫جـ‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫وبؤرتاه‬
‫على‬
‫محور‬
‫الصادات‬
‫وطول‬
‫محوره‬
‫المرافق‬
𝟐√𝟐
‫المركزي‬ ‫واختالفه‬ ‫وحدة‬
=
3
.
/‫الحل‬
2𝑏 = 2√2 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
⟹ 𝑏 = √2 ⟹ 𝑏2
= 2
𝑒 =
𝑐
𝑎
⟹ 3 =
𝑐
𝑎
⟹ 𝑐 = 3𝑎 … (1)
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
⟹ 9𝑎2
= 𝑎2
+ 2
⟹ 9𝑎2
− 𝑎2
= 2 ⟹ 8𝑎2
= 2
⟹ 𝑎2
=
1
4
⟹ 𝑎 =
1
2
⟹ 𝑐 = 3𝑎 = 3 (
1
2
) =
3
2
⟹ 𝑉1 (0,
1
2
) , 𝑉2 (0, −
1
2
) ‫الرأسان‬
⟹ 𝐹1 (0,
3
2
) , 𝐹2 (0, −
3
2
) ‫البؤرتان‬
⟹
𝑦2
1
4
−
𝑥2
2
= 1
==========================================================
‫تمرين‬
3
:
‫جد‬
‫باستخدام‬
‫تعريف‬
‫معادلة‬
‫القطع‬
‫الزائد‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
‫االصل‬
‫وبؤرتيه‬
𝑭𝟏(𝟐√𝟐, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟐√𝟐, 𝟎)
‫للفرق‬ ‫المطلقة‬ ‫والقيمة‬ ‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫على‬ ‫محوراه‬ ‫وينطبق‬
‫يساوي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫عن‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫بعدي‬ ‫بين‬
4
. ‫وحدات‬
𝐹1(2√2, 0), 𝐹2(−2√2, 0) ⟹ 𝑐 = 2√2
⟹ 𝑐2
= 4(2) = 8
|𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2| = 4 ‫بؤرتيه‬ ‫عن‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫بعدي‬ ‫بين‬ ‫للفرق‬ ‫المطلقة‬ ‫القيمة‬
Ө
‫الدكتور‬
‫أنس‬
‫ذياب‬
‫الجبوري‬
‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬
‫العلم‬
31
√(𝑥 − 2√2)2 + (𝑦 − 0)2 − √(𝑥 + 2√2)
2
+ (𝑦 − 0)2 = ±4
√(𝑥 − 2√2)2 + (𝑦 − 0)2 − √(𝑥 + 2√2)
2
+ (𝑦 − 0)2 = ±4
√(𝑥 − 2√2)2 + 𝑦2 = ±4 + √(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2
(𝑥 − 2√2)2
+ 𝑦2
= 16 ± 8√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2 + (𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2
𝑥2
− 4√2𝑥 + 8 + 𝑦2
= 16 ± 8√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2 + 𝑥2
+ 4√2𝑥 + 8 + 𝑦2
−8√2𝑥 = 16 ± 8√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2 ÷ 8
−√2𝑥 − 2 = ±√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2
2𝑥2
+ 2√2𝑥 + 4 = 𝑥2
+ 2√2𝑥 + 8 + 𝑦2
2𝑥2
− 𝑥2
= 𝑦2
+ 8 − 4 ⟹ 𝑥2
− 𝑦2
= 4 ÷ 4
𝑥2
4
−
𝑦2
4
= 1
‫تمرين‬
4
:
‫قطع‬
‫زائد‬
‫طول‬
‫محوره‬
‫الحقيقي‬
( 6)
‫وحدات‬
‫واحدى‬
‫بؤرتيه‬
‫هي‬
‫بؤرة‬
‫القطع‬
‫المكافئ‬
‫الذي‬
‫رأسه‬
‫االصل‬ ‫نقطة‬
‫ويمر‬
‫بالنقطتين‬
(1, ±2√5)
‫جد‬
‫معادلتي‬
‫القطع‬
‫المكافئ‬
‫الذي‬
‫رأسه‬
‫االصل‬ ‫نقطة‬
‫والقطع‬
‫الزائد‬
‫الذي‬
‫مركزه‬
‫نقطة‬
.‫االصل‬
2𝑎 = 6 ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬
⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2
= 9
(1, ±2√5) ‫معادلته‬ ‫تحققان‬ ‫النقطتين‬ ‫اذا‬ , ‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫ان‬ ‫بما‬
(2√5)
2
= 4𝑝(1) ⟹ 20 = 4𝑝 ⟹ 𝑝 = 5
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf

Weitere ähnliche Inhalte

Ähnlich wie الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf

المعادلات التربيعية
 المعادلات التربيعية المعادلات التربيعية
المعادلات التربيعيةnoojynoojyyynn
 
المعادلات التربيعية
 المعادلات التربيعية المعادلات التربيعية
المعادلات التربيعيةng1234567ng
 
ملزمتي - ملزمة ملخص رياضة أولى إعدادي الفصل الدراسي الثاني
ملزمتي - ملزمة ملخص رياضة أولى إعدادي الفصل الدراسي الثانيملزمتي - ملزمة ملخص رياضة أولى إعدادي الفصل الدراسي الثاني
ملزمتي - ملزمة ملخص رياضة أولى إعدادي الفصل الدراسي الثانيملزمتي
 
ضرب كثيرات الحدود
ضرب كثيرات الحدودضرب كثيرات الحدود
ضرب كثيرات الحدودnoojy66666
 
كثيرات الحدود
 كثيرات الحدود كثيرات الحدود
كثيرات الحدودdedesisi
 
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للصف الثالث الإعدادي الترم الاول
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للصف الثالث الإعدادي الترم الاولموقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للصف الثالث الإعدادي الترم الاول
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للصف الثالث الإعدادي الترم الاولملزمتي
 
أسئلة إثرائية على الوحدة الأولى في الرياضيات شبكة الوسيط التعليمية.Rar
أسئلة إثرائية على الوحدة الأولى في الرياضيات   شبكة الوسيط التعليمية.Rarأسئلة إثرائية على الوحدة الأولى في الرياضيات   شبكة الوسيط التعليمية.Rar
أسئلة إثرائية على الوحدة الأولى في الرياضيات شبكة الوسيط التعليمية.RarNABLUSTAMMUN
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017 ال...
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017    ال...ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017    ال...
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017 ال...moeiraqi.org
 
الفصل الأول-تذكير رياضي1-2023-2024 (3).pdf
الفصل الأول-تذكير رياضي1-2023-2024 (3).pdfالفصل الأول-تذكير رياضي1-2023-2024 (3).pdf
الفصل الأول-تذكير رياضي1-2023-2024 (3).pdfbenhalimanadia
 
تحليل المقادير الجبرية
تحليل المقادير الجبريةتحليل المقادير الجبرية
تحليل المقادير الجبريةteacher
 
استعمال خاصية التوزيع
استعمال خاصية التوزيعاستعمال خاصية التوزيع
استعمال خاصية التوزيعng1234567ng
 
التكامل (2).pdf
التكامل (2).pdfالتكامل (2).pdf
التكامل (2).pdfAlikarind
 
الرياضيات للثالث المتوسط - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للثالث المتوسط - الدكتور أنس الجبوري.pdfالرياضيات للثالث المتوسط - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للثالث المتوسط - الدكتور أنس الجبوري.pdfanasKhalaf4
 
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرححل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرحnoojy66666
 
موقع ملزمتي - مراجعة جبر للصف الأول الإعدادي
موقع ملزمتي - مراجعة جبر للصف الأول الإعداديموقع ملزمتي - مراجعة جبر للصف الأول الإعدادي
موقع ملزمتي - مراجعة جبر للصف الأول الإعداديملزمتي
 
Math algebra-geometry-school-books-1st-preparatory-2nd-term-khawagah-2019-6
Math algebra-geometry-school-books-1st-preparatory-2nd-term-khawagah-2019-6Math algebra-geometry-school-books-1st-preparatory-2nd-term-khawagah-2019-6
Math algebra-geometry-school-books-1st-preparatory-2nd-term-khawagah-2019-6khawagah
 
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للشهادة الإعدادية الترم الثانى
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للشهادة الإعدادية الترم الثانىموقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للشهادة الإعدادية الترم الثانى
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للشهادة الإعدادية الترم الثانىملزمتي
 
Math4amsome lessons
Math4amsome lessonsMath4amsome lessons
Math4amsome lessonsmoh13
 

Ähnlich wie الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf (20)

المعادلات التربيعية
 المعادلات التربيعية المعادلات التربيعية
المعادلات التربيعية
 
المعادلات التربيعية
 المعادلات التربيعية المعادلات التربيعية
المعادلات التربيعية
 
ملزمتي - ملزمة ملخص رياضة أولى إعدادي الفصل الدراسي الثاني
ملزمتي - ملزمة ملخص رياضة أولى إعدادي الفصل الدراسي الثانيملزمتي - ملزمة ملخص رياضة أولى إعدادي الفصل الدراسي الثاني
ملزمتي - ملزمة ملخص رياضة أولى إعدادي الفصل الدراسي الثاني
 
ضرب كثيرات الحدود
ضرب كثيرات الحدودضرب كثيرات الحدود
ضرب كثيرات الحدود
 
كثيرات الحدود
 كثيرات الحدود كثيرات الحدود
كثيرات الحدود
 
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للصف الثالث الإعدادي الترم الاول
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للصف الثالث الإعدادي الترم الاولموقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للصف الثالث الإعدادي الترم الاول
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للصف الثالث الإعدادي الترم الاول
 
أسئلة إثرائية على الوحدة الأولى في الرياضيات شبكة الوسيط التعليمية.Rar
أسئلة إثرائية على الوحدة الأولى في الرياضيات   شبكة الوسيط التعليمية.Rarأسئلة إثرائية على الوحدة الأولى في الرياضيات   شبكة الوسيط التعليمية.Rar
أسئلة إثرائية على الوحدة الأولى في الرياضيات شبكة الوسيط التعليمية.Rar
 
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017 ال...
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017    ال...ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017    ال...
ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الأول الأعداد المركبة 2017 ال...
 
الفصل الأول-تذكير رياضي1-2023-2024 (3).pdf
الفصل الأول-تذكير رياضي1-2023-2024 (3).pdfالفصل الأول-تذكير رياضي1-2023-2024 (3).pdf
الفصل الأول-تذكير رياضي1-2023-2024 (3).pdf
 
تحليل المقادير الجبرية
تحليل المقادير الجبريةتحليل المقادير الجبرية
تحليل المقادير الجبرية
 
جبر 1ث ع ف1
جبر 1ث ع ف1جبر 1ث ع ف1
جبر 1ث ع ف1
 
استعمال خاصية التوزيع
استعمال خاصية التوزيعاستعمال خاصية التوزيع
استعمال خاصية التوزيع
 
التكامل (2).pdf
التكامل (2).pdfالتكامل (2).pdf
التكامل (2).pdf
 
الرياضيات للثالث المتوسط - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للثالث المتوسط - الدكتور أنس الجبوري.pdfالرياضيات للثالث المتوسط - الدكتور أنس الجبوري.pdf
الرياضيات للثالث المتوسط - الدكتور أنس الجبوري.pdf
 
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرححل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح
حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح
 
موقع ملزمتي - مراجعة جبر للصف الأول الإعدادي
موقع ملزمتي - مراجعة جبر للصف الأول الإعداديموقع ملزمتي - مراجعة جبر للصف الأول الإعدادي
موقع ملزمتي - مراجعة جبر للصف الأول الإعدادي
 
Math algebra-geometry-school-books-1st-preparatory-2nd-term-khawagah-2019-6
Math algebra-geometry-school-books-1st-preparatory-2nd-term-khawagah-2019-6Math algebra-geometry-school-books-1st-preparatory-2nd-term-khawagah-2019-6
Math algebra-geometry-school-books-1st-preparatory-2nd-term-khawagah-2019-6
 
هندسة 1ث ع ف 1
هندسة 1ث ع ف 1هندسة 1ث ع ف 1
هندسة 1ث ع ف 1
 
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للشهادة الإعدادية الترم الثانى
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للشهادة الإعدادية الترم الثانىموقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للشهادة الإعدادية الترم الثانى
موقع ملزمتي - مراجعة ليلة الامتحان جبر للشهادة الإعدادية الترم الثانى
 
Math4amsome lessons
Math4amsome lessonsMath4amsome lessons
Math4amsome lessons
 

Mehr von anasKhalaf4

‎⁨محاضرة ادارة العقل د أنس الجبوري⁩.pdf
‎⁨محاضرة ادارة العقل د أنس الجبوري⁩.pdf‎⁨محاضرة ادارة العقل د أنس الجبوري⁩.pdf
‎⁨محاضرة ادارة العقل د أنس الجبوري⁩.pdfanasKhalaf4
 
المراجعة المركزة رياضيات ثالث متوسط د. أنس الجبوري .pdf
المراجعة المركزة رياضيات ثالث متوسط د. أنس الجبوري .pdfالمراجعة المركزة رياضيات ثالث متوسط د. أنس الجبوري .pdf
المراجعة المركزة رياضيات ثالث متوسط د. أنس الجبوري .pdfanasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الخامس المعادلات التفاضلية 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الخامس المعادلات التفاضلية 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الخامس المعادلات التفاضلية 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الخامس المعادلات التفاضلية 2022 anasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022anasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022anasKhalaf4
 
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل
 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي   الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي   الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثالث - تطبيقات التفاضلanasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022  ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022 anasKhalaf4
 
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث   تطبيقات التفاضل2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث   تطبيقات التفاضل
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث تطبيقات التفاضلanasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاول
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاولملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاول
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاولanasKhalaf4
 
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضلية
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضلية2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضلية
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضليةanasKhalaf4
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس العلمي الاحيائي - التطبيقي
ملزمة الرياضيات للصف السادس العلمي  الاحيائي -  التطبيقيملزمة الرياضيات للصف السادس العلمي  الاحيائي -  التطبيقي
ملزمة الرياضيات للصف السادس العلمي الاحيائي - التطبيقيanasKhalaf4
 

Mehr von anasKhalaf4 (11)

‎⁨محاضرة ادارة العقل د أنس الجبوري⁩.pdf
‎⁨محاضرة ادارة العقل د أنس الجبوري⁩.pdf‎⁨محاضرة ادارة العقل د أنس الجبوري⁩.pdf
‎⁨محاضرة ادارة العقل د أنس الجبوري⁩.pdf
 
المراجعة المركزة رياضيات ثالث متوسط د. أنس الجبوري .pdf
المراجعة المركزة رياضيات ثالث متوسط د. أنس الجبوري .pdfالمراجعة المركزة رياضيات ثالث متوسط د. أنس الجبوري .pdf
المراجعة المركزة رياضيات ثالث متوسط د. أنس الجبوري .pdf
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الخامس المعادلات التفاضلية 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الخامس المعادلات التفاضلية 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الخامس المعادلات التفاضلية 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الخامس المعادلات التفاضلية 2022
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
 
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل
 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي   الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل 2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي   الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الثالث - تطبيقات التفاضل
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022  ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022
 
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث   تطبيقات التفاضل2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث   تطبيقات التفاضل
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثالث تطبيقات التفاضل
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاول
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاولملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاول
ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الاول
 
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضلية
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضلية2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضلية
2022 ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي - الفصل الخامس - المعادلات التفاضلية
 
ملزمة الرياضيات للصف السادس العلمي الاحيائي - التطبيقي
ملزمة الرياضيات للصف السادس العلمي  الاحيائي -  التطبيقيملزمة الرياضيات للصف السادس العلمي  الاحيائي -  التطبيقي
ملزمة الرياضيات للصف السادس العلمي الاحيائي - التطبيقي
 

