1. 梁 的 应 力
MA 02139，剑桥
麻省理工学院
材料科学与工程系
David Roylance
2000 年 11 月 21 日
引言
为了弄清楚梁由弯曲载荷而引起的应力，人们经历了漫长的岁月。伽利略曾经研究过
这个问题，但通常认为，我们今天应用的理论主要由伟大的数学家欧拉,L.（Leonard Euler
1707－1783）所创建。我们下面将讲到梁在横截面上正应力的变化规律：在下（或上）边
缘处拉应力达到最大值，靠近中性层时拉应力渐减，在中性层上应力为零，到上（或下）
边缘处达到最大压应力。梁在横截面上也有切应力，但是当梁的跨度与梁高之比很大时，
切应力与正应力相比往往可以忽略不计。当梁受到不同载荷的作用或是梁的横截面形状不
同时，其横截面上应力的计算方法，恐怕是简明的材料力学教程中最重要的内容了，我们
将在下面详加论述。学习这一理论前，要求读者已具备画梁的剪力图和弯矩图的能力，相
关知识可参见前面的模块（如模块 12） 。
正应力
梁在正弯矩的作用下，其轴线将会变成一条向上凹的曲线。直觉告诉我们，这意味着
靠近梁顶部的材料在 x 方向（即轴线方向）受压；而梁的底部区域则受拉。在压缩区和拉
伸区之间的过渡线上，应力为零，这条线就是梁的中性轴。像粉笔和玻璃这一类抗拉能力
差的材料，将先在梁底部受拉表面产生裂纹，然后裂缝扩展，直至最后断裂。如果材料抗
拉能力强而抗压能力弱，梁会先在顶部受压表面发生破坏，这一现象可以从木条压弯时的
外表纤维的屈曲中观察到。
要确定梁在横截面上的轴向正应力的大小与梁内的剪力和弯矩之间的关系，可以用圆
轴扭转时确定横截面上切应力的类似方法。事实上，推导这两个关系式时完全遵循与处理
扭转问题时相同的直接方法：
1、几何关系的描述：首先我们假定，原为平面的梁的横截面弯曲后仍保持为平面，但
绕中性轴转过角度 θ ，如图 1 所示。由于转角很小，此角度可用梁的垂直挠度函数 v (x ) 对
x 的导数来近似1，于是 x 方向的位移为：
u = − yv, x (1)
( )
式中的逗号表示对其后的变量求导数 v, x ≡ d v /d x 。中性轴上方的 y 值为正，但中性轴在
1
曲率的精确表达式是
当分母中导数项的平方与 1 相比很小时，就得出 θ ≈ dv / dx 。
1
2. 梁内的位置尚未确定。
图1 梁弯曲时的几何关系
2、运动方程： x 方向的线应变是该方向位移的变化率，即：
du
εx = = − yv,xx （2）
dx
注意：在中性轴处 y = 0 ，于是线应变为零；在中性轴的上方线应变为负（受压）；在中性轴
的下方线应变为正（受拉）。线应变的大小随着 y 绝对值的增加而线性地增加，与圆轴扭转
时横截面上的切应变随该点到圆心的距离 r 而线性增加的情况极为相似。物理量
v,xx ≡ d2v /d x2 是梁的挠曲线的斜率的变化率，是“斜率的斜率”，称为梁的曲率。
3、本构方程：由于应力是直接从胡克定律
σ x = Eε x = − yEv, xx （3）
求得的，这就限定由此得出的结果只适用于线弹性材料。上式表明，梁横截面上的轴向正
应力也像线应变一样，从中性轴上的零值线性地增加，在梁横截面的上、下边缘处达到最
大值。
4、平衡关系：由于梁在轴向（ x 方向）不受外载荷的作用，于是，由正应力 σ x （图
2 所示）引起的总的轴向力必须为零，可用下式表示
图2 梁的力矩平衡和力平衡
2
3. ∑F x = 0 = ∫ σ x d A = ∫ − yEv,xx d A
A A
要上式成立，必须
∫
A
y dA= 0
而中性轴到横截面形心的距离 y 为：
y=
∫ y dA
A
∫ dA A
因此 y = 0 ，也就是中性轴通过梁横截面的形心。经过思考,这一结果是显而易见的：因为
在中性轴上方受压侧和下方受拉侧的应力都以相同的变化率线性地增加，仅当中性轴正好
通过形心时，这些应力才能自相平衡，使水平方向的合力为零，保持梁在水平方向的平衡。
压应力和拉应力虽可互相平衡使得水平方向无合力，但是这些应力还会产生一个逆时
针方向的力矩，此力矩必须等于该横截面上的弯矩值 M (x) ，这一结论从对 O 点的力矩平
