1. CAPITULO
3
RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS
Notas de Aula:
Prof. Gilfran Milfont
Torção
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e
gráficos contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros:
-RESISTÊNCIA DOS MATERIAISBeer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw
Hill-4ª edição-2006
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição2004
-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James
M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel
C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,
Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Momento Torçor em Eixos Circulares
• O sistema da figura é composto de
um gerador e uma turbina,
interligados por um eixo.
• A turbina exerce um torque T no eixo.
• O eixo transmite o torque para o
gerador e o gerador cria um torque
igual e contrário T’, chamado
Momento Torçor.
• Efeitos da torção :
- Dá origem a tensões de cisalhamento nas diversas seções tranversais do eixo;
- Produz um deslocamento angular de uma seção transversal em relação à outra.
1-2
1
2. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Torque Interno
• A resultante das tensões de cisalhamento,
geram um torque interno igual e oposto ao
torque externo aplicado,
T dF dA
• Embora a resultante do torque devido às tensões
de cisalhamento seja conhecida, a distribuição
das tensões ainda não o é.
• A determinação da distribuição das tensões de
cisalhamento é estaticamente indeterminada,
deve-se considerar as deformações do eixo para
a sua solução.
• Diferentemente da distribuição das tensões
normais devido à cargas axiais, a distribuição das
tensões de cisalhamento devido ao torque não
pode ser considerada uniforme.
1-3
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Componentes das Tensões de Cisalhamento
• O torque aplicado na barra circular
produz tensões de cisalhamento nas faces
perpendiculares ao eixo axial.
• As condições de equilíbrio requerem a
existência de tensões iguais nas faces dos dois
planos que contêm o eixo da barra.
• A existência destas tensões pode ser
demonstrada, considerando que a barra é feita
de tiras axiais, conforme figura ao lado.
1-4
2
3. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Cisalhamento na Torção
• Considere um elemento no interior de uma seção de
um eixo, submetido a um torque T.
• Desde que a extremidade do elemento permanece
plana, a deformação de cisalhamento é proporcional
ao ângulo de torção.
Lg f ou g
• Temos então:
f
g máx c e
L
• Logo:
g
c
f
L
g máx
Pela lei de Hooke para o cisalhamento:
g G
f
L
1-5
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Cisalhamento na Torção – cont.
Logo, se:
0 0
c máx
Encontramos então, a seguinte relação:
Onde : J 2 dA
máx
máx
c
c
• Como a soma dos momentos internos causados pela
tensão de cisalhamento deve ser igual ao torque
externo,
T dA
máx 2
dA máx J
c
c
• Ficamos então com:
máx
Tc
J
e
T
J
1-6
3
4. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Momento Polar de Inércia
a) Eixos Circulares Cheios:
J 2 dA
A 2 dA 2 d
c
J 2 .2 d
0
c 4
2
ou
J 1 c4
2
J
D 4
32
b) Eixos Circulares Vazados:
4
4
J 1 c2 c1
2
4
4
J 1 c2 c1
2
ou
J
32
( De4 Di4 )
1-7
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformação do Eixo – Ângulo de Torção
• Quando submetido a torção, o eixo circular
permanece com a sua seção tranversal plana e
sem distorção.
• A seção transversal de barras não circulares
submetidas a torção são distorcidas, devidas a
falta de axisimetria.
• Verifica-se que o ângulo de torção no eixo, é
proporcional ao torque aplicado e ao
comprimento do eixo.
f T
fL
1-8
4
5. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Ângulo de Torção
• Sabemos que o ângulo de torção e a deformação
de cisalhamento estão relacionadas por:
cf
g máx
L
• Pela lei de Hooke para o cisalhamento:
g máx
máx
G
Tc
JG
• Igualando as equações e resolvendo para o
ângulo de torção, encontramos:
f
TL
JG
• Se o torque, a seção, o material ou o
comprimento variam ao longo do eixo:
f
i
Ti Li
J i Gi
1-9
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.1
O eixo BC é ôco com diâmetro interno de
90mm e diâmetro externo de 120mm. Os
eixos AB e CD são cheios e de diâmetro d.