الرياضيات للسادس الاحيائي - الدكتور أنس الجبوري.pdf

  • 1. Ө ‫اجلبوري‬ ‫ذايب‬ ‫نس‬‫أ‬ ‫ادلكتور‬ ‫االدب‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ 1 2023 ‫سادس‬‫ل‬‫ا‬ ‫العلمي‬ ‫الاحيايئ‬ Tele@mathematicsiniraq ‫داد‬‫ع‬‫ا‬ ‫ا‬ ‫بوري‬‫جل‬‫ا‬ ‫ذايب‬ ‫نس‬‫أ‬ ‫تور‬‫ك‬‫دل‬ MATHEMATICS ‫الرياضيات‬ 2023
  • 2. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 2 ‫مقدمة‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫اردنا‬ ‫اذا‬ 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟎 :‫كاالتي‬ ‫سيكون‬ ‫الحل‬ ‫فان‬ 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝒙𝟐 = −𝟏, ⇒ 𝒙 = ∓√−𝟏, ‫يساوي‬ ‫مربعه‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ايجاد‬ ‫النستطيع‬ ‫اننا‬ ‫الواضح‬ ‫من‬ ‫انه‬ -1 ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫جديد‬ ‫نوع‬ ‫تعريف‬ ‫الضروري‬ ‫من‬ ‫لذلك‬ , . ) ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ( ‫هي‬ ‫االعداد‬ ‫وهذه‬ ( ‫الرمز‬ ‫سنعرف‬ ‫البداية‬ ‫في‬ 𝒊 = √−𝟏 . ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫اسم‬ ‫عليه‬ ‫سنطلق‬ ‫والذي‬ ) :‫ان‬ ‫حيث‬ 𝑖2 = 𝑖. 𝑖 = √−1. √−1 = −1, 𝑖3 = 𝑖2 . 𝑖 = −1. 𝑖 = −𝑖, 𝑖4 = 𝑖2 . 𝑖2 = −1. −1 = 1, 𝑖5 = 𝑖3 . 𝑖2 = −𝑖. −1 = 𝑖, : ‫مثال‬ : ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يلي‬ ‫ما‬ ‫اكتب‬ 1) 𝑖6 = 𝑖2 . 𝑖2 . 𝑖2 = −1. −1. −1 = −1, 𝒐𝒓 𝒊𝟔 = 𝒊𝟐 . 𝒊𝟒 = −𝟏(𝟏) = −𝟏 2) 𝑖8 = 𝑖2 . 𝑖2 . 𝑖2 . 𝑖2 = −1. −1. −1. −1 = 1, 𝒐𝒓 𝒊𝟖 = 𝒊𝟒 . 𝒊𝟒 = 𝟏. 𝟏 = 𝟏 3) 𝑖16 = (𝑖4 )4 = (1)4 = 1 4) 𝑖17 = (𝑖4 )4 . 𝑖 = (1)4 . 𝑖 = 𝑖 5) 𝑖58 = (𝑖4 )14 . 𝑖2 = (1)14 . (−1) = −1 6) 𝑖12𝑛+93 = (𝑖4 )3𝑛 . 𝑖93 = (1)3𝑛 . (𝑖4)32 . 𝑖 = 𝑖 7) 𝑖−13 = 𝑖−13 . 1 = 𝑖−13 . (𝑖4)4 = 𝑖16−13 = 𝑖3 = −𝑖 8) 𝑖−26 = 𝑖−26 . 1 = 𝑖−26 . (𝑖4)7 = 𝑖28−26 = 𝑖2 = −1 ‫استخ‬ ‫يمكن‬ : ‫مالحظة‬ ‫دام‬ (i) . ‫سالب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ألي‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫لكتابة‬ √−𝑏2 = √𝑏2. √−1 = 𝑏𝑖, ∀𝑏 ≥ 0 . 𝟏 ‫الفصل‬ 6=4+2 58=56+2 = 4(14)+2
  • 3. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 3 :‫مثال‬ ‫استخدم‬ (i) : ‫التالية‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫لكتابة‬ 1) √−16 = √16. √−1 = 4𝑖 2) √−25 = √25. √−1 = 5𝑖 3) √−12 = √12. √−1 = 2√3 𝑖 ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬ , ‫جزئين‬ ‫من‬ ‫العادية‬ ‫بصيغته‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يتكون‬ : ‫ان‬ ‫بحيث‬ , ‫تخيلي‬ ‫والثاني‬ ‫حقيقي‬ ‫االول‬ 𝑪 = 𝒂 + 𝒃𝒊, ‫تمثل‬ a ‫اما‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ b ‫زوج‬ ‫بصورة‬ ‫ايضا‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫كتابة‬ ‫ويمكن‬ . ‫له‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫فتمثل‬ ‫كاالتي‬ ‫مرتب‬ (𝒂, 𝒃) :‫مثال‬ ( ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬ ‫استخدم‬ 𝒂 + 𝒃𝒊 ‫االعداد‬ ‫لكتابة‬ ) : ‫التالية‬ a) −5 = −5 + 0𝑖 b) √−100 = √100. √−1 = 10𝑖 = 0 + 10𝑖 c) – 1 − √−3 = −1 − √3𝑖 d) 1+√−25 4 = 1 4 + 5 4 𝑖 e) 𝑖999 = (𝑖4 )249 . 𝑖2 . 𝑖 = 1. −1. 𝑖 = 0 − 𝑖 f) 𝑖4𝑛+1 = (𝑖4 )𝑛 . 𝑖 = 1. 𝑖 = 0 + 𝑖 :‫ان‬ ‫أي‬ . ‫والتخيلية‬ ‫الحقيقية‬ ‫اجزائهما‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫تتساوى‬ :‫مالحظة‬ 𝒄𝟏 = 𝒄𝟐 ⇔ 𝒂𝟏 = 𝒂𝟐, 𝒃𝟏 = 𝒃𝟐 ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ :‫مثال‬ x , y :‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬ a) 2𝑥 − 1 + 2𝑖 = 1 + (𝑦 + 1)𝑖 R R I I ❖ ‫بالحقيقي‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫نساوي‬ . ‫بالتخيلي‬ ‫والتخيلي‬ ❖ ‫لـ‬ ‫معادلة‬ : ‫معادلتين‬ ‫نكون‬ x ‫ومعادلة‬ ‫لـ‬ y ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬ x,y .
  • 4. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 4 Sol/ 2𝑥 − 1 = 1 ⟹ 2𝑥 = 1 + 1 ⟹ 2𝑥 = 2 ∴ 𝑥 = 1 2 = 𝑦 + 1 ⟹ 𝑦 = 2 − 1 ∴ 𝑦 = 1 b) (2𝑦 + 1) − (2𝑥 − 1)𝑖 = −8 + 3𝑖 Sol/ 2𝑦 + 1 = −8 ⟹ 2𝑦 = −8 − 1 ⟹ 2𝑦 = −9 ∴ 𝑦 = −9 2 −2𝑥 + 1 = 3 ⟹ −2𝑥 = 3 − 1 ⟹ 2𝑥 = −2 ∴ 𝑥 = −1 ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬ ❖ ‫والطرح‬ ‫الجمع‬ ‫عمليتي‬ :ً‫ال‬‫او‬ ❖ ‫ليكن‬ :‫مالحظة‬ 𝒄𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊 ‫و‬ 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊 : ‫فان‬ , ‫مركبان‬ ‫عددان‬ 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 = (𝒂𝟏 + 𝒂𝟐)+(𝒃𝟏 + 𝒃𝟐)𝒊. :‫مثال‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫المركبين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬ : ‫يأتي‬ ‫مما‬ a) 3+4√2𝑖 , 5-2√2𝑖 (3+4√2𝑖 )+ (5-2√2𝑖 ) = (3+5)+(4√2 −2√2)𝑖 =8+2√2𝑖 R I R I R I R I
  • 5. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 5 b) 3 , 2-5𝑖 (3+2) + (0-5)𝑖 = 5-5𝑖 c) 1 − 𝑖, 3𝑖 1-𝑖 + 3𝑖 = (1 + 0) + (−1 + 3)𝑖 = 1 + 2𝑖. :‫مثال‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬ (𝟕 − 𝟏𝟑𝒊) − (𝟗 + 𝟒𝒊) (7 − 13𝑖) − (9 + 4𝑖) =7 − 13𝑖 − 9 − 4𝑖 = (7 − 9) − (13 − 4)𝑖 =−2 − 17𝑖 :‫مثال‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ (𝟐 − 𝟒𝒊) + 𝒙 = −𝟓 + 𝒊 Sol 𝑥 = −5 + 𝑖 − 2 + 4𝑖 ⟹ 𝑥 = (−5 − 2) + (1 + 4)𝑖 ∴ 𝑥 = −7 + 5𝑖 ❖ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ . ‫اخرى‬ × ‫حدودية‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫باستخدام‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫اي‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫انه‬ ‫اي‬ ‫لدينا‬ 𝒄𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊 ‫و‬ 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊 : ‫فان‬ 𝒄𝟏. 𝒄𝟐 = (𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊)(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊) = 𝒂𝟏𝒂𝟐 + 𝒂𝟏𝒃𝟐𝒊 + 𝒃𝟏𝒂𝟐𝒊 + 𝒃𝟏𝒃𝟐𝒊𝟐 = (𝒂𝟏𝒂𝟐 − 𝒃𝟏𝒃𝟐) + (𝒂𝟏𝒃𝟐 + 𝒃𝟏𝒂𝟐)𝒊. ❖ ‫الثاني‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫مع‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫يساوي‬ ‫اخر‬ ‫عدد‬ ‫من‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫طرح‬ ‫ان‬ ❖ ‫نظير‬ a+bi ‫هو‬ –a-bi
  • 6. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 6 :‫مثال‬ :‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫الضرب‬ ‫حاصل‬ ‫جد‬ a) (𝟐 − 𝟑𝒊)(𝟑 − 𝟓𝒊) (2 − 3𝑖)(3 − 5𝑖) = 6 − 10𝑖 − 9𝑖 + 15𝑖2 = 6 − 15 − 19𝑖 = −9 − 19𝑖 b) (𝟐 + 𝒊)(𝟑 + 𝟔𝒊) (2 + 𝑖)(3 + 6𝑖) = 6 + 12𝑖 + 3𝑖 + 6𝑖2 = 6 − 6 + 15𝑖 = 0 + 15𝑖 = 15𝑖 c) (𝟑 + 𝟒𝒊)𝟐 (3 + 4𝑖)2 = 9 + 24𝑖 + 16𝑖2 = 9 − 16 + 24𝑖 = −7 + 24𝑖 d) − 𝟓 𝟐 (𝟒 + 𝟑𝒊) − 5 2 (4 + 3𝑖) = − 5 2 4 − 5 2 3𝑖 = −10 − 15 2 𝑖 e) (𝟏 + 𝒊)𝟒 − (𝟏 − 𝒊)𝟒 (1 + 𝑖)4 − (1 − 𝑖)4 = ((1 + 𝑖)2 )2 − ((1 − 𝑖)2 )2 = (1 + 2𝑖 + 𝑖2 )2 − (1 − 2𝑖 + 𝑖2 )2 = (1 − 1 + 2𝑖)2 − (1 − 1 − 2𝑖)2 = (2𝑖)2 − (2𝑖)2 = 4𝑖2 − 4𝑖2 = −4 + 4 = 0 + 0𝑖
  • 7. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 7 ❖ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫ان‬ 𝒄 = 𝒂 + 𝒃𝒊 : ‫هو‬ 𝑐̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. ‫خصائص‬ ‫مرافق‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1) 2) 3) 4) 5)( ) , 0. c c c c c c c c c c if c a bi c c a b c c c c c  =   =  =  = +   = + =  :‫مثال‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 1 2 1 , 3 2 c i c i = + = − : ‫ان‬ ‫فاثبت‬ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1) 2) 3) c c c c c c c c c c c c  =   =    =    
  • 8. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 8 Sol/ 1- ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 . . .: 1 3 2 4 4 . . .: (1 ) (3 2 ) 1 3 2 4 . . . . L H S c c c c i i i i R H S c c i i i i i L H S R H S  + = + + − = − = + + = + + − = − + + = +  = 2- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 . . .: (1 )(3 2 ) 3 2 3 2 3 2 5 5 . . .: (1 ) (3 2 ) (1 )(3 2 ) 3 2 3 2 3 2 5 . . . . L H S c c i i i i i i i i R H S c c i i i i i i i i i L H S R H S  = + − = − + − = + + = + = −  = +  − = − + = + − − = + − = −  =
  • 9. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 9 3- 1 2 2 2 1 2 2 2 . . .: 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 5 1 5 1 5 2 2 2 2 2 . . .: 3 2 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 5 1 5 2 2 2 . . . . c L H S c i i i i i i i i i i i c R H S c i i i i i i i i i i i i L H S R H S       − − − − − −       = =  =       + + − +       −     = = − = +         − + + + + + − = = =  = − − + + + + = = +  = :‫مثال‬ ‫للعدد‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫جد‬ 2 2 c i = − . ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫وضعه‬ Sol/ 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 8 8 8 4 4 i i c i i i i i i + + = =  = − − + + + = = + = + ❖ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫ان‬ c ‫هو‬ 𝟏 𝒄 ❖ ❖ ‫مقام‬ × ‫ومقام‬ ‫بسط‬ × ‫بسط‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ‫المقام‬ ‫مرافق‬ × ‫نضرب‬ ❖
  • 10. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 10 :‫تمرين‬ : ‫المركب‬ ‫لعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬ 1) 𝟐−𝒊 𝟑+𝟒𝒊 = 2 − 𝑖 3 + 4𝑖 . 3 − 4𝑖 3 − 4𝑖 = 6 − 8𝑖 − 3𝑖 − 4 9 + 16 = 2 − 11𝑖 25 = 2 25 − 11 25 𝑖 2) 𝟏𝟐+𝒊 𝒊 = 12 + 𝑖 𝑖 . −𝑖 −𝑖 = −12𝑖 − 𝑖2 1 = 1 − 12𝑖 1 = 1 − 12𝑖 3) 𝒊 𝟐+𝟑𝒊 = 𝑖 2 + 3𝑖 × 2 − 3𝑖 2 − 3𝑖 = 2𝑖 + 3 4 + 9 = 3 + 2𝑖 13 = 3 13 + 2 13 𝑖 4) ( 𝟑+𝒊 𝟏+𝒊 ) 𝟑 = ( 3 + 𝑖 1 + 𝑖 × 1 − 𝑖 1 − 𝑖 ) 3 = ( 3 − 3𝑖 + 𝑖 − 𝑖2 1 + 1 ) 3 = ( 4 − 2𝑖 2 ) 3 = ( 4 2 − 2𝑖 2 ) 3 = (2 − 𝑖)3 = (2 − 𝑖)2 . (2 − 𝑖) = (4 − 4𝑖 − 1)(2 − 𝑖) = (3 − 4𝑖)(2 − 𝑖) = 6 − 3𝑖 − 8𝑖 − 4 = 2 − 11𝑖 5) 𝟐+𝟑𝒊 𝟏−𝒊 × 𝟏+𝟒𝒊 𝟒+𝒊 = 2 + 8𝑖 + 3𝑖 − 12 4 + 𝑖 − 4𝑖 + 1 = −10 + 11𝑖 5 − 3𝑖 = −10 + 11𝑖 5 − 3𝑖 × 5 + 3𝑖 5 + 3𝑖 = −50 − 30𝑖 + 55𝑖 − 33 52 + 32 == −83 + 25𝑖 34 = −83 34 + 25 34 𝑖 6) (𝟏 + 𝒊)𝟑 + (𝟏 − 𝒊)𝟑
  • 11. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 11 = (1 + 𝑖)2(1 + 𝑖) + (1 − 𝑖)2(1 − 𝑖) = (1 + 2𝑖 − 1)(1 + 𝑖) + (1 − 2𝑖 + 1)(1 − 𝑖) = (1 + 2𝑖 − 1 + 𝑖 − 2 − 𝑖) + (1 − 2𝑖 + 1 − 𝑖 − 2 − 𝑖) = 2𝑖 − 2 − 2𝑖 − 2 = −4 + 0𝑖 :‫تمرين‬ ‫ان‬ ‫اثبت‬ 1) 1 (2−𝑖)2 − 1 (2+𝑖)2 = 8 25 𝑖. L.H.S: 1 (2−𝑖)2 − 1 (2+𝑖)2 = 1 4−4𝑖−1 − 1 4+4𝑖−1 = 1 3−4𝑖 × 3+4𝑖 3+4𝑖 − 1 3+4𝑖 × 3−4𝑖 3−4𝑖 = 3 + 4𝑖 9 + 16 − 3 − 4𝑖 9 + 16 = 3 + 4𝑖 − 3 + 4𝑖 25 = 8 25 𝑖 2) (1 − 𝑖)(1 − 𝑖2)(1 − 𝑖3) = 4 L.H.S: (1 − 𝑖)(1 − 𝑖2)(1 − 𝑖3) = (1 − 𝑖)(1 − (−1))(1 − 𝑖2 . 𝑖) = 2(1 − 𝑖)(1 + 𝑖) = 2(1 + 𝑖 − 𝑖 − 𝑖2) = 2(1 − (−1)) = 2.2 = 4 = R.H.S ❖ ‫المقدار‬ ‫تحليل‬ ‫يمكن‬ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 : ‫يأتي‬ ‫وكما‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 𝒊𝟐 = (𝒙 − 𝒚𝒊)(𝒙 + 𝒚𝒊) ❖ ‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫حد‬ ‫كل‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ‫ونبسط‬ ‫التربيع‬ ‫نفك‬ ❖ ❖ ‫بدل‬ ‫نعوض‬ 𝒊𝟐 = −𝟏 ‫وبدل‬ 𝒊𝟑 = −𝒊 ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ❖
  • 12. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 12 :‫مثال‬ ‫بصورة‬ ‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬ a+bi . a) 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥2 − 𝑦2 𝑖2 = (𝑥 − 𝑦𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖) b) 9𝑥2 + 49𝑦2 = 9𝑥2 − 49𝑦2 𝑖2 = (3𝑥 − 7𝑦𝑖)(3𝑥 + 7𝑦𝑖) c) 85 = 81 + 4 = 81 − 4𝑖2 = (9 − 2𝑖)(9 + 2𝑖) d) 125 = 100 + 25 = 100 − 25𝑖2 = (10 − 5𝑖)(10 + 5𝑖) ‫تمرين‬ : ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ x , y :‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬ 1) 𝒚 + 𝟓𝒊 = (𝟐𝒙 + 𝒊)(𝒙 + 𝟐𝒊). Sol/ 𝑦 + 5𝑖 = 2𝑥2 + 4𝑥𝑖 + 𝑥𝑖 − 2 ⇒ 𝑦 + 5𝑖 = 2𝑥2 − 2 + 5𝑥𝑖 𝑦 = 2𝑥2 − 2 … (1) and 5 = 5𝑥 …. (2), ( ‫معادلة‬ ‫من‬ 2 ) ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬ 1 : ) 𝑥 = 5 5 = 1, 𝑦 = 2(1)2 − 2 = 0. 2) 𝟖𝒊 = (𝒙 + 𝟐𝒊)(𝒚 + 𝟐𝒊) + 𝟏 8𝑖 = 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑖 − 4 + 1 ⇒ 8𝑖 = 𝑥𝑦 − 3 + 2(𝑥 + 𝑦)𝑖 ⇒ 𝑥𝑦 − 3 = 0 … (1), (𝑥 + 𝑦) = 4 … (2) ( ‫معادلة‬ ‫من‬ 1 ) 𝒙 = 𝟑 𝒚 ( ‫في‬ ‫نعوضها‬ 2 ) ❖ ‫الى‬ + ‫نحول‬ −𝒊𝟐 ‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫باستخدام‬ ‫نحلل‬ ‫ثم‬ ❖