衡方程就能看出：
∑M o = 0 = M + ∫ σ x ⋅ ydA
A
M = ∫ ( yEv,xx ) ⋅ y d A = Ev,xx ∫ y 2 d A （4）
A A
图3 矩形横截面的惯性矩
∫
2
式中， y d A 是矩形对水平形心轴的惯性矩，记作 I 。对于图 3 所示的高为 h 、宽为 b 的
矩形横截面，其 I 值为：
h/ 2 bh3
I =∫ y 2b d y = （5）
−h / 2 12
从式（4）解出梁的曲率 v,xx 为：
M
v,xx = （6）
EI
3
4. 5、将式（6）代入式（3），即可得到应力的直接计算式：
M −M y
σ x = −y E = （7）
EI I
最后得到的正应力表达式（7），与圆轴扭转时的切应力表达式 τ θ z = Tr / J 相似：横截
面上的正应力在中性轴上为零，随 y 绝对值的增加而线性地变化，到上、下边缘处达到最
大值。正应力与横截面的惯性矩成反比，与材料的性质无关。正如设计师喜欢用空心的驱
动轴以得到最大的极惯性矩 J 一样，梁的上、下表面处常带有宽的翼缘，以增加惯性矩 I 。
图4 T 形截面悬臂梁
例 1 T 形截面悬臂梁的尺寸如图 4 所示，梁上均布载荷的集度为 w N m 。梁的最大
弯矩出现在与墙相连的固定端，容易求得其值为 Mmax = (wL)(L / 2) 。随后可用式（7）求
应力，但要先知道中性轴的位置，因为 y 和 I 值都由中性轴位置而定。
（见习题 1）可求出梁的底部到过形心的中性轴的距离 y 。该定理
用“组合图形定理”
指出：若总图形由若干个简单图形组合而成，则总图形的形心到任一轴的距离，等于各个
简单图形的面积与其形心到该轴的距离的乘积的代数和除以这些图形面积之和（即总图形
的面积）：
y=
∑Ayi i i
∑A i i
对本例，上式即
y=
(d / 2)(cd) + (d + b / 2)(ab)
cd + ab
3 3
组合图形中的各组成部分对其自身形心轴的惯性矩分别为 ab /12 和 cd /12 。应用“平
行轴定理”（见习题 3），可从这些惯性矩进一步求得各组成部分对通过组合图形形心的水
平轴的惯性矩。该定理指出：若任意轴 z′ 平行于过图形形心的轴 z ，两轴间的距离为 d ，
则图形对 z′ 轴的惯性矩 I z′ 等于图形对 z 轴的惯性矩 I z 加上图形面积 A 和距离 d 平方的乘
积：
I z′ = I z + Ad 2
4
5. 对本例 ，就是
2
ab3 ⎛ b ⎞
I (1) = + (ab) ⎜ d + − y ⎟
12 ⎝ 2 ⎠
2
cd3 ⎛d ⎞
I ( 2)
= + (cd) ⎜ − y ⎟
12 ⎝2 ⎠
于是，整个组合图形对其形心轴的惯性矩等于这两者之和：
I = I (1) + I (2)
把最大弯矩 Mmax 、截面的 I 值和中性轴到横截面边缘的距离 y = y 代入式（7），即可求得
最大正应力：
σx =
(3d c + 6abd+ 3ab )wL
2 2 2
c2d 4 + 4abcd3 + 6ab2cd2 + 4ab3cd + a2b4
在实际运算中，每一步求解都得到一个具体数值，而不是代数表达式。
在纯弯曲情况下，梁的横截面上只有弯矩、没有横向或轴向的内力，仅有正应力 σ x ，
其值由式（7）给出。所有其他的应力都为零，即 σ y = σ z = τ xy = τ xz = τ yz = 0 。但是由
于泊松效应，除了线应变 ε x 外，还有其他方向的线应变。泊松效应并不会引起切应变，
γ xy = γ xz = γ yz = 0 。各个方向的线应变为：
σ
εx =
1
E
[
σ x −ν (σ y + σ z ) = x
E
]
σ
εy =
1
E
[
σ y −ν (σ x + σ z ) = −ν x
E
]
σ
εz =
1
E
[
σ z −ν (σ x + σ y ) = −ν x
E
]
这些应变也可以用曲率来表示。从式（2）可得，梁沿着轴向的曲率为：
εx
v,xx = −
y
梁同时还有横向（垂直于轴线方向）的曲率，其值由下式给出：