Para o carregamento mostrado, determine:
(a) as tensões de cisalhamento minima e
máxima no eixo BC,
(b) o diâmetro d necessário para os eixos
AB e CD, se a tensão admissível ao
cisalhamento para o material do eixo é de
65 MPa.
1 - 10
5
6. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.1
SOLUÇÃO:
• Corte o eixo através de AB e BC e
aplique as equações de equilíbrio para
encontrar os torques internos:
M x 0 6 kN m TAB
M x 0 6 kN m 14 kN m TBC
TAB 6 kN m TCD
TBC 20 kN m
1 - 11
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.1
• Para o eixo BC, temos:
J
2
• Para os eixos AB e BC, temos:
c24 c14 0.0604 0.0454
2
max
13.92 10 6 m 4
max 2
Tc
Tc
J c4
2
TBC c2 20 kN m 0.060 m
J
13.92 10 6 m 4
65MPa
6 kN m
c3
2
3
c 38.9 10 m
d 2c 77.8 mm
86.2 MPa
min c1
max c2
min
86.2 MPa
min 64.7 MPa
45 mm
60 mm
max 86.2 MPa
min 64.7 MPa
1 - 12
6
7. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.2
Que valor de momento de torção deve ser
aplicado à extremidade do eixo circular da
figura, de modo a produzir um ângulo de torção
de 20? Adotar G=80 GPa.
SOLUÇÃO:
LOGO:
TL
GJ
T
GJ
L
2
34,9 10 3 rad
180
J
32
80 109 1,02110 6
34,9 10 3
1,5
T 1,9 KN .m
T
( De4 Di4 ) 1,02110 6 m 4
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.3
Calcular, para o eixo da figura, o valor do
ângulo de torção que provoca uma tensão de
cisalhamento de 70 MPa na face interna do
eixo. Adotar G=80 GPa.
SOLUÇÃO:
A distribuição das tensões no
eixo se dá como abaixo:
LOGO:
g min
min
G
L g min
ri
70 106
875 10 6 rad
9
80 10
1500mm
875 10 6 rad
20mm
65,6 10 3 rad 3,760
1 - 14
7
8. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.4
Dois eixos sólidos de aço são
conectados
por
engrenagens.
Sabendo que o material dos eixos tem
G = 77,2 GPa e tensão admissível ao
cisalhamento de 55 MPa, determine:
900mm
25mm
(a) o torque máximo T0 que pode ser
aplicado em A,
19mm
(b) o correspondente ângulo de
torção em A.
650mm
62mm
22mm
1 - 15
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.4
SOLUÇÃO:
• Aplique a equação de equilíbrio da
estática
para
as
engrenagens,
encontrando a relação entre TCD e T0
62mm
22mm
M B 0 F 22mm T0
M C 0 F 62mm TCD
TCD 2.82 T 0
• Aplique a analise cinemática para as
engrenagens, encontrando a relação
entre as suas rotações
22mm
62mm
rBf B rCfC
f B rC fC
rB
62mm.
22mm.
fC
f B 2.82 fC
1 - 16
8
9. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.4
• Encontre T0 permitido em função • Encontre o correspondente ângulo de torção
de cada eixo e escolha o menor:
para cada eixo e a rotação da extremidade A
9,5mm
0,65m
12,5mm
f A / B TAB L
0,9m
J ABG
max TAB x c
J AB
59,84 N.m0,6m
0,0095m4 77,2 109 Pa
2
0.394 rad 2.26o
T 0,0095
55MPa 0
=>T0 74,07N.m
0,0095 4
2
2,82 59,84
fC / D TCD L
J CDG
max TCD c
J CD
2.8 T 0,0125
=>T 0 59,84N.m
55Mpa 0
0,0125 4
2
T0 59,84 N.m
0,9 m
0,0125 4 109Pa
77,2
2
0.513 rad 2,94o
.
f B 2,82fC 2,82 2,94o 8,28o
f A f B f A / B 8,28o 2,26o
.
f A 10,54o
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tensões em Planos Ortogonais ao Eixo
• Elementos com faces perpendiculares e
paralelas ao eixo axial, estão submetidas a
cisalhamento puro. Tensões normais e tensões
de cisalhamento são encontradas para outras
orientações.
• Considere um elemento a 45o do eixo axial,
F 2 máx A0 cos 45 máx A0 2
45
o
F máx A0 2
máx
A
A0 2
• Elemento a está sob cisalhamento puro.
• Elemento c está submetido a tração em duas
de suas faces e a compressão nas outras duas.