  • 13. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 13 [( 3 𝑦 + 𝑦) = 4] × 𝑦 ⇒ 3 + 𝑦2 = 4𝑦 ⇒ 𝑦2 − 4𝑦 + 3 = 0 (𝑦 − 3)(𝑦 − 1) = 0 Either 𝑦 = 3 ⇒ 𝑥 = 3 3 = 1, or 𝑦 = 1 ⇒ 𝑥 = 3 1 = 3. 3) ( 𝟏−𝒊 𝟏+𝒊 ) + (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐 . ⇒ ( 1 − 𝑖 1 + 𝑖 × 1 − 𝑖 1 − 𝑖 ) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = 1 + 4𝑖 − 4 ⇒ ( 1 − 𝑖 − 𝑖 + 𝑖2 12 + 𝑖2 ) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = −3 + 4𝑖 ⇒ ( −2𝑖 2 ) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = −3 + 4𝑖 ⇒ 𝑥 + 𝑦𝑖 − 𝑖 = −3 + 4𝑖 ⇒ 𝑥 = −3, and 𝑦 − 1 = 4 ⇒ 𝑦 = 5. 4) 𝟐−𝒊 𝟏+𝒊 𝒙 + 𝟑−𝒊 𝟐+𝒊 𝒚 = 𝟏 𝒊 . ( 2 − 𝑖 1 + 𝑖 × 1 − 𝑖 1 − 𝑖 ) 𝑥 + ( 3 − 𝑖 2 + 𝑖 × 2 − 𝑖 2 − 𝑖 ) 𝑦 = 1 𝑖 × −𝑖 −𝑖 ⇒ ( 2 − 2𝑖 − 𝑖 − 1 1 + 1 ) 𝑥 + ( 6 − 3𝑖 − 2𝑖 − 1 4 + 1 ) 𝑦 = −𝑖 1 ⇒ ( 1 − 3𝑖 2 ) 𝑥 + ( 5 − 5𝑖 5 ) 𝑦 = −𝑖 ⇒ ( 1 − 3𝑖 2 ) 𝑥 + (1 − 𝑖)𝑦 = −𝑖 ⇒ 1 2 𝑥 − 3 2 𝑥𝑖 + 𝑦 − 𝑦𝑖 = −𝑖 1 2 𝑥 + 𝑦 = 0 … (1) and − 3 2 𝑥 − 𝑦 = −1 … (2), 1 2 𝑥 + 𝑦 = 0 … (1) − 3 2 𝑥 − 𝑦 = −1 … (2)
  • 14. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 14 − 2 2 𝑥 = −1 ⇒ −𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 = 1, ( ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬ 1 ) 1 2 (1) + 𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 = − 1 2 . :‫مثال‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 𝒙−𝒚𝒊 𝟏+𝟓𝒊 , 𝟑−𝟐𝒊 𝒊 ‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ Sol/ : ‫فان‬ , ‫مترافقان‬ ‫العددان‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ( 𝑥 − 𝑦𝑖 1 + 5𝑖 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 3 − 2𝑖 𝑖 ⇒ 𝑥 + 𝑦𝑖 1 − 5𝑖 = 3 − 2𝑖 𝑖 ‫ألن‬ ( 𝒄𝟏 𝒄𝟐 ̅) = 𝒄𝟏 𝒄𝟐 ̅̅̅ ̅ ⇒ (𝑥 + 𝑦𝑖)𝑖 = (1 − 5𝑖)(3 − 2𝑖) ⇒ 𝑥𝑖 − 𝑦 = 3 − 2𝑖 − 15𝑖 − 10 ⇒ 𝑥𝑖 − 𝑦 = −7 − 17𝑖 ⇒ 𝑥 = −17, 𝑦 = 7 :‫مثال‬ ‫قيمتي‬ ‫جد‬ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ 𝒚 𝟏+𝒊 = 𝒙𝟐+𝟒 𝒙+𝟐𝒊 . Sol/ 𝑦 1 + 𝑖 = 𝑥2 + 4 𝑥 + 2𝑖 ⇒ 𝑦 1 + 𝑖 = 𝑥2 − 4𝑖2 𝑥 + 2𝑖 ⇒ 𝑦 1 + 𝑖 = (𝑥 − 2𝑖)(𝑥 + 2𝑖) 𝑥 + 2𝑖 R R I I
  • 15. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 15 ⇒ 𝑦 1 + 𝑖 = 𝑥 − 2𝑖 ⇒ 𝑦 = (𝑥 − 2𝑖)(1 + 𝑖) ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑖 − 2𝑖 + 2 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 2, and 𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2, 𝑦 = 2 + 2 = 4. ‫اضافية‬ ‫تمارين‬ 1 ) : ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬ a) 𝑖5 b) 𝑖124 c) 𝑖−7 d) 𝑖−15 e) √−25 f) 𝑖(1 + 𝑖) g) (2 + 3𝑖)2 + (12 + 2𝑖) h) (1 + 𝑖)2 + (1 − 𝑖)2 i) 1+𝑖 1−𝑖 j) 1+2𝑖 −2+𝑖 k) 3+4𝑖 3−4𝑖 2 ‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬ ) a) 41 b) 29 3 ) ‫قيمتي‬ ‫جد‬ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ( 𝟏−𝒊 𝟏+𝒊 ) + (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐 . 4 ‫كان‬ ‫اذا‬ ) 𝟑+𝒊 𝟐−𝒊 6 𝑥+𝑦𝑖 ‫و‬ ‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ R R I I R
  • 16. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 16 ➢ The square root of complex number ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ : ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذو‬ ‫اليجاد‬ ▪ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫نضع‬ 𝑐 = 𝑎 + 𝑏𝑖 . ▪ ‫ان‬ ‫نفرض‬ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 . ▪ ‫مع‬ ‫والتخيلي‬ ‫الحقيقي‬ ‫مع‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫باخذ‬ ‫المعادلة‬ ‫ونحل‬ ‫التربيع‬ ‫نفك‬ . ‫التخيلي‬ =========================================== :‫مثال‬ : ‫التالية‬ ‫لالعداد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ 1) 𝒄 = 𝟖 + 𝟔𝒊 Sol/ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 8 + 6𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = 8 + 6𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = 8 … (1), and 2𝑥𝑦 = 6 ⇒ 𝑦 = 6 2𝑥 = 3 𝑥 … (2) ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ) 𝑥2 − ( 3 𝑥 ) 2 = 8 ⇒ [𝑥2 − 9 𝑥2 = 8] × 𝑥2 𝑥4 − 9 = 8𝑥2 ⇒ 𝑥4 − 8𝑥2 − 9 = 0 ⇒ (𝑥2 − 9)(𝑥2 + 1) = 0,
  • 17. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 17 Either (𝑥2 − 9) = 0 ⇒ 𝑥2 = 9 ⇒ 𝑥 = ∓3 Or (𝑥2 + 1) = 0 ⇒ 𝑥2 = −1 ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬ x ( ‫معادلة‬ ‫في‬ 2 ) 𝑦 = 3 3 = 1 or 𝑦 = 3 −3 = −1 ∴ 𝑐1 = 3 + 𝑖, 𝑐2 = −3 − 𝑖 ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬ c : ‫هي‬ 𝟑 + 𝒊 , −𝟑 − 𝒊 . 2) 𝒄 = −𝟔𝒊 Sol/ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 0 − 6𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = 0 − 6𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = 0 … (1), and 2𝑥𝑦 = −6 ⇒ 𝑦 = −6 2𝑥 = −3 𝑥 … (2) ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) 𝑥2 − ( −3 𝑥 ) 2 = 0 ⇒ [𝑥2 − 9 𝑥2 = 0] × 𝑥2 𝑥4 − 9 = 0 ⇒ (𝑥2 − 3)(𝑥2 + 3) = 0, either (𝑥2 − 3) = 0 ⇒ 𝑥2 = 3 ⇒ 𝑥 = ∓√3 or (𝑥2 + 3) = 0 ⇒ 𝑥2 = −3 ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬ x ( ‫معادلة‬ ‫في‬ 2 ) ‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬ x ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬ x ‫حقيقي‬ ‫عدد‬
  • 18. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 18 𝑦 = 3 √3 = √3 or 𝑦 = 3 −√3 = −√3 ∴ 𝑐1 = √3 + √3𝑖, 𝑐2 = −√3 − √3𝑖 ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬ c : ‫هي‬ √𝟑 + √𝟑𝒊 , −√𝟑 − √𝟑𝒊. 3) 𝟒 𝟏−√𝟑𝒊 Sol/ 4 1 − √3𝑖 × 1 + √3𝑖 1 + √3𝑖 = 4 + 4√3𝑖 12 + (√3) 2 = 4 + 4√3𝑖 4 = 1 + √3𝑖 (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 1 + √3𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = 1 + √3𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = 1 … (1), and 2𝑥𝑦 = √3 ⇒ 𝑦 = √3 2𝑥 … (2) ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) 𝑥2 − ( √3 2𝑥 ) 2 = 1 ⇒ [𝑥2 − 3 4𝑥2 = 1] × 4𝑥2 4𝑥4 − 3 = 4𝑥2 ⇒ 4𝑥4 − 4𝑥2 − 3 = 0 ⇒ (2𝑥2 − 3)(2𝑥2 + 1) = 0, Either (2𝑥2 − 3) = 0 ⇒ 2𝑥2 = 3 ⇒ 𝑥 = ∓√ 3 2
  • 19. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 19 Or (𝑥2 + 1) = 0 ⇒ 𝑥2 = −1 . ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬ x ( ‫معادلة‬ ‫في‬ 2 ) 𝑦 = √3 √2 . √2(− √3 √2 ) = 1 √2 or 𝑦 = √3 √2 . √2( −√3 √2 ) = −1 √2 ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬ c : ‫هي‬ ±(√ 3 2 + 1 √2 𝑖). ‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬ x ‫حقيقي‬ ‫عدد‬
  • 20. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 20 ➢ Solving the equation in ℂ ‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ℂ ‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫لحل‬ ) ‫الدستور‬ ( ‫العام‬ ‫القانون‬ ‫نستخدم‬ 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 :‫ان‬ ‫اي‬ 𝒙 = −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 :‫مثال‬ ‫في‬ ‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ℂ : 1) 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝟎 Sol/ 𝑎 = 1, 𝑏 = 4, 𝑐 = 5 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −4 ± √42 − 4(1)(5) 2 ⇒ 𝑥 = −4±√16−20 2 = −4±√−4 2 = −4±2𝑖 2 = −2 ± 𝑖 ∴ 𝑆 = {−2 − 𝑖, −2 + 𝑖} 2) 𝑧2 = −12 Sol/ 𝑧 = ±√−12 = ±√3 × 4𝑖 = ±2√3𝑖 ∴ 𝑆 = {−2√3𝑖, 2√3𝑖}, ‫مترافقان‬ ‫جذران‬. 3) 𝒛𝟐 − 𝟑𝒛 + 𝟑 + 𝒊 = 𝟎 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = −𝟑, 𝒄 = 𝟑 + 𝒊
  • 21. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 21 𝑧 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = 3 ± √(−3)2 − 4(1)(3 + 𝑖) 2 = 3 ± √9 − 12 − 4𝑖 2 = 3 ± √−3 − 4𝑖 2 ‫لـ‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫ايجاد‬ ‫اوال‬ ‫يجب‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لحل‬ −𝟑 − 𝟒𝒊 . ‫السابقة‬ ‫بالطريقة‬ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = −3 − 4𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = −3 − 4𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = −3 … (1) ⇒ 𝑦 = −4 2𝑥 = −2 𝑥 … . . (2) ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 : ) 𝑥2 − ( −2 𝑥 ) 2 = −3 ⇒ [𝑥2 − 4 𝑥2 = −3] × 𝑥2 ⇒ 𝑥4 − 4 = −3𝑥2 ⇒ 𝑥4 + 3𝑥2 − 4 = 0 ⇒ (𝑥2 + 4)(𝑥2 − 1) = 0 𝑥2 = 1 ⇒ 𝑥 = ±1, ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬ 2 ) 𝑦 = −2 ±1 = ±2 ‫االن‬ ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫جذر‬ −𝟑 − 𝟒𝒊 √−3 − 4𝑖 = ±(1 − 2𝑖) : ‫ان‬ ‫اي‬
  • 22. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 22 𝑧 = 3 ± (1 − 2𝑖) 2 Neither 𝑧 = 3 2 − 1+2𝑖 2 = 1 + 𝑖 or 𝑧 = 3 2 + 1−2𝑖 2 = 2 − 𝑖. . ‫مترافقين‬ ‫ليسا‬ ‫الجذران‬ 4 ) 𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 + 𝒊(𝟐 − 𝒊) = 𝟎 Sol 𝑧2 + 2𝑧 + 𝑖(2 − 𝑖) = 0 ⇒ 𝑧2 + 2𝑧 + 2𝑖 + 1 = 0 𝑧 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −2 ± √22 − 4(1)(2𝑖 + 1) 2 = −2 ± √4 − 8𝑖 − 4 2 = −2 ± √−8𝑖 2 ‫لـ‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫ايجاد‬ ‫اوال‬ ‫يجب‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لحل‬ −𝟖𝒊 . ‫السابقة‬ ‫بالطريقة‬ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = −8𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = −8𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = 0 … (1) ⇒ 𝑦 = −8 2𝑥 = −4 𝑥 … . . (2) ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 : ) 𝑥2 − ( −4 𝑥 ) 2 = 0 ⇒ [𝑥2 − 16 𝑥2 = 0] × 𝑥2 ⇒ 𝑥4 − 16 = 0
  • 23. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 23 ⇒ (𝑥2 − 4)(𝑥2 + 4) = 0 ∴ 𝑥2 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2, ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬ 2 ) 𝑦 = −4 ±2 = ±2 ‫االن‬ ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫جذر‬ −8𝑖 √−8𝑖 = ±(2 − 2𝑖) 𝑧 = −2 ± (2 − 2𝑖) 2 Neither 𝑧 = −2 2 − 2+2𝑖 2 = −2 + 𝑖 or 𝑧 = −2 2 + 2−2𝑖 2 = 0 − 𝑖. . ‫مترافقين‬ ‫ليسا‬ ‫الجذران‬ : ‫وكاالتي‬ ‫جذورها‬ ‫باستخدام‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ :‫مالحظة‬ • . ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫الجذر‬ ‫نكتب‬ • ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬ (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐) . • ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫نجد‬ (𝒄𝟏 × 𝒄𝟐) . • ‫العامة‬ ‫الصيغة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬ 𝒙𝟐 − (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐)𝒙 + (𝒄𝟏 × 𝒄𝟐) = 𝟎 • . ‫مرافقه‬ ‫هو‬ ‫االخر‬ ‫فان‬ ‫معلوم‬ ‫واحدهما‬ ‫حقيقية‬ ‫المعادلة‬ ‫جذور‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
  • 24. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 24 :‫مثال‬ : ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬ • ±(2 + 2𝑖) 𝑐1 + 𝑐2 = (2 + 2𝑖) + (−2 − 2𝑖) = 2 − 2 + (2 − 2)𝑖 = 0 𝑐1 × 𝑐2 = (2 + 2𝑖) × (−2 − 2𝑖) = −4 − 4𝑖 − 4𝑖 + 4 = −8𝑖 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − −8𝑖 = 0 • 𝑀 = 3−𝑖 1+𝑖 , 𝐿 = (3 − 2𝑖)2 𝑀 = 3 − 𝑖 1 + 𝑖 = 3 − 𝑖 1 + 𝑖 × 1 − 𝑖 1 − 𝑖 = 3 − 3𝑖 − 𝑖 − 1 1 + 1 = 2 − 4𝑖 2 = 1 − 2𝑖 𝐿 = (3 − 2𝑖)2 = 9 − 12𝑖 − 4 = 5 − 12𝑖 𝑀 + 𝐿 = (1 − 2𝑖) + (5 − 12𝑖) = (1 + 5) + (−2 − 12)𝑖 = 6 − 14𝑖 𝑀 × 𝐿 = (1 − 2𝑖)(5 − 12𝑖) = 5 − 12𝑖 − 10𝑖 − 24 = −19 − 22𝑖 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − (6 − 14𝑖)𝑥 + (−19 − 22𝑖) = 0 :‫مثال‬ : ‫هو‬ ‫جذراها‬ ‫واحد‬ ‫الحقيقية‬ ‫المعمالت‬ ‫ذات‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬ 1) 𝑨 = 𝟑 − 𝟒𝒊. Sol/ ‫هو‬ ‫االخر‬ ‫جذرها‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حقيقية‬ ‫معامالت‬ ‫لها‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ B=(3+4i) 𝐴 + 𝐵 = (3 − 4𝑖) + (3 + 4𝑖) = 6 + 0𝑖 = 6 𝐴 × 𝐵 = (3 − 4𝑖)(3 + 4𝑖) = 9 + 12𝑖 − 12𝑖 + 16 = 25