εz νεx
v,zz =− = =−ν v,xx
y y
这种横向弯曲如图 5 所示，称为鞍形弯曲。如果你用手指弯曲一块“红珍珠”牌橡皮，就
可看到这种弯曲。
5
6. 图5 鞍形弯曲
如同结构受拉和受扭时一样，弯曲问题往往用能量法更易求解。从式（7）求得应力后，
将单位体积的应变能 U = σ / 2E 在整个构件的体积上积分，就可求出由弯曲应力引起
* 2
的应变能 Ub ：
σx
2
Ub = ∫U dV = ∫ ∫
*
d AdL
V L A 2E
1 ⎛−My⎞
2
M2
=∫ ∫ ⎟ d A dL = ∫L
2EI 2 ∫A
⎜ y 2 d A dL
L A 2E
⎝ I ⎠
因为 ∫
A
y2 d A = I ，上式可简写为
M 2 dL
Ub = ∫ （8）
L 2EI
如果整根梁上的弯矩为常量（这种情况当然并不常见），则上式变为
M 2L
U=
2EI
这又是一个与单轴拉伸时的应变能表达式（ U = P L / 2AE）相似的式子。
2
屈曲
受压的细长杆易屈曲失效。杆屈曲时，沿长度方向产生弯曲变形，除非卸去载荷，否
则压杆将很快失去稳定性（简称失稳）。梁的横向挠度将产生弯矩，屈曲实际上是由此弯矩
引起的一种弯曲现象。现研究图 6 所示两端铰支、受到轴向压力 P 作用的梁，一个偶然的
侧向载荷或横截面的缺陷，使梁产生横向偏移 v ， 于是 P 力在梁的各横截面上引起的弯矩
为
M ( x) = P v( x) （9）
梁自身的刚度有消除这种偏移、并重新恢复原来直线形状的趋势，但是弯矩的影响使梁产
生更大的偏移。这好比是一场“对抗”，看哪种影响胜出。如果弯矩使偏移增加的趋势超过
6
7. 了梁的弹性刚度的抗弯能力，梁就会变得不稳定，梁将加速继续弯曲直至失效。
图6 梁屈曲的形成
由式（6）可知弯矩与梁的曲率有关，于是结合式(9) 可得
P
v,xx = v （10）
EI
无疑， v = 0 满足式（10）所示的挠曲线方程，即梁是直的。除此平凡解以外，我们还希
望求得其他解，即想知道梁在弯曲时是否仍满足此挠曲线方程——这说明梁的刚度不足以
使梁恢复未弯的形状，梁开始屈曲。与自身的二阶导数成比例的函数满足微分方程（10） ，
而三角函数有此特性，于是可选择具有如下形式的解
P P
v = c1 sin x + c2 cos x
EI EI
因为在 x = 0 和 x = L 处挠度为零，显然 c 2 必须等于零。此外，在上述两处正弦项必须为
零，这就要求长度 L 恰是正弦函数半波长的正整数倍：
n = 1 时，得到能使梁变弯的 P 的最小值，即临界屈曲载荷 Pcr
π 2 EI
Pcr = （11）
L2
2
注意到与 Pcr 与 L 有关，所以屈曲载荷与杆长的平方成反比。
既然杆长对屈曲载荷有如此明显的影响， 就不难理解横向支承对预防屈曲的重要性了。
如果在梁的中点处加支承（见图 7）以消除中点处的挠度，将迫使屈曲形态下挠曲线的波
长变为 L ,不再是原来的 2 L 。这相当于梁的长度减半，从而使临界屈曲载荷增至原来的四
倍。
7
9. 处达到最大值。
为了确定水平切应力随垂直位置 y 而变化的规律，可从梁中高于中性轴为 y 处切出一
宽为 d x 的自由体，如图 9 所示。设自由体左端横截面上的弯矩为 M ( x) ，右端横截面上的
弯矩增至 M ( x) + d M ( x) 。由于水平方向的正应力与弯矩成正比（ σ x = M y / I ），因此
弯矩在距离 d x 上的增量 d M 将使正应力增加，从而导致水平方向受力的不平衡。这一不
平衡必须由 y 处水平面上的切应力来消除。水平方向上力的平衡条件可以写成
dM ξ
τ x y bdx = ∫ ′ d A′
A I
图9 粱微段上的剪力和弯矩
式中，b 是粱在 y 处的宽度，ξ 为反映自由体横截面某点高度的变量，从给定值 y 变化到上
边缘处的 y 坐标值（若梁的横截面高为 h ，即为 h / 2 ） A′ 是自由体横截面的面积。根据模
，
块 12 的式（8） M = V d x ， 于是
，d
V VQ
τx y =
Ib ∫ ξ d A′ = Ib
A′
(12)