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10. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Falhas Sob Torção
• Materiais
dúcteis
geralmente
falham por cisalhamento. Materiais
frágeis são mais suceptiveis a falhas
por
tensão
normal.
• Quando submetidos a torção, os
materiais dúcteis rompem no plano
onde
ocorre
a
tensão
de
cisalhamento máxima, isto é, o
plano perpendicular ao eixo axial.
• Quando submetidos a torção, os
materiais frágeis ropem em um
plano que forma 45o com eixo axial,
isto é, o plano onde ocorre a tensão
normal máxima.
1 - 19
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Eixos Estaticamente Indeterminados
• São aqueles, onde o número de incógnitas a
encontrar é maior que o número de equações da
estática aplicáveis.
• Ex: Dado o eixo da figura, desejamos determinar
os torque reativos em A e B.
• Da análise do diagrama de corpo livre do eixo:
TA TB T
• Dividindo o eixo em duas partes, as quais
precisam ter compatibilidade de deformações,
f f1 f2
TA L1 TB L2
0
J1G J 2G
LJ
TB 1 2 TA
L2 J1
• Substituindo na equação de equilíbrio,
LJ
T A 1 2 TA T
L2 J1
TA
L2 J1
T
L2 J1 L1 J 2
e
TB
L1 J 2
T
L2 J1 L1 J 2
1 - 20
10
11. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Projeto de Eixos de Transmissão
• O projeto de eixos de • A seção do eixo é encontrada,
transmissão (árvores) baseia-se
igualando-se a tensão máxima à tensão
na Potência transmitida e na
admissível do material,
Velocidade de rotação do eixo
máx Tc
J
J 3
• O projetista precisa selecionar o
material
e
calcular
adequadamente a seção do eixo,
sem que exceda a tensão
admisível do material e o ângulo
de torção máximo permitido para
a aplicação.
• O torque aplicado é uma função
da potência e da velocidade de
rotação,
P T 2fT
T
P
c
2
c
T
máx
Eixo cheio
4 4
J
T
c2 c1
máx
c2 2c2
Eixo ôco
• O ângulo de torção deve ser
verificado pela expressão:
f
P
2f
TL
JG
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Concentração de Tensões
• A equação da tensão de cisalhamento,
Tc
máx
J
supõe a seção circular uniforme, sem
descontinuidades.
• A utilização de acoplamentos, engrenagens,
polias, etc., acopladas através de chavetas,
ou no caso de descontinuidades na seção,
causam concentrações de tensão.
• Nestes casos, deve-se multiplicar a
tensão pelo fator de concentração de
tensões:
Tc
máx K
J
• Para eixos com rasgo para chavetas:
K=1,25
1 - 22
11
12. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformações Plásticas Em Eixos
max
• Na região elástica do material:
Tc
J
• Se a tensão de escoamento é atingida ou se o material
tem uma cuva tensão-deformação não linear (material
frágil), a expressão anterior não pode ser usada.
g
c
g máx
• A deformação de cisalhamento γ varia linearmente
com a distância ρ ao centro da seção, independente
das propriedades do material. Podemos então,
continuar utilizando a relação:
• A integral do momento causado pela distribuição
interna das tensões de cisalhamento é igual ao torque
externo aplicado,
T dF . .dA.
A
A
c
c
0
0
T 2 d 2 2 d
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Eixos de Material Elastoplástico
• O máximo torque elástico é:
TY
Y
Material Elastoplástico
J
Y 1 c3 Y
2
c
Lg Y
fY
f
e
Lg Y
c
• A medida que o torque aumenta, uma região plástica
Y )
( Y ) se desenvolve no eixo, com (
Y
T
2 c 3
Y
3
3
1 1 Y
4
c3
f3
T 4 TY 1 1 Y
3
4
f3
3
4 TY 1 1 Y
3
4
c3
• Se Y 0, o torque atinge o seu valor
máximo, TP 4 TY torque plástico
3
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13. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tensões Residuais
• Uma região plástica é desenvolvida em um eixo, quando
submetido a um torque suficientemente grande.
• Quando o torque é removido, a redução da tensão e da
deformação se dá ao longo de uma linha reta, paralela a
reta inicial do carregamento.
• Na curva T-f , o eixo é descarregado ao longo de uma
linha reta, ficando no final com um ângulo residual,
surgindo no final as tensões residuais..