  • 25. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 25 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − 6𝑥 + 25 = 0 2 ) 𝑨 = √𝟐+𝟑𝒊 𝟒 Sol/ ‫حقيقية‬ ‫معامالت‬ ‫لها‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ‫هو‬ ‫االخر‬ ‫جذرها‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ √𝟐−𝟑𝒊 𝟒 = 𝐵 𝐴 + 𝐵 = ( √2 4 + 3 4 𝑖) + ( √2 4 − 3 4 𝑖) = ( √2 4 + √2 4 ) + ( 3 4 𝑖 − 3 4 𝑖) = √2 2 + 0𝑖 = 1 √2 𝐴 × 𝐵 = ( √2 4 + 3 4 𝑖) ( √2 4 − 3 4 𝑖) = 2 16 − 3√2 16 𝑖 + 3√2 16 𝑖 + 9 16 = 11 16 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − 1 √2 𝑥 + 11 16 = 0 :‫تمرين‬ ‫ا‬ ‫كان‬ ‫ذا‬ 𝟑 + 𝒊 ‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬ ‫هو‬ 𝒙𝟐 − 𝒂𝒙 + (𝟓 + 𝟓𝒊) = 𝟎 ‫قيمة‬ ‫فما‬ a ‫؟‬ ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫هو‬ ‫وما‬ ‫؟‬ Sol/ = ‫الخر‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬ L : ‫هو‬ ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫فان‬ 𝐿 × (3 + 𝑖) = 5 + 5𝑖 ⇒ 𝐿 = 5 + 5𝑖 3 + 𝑖 ⇒ 𝐿 = 5 + 5𝑖 3 + 𝑖 × 3 − 𝑖 3 − 𝑖
  • 26. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 26 ⇒ 𝐿 = 15 − 5𝑖 + 15𝑖 + 5 9 + 1 = 20 + 10𝑖 10 = 2 + 𝑖 : ‫الجذرين‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫وان‬ ⇒ 𝑎 = 𝐿 + 𝑀 ⇒ 𝒂 = (2 + 𝑖) + (3 + 𝑖) = 5 + 2𝑖 ⇒ 𝑎 = 5 + 2𝑖 ➢ Geometric Representation of Complex Numbers ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يمثل‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ z ‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫بصورة‬ (𝒙, 𝒚) ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ 𝒛(𝒙, 𝒚) . :‫مثال‬ ‫مثل‬ : ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ‫التالية‬ ‫العمليات‬ 1)(3 + 4 𝑖) + (5 + 2𝑖) (3 + 4 𝑖) + (5 + 2𝑖) = (3 + 5) + (4 + 2)𝑖 = 8 + 6𝑖 2)(6 − 2 𝑖) − (2 − 5𝑖) (6 − 2 𝑖) − (2 − 5𝑖) = (6 − 2 𝑖) + (−2 + 5𝑖) = 4 + 3𝑖 Figure 1: Geometric Representation (𝟑 + 𝟒 𝒊) + (𝟓 + 𝟐𝒊) Figure 2: Geometric Representation (𝟔 − 𝟐𝒊) − (𝟐 − 𝟓𝒊)
  • 27. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 27 ‫تمرين‬ . ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬ ‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫اكتب‬ : . a) 𝑧1 = 2 + 3𝑖 𝑧1 = 2 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(2, 3) −𝑧1 = −2 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(−2, − 3) b) 𝑧1 = −1 + 3𝑖 𝑧1 = −1 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(−1, 3) −𝑧1 = 1 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(1, − 3) ‫تمرين‬ . ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫االعداد‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬ : a) 𝑧1 = 5 + 3𝑖 𝑧1 = 5 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(5, 3) 𝑧̅1 = 5 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(5, −3) Figure 3: the geometric Representation for example a Figure 4: the geometric Representation for example b Figure 5: the geometric Representation for example a
  • 28. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 28 b ) 𝑧 = −2𝑖 𝑧 = 0 − 2𝑖 ⇒ 𝑝1(0, −2) 𝑧̅ = 0 + 2𝑖 ⇒ 𝑝2(0, 2) :‫تمرين‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 𝒛𝟏 = 𝟒 − 𝟐𝒊 ‫و‬ 𝒛𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒊 :‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬ a) −3𝑧2 = −3(1 + 2𝑖) = −3 − 6𝑖 ⇒ 𝑝1(−3, −6) b) 2𝑧1 = 2(4 − 2𝑖) = 8 − 4𝑖 ⇒ 𝑝2(8, −4) c) 𝑧1 − 𝑧2 = (4 − 2𝑖) − (1 + 2𝑖) = 3 − 4𝑖 ⇒ 𝑝3(3, −4) d) 𝑧1 + 𝑧2 = (4 − 2𝑖) + (1 + 2𝑖) = 5 + 0𝑖 ⇒ 𝑝4(5, 0) Figure 6: the geometric Representation for example b (a) (b) (c) (d) Figure 6: the geometric Representation for example
  • 29. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 29 ➢ Polar form of complex number ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ❖ ‫ليكن‬ z ‫بالنقطة‬ ‫هندسيا‬ ‫ممثل‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ 𝒑(𝒙, 𝒚) ‫فان‬ (𝒓, 𝜽) ‫للنقطة‬ ‫القطبي‬ ‫االحداثي‬ ‫يمثل‬ p ‫حيث‬ O ‫تمثل‬ ‫و‬ )‫االصل‬ ‫(نقطة‬ ‫القطب‬ 𝑶𝑿 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ . ‫االبتدائي‬ ‫الضلع‬ ‫يمثل‬ ❖ ‫ليكن‬ r ‫فان‬ ‫سالب‬ ‫غير‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ r ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مقياس‬ ‫يسمى‬ z : ‫حيث‬ 𝒓 = ‖𝒛‖ = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ❖ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ 𝜽 = 𝐚𝐫𝐠(𝒛) 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝒙 𝒓 = 𝒙 ‖𝒛‖ ⇒ ℝ(𝒛) = 𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝒚 𝒓 = 𝒚 ‖𝒛‖ ⇒ 𝑰(𝒛) = 𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ❖ ‫كانت‬ ‫اذا‬ 𝜽 ‫من‬ ‫كال‬ ‫فان‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫سعة‬ ‫هي‬ 𝜽 + 𝟐𝒏𝝅, 𝒏 ∈ ℤ . ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لنفس‬ ‫سعة‬ ‫ايضا‬ ‫يكون‬ ❖ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫اما‬ 𝜽 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅) . ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫القيمة‬ ‫لها‬ ‫فيقال‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫على‬ ‫الدالة‬ Figure 8: Polar form of complex number
  • 30. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 30 ‫الخاصة‬ ‫الزوايا‬ ‫جدول‬ :‫مثال‬ ‫ليكن‬ 𝒛 = 𝟏 + √𝟑𝒊 ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬ 𝒛 . 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (√3)2 = √12 + 3 = √4 = 2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = 1 2 ⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = √3 2 ⇒ sin 𝜃 ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬. ∴ arg(𝑧) = 𝜋 3 . :‫مثال‬ ‫ليكن‬ 𝒛 = −𝟏 − 𝒊 ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬ 𝒛 . 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−12 + (−1)2 = √1 + 1 = √2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = −1 √2 ⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = −1 √2 ⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬ ‫سالبة‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫الثالث‬ ∴ arg(𝑧) = 𝜋 + 𝜋 4 = 5𝜋 4 .
  • 31. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 31 :‫مثال‬ ‫ليكن‬ 𝒛 = −𝟏 − √𝟑𝒊 ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬ 𝒛 . 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−12 + (−√3)2 = √1 + 3 = 2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = −1 2 ⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = −√3 2 ⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬ ‫سالبة‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫الثالث‬ . ∴ arg(𝑧) = 𝜋 + 𝜋 3 = 4𝜋 3 . : ‫مالحظة‬ 1 ) ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ 𝒛 = 𝟎 . ‫قيمة‬ ‫له‬ ‫ليس‬ ‫الصفري‬ ‫المتجه‬ ‫الن‬ ‫معلومة‬ ‫غير‬ 2 ) ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ z : ‫هي‬ 𝒛 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝒓(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜽) ========================================================= :‫مثال‬ : ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬ a) 𝑧 = −2 + 2𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−22 + (2)2 = √8 = 2√2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = −1 √2 ⇒ cos 𝜃 ‫سالبه‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = 1 √2 ⇒ sin 𝜃 ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬. ∴ arg(𝑧) = 𝜋 − 𝜋 4 = 3𝜋 4 . 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2√2(cos 3𝜋 4 + 𝑖 sin 3𝜋 4 ) b) 7i
  • 32. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 32 7𝑖 = 7(𝑖) = 7 (cos 𝜋 2 + 𝑖sin 𝜋 2 ) ➢ De Moivre’s Theorem ‫ديموفر‬ ‫مبرهنة‬ ‫ليكن‬ 𝒛𝟏 ‫و‬ 𝒛𝟐 ‫أن‬ ‫حيث‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ 𝒛𝟏 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 , 𝒛𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝑 , ‫فان‬ 𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = (𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽) (𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝑) = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝐬𝐢𝐧 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 = (𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝑 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑) + 𝒊(𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝐬𝐢𝐧 𝜽) = 𝐜𝐨𝐬(𝜽 + 𝝑) + 𝒊(𝐬𝐢𝐧(𝜽 + 𝝑)) ‫كانت‬ ‫واذا‬ 𝜽 = 𝝑 ‫فان‬ (𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 + 𝒊(𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) ‫فان‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬ (𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝒏 = 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝜽, ∀𝒏 ∈ ℕ, 𝜽 ∈ ℝ ========================================================== :‫مثال‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬ a) (cos 3𝜋 8 + 𝑖sin 3𝜋 8 )4 ‫ديموفر‬ ‫مبرهنة‬ ‫وباستخدام‬ (cos 3𝜋 8 + 𝑖sin 3𝜋 8 )4 = cos 4 3𝜋 8 + 𝑖sin 4 3𝜋 8 = cos 3𝜋 2 + 𝑖sin 3𝜋 2 = 0 + 𝑖(−1) = −𝑖 b) (𝐜𝐨𝐬 𝟓𝝅 𝟐𝟒 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝟓𝝅 𝟐𝟒 )𝟒 (cos 5𝜋 24 + 𝑖sin 5𝜋 24 )4 = cos 4 5𝜋 24 + 𝑖sin 4 5𝜋 24 = cos 5𝜋 6 + 𝑖sin 5𝜋 6 cos 5𝜋 6 + 𝑖sin 5𝜋 6 = − √3 2 + 𝑖 ( 1 2 ) ❖ ‫هنا‬ θ = 5 (30) = 150 ‫إذن‬ ، θ ‫لذلك‬ ، ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ cos θ ‫و‬ ‫سالبة‬ sin ‫موجبة‬ .
  • 33. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 33 c) (𝐜𝐨𝐬𝜃 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜃)𝟖 (𝐜𝐨𝐬 𝜃 − 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜃)𝟒 cos 𝑛𝜃 − 𝑖sin 𝑛𝜃 = (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)−𝑛 ‫المتطابقة‬ ‫هذه‬ ‫باستخدام‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ‫حل‬ ‫يمكن‬ (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)8 (cos 𝜃 − 𝑖sin 𝜃)4 = (cos 8𝜃 + 𝑖sin 8𝜃) (cos 4𝜃 − 𝑖sin 4𝜃) = (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)8 (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)−4 = (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)4 = cos 4𝜃 + 𝑖sin 4𝜃 ========================================================== d) (1 + 𝑖)11 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (1)2 = √2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = 1 √2 ⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = 1 √2 ⇒ sin 𝜃 ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫ايضا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ ‫االول‬ . ∴ 𝜃 = 𝜋 4 . 𝑧11 = 𝑟11(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)11 = (√2) 11 (cos 𝜋 4 + 𝑖 sin 𝜋 4 )11 = (√2 2 ) 5 . √2 (cos 𝜋 4 + 𝑖 sin 𝜋 4 )11 = 32√2 (cos 11 𝜋 4 + 𝑖 sin 11 𝜋 4 ) = 32√2 (− 1 √2 + 1 √2 𝑖) = −32 − 32𝑖. ========================================================== c) (1 − 𝑖)7 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (−1)2 = √2
  • 34. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 34 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = 1 √2 ⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = −1 √2 ⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫لها‬ ‫سالبة‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫الرابع‬ .. ∴ arg (𝑧) = 2𝜋 − 𝜋 4 = 7𝜋 4 . 𝑧7 = 𝑟7(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)7 = (√2) 7 (cos 7𝜋 4 + 𝑖 sin 7𝜋 4 )7 = (√2 2 ) 3 . √2 (cos 7𝜋 4 + 𝑖 sin 7𝜋 4 )7 = 8√2 (cos 7 7𝜋 4 + 𝑖 sin 7 7𝜋 4 ) = 8√2 ( 1 √2 + 1 √2 𝑖) = 8 + 8𝑖. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫لكل‬ 𝒏 ∈ ℤ+ , 𝜽 ∈ ℝ ‫فان‬ , √𝒛 𝒏 = 𝒓 𝟏 𝒏 [𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝟐𝝅𝒌 𝒏 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝟐𝝅𝒌 𝒏 ], 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 − 𝟏. ❖ . ‫المركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫النسبية‬ ‫االسس‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫او‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫جذور‬ ‫اليجاد‬ ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫تستخدم‬
  • 35. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 35 ‫تمرين‬ 4 : ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ (−𝟏 + √𝟑𝒊) . ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ Sol/ 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √(−1)2 + (√3)2 = √4 = 2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = −1 2 ⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = √3 2 ⇒ sin 𝜃 ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬. ∴ arg (𝑧) = 𝜋 − 𝜋 3 = 2𝜋 3 . 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2(cos 2𝜋 3 + 𝑖 sin 2𝜋 3 ) 𝑧 1 2 = 𝑟 1 2(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) 1 2 𝑧 1 2 = (2) 1 2 (cos 2𝜋 3 + 2𝜋𝑘 2 + 𝑖sin 2𝜋 3 + 2𝜋𝑘 2 ) = √2 (cos 2𝜋 + 6𝜋𝑘 6 + 𝑖sin 2𝜋 + 6𝜋𝑘 6 ) For 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = √2 (cos 2𝜋 6 + 𝑖sin 2𝜋 6 ) = √2 (cos 𝜋 3 + 𝑖sin 𝜋 3 ) = √2 ( 1 2 + √3 2 𝑖) = 1 √2 + √3 √2 𝑖 If 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = √2 (cos 2𝜋+6𝜋 6 + 𝑖sin 2𝜋+6𝜋 6 ) = √2 (cos 4𝜋 3 + 𝑖sin 4𝜋 3 ) = √2 ( −1 2 − √3 2 𝑖) = −1 √2 − √3 √2 𝑖 ===================================================== ❖ ‫هنا‬ n=3 ‫اذا‬ k ‫قيمتين‬ ‫لها‬ 𝒌 = 𝟎, 𝟏 .
  • 36. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 36 ‫تمرين‬ 6 : ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫االربعة‬ ‫للعدد‬ (−𝟏𝟔) . ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ Sol/ 𝑧 = −16 = 16(cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋) 𝑧 1 4 = (16) 1 4(cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋) 1 4 = 2 (cos 𝜋+2𝜋𝑘 4 + 𝑖sin 𝜋+6𝜋𝑘 4 ) 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = 2 (cos 𝜋 4 + 𝑖sin 𝜋 4 ) = 2 ( 1 √2 + 1 √2 𝑖) = √2 + √2𝑖 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos 3𝜋 4 + 𝑖sin 3𝜋 4 ) = 2 (− 1 √2 + 1 √2 𝑖) = −√2 + √2𝑖 𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = 2 (cos 5𝜋 4 + 𝑖sin 5𝜋 4 ) = 2 (− 1 √2 − 1 √2 𝑖) = −√2 − √2𝑖 𝑘 = 3 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos 7𝜋 4 + 𝑖sin 7𝜋 4 ) = 2 ( 1 √2 − 1 √2 𝑖) = √2 − √2𝑖 ‫تمرين‬ 7 : ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫الستة‬ ‫للعدد‬ (−𝟔𝟒𝒊) . ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ Sol/ 𝑧 = −64𝑖 = 64 (cos 3𝜋 2 + 𝑖sin 3𝜋 2 ) 𝑧 1 6 = (64) 1 6 (cos 3𝜋 2 + 𝑖sin 3𝜋 2 ) 1 6 = 2 (cos 3𝜋 2 +2𝜋𝑘 6 + 𝑖sin 3𝜋 2 +6𝜋𝑘 6 ) = 2 (cos 3𝜋 + 4𝜋𝑘 12 + 𝑖sin 3𝜋 + 4𝜋𝑘 12 ) 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = 2 (cos 3𝜋 12 + 𝑖sin 3𝜋 12 ) = 2 ( 1 √2 + 1 √2 𝑖) = √2 + √2𝑖 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos 7𝜋 12 + 𝑖sin 7𝜋 12 ) = 2 (− 1 √2 + 1 √2 𝑖) = −√2 + √2𝑖
  • 37. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 37 𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = 2 (cos 11𝜋 12 + 𝑖sin 11𝜋 12 ) 𝑘 = 3 ⇒ 𝑧4 = 2 (cos 15𝜋 12 + 𝑖sin 15𝜋 12 ) = 2 (cos 5𝜋 4 + 𝑖sin 5𝜋 4 ) = 2 (− 1 √2 − 1 √2 𝑖) = −√2 − √2𝑖 𝑘 = 4 ⇒ 𝑧5 = 2 (cos 19𝜋 12 + 𝑖sin 19𝜋 12 ) 𝑘 = 5 ⇒ 𝑧6 = 2 (cos 25𝜋 12 + 𝑖sin 25𝜋 12 ) :‫مثال‬ ‫للمقدار‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬ (√𝟑 + 𝒊)𝟐 . ‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ Sol/ 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √(√3)2 + (1)2 = √4 = 2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = √3 2 ⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫له‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = 1 2 ⇒ sin 𝜃 ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫ايضا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫له‬. ∴ 𝜃 = 𝜋 6 . 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2(cos 𝜋 6 + 𝑖 sin 𝜋 6 ) 𝑧2 = 𝑟2(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)2 = 22 (cos 2𝜋 6 + 𝑖 sin 2𝜋 6 ) = 4 (cos 𝜋 3 + 𝑖 sin 𝜋 3 ) 𝑧 2 5 = 𝑟 2 5(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) 2 5 = (2) 2 5 (cos 5. 𝜋 3 +2𝜋𝑘 2 + 𝑖sin 5. 𝜋 3 +2𝜋𝑘 2 ) = √4 5 (cos 5𝜋 + 30𝜋𝑘 6 + 𝑖sin 5𝜋 + 30𝜋𝑘 6 )
  • 38. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 38 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = √4 5 (cos 5𝜋 6 + 𝑖sin 5𝜋 6 ) = √4 5 (− √3 2 + 1 2 ) 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = √4 5 (cos 35𝜋 6 + 𝑖sin 35𝜋 6 ) 𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = √4 5 (cos 65𝜋 6 + 𝑖sin 65𝜋 6 ) 𝑘 = 3 ⇒ 𝑧4 = √4 5 (cos 95𝜋 6 + 𝑖sin 95𝜋 6 ) 𝑘 = 4 ⇒ 𝑧5 = √4 5 (cos 155𝜋 6 + 𝑖sin 155𝜋 6 ) =========================================================== :‫مثال‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ 𝑥3 + 1 = 0 ‫حيث‬ 𝑥 ∈ ℂ . Sol/ 𝑥3 + 1 = 0 ⇒ 𝑥3 = −1 ⇒ 𝑥3 = −1(1) = cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋 ⇒ 𝑥 = (cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋) 1 3 = cos 𝜋+2𝜋𝑘 3 + 𝑖sin 𝜋+2𝜋𝑘 3 𝑘 = 0 ⇒ 𝑥1 = cos 𝜋 3 + 𝑖sin 𝜋 3 = 1 2 + √3 2 𝑖 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = cos 3𝜋 3 + 𝑖sin 3𝜋 3 = −1 + 0 𝑖 = −1 𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = cos 5𝜋 3 + 𝑖sin 5𝜋 3 = 1 2 − √3 2 𝑖 ∴ 𝑆 = { 1 2 + √3 2 𝑖 , −1 , 1 2 − √3 2 𝑖}.
  • 39. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 39 ‫اضافية‬ ‫تمارين‬ 1 ) : ‫من‬ ‫لكل‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫جد‬ a) 𝑧 = −1 + √3𝑖 b) 𝑧 = −1 + 𝑖 c) 𝑧 = 1 − 𝑖 2 ) : ‫من‬ ‫لكل‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬ a) –i b) -7i c) 3 d) 5i e) 2 f) -1 3 ) : ‫ناتج‬ ‫جد‬ a) (cos 7𝜋 12 + 𝑖 sin 7𝜋 12 ) −3 b) (cos 2𝜃+𝑖 sin 2𝜃)5 (cos 3𝜃+𝑖 sin 2𝜃)3 4 ) ( ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ 27𝑖 . ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ )
  • 40. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 1 : ‫القطوع‬ ‫من‬ ‫انواع‬ ‫ثالثة‬ ‫فيتكون‬ ‫مختلفة‬ ‫بمسنويات‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫سطح‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫المخروطية‬ ‫القطوع‬ ‫تتكون‬ ❖ . ‫مولداته‬ ‫الحد‬ ‫مواز‬ ‫بمستو‬ ‫المخروط‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ : ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ❖ . ‫مولداته‬ ‫احد‬ ‫وال‬ ‫قاعدته‬ ‫يوازي‬ ‫ال‬ ‫بمستو‬ ‫المخروط‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ : ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ❖ . ‫القائم‬ ‫المخروط‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫بمستو‬ ‫المخروط‬ ‫قطع‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ : ‫الزائد‬ ‫القطع‬ : ‫المخروطي‬ ‫للقطع‬ ‫العامة‬ ‫المعادلة‬ (𝒙 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟏)𝟐 = 𝒆𝟐 . |𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄| 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 ‫حيث‬ e . ‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ ‫هي‬ ❖ ‫(أو‬ ‫ببؤره‬ ‫ويحدد‬ ‫الخاصة‬ ‫معادلته‬ ‫القطوع‬ ‫انواع‬ ‫من‬ ‫نوع‬ ‫ولكل‬ .) ‫ببؤرتين‬ : ‫حاالت‬ ‫اربعة‬ ‫وله‬ ❖ ‫تنتمي‬ ‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ : ‫هي‬ ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ 𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙, ∀𝒑 > 𝟎 ❖ : ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ 𝒙 = −𝒑 ❖ : ‫البؤره‬ 𝑭(𝒑, 𝟎) Tele@mathematicsiniraq ‫اعداد‬ ‫ا‬ ‫لدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ 𝟏 ‫ئ‬‫المكاف‬ ‫القطع‬ Limit 𝟐 ‫الفصل‬
  • 41. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 2 ❖ ‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ : ‫هي‬ ‫السالب‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ 𝒚𝟐 = − 𝟒𝒑𝒙, ∀𝒑 > 𝟎 ❖ : ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ 𝒙 = 𝒑 ❖ : ‫البؤره‬ 𝑭(−𝒑, 𝟎) ❖ ‫تنتمي‬ ‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ : ‫هي‬ ‫الموجب‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ 𝒙𝟐 = 𝟒𝒑𝒚, ∀𝒑 > 𝟎 ❖ : ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ 𝒚 = −𝒑 ❖ : ‫البؤره‬ 𝑭(𝟎, 𝒑) ❖ ‫تنتمي‬ ‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ : ‫هي‬ ‫السالب‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ 𝒙𝟐 = −𝟒𝒑𝒚, ∀𝒑 > 𝟎 ❖ : ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ 𝒚 = 𝒑 ❖ : ‫البؤره‬ 𝑭(𝟎, −𝒑)
  • 42. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 3 ‫مثال‬ 1 : ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬ 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 𝑦2 = 4𝑥 𝑦2 = 4𝑝𝑥 ⇒ 4𝑝𝑥 = 4𝑥 ⇒ 4𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 = 4 4 = 1 ∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(1,0) ‫البؤره‬ 𝑥 = −𝑝 ⇒ 𝑥 = −1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ =========================================================== ‫مثال‬ 2 : ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬ 𝒚𝟐 = −𝟖𝒙 . 𝑦2 = −8𝑥 𝑦2 = −4𝑝𝑥 ⇒ −4𝑝𝑥 = −8𝑥 ⇒ 4𝑝 = 8 ⇒ 𝑝 = 8 4 = 2 ∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−2,0) ‫البؤره‬ 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑥 = 2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ =========================================================== ‫مثال‬ 3 : ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬ 𝒚𝟐 = −𝟒𝒙 . ‫ارسمه‬ ‫ثم‬ 𝑦2 = −4𝑥 𝑦2 = −4𝑝𝑥 ⇒ −4𝑝𝑥 = −4𝑥 ⇒ −4𝑝 = −4 ⇒ 𝑝 = −4 −4 = 1 𝑥 = 1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ ∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−1,0) ‫البؤره‬ ❖ ‫لحل‬ ‫بمقارنة‬ ‫نقوم‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫المسائل‬ ‫القياسية‬ ‫بالمعادلة‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المعطاة‬ ‫المعادلة‬ ‫ونستخرج‬ ‫للقطع‬ p . ‫والدليل‬ ‫البؤرة‬ ‫نكتب‬ ‫ثم‬ ❖ . ‫الدليل‬ ‫اشارة‬ ‫عكس‬ ‫دائما‬ ‫البؤرة‬ ‫اشارة‬ ‫بالمقارنة‬ ‫بالمقارنة‬ ‫بالمقارنة‬
  • 43. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 4 ‫مثال‬ 4 : ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬ 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 . ‫ارسمه‬ ‫ثم‬ 𝑦2 = 4𝑥 𝑦2 = 4𝑝𝑥 ⇒ 4𝑝𝑥 = 4𝑥 ⇒ 4𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 = 4 4 = 1 𝑥 = 1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ ∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(1,0) ‫البؤره‬ 𝑦2 = 4𝑥 ⇒ 𝑦 = ±2√𝑥 =========================================================== ‫مثال‬ 4 : : ‫علم‬ ‫اذا‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫أ‬ ) ( ‫بؤرته‬ 0 , 3 .‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬ ) 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(3,0) ⇒ 𝑝 = 3 𝑦2 = 4𝑝𝑥 ⇒ 𝑦2 = 4(3)𝑥 ⇒ 𝒚𝟐 = 𝟏𝟐𝒙 ‫ب‬ ) ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ 𝟐𝒙 − 𝟔 = 𝟎 . ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬ 2𝑥 − 6 = 0 2𝑥 = 6 ⇒ 𝑥 = 6 2 = 3 ∴ 𝑥 = 3 ⇒ 𝑝 = 3 𝑦2 = −4𝑝𝑥 = −4(3)𝑥 = −12𝑥 𝑥 1 2 𝑦 = ±2√𝑥 ±2 ±2√2 ‫بالمقارنة‬