• As tensões residuais são encontradas pelo pricípio da
superposição
m
Tc
J
dA 0
1 - 25
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.08/3.09
Um eixo circular maciço é sumetido
a um torque T=4,60 KN.m em cada
uma de suas extremidades. Adotando
o material do eixo como sendo
elastoplástico, com Y 150 MPa e
G=77GPa determine:
(a) o raio do núcleo elástico,
(b) O ângulo de torção.
Após a remoção
determine:
do
torque,
(c) O ângulo de torção permanente,
(d) A distribuição
residuais.
das
tensões
1 - 26
13
14. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.08/3.09
SOLUÇÃO:
• b) Resolva a Eq. (3.36) para o ângulo
de torção:
a) Resolva a Eq. (3.32) e encontre
o raio do núcleo elástico
3
T 4 TY 1 1 Y
3
4 c3
J
1 c 4
2
1
2
Y
c
1
3
T
4 3
TY
f
Y
fY
c
fY
2510 m
3
TY
TY c
J
fY
Y c
TY L
3.68 103 N 1.2 m
JG
614 10-9 m 4 77 10 Pa
fY 93.4 103 rad
614 109 m 4
Y
f
J
TY Y
c
f
150106 Pa 614109 m4
3
25 10
93.4 103 rad
148.3 103 rad 8.50o
0.630
f 8.50o
m
3.68 kN m
Y
4.6
4 3
c
3.68
1
3
0.630
Y 15.8 mm
1 - 27
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.08/3.09
• c) Utilize a Eq. (3.16) para o
ângulo
de
torção
no
descarregamento. O ângulo de
torção permanente é a diferença
entre o âgulo no carregamento e
o no descarregamento:
• d) Utilize o método da superposição
de efeitos para encontrar as tensões
residuais
max
Tc 4.6 103 N m 25 103 m
J
614 10-9 m 4
187.3 MPa
f TL
JG
.6 103 N m1.2 m
4
.14 109 m4 109 Pa
6
77
116.8 103 rad
φp f f
148.3 103 116.8 103 rad
1.81o
f p 1.81o
1 - 28
14
15. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Torção em Barras Não Circulares
• As fórmulas anteriormente vistas, são
válidas para eixos circulares.
• Seções planas de barras não circulares
não permanecem planas durante a torção
e a distribuição da tensão e da
deformação não é linear.
• Para seções retangulares uniformes,
max
T
c1ab2
f
TL
c2ab3G
• Para altos valores de a/b, a tensão de
cisalhamento máxima e o ângulo de
torção podem ser calculados pelas eq.
Anteriores, desde que a seção seja
aberta.
1 - 29
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Eixos Vazados de Paredes Finas
• Somando as forças na direção x em AB,
Fx 0 A t ADx B t B Dx
At A Bt B t q fluxo de cisalhamento
a tensão de cisalhamento varia inversamente
com a espessura.
• O torque e a tensão de cisalhamento são
calculados conforme abaixo:
dM 0 p dF p t ds q pds 2q dA
T dM 0 2q dA 2qA
T
2tA
• O ângulo de torção é calculado por:
f
TL
4 A2G
ds
t
1 - 30
15
16. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.10
100mm
4mm
60mm
4mm
Um tubo de aluminio de seção
retangular de 60 x 100mm, fabricado
por extrusão, é submetido a um torque
3 KN.m.
Determine a tensão de
cisalhamento em cada uma das quatro
paredes, com:
(a) espessura uniforme de 4mm.
100mm
(b) espessura de parede de 3mm em AB
e AC e espessura de 5mm em CD e BD.
3mm
60mm
5mm
1 - 31
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 3.10
SOLUÇÃO:
• Determine o fluxo de cisalhamento
através das paredes do tubo:
96mm
56mm
t=4mm
t=4mm
• A tensão de cisalhamento para cada
espessura de paredes é o fluxo de
cisalhamento pela espessura.
a) Para espessura uniforme de
paredes,
q 279,02 KN / m
-3
t
4 10 m
69,8MPa
b) Para espessura de paredes
variável
A (96 56) 10 6 5,376 10 3 m 2
q
T
3 103
KN
279,02
2 A 2 5,376 10 3
m
AB AC
279,02 KN / m
3 103 m
AB BC 93,0MPa
BD CD
279,02 KN / m
5 103 m
BC CD 55,8MPa
1 - 32
16