  • 44. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 5 ‫تمرين‬ 2 / b : : ‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫والدليل‬ ‫المحور‬ ‫ومعادلتي‬ ‫والرأس‬ ‫البؤره‬ ‫جد‬ 2𝑥 + 16𝑦2 = 0 2𝑥 + 16𝑦2 = 0 ⇒ 16𝑦2 = −2𝑥 ⇒ 𝑦2 = − 1 8 𝑥 𝑦2 = − 1 8 𝑥 𝑦2 = −4𝑝𝑥 ⇒ − 1 8 𝑥 = −4𝑝𝑥 ⇒ − 1 8 = −4𝑝 ⇒ 𝑝 = 1 32 𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑥 = 1 32 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ ∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹 (− 1 32 , 0) ‫البؤره‬ ======================================================== ‫مثال‬ 5 : ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬ 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒚 = 𝟎 . 3𝑥2 − 24𝑦 = 0 ⇒ 3𝑥2 = 24𝑦 ⇒ 𝑥2 = 8𝑦 𝑥2 = 8𝑦 𝑥2 = 4𝑝𝑦 ⇒ 8𝑦 = 4𝑝𝑦 ⇒ 8 = 4𝑝 ⇒ 𝑝 = 2 ⇒ 𝐹(0,2) ‫البؤره‬ 𝑦 = −𝑝 ⇒ 𝑦 = −2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ ‫بالمقارنة‬ ‫بالمقارنة‬
  • 45. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 6 ‫مثال‬ 6 : ( ‫بؤرته‬ )‫أ‬ : ‫علم‬ ‫اذا‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ 5 , 0 ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬ ) 𝑭(𝟎, 𝒑) = 𝑭(𝟎, 𝟓) ⇒ 𝑝 = 5 𝑥2 = 4𝑝𝑦 ⇒ 𝑥2 = 4(5)𝑦 ⇒ 𝑥2 = 20𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ ) ‫ب‬ y=7 . ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬ 𝑦 = 7 ⇒ 𝑝 = 7 𝑥2 = −4𝑝𝑦 ⇒ 𝑥2 = −4(7)𝑦 ⇒ 𝑥2 = −28𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ========================================================== ‫تمرين‬ 1 :‫د‬/ ‫دليله‬ ‫معادلة‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ 4y-3=0 . ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬ 4𝑦 − 3 = 0 ⇒ 4𝑦 = 3 ⇒ 𝑦 = 3 4 ⇒ 𝑝 = 3 4 𝑥2 = −4𝑝𝑦 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ 𝑥2 = −4 ( 3 4 ) 𝑦 ⇒ 𝑥2 = −3𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ 𝐹(0, − 3 4 ) ‫البؤرة‬
  • 46. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 7 ‫مثال‬ 7 : ( ‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ 4 , 2 ‫و‬ ) (2,-4) . ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬ . ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫بؤرته‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫رسم‬ ‫من‬ ** (2,-4) (2,4) ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬ ‫النقاط‬ 𝑦2 = 4𝑝𝑥 ‫القياسية‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ (−4)2 = 4𝑝(2) ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫بالتعويض‬ ⇒ 16 = 8𝑝 ⇒ 𝑝 = 16 8 = 2 ∴ 𝑝 = 2 𝑦2 = 4𝑝𝑥 ⇒ 𝑦2 = 4(2)𝑥 ⇒ 𝑦2 = 8𝑥 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ =========================================================== ‫مثال‬ 8 : ‫بالنقطة‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ويمر‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ (3,-5) . : ‫معلوم‬ ‫غير‬ ‫البؤرة‬ ‫موقع‬ ‫ألن‬ ‫القياسية‬ ‫للمعادلة‬ ‫احتماالن‬ ‫يوجد‬ ** ‫السالب‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫األولى‬ ‫الحالة‬ 𝑦2 = −4𝑝𝑥 𝑥 = 3 ‫اليسار‬ ‫نحو‬ ‫تتجه‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫اذا‬ , ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫الدليل‬ ∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−3,0) ⇒ 𝑝 = 3 ⇒ 𝑦2 = −4(3)𝑥 ⇒ 𝑦2 = −12𝑥 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫الموجب‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫الثانية‬ ‫الحالة‬ 𝑥2 = 4𝑝𝑦 𝑦 = −5 ‫الدليل‬ ∴ 𝐹(0, 𝑝) = 𝐹(0,5) ⇒ 𝑝 = 5 ⇒ 𝑥2 = 4(5)𝑦 ⇒ 𝑥2 = 20𝑦 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 47. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 8 ‫تمرين‬ 4 : ‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ (-3,4) ‫معادلته‬ ‫فجد‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬ ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫األولى‬ ‫الحالة‬ 𝑦2 = 4𝑝𝑥 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ 𝑥 = −3 ‫الدليل‬ ∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(3,0) ⇒ 𝑝 = 3 ⇒ 𝑦2 = 4(3)𝑥 ⇒ 𝑦2 = 12𝑥 : ‫هي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬ ‫السالب‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ :‫الثانية‬ ‫الحالة‬ 𝑥2 = −4𝑝𝑦 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ 𝑦 = 4 ‫الدليل‬ ∴ 𝐹(0, −𝑝) = 𝐹(0, −4) ⇒ 𝑝 = 4 ⇒ 𝑥2 = −4(4)𝑦 ⇒ 𝑥2 = −16𝑦 :‫هي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬ ========================================================= ‫تمرين‬ 5 : ‫معادلته‬ ‫مكافئ‬ ‫قطع‬ 𝑨𝒙𝟐 + 𝟖𝒚 = 𝟎 ‫بالنقطة‬ ‫ويمر‬ (1,2) ‫قيمة‬ ‫جد‬ A ‫وارسم‬ ‫ودليله‬ ‫بؤرته‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ . ‫القطع‬ ‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ /‫الحل‬ (1,2) : ‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ‫فهي‬ ‫اذا‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬ 𝐴(1)2 + 8(2) = 0 ⇒ 𝐴 + 16 = 0 ⇒ 𝐴 = −16 ∴ −16𝑥2 + 8𝑦 = 0 ⇒ −16𝑥2 = −8y ⇒ 𝑥2 = −8 −16 y ⇒ 𝑥2 = 1 2 y 𝑥2 = 4𝑝𝑦 ⇔ 𝑥2 = 1 2 y ‫بالمقارنة‬ 4𝑝 = 1 2 ⇒ 𝑝 = 1 2 ( 1 4 ) = 1 8 ∴ 𝑦 = − 1 8 ‫الدليل‬ ⇒ 𝐹(0, 1 8 ) ‫البؤرة‬
  • 48. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 9 =========================================================== ‫مثال‬ 9 : ‫بؤرته‬ ‫أن‬ ‫علم‬ ‫اذا‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫بستخدام‬ (√𝟑, 𝟎) .‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬ / ‫الحل‬ 𝑀𝐹 = 𝑀𝑄 ⇒ √(𝑥 − √3) 2 + (𝑦 − 0)2 = √(𝑥 − (−√3)) 2 + (𝑦 − 𝑦) 2 ⇒ √𝑥2 − 2√3𝑥 + 3 + 𝑦2 = √𝑥2 + 2√3𝑥 + 3 ⇒ 𝑥2 − 2√3𝑥 + 3 + 𝑦2 = 𝑥2 + 2√3𝑥 + 3 ⇒ 𝑦2 = 4√3𝑥 ========================================================= ‫تمرين‬ 6 : ‫بؤرته‬ )‫أ‬ :‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬ (7,0) . ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬ 𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1) 2 + (𝑦2 − 𝑦1) 2 𝑀𝐹 = 𝑀𝑄 ⇒ √(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 0)2 = √(𝑥 − (−7)) 2 + (𝑦 − 𝑦) 2 ⇒ √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 𝑦2 = √𝑥2 + 14𝑥 + 49 ⇒ 𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 𝑦2 = 𝑥2 + 14𝑥 + 49 ⇒ 𝑦2 = 28𝑥 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ )‫ب‬ 𝒚 = √𝟑 . 𝑦 = √3 ⇒ 𝐹(0, −√3) 𝑀𝐹 = 𝑀𝑄
  • 49. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 10 ⇒ √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − (−√3)) 2 = √(𝑥 − 𝑥) 2 + (𝑦 − √3) 2 ⇒ √𝑥2 + 𝑦2 + 2√3𝑦 + 3 = √𝑦2 − 2√3𝑦 + 3 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 + 2√3𝑦 + 3 = 𝑦2 − 2√3𝑦 + 3 ⇒ 𝑥2 = −4√3𝑦
  • 50. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 11 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ : ً‫ا‬‫ثاني‬ :‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫حسب‬ ‫حالتين‬ ‫وله‬ ‫وبؤرتين‬ ‫وقطبين‬ ‫رأسين‬ ‫من‬ ‫ويتكون‬ ‫بيضوي‬ ‫شكل‬ ‫له‬ ❖ ( ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ : ‫األولى‬ ‫الحالة‬ 𝑎2 ‫تحت‬ 𝑥2 ) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬ 𝐹1(𝑐, 0), 𝐹2(−𝑐, 0) ‫البؤرتان‬ 𝑉1(𝑎, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) ‫الراسان‬ 𝑀1(0, 𝑏), 𝑀2(0, −𝑏) ‫القطبان‬ ❖ ( ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ : ‫الثانية‬ ‫الحالة‬ 𝑎2 ‫تحت‬ 𝑦2 ) 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬ 𝐹1(0, 𝑐), 𝐹2(0, −𝑐) ‫البؤرتان‬ 𝑉1(0, 𝑎), 𝑉2(0, −𝑎) ‫الراسان‬ 𝑀1(𝑏, 0), 𝑀2(−𝑏, 0) ‫القطبان‬ 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 𝐴 = 𝑎𝑏𝜋 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫مساحة‬ 𝑃 = 2𝜋√ 𝒂𝟐+𝒃𝟐 𝟐 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫محيط‬ 𝑒 = 𝑐 𝑎 = √𝑎2−𝑏2 𝑎 ‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
  • 51. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 12 ‫مثال‬ 1 : . ‫المركزي‬ ‫واالختالف‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫واحداثي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ 1. 𝑥2 25 + 𝑦2 16 = 1 Sol 𝑥2 25 + 𝑦2 16 = 1 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 25 ⟹ 𝑎 = 5, 𝑏 2 = 16 ⟹ 𝑏 = 4 2a= 2(5)=10 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ , 2𝑏 = 2(4) = 8 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √25 − 16 = √9 = 3 𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1(3,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2(−3,0) ‫البؤرتان‬ 𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(5,0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−5,0) ‫الراسان‬ 𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1(0,4) ‫و‬ 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2(0, −4) ‫القطبان‬ 𝑒 = 𝑐 𝑎 = 3 5 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ ========================================================== 2. (4𝑥2 + 3𝑦2 = 4 3 ) × 3 4 ⟹ 3𝑥2 + 9 4 𝑦2 = 1 𝑥2 1 3 + 𝑦2 4 9 = 1 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 4 9 ⟹ 𝑎 = 2 3 , 𝑏 2 = 1 3 ⟹ 𝑏 = 1 √3 2a= 2( 2 3 )= 4 3 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ , 2𝑏 = 2 ( 1 √3 ) = 2 √3 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √ 4 9 − 1 3 = √ 1 9 = 1 √9 = 1 3 ‫بالمقارنة‬ ‫بالمقارنة‬
  • 52. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 13 𝐹1(0, 𝑐) ⟹ 𝐹1 (0, 1 3 ), 𝐹2(0, −𝑐) ⟹ 𝐹2 (0, − 1 3 ) ‫البؤرتان‬ 𝑉1(0, 𝑎) ⟹ 𝑉1 (0, 2 3 ) , 𝑉2(0, −𝑎) ⟹ 𝑉2 (0, − 2 3 ) ‫الراسان‬ 𝑀1(𝑏, 0) ⟹ 𝑀1 ( 1 √3 , 0) , 𝑀2(−𝑏, 0) ⟹ 𝑀2 (− 1 √3 , 0) ‫القطبان‬ 𝒆 = 𝒄 𝒂 = 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 = 𝟑 𝟔 = 𝟏 𝟐 ‫المر‬ ‫االختالف‬ ‫كزي‬ =========================================================== ‫تمرين‬ 1 : . ‫المركزي‬ ‫واالختالف‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫واحداثي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ a. 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 = 𝟏 𝑥2 1 + 𝑦2 1 2 = 1 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 1 ⟹ 𝑎 = 1, 𝑏 2 = 1 2 ⟹ 𝑏 = 1 √2 2a= 2(1)= 2 , 2𝑏 = 2 ( 1 √2 ) = 2 √2 = √2 𝑦 = 0 , 𝑥 = 0 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √1 − 1 2 = √ 1 2 = 1 √2 𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1 ( 1 √2 ,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2 (− 1 √2 ,0) 𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(1,0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−1,0) 𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1 (0, 1 √2 ) 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2 (0, − 1 √2 ) ‫بالمقارنة‬
  • 53. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 14 𝑒 = 𝑐 𝑎 = 1 √2 1 = 1 √2 ========================================================== b. 9𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒚𝟐 = 117 ⟹ 9𝑥2 117 + 13𝑦2 117 = 1 𝑥2 13 + 𝑦2 9 = 1 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 13 ⟹ 𝑎 = √13, 𝑏 2 = 9 ⟹ 𝑏 = 3 2a= 2(√13)= 2 √13 , 2𝑏 = 2(3) = 6 𝑦 = 0 , 𝑥 = 0 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √13 − 9 = √4 = 2 𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1(2 ,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2(−2,0) 𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(√13, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−√13, 0) 𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1(0,3) 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2(0, −3) 𝑒 = 𝑐 𝑎 = 2 √13 ‫مثال‬ 2 : ‫جد‬ : ‫يلي‬ ‫كما‬ ‫وراساه‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ Ex. 𝑭𝟏(𝟑, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟑, 𝟎) , 𝑽𝟏(𝟓, 𝟎) , 𝑽𝟐(−𝟓, 𝟎) 𝑐 = 3 ⟹ 𝑐2 = 9, 𝑎 = 5 ⟹ 𝑎2 = 25 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 9 = 25 − 𝑏2 ⟹ 𝑏2 = 25 − 9 = 16 ⟹ 𝑏 = 4
  • 54. Ө ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 15 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ∴ 𝑥2 25 + 𝑦2 16 = 1 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ =================================================== ‫مثال‬ 3 : ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫على‬ ‫محوراه‬ ‫وينطبق‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫طوله‬ ً‫ا‬‫جزء‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫ويقطع‬ 8 ‫طوله‬ ‫جزءا‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫ومن‬ ‫وحدات‬ 12 ‫جد‬ ‫ثم‬ , ‫وحدة‬ . ‫ومحيطه‬ ‫منطقته‬ ‫ومساحة‬ ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ 2𝑏 = 8 ⟹ 𝑏 = 4 ⟹ 𝑏2 = 16 2𝑎 = 12 ⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2 = 36 ∴ 𝑥2 16 + 𝑦2 36 = 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬ 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √36 − 16 = √20 ⟹ 𝑐 = 2√5 2𝑐 = 2(2√5) = 4√5 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ 𝐴 = 𝑎𝑏𝜋 = 6(4)𝜋 = 24𝜋 ‫القطع‬ ‫مساحة‬ 𝑃 = 2𝜋√ 𝑎2+𝑏2 2 = 2𝜋√ 36+16 2 = 2𝜋√ 52 2 = 2𝜋√26 ‫القطع‬ ‫محيط‬ ‫تمرين‬ 2 : ‫جد‬ ‫المعادلة‬ ‫القياسية‬ ‫للقطع‬ ‫الناقص‬ ‫الذي‬ ‫مركزه‬ ‫في‬ ‫نقطة‬ ‫االصل‬ ‫في‬ ‫كل‬ ‫مما‬ ‫يأتي‬ : a) 𝑭𝟏(𝟓 , 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟓, 𝟎) 𝑐 = 5 ⟹ 𝑐2 = 25 2𝑎 = 12 ⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2 = 36 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 25 = 36 − 𝑏2 ⟹ 𝑏2 = 36 − 25 = 11 ⟹ 𝑏 = √11 ❖ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫يقطع‬ 8 ‫طول‬ ‫اذا‬ , ‫وحدات‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬ 2b = 8 . ❖ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫يقطع‬ 12 ‫طول‬ ‫اذا‬ ,‫وحدة‬ ‫الصغير‬ ‫المحور‬ 2a = 12 2015-1
  • 55. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 16 ∴ 𝑥2 36 + 𝑦2 16 = 1 =================================================== b. 𝑭𝟏(𝟎 , 𝟐), 𝑭𝟐(𝟎, −𝟐) 𝑐 = 2 ⟹ 𝑐2 = 4 𝑏 = 4 ⟹ 𝑏 2 = 16 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 4 = 𝑎2 − 16 ⟹ 𝑎2 = 16 + 4 = 20 ⟹ 𝑎 = √20 ∴ 𝑥2 16 + 𝑦2 20 = 1 C . ‫احدى‬ ‫بؤرتيه‬ ‫تبعد‬ ‫عن‬ ‫نهايتي‬ ‫محوره‬ ‫الكبير‬ ‫بالعددين‬ 5 , 1 ‫الترتيب‬ ‫على‬ ‫وحدة‬ ‫يوجد‬ ‫اذا‬ , ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫الحل‬ : ‫احتماالن‬ 1 ) ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ 2𝑎 = 5 + 1 ‫الرأسين‬ ‫عن‬ ‫البؤرة‬ ‫بعدي‬ ‫مجموع‬ = 6 ⟹ 𝑎 = 3 𝑐 = 𝑎 − (‫االقل‬ ‫البعد‬ ) = 3 − 1 = 2 ⟹ 𝑐 = 2 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 4 = 9 − 𝑏2 ⟹ 𝑏2 = 9 − 4 = 5 ∴ 𝒙𝟐 𝟗 + 𝒚𝟐 𝟓 = 𝟏 2 ) ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ ∴ 𝒙𝟐 𝟓 + 𝒚𝟐 𝟗 = 𝟏 =================================================== ❖ ‫عند‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫يتقاطع‬ 𝒙 = ±𝟒 ‫اذا‬ , b=4
  • 56. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 17 d . = ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ 𝟏 𝟐 = ‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬ 12 . ‫وحدة‬ : ‫احتماالن‬ ‫يوجد‬ ‫اذا‬ , ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫الحل‬ 1 ) ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ 2𝑏 = 12 ⟹ 𝑏 = 6 ⟹ 𝑏2 = 6 𝑒 = 𝑐 𝑎 ⟹ 𝑎 = 𝑐 𝑒 = 𝑐 1 2 = 2𝑐 ∴ 𝑎 = 2𝑐 𝑎2 = 4𝑐2 ...(1) 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 …(2) ⟹ 4𝑐2 = 36 + 𝑐2 ⟹ 4𝑐2 − 𝑐2 = 36 ⟹ 3𝑐2 = 36 𝑐2 = 12 ⟹ 𝑎2 = 4(12) = 48 ( ‫في‬ ‫بالتعويض‬ 1 ) ∴ 𝑥2 48 + 𝑦2 36 = 1 2 ) ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ ∴ 𝑥2 36 + 𝑦2 48 = 1 e ) = ‫بؤرتيه‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ 8 = ‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫ونصف‬ ‫وحدات‬ 3 .‫وحدات‬ : ‫احتماالن‬ ‫يوجد‬ ‫اذا‬ , ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫الحل‬ 1 ) ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ 2𝑐 = 8 ⟹ 𝑐 = 4 ⟹ 𝑐2 = 16 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ 𝑏 = 3 ⟹ 𝑏2 = 9 ‫يساوي‬ ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫نصف‬ 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ⟹ 𝑎2 = 9 + 16 = 25 ∴ 𝑥2 25 + 𝑦2 9 = 1
  • 57. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 18 2 ) ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ ∴ 𝑥2 9 + 𝑦2 25 = 1 =================================================== ‫تمرين‬ 3 : :‫علم‬ ‫اذا‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬ ‫النقطتان‬ ‫بؤرتاه‬ .‫أ‬ (𝟎, ±𝟐) ‫النقطتان‬ ‫ورأساه‬ (𝟎, ±𝟑) .‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬ 𝑭𝟏(𝟎, 𝟐), 𝑭𝟐(𝟎, −𝟐) ‫البؤرتان‬ 𝑽𝟏(𝟎, 𝟑), 𝑽𝟐(𝟎, −𝟑) ‫الرأسان‬ 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 = 2(3) = 6 √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 2)2 + √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 + 2)2 = 6 √𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 6 − √𝑥2 + (𝑦 + 2)2 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 𝑥2 + (𝑦 + 2)2 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 −4𝑦 = 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 4𝑦 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 36 + 8𝑦 ÷ 4 3√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 9 + 2𝑦 9(𝑥2 + (𝑦 + 2)2) = 81 + 36𝑦 + 4𝑦2 ⟹ 9𝑥2 + 9𝑦2 + 36𝑦 + 36 = 81 + 36𝑦 + 4𝑦2 ⟹ 9𝑥2 + 9𝑦2 − 4𝑦2 = 81 − 36 ⟹ 9𝑥2 + 5𝑦 2 = 45 ÷ 45 ∴ 𝑥2 5 + 𝑦2 9 = 1
  • 58. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 19 = ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ )‫ب‬ 6 ‫الثابت‬ ‫والعدد‬ ‫وحدات‬ 10 ‫ومركزه‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫والبؤرتان‬ . ‫االصل‬ ‫نقطة‬ 2𝑐 = 6 ⟹ 𝑐 = 3 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ 2𝑎 = 10 ⟹ 𝑎 = 5 = ‫الثابت‬ ‫العدد‬ 10 𝐹1(−3,0), 𝐹2(3,0) ‫البؤرتان‬ 𝑉1(−5,0), 𝑉2(5,0) ‫الرأسان‬ 𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 = 10 √(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 0)2 + √(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 0)2 = 10 √(𝑥 + 3)2 + 𝑦2 = 10 − √(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 (𝑥 + 3)2 + 𝑦2 = 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 + (𝑥 − 3)2 + 𝑦2 𝑥2 + 6𝑥 + 9 + 𝑦2 = 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 + 𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 6𝑥 = 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 − 6𝑥 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 100 − 12𝑥 ÷ 4 5√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 25 − 3𝑥 25((𝑥 − 3)2 + 𝑦2) = 625 − 150𝑥 + 9𝑥2 ⟹ 25𝑥2 − 9𝑥2 − 150𝑥 + 225 + 25𝑦2 = 625 − 150𝑥 ⟹ 16𝑥2 + 25𝑦2 = 625 − 225 ⟹ 16𝑥2 + 25𝑦 2 = 400 ÷ 400 ∴ 𝑥2 25 + 𝑦2 16 = 1 ========================================================== ‫تمرين‬ 4 : ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫معادلته‬ ‫الذي‬ 𝒚𝟐 + 𝟖𝒙 = 𝟎 ‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ان‬ ‫علما‬ (𝟐√𝟑, √𝟑) . 𝑦2 + 8𝑥 = 0 ⟹ 𝑦2 = −8𝑥 𝑦2 = −8𝑥 ❖ . ‫بالقياسية‬ ‫مقارنتها‬ ‫ثم‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المعطاة‬ ‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫اوال‬ ‫نجد‬ ❖ ‫النقطة‬ ‫ومنها‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫نحدد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬ c ‫رقم‬ ‫معادلة‬ ‫ونكون‬ 1 .
  • 59. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 20 𝑦2 = −4𝑝𝑥 −4𝑝𝑥 = −8𝑥 ⟹ 4𝑝 = 8 ⟹ 𝑝 = 2 ⟹ 𝐹(−2,0) 𝐹1(−2,0), 𝐹2(2,0) ⟹ 𝑐 = 2, 𝑐2 = 4 𝑎2 = 𝑏2 + 4 …. (1) (2√3, √3) ⟹ (2√3) 2 𝑎2 + (√3) 2 𝑏2 = 1 ⟹ 12 𝑎2 + 3 𝑏2 = 1 × (𝑎2 𝑏2 ) 12𝑏2 + 3𝑎2 = 𝑎2 𝑏2 … (2) 12𝑏2 + 3(𝑏2 + 4) = (𝑏2 + 4)𝑏2 12𝑏2 + 3𝑏2 + 12 = 𝑏4 + 4𝑏2 ⟹ 𝑏4 − 11𝑏2 − 12 = 0 (𝑏2 − 12)(𝑏2 + 1) = 0 ⟹ 𝑏2 = −1 𝑜𝑟 𝑏2 = 12 ∴ 𝑎2 = 12 + 4 = 16 ∴ 𝑥2 16 + 𝑦2 12 = 1 =================================================== ‫تمرين‬ 5 : ‫جد‬ ‫معادلة‬ ‫القطع‬ ‫الناقص‬ ‫الذي‬ ‫مركزه‬ ‫نقطة‬ ‫االصل‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫على‬ ‫محور‬ ‫السينات‬ ‫ويمر‬ ‫بالنقطتين‬ (𝟑, 𝟒), (𝟔, 𝟐) . (3)2 𝑎2 + (4)2 𝑏2 = 1 ⟹ 9 𝑎2 + 16 𝑏2 = 1 … (1) (6)2 𝑎2 + (2)2 𝑏2 = 1 ⟹ 36 𝑎2 + 4 𝑏2 = 1 … (2) 36 𝑎2 + 64 𝑏2 = 4 − 36 𝑎2 ∓ 4 𝑏2 = −1 60 𝑏2 = 3 ⟹ 𝑏2 = 60 3 = 20 ( ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫بالتعويض‬ 1 ) ❖ ‫بالنقطين‬ ‫يمر‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ان‬ ‫بما‬ (𝟑, 𝟒), (𝟔, 𝟐) ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضهما‬ ‫معادلته‬ ‫تحققان‬ ‫فهما‬ ‫اذا‬ , ‫قيم‬ ‫اليجاد‬ ‫الناقص‬ a , b . × 4
  • 60. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 21 9 𝑎2 + 16 20 = 1 ⟹ 9 𝑎2 + 4 5 = 1 ⟹ 9 𝑎2 = − 4 5 + 1 ⟹ 9 𝑎2 = 1 5 ⟹ 𝑎2 = 45 𝑥2 45 + 𝑦2 20 = 1 ‫تمرين‬ 6 : ‫جد‬ ‫معادلة‬ ‫القطع‬ ‫الناقص‬ ‫الذي‬ ‫مركزه‬ ‫نقطة‬ ‫االصل‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫نقطتا‬ ‫تقاطع‬ ‫المنحني‬ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝟏𝟔 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ويمس‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ 𝒚𝟐 = 𝟏𝟐𝒙 . /‫الحل‬ ‫نعوض‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫المنحني‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫اليجاد‬ x=0 ‫ونجد‬ y . 𝑥 = 0 ⟹ (0)2 + 𝑦2 − 3(0) = 16 ⟹ 𝑦2 = 16 ⟹ 𝑦 = ±4 (𝟎, 𝟒), (𝟎, −𝟒) ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ⟹ 𝑐 = 4 ‫التقاطع‬ ‫نقطتي‬ ‫هما‬ ‫البؤرتان‬ 𝑦2 = 12𝑥 𝑦2 = 4𝑝𝑥 ⟹ 4𝑝𝑥 = 12𝑥 ⟹ 4𝑝 = 12 ⟹ 𝑝 = 3 ⟹ 𝑥 = −3 ⟹ (−3,0) ⟹ (3,0), (−3,0) ‫هما‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫قطبا‬ ‫اذا‬ , ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫يمس‬ ⟹ 𝑏 = 3, 𝑏 2 = 9 𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2 = 16 + 9 = 25 𝑥2 9 + 𝑦2 25 = 1 ‫تمرين‬ 7 : ‫جد‬ ‫معادلة‬ ‫القطع‬ ‫الناقص‬ ‫الذي‬ ‫بؤرتاه‬ ‫تنتميان‬ ‫الى‬ ‫محور‬ ‫السينات‬ ‫ومركزه‬ ‫في‬ ‫نقطة‬ ‫االصل‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫الكبير‬ ‫ضعف‬ ‫طول‬ ‫محوره‬ ‫الصغير‬ ‫ويقطع‬ ‫القطع‬ ‫المكافئ‬ 𝒚𝟐 + 𝟖𝒙 = 𝟎 ‫عند‬ ‫النقطة‬ ‫التي‬ = ‫السيني‬ ‫احداثيها‬ -2 . /‫الحل‬ ‫النقطة‬ ‫نعوض‬ 2 - x= . ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫اليجاد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ 𝑦2 + 8𝑥 = 0 ⟹ 𝑦2 + 8(−2) = 0 ⟹ 𝑦2 − 16 = 0 ⟹ 𝑦2 = 16 ⟹ 𝑦 = ±4 2𝑎 = 2(2𝑏) ‫اذا‬ , ‫الصغير‬ ‫ضعف‬ = ‫الكبير‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ = 4𝑏 ⟹ 𝑎 = 2𝑏 ⟹ 𝑎2 = 4𝑏2 … (1)
  • 61. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 22 𝑥 = −2, 𝑦 = 4 ( ‫في‬ ‫التعويض‬ ‫ثم‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضهما‬ 1 ) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 ⟹ (−2)2 𝑎2 + (4)2 𝑏2 = 1 ⟹ 4 4𝑏2 + 16 𝑏2 = 1 ⟹ 1 𝑏2 + 16 𝑏2 = 1 ⟹ 17 𝑏 2 = 1 ⟹ 𝑏 2 = 17 𝑎2 = 4(17) = 68 𝑥2 68 + 𝑦2 17 = 1 =================================================== ‫تمرين‬ 8 : ‫معادلته‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬ 𝒉𝒙𝟐 + 𝒌𝒚𝟐 = 𝟑𝟔 ‫يساوي‬ ‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫مربعي‬ ‫ومجموع‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬ 60 ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ ‫وحدة‬ 𝒚𝟐 = 𝟒√𝟑𝒙 ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫ما‬ . h,k ‫؟‬ :‫الحل‬ ℎ𝑥2 + 𝑘𝑦2 = 36 ⟹ 𝑥2 36 ℎ + 𝑦2 36 𝑘 = 1 ⟹ 𝑎2 = 36 ℎ , 𝑏2 = 36 𝑘 𝑦2 = 4√3𝑥 𝑦2 = 4𝑝𝑥 4𝑝 = 4√3 ⟹ 𝑝 = √3 𝑂(0, √3) 𝐹1(0, √3), 𝐹2(0, −√3) ⟹ 𝑐 = √3 ⟹ 𝑐2 = 3 (2𝑎)2 + (2𝑏)2 = 60 ⟹ 4𝑎2 + 4𝑏2 = 60 ⟹ 𝑎2 + 𝑏2 = 15 … (1) 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑐2 ⟹ 𝑎2 − 𝑏2 = 3 … (2) 𝑎2 + 𝑏2 = 15 … (1) 𝑎2 − 𝑏2 = 3 … (2) 2𝑎2 = 18 ⟹ 𝑎2 = 9 𝑏2 = 15 − 𝑎2 = 15 − 9 = 6
  • 62. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 23 𝑎2 = 36 ℎ ⟹ ℎ = 36 𝑎2 = 36 9 = 4 𝑏2 = 36 𝑘 ⟹ 𝑘 = 36 𝑏2 = 36 6 = 6 =================================================== ‫تمرين‬ 9 : ‫جد‬ ‫معادلة‬ ‫القطع‬ ‫الناقص‬ ‫الذي‬ ‫مركزه‬ ‫نقطة‬ ‫االصل‬ ‫واحدى‬ ‫بؤرتيه‬ ‫هي‬ ‫بؤرة‬ ‫القطع‬ ‫المكافئ‬ 𝒙𝟐 = 𝟐𝟒𝒚 ‫ومجموع‬ ‫طولي‬ ‫محوريه‬ ( 36 ) ‫وحدة‬ . /‫الحل‬ 𝑥2 = 24𝑦 𝑥2 = 4𝑝𝑦 4𝑝𝑦 = 24𝑦 ⟹ 4𝑝 = 24 ⟹ 𝑝 = 6 ⟹ 𝐹(0, −6) 𝐹1(0,6), 𝐹2(0, −6) ⟹ 𝑐 = 6, 𝑐2 = 36 𝑎2 = 𝑏2 + 36 …. (1) 2𝑎 + 2𝑏 = 36 ⟹ 𝑎 + 𝑏 = 18 ⟹ 𝑎 = 18 − 𝑏 … (2) ‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫مجموع‬ (18 − 𝑏)2 = 𝑏2 + 36 ⟹ 324 − 36𝑏 + 𝑏2 − 𝑏2 = 36 ( ‫نعوض‬ 1 (‫في‬ ) 2 ) ⟹ 324 − 36 = 36𝑏 ⟹ 36𝑏 = 288 ⟹ 𝑏 = 288 36 = 8 ⟹ 𝑏 2 = 64 𝑎2 = 𝑏2 + 36 ⟹ 𝑎2 = 64 + 36 ⟹ 𝑎2 = 100 𝑥2 64 + 𝑦2 100 = 1 ❖ ‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫اوال‬ ‫نجد‬ . ‫بالقياسية‬ ‫مقارنتها‬ ‫ثم‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المعطاة‬ ❖ ‫النقطة‬ ‫ومنها‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫نحدد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬ c ‫رقم‬ ‫معادلة‬ ‫ونكون‬ 1 .
  • 63. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 24 ‫تمرين‬ 10 : ‫بؤرتيه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ 𝑭𝟏(𝟒, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟒, 𝟎) ‫والنقطة‬ P ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬ ‫المثلث‬ ‫محيط‬ ‫ان‬ ‫بحيث‬ 𝑷𝑭𝟏𝑭𝟐 ‫يساوي‬ 24 . ‫وحدة‬ Sol 𝐹1(4,0), 𝐹2(−4,0) ⟹ 𝑐 = 4 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 + 𝐹1𝐹2 = 24 … (1) 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎, ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ 2𝑎 + 2𝑐 = 24 ⟹ 𝑎 + 𝑐 = 12 ⟹ 𝑎 + 4 = 12 ⟹ 𝑎 = 12 − 4 = 8 ⟹ 𝑎2 = 64 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 ⟹ 𝑏2 = 64 − 16 = 48 𝑥2 64 + 𝑦2 48 = 1
  • 64. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 25 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ : ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫حسب‬ ‫حالتان‬ ‫وله‬ ❖ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫البؤرتان‬ : ‫األولى‬ ‫الحالة‬ 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ 𝐹1(𝑐, 0), 𝐹2(−𝑐, 0) ‫البؤرتان‬ 𝑉1(𝑎, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) ‫الرأسان‬ 𝑀1(0, 𝑏), 𝑀2(0, −𝑏) ‫القطبان‬ 2𝑐 = 𝐹1𝐹2 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 =========================================================== ❖ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫البؤرتان‬ : ‫الثانية‬ ‫الحالة‬ ‫الصادات‬ 𝑦2 𝑎2 − 𝑥2 𝑏2 = 1 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ 𝐹1(0, 𝑐), 𝐹2(0, −𝑐) ‫البؤرتان‬ 𝑉1(0, 𝑎), 𝑉2(0, −𝑎) ‫الرأسان‬ 𝑀1(𝑏, 0), 𝑀2(−𝑏, 0) ‫القطبان‬ 2𝑐 = 𝐹1𝐹2 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑒 = 𝑐 𝑎 > 1 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ 2𝑎 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 2𝑏 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫مثال‬ 1 ‫الزائد‬ ‫للقطع‬ ‫والمرافق‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وطول‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫عين‬ : 𝒙𝟐 𝟔𝟒 − 𝒚𝟐 𝟑𝟔 = 𝟏 ‫ارسمه‬ ‫ثم‬ .
  • 65. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 26 Sol ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬ 𝑥2 64 − 𝑦2 36 = 1 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 64 ⟹ 𝑎 = 8, 𝑏2 = 36 ⟹ 𝑏 = 6 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √64 + 36 = √100 = 10 𝐹1(10,0), 𝐹2(−10,0) ‫البؤرتان‬ 𝑉1(8,0), 𝑉2(−8,0) ‫الرأسان‬ 2𝑎 = 2(8) = 16 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 2𝑏 = 2(6) = 12 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ =========================================================== ‫مثال‬ 2 : = ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ 6 = ‫المركزي‬ ‫واالختالف‬ ‫وحدات‬ 2 . ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫والبؤرتان‬ 2𝑎 = 6 ⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2 = 9 = ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ 6 𝑒 = 𝑐 𝑎 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ ‫قانون‬ ‫باستخدام‬ ⟹ 2 = 𝑐 3 ⟹ 𝑐 = 2(3) = 6 ⟹ 𝑐2 = 36 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 ⟹ 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 = 36 − 9 = 27 𝑥2 9 − 𝑦2 27 = 1
  • 66. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 27 ‫مثال‬ 3 : ‫المرافقة‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ 4 ‫النقطتان‬ ‫هما‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫وحدات‬ 𝑭𝟏(𝟎, √𝟖), 𝑭𝟐(𝟎, −√𝟖) . Sol 2𝑏 = 4 ⟹ 𝑏 = 2 ⟹ 𝑏2 = 4 ‫المرافق‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ‫ان‬ ‫بما‬ 4 ‫اذا‬ , ‫وحدات‬ 𝐹1(0, √8), 𝐹2(0, −√8) ⟹ 𝑐 = √8 ⟹ 𝑐2 = 8 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 ⟹ 𝑎2 = 𝑐2 − 𝑏2 = 8 − 4 = 4 𝒚𝟐 𝟒 − 𝒙𝟐 𝟒 = 𝟏 =========================================================== ‫تمرين‬ 1 : ‫عين‬ ‫كل‬ ‫من‬ ‫البؤرتين‬ ‫والرأسين‬ ‫ثم‬ ‫جد‬ ‫طول‬ ‫كل‬ ‫من‬ ‫المحورين‬ ‫واالختالف‬ ‫المركزي‬ ‫للقطوع‬ ‫االتية‬ ‫الزائدة‬ : a) 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒚𝟐 = 𝟒𝟖 Sol 12𝑥2 − 4𝑦2 = 48 ÷ 48 𝑥2 4 − 𝑦2 12 = 1 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 4 ⟹ 𝑎 = 2 ⟹ 2𝑎 = 2(2) = 4 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 𝑏2 = 12 ⟹ 𝑏 = √12 ⟹ 2𝑏 = 2(√12) = 2√12 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √12 + 4 = √16 = 4 𝐹1(4,0), 𝐹2(−4,0) ‫البؤرتان‬ 𝑉1(2,0), 𝑉2(−2,0) ‫الرأسان‬ 𝑒 = 𝑐 𝑎 = 4 2 = 2 > 1 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ b) 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝒚𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 16𝑥2 − 9𝑦2 = 144 ÷ 144
  • 67. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 28 𝑥2 9 − 𝑦2 16 = 1 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 9 ⟹ 𝑎 = 3, 2𝑎 = 2(3) = 6 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 𝑏2 = 16 ⟹ 𝑏 = √16 ⟹ 𝑏 = 4, 2𝑏 = 2(4) = 8 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √9 + 16 = √25 = 5 =========================================================== ‫تمرين‬ 2 : ‫اكتب‬ ‫معادلة‬ ‫القطع‬ ‫الزائد‬ ‫في‬ ‫الحاالت‬ ‫االتية‬ ‫ثم‬ ‫ارسم‬ ‫القطع‬ : ‫أ‬ . ‫النقطتان‬ ‫هما‬ ‫البؤرتان‬ (±𝟓, 𝟎) ‫عند‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫ويتقاطع‬ 𝒙 = ±𝟑 . ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬ /‫الحل‬ 𝐹1(5,0), 𝐹2(−5,0) : ‫هما‬ ‫البؤرتان‬ ‫اذا‬ 𝑉1(3,0), 𝑉2(−3,0) ‫القطع‬ ‫رأسي‬ ‫هما‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطتي‬ 𝐹1(5,0), 𝐹2(−5,0) ⟹ 𝑐 = 5 ⟹ 𝑐2 = 25 𝑉1(3,0), 𝑉2(−3,0) ⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2 = 9 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 = 25 − 9 = 16 𝑥2 9 − 𝑦2 16 = 1 ‫ب‬ . ‫طول‬ ‫محوره‬ ‫الحقيقي‬ ( 12 ) ‫وحدة‬ ‫وطول‬ ‫محوره‬ ‫المرافق‬ ( 10 ) ‫وحدات‬ ‫وينطبق‬ ‫محوراه‬ ‫على‬ ‫المحورين‬ ‫االحداثيين‬ ‫ومركزه‬ ‫نقطة‬ ‫االصل‬ . /‫الحل‬ 2𝑎 = 12 ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2 = 36 ⟹ 𝑉1(6,0), 𝑉2(−6,0) 2𝑏 = 10 ‫المرافق‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ⟹ 𝑏 = 5 ⟹ 𝑏2 = 25
  • 68. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 29 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √36 + 25 = √61 ⟹ 𝐹1(√61, 0), 𝐹2(−√61, 0) ‫البؤرتان‬ :‫احتمالين‬ ‫فناخذ‬ ‫البؤرتان‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬ ** ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ :ً‫ال‬‫او‬ 𝑥2 36 − 𝑦2 25 = 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ :ً‫ا‬‫ثاني‬ 𝑦2 36 − 𝑥2 25 = 1 ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 69. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 30 .‫جـ‬ ‫مركزه‬ ‫نقطة‬ ‫االصل‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫على‬ ‫محور‬ ‫الصادات‬ ‫وطول‬ ‫محوره‬ ‫المرافق‬ 𝟐√𝟐 ‫المركزي‬ ‫واختالفه‬ ‫وحدة‬ = 3 . /‫الحل‬ 2𝑏 = 2√2 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ⟹ 𝑏 = √2 ⟹ 𝑏2 = 2 𝑒 = 𝑐 𝑎 ⟹ 3 = 𝑐 𝑎 ⟹ 𝑐 = 3𝑎 … (1) 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 ⟹ 9𝑎2 = 𝑎2 + 2 ⟹ 9𝑎2 − 𝑎2 = 2 ⟹ 8𝑎2 = 2 ⟹ 𝑎2 = 1 4 ⟹ 𝑎 = 1 2 ⟹ 𝑐 = 3𝑎 = 3 ( 1 2 ) = 3 2 ⟹ 𝑉1 (0, 1 2 ) , 𝑉2 (0, − 1 2 ) ‫الرأسان‬ ⟹ 𝐹1 (0, 3 2 ) , 𝐹2 (0, − 3 2 ) ‫البؤرتان‬ ⟹ 𝑦2 1 4 − 𝑥2 2 = 1 ========================================================== ‫تمرين‬ 3 : ‫جد‬ ‫باستخدام‬ ‫تعريف‬ ‫معادلة‬ ‫القطع‬ ‫الزائد‬ ‫الذي‬ ‫مركزه‬ ‫نقطة‬ ‫االصل‬ ‫وبؤرتيه‬ 𝑭𝟏(𝟐√𝟐, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟐√𝟐, 𝟎) ‫للفرق‬ ‫المطلقة‬ ‫والقيمة‬ ‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫على‬ ‫محوراه‬ ‫وينطبق‬ ‫يساوي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫عن‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫بعدي‬ ‫بين‬ 4 . ‫وحدات‬ 𝐹1(2√2, 0), 𝐹2(−2√2, 0) ⟹ 𝑐 = 2√2 ⟹ 𝑐2 = 4(2) = 8 |𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2| = 4 ‫بؤرتيه‬ ‫عن‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫بعدي‬ ‫بين‬ ‫للفرق‬ ‫المطلقة‬ ‫القيمة‬
  • 70. Ө ‫الدكتور‬ ‫أنس‬ ‫ذياب‬ ‫الجبوري‬ ‫للسادس‬ ‫الرياضيات‬ ‫العلم‬ 31 √(𝑥 − 2√2)2 + (𝑦 − 0)2 − √(𝑥 + 2√2) 2 + (𝑦 − 0)2 = ±4 √(𝑥 − 2√2)2 + (𝑦 − 0)2 − √(𝑥 + 2√2) 2 + (𝑦 − 0)2 = ±4 √(𝑥 − 2√2)2 + 𝑦2 = ±4 + √(𝑥 + 2√2) 2 + 𝑦2 (𝑥 − 2√2)2 + 𝑦2 = 16 ± 8√(𝑥 + 2√2) 2 + 𝑦2 + (𝑥 + 2√2) 2 + 𝑦2 𝑥2 − 4√2𝑥 + 8 + 𝑦2 = 16 ± 8√(𝑥 + 2√2) 2 + 𝑦2 + 𝑥2 + 4√2𝑥 + 8 + 𝑦2 −8√2𝑥 = 16 ± 8√(𝑥 + 2√2) 2 + 𝑦2 ÷ 8 −√2𝑥 − 2 = ±√(𝑥 + 2√2) 2 + 𝑦2 2𝑥2 + 2√2𝑥 + 4 = 𝑥2 + 2√2𝑥 + 8 + 𝑦2 2𝑥2 − 𝑥2 = 𝑦2 + 8 − 4 ⟹ 𝑥2 − 𝑦2 = 4 ÷ 4 𝑥2 4 − 𝑦2 4 = 1 ‫تمرين‬ 4 : ‫قطع‬ ‫زائد‬ ‫طول‬ ‫محوره‬ ‫الحقيقي‬ ( 6) ‫وحدات‬ ‫واحدى‬ ‫بؤرتيه‬ ‫هي‬ ‫بؤرة‬ ‫القطع‬ ‫المكافئ‬ ‫الذي‬ ‫رأسه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ويمر‬ ‫بالنقطتين‬ (1, ±2√5) ‫جد‬ ‫معادلتي‬ ‫القطع‬ ‫المكافئ‬ ‫الذي‬ ‫رأسه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والقطع‬ ‫الزائد‬ ‫الذي‬ ‫مركزه‬ ‫نقطة‬ .‫االصل‬ 2𝑎 = 6 ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2 = 9 (1, ±2√5) ‫معادلته‬ ‫تحققان‬ ‫النقطتين‬ ‫اذا‬ , ‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫ان‬ ‫بما‬ (2√5) 2 = 4𝑝(1) ⟹ 20 = 4𝑝 ⟹ 𝑝 = 5