式中， Q ( y ) = ∫
A′
ξ dA′ = ξ A′ 是自由体横截面面积对中性轴的静矩。
刚涉足梁理论的人们常常搞不清参数 Q ( y ) 的意义。当相对中性轴的高度 y 给定后，
为求出 Q ( y ) ，可先画出梁的横截面，在给定的 y 处画一条水平线（图 10 以宽为 b 、高为
h 的矩形截面梁为例），注意水平线以外部分的横截面面积 A′ （图 10 中 A′ 用交叉阴影线
表示） 计算图形 A′ 的形心到中性轴的距离 ξ ，A′ 的面积和距离 ξ 的乘积就是参数 Q ( y ) ，
，
此即图形 A′ 对形心轴的静矩。对矩形截面梁而言，其静矩为
9
10. 图 10 矩形截面梁的横截面
⎡ ⎛h ⎞⎤ ⎡ 1 ⎛ h ⎞⎤ b ⎛ h ⎞
2
Q = A′ξ = ⎢b ⎜ − y⎟⎥ ⎢ y + ⎜ − y⎟⎥ = ⎜ − y2 ⎟
⎜4 ⎟
⎣ ⎝2 ⎠⎦ ⎣ 2 ⎝ 2 ⎠⎦ 2 ⎝ ⎠
上式表明，Q ( y ) 及与 Q ( y ) 成线性关系的 τ xy ( y ) 沿截面高度 y 按抛物线规律变化，在中性
轴 y = 0） 下边缘 y = h / 2 ） 对矩形截面梁， I = b h / 12
3
（ 处取得最大值，在上、 （ 处为零。 将
代入式（12），得到切应力的最大值为
3V
τ xy,max = τ xy | y=0 =
2bh
务请记住：上面关于 Q 和 τ xy , max 两个算式仅适用于矩形横截面，其他形状的横截面有不同
的算式。当梁的跨长相对其高度而言较短时，切应力的极值将是影响梁强度和刚度的最重
要因素，这是因为弯矩通常随梁的跨度而增加，而剪力与跨度无关（见习题 11）
。一种测
定层间剪切强度的标准试验2就是使一根短梁弯曲，然后观察载荷多大时梁的中性层处开始
出现裂缝。
例2 由于正应力在水平切应力为零处（截面的上、下边缘）达到最大值，而切应力
在正应力为零处（中性轴）达到最大值。所以通常只需考虑其中之一即可。但是对工字形
截面和 T 形截面梁，往往应特别注意腹板和翼缘的接合处，因为在此位置正应力和切应力
都比较大。
现回顾例 1 中的 T 形截面梁，考察图 11 中上翼缘和腹板交界处的 A 点，式（12）中
的宽度 b 即标为 c 的尺寸。因为腹板很窄，所以切应力 τ xy 较大；但在翼缘处，宽度突然跳
至较大的 a 值，使切应力显著减小。 A 点的正应力按 σ x = M y I 计算，这里 y = d − y （ y
为梁的底部到中性轴的距离） 如果翼缘的厚度 b 相对于腹板的高度 d 来说很小，
。 那么 A 点
2
“用短梁法测定增强塑料的表观水平剪切强度”，ASTM D2344，美国试验和材料协会。
10
11. 的正应力几乎与横截面上边缘的正应力一样大。根据 A 点的应力状态可画出应力圆， σ x 和
τ xy 对应力圆都有很大的影响，使主应力比横截面边缘处和中性轴处的应力都大。
本例使我们重温了梁中正应力和切应力的变化规律，也很自然地提供了一个适合于计
算机符号处理方法的实例。应用 Maple 软件时，可从计算形心轴的位置入手：
图 11 T 形截面梁的横截面
这里，符号“>”是 Maple 的命令提示符， ”则是 Maple 中结束命令所必须的。将最大
“；
剪力和弯矩（出现在梁的固定端）用分布载荷的集度和梁的长度定义为
为便于绘图，取一个从截面底部起算的表示高度的变量 Y。于是正应力、切应力和第一主
应力都是 Y 的函数，这些应力都用 Maple 的“程序”命令定义：
惯性矩 的计算如下
梁的宽度 B 根据变量 Y 是在腹板还是在翼缘而取适当的值：
命令“fi”“if ”的倒写）用来结束一个 if-then 循环。函数 Q(y) 是对腹板和翼缘分别定义
（
的：
这里的“int”是 Maple 的积分命令，yy 表示高度积分变量。各参数的数值定义为
11
12. 图 12 T 形截面的短悬臂梁受均布载荷作用时腹板和翼缘接合处的应力
最后，可用 Maple 的绘图命令画出应力曲线
得到的曲线如图 12 所示。
例 3 上例中，我们感兴趣的是当梁的横截面不规则时，应力作为高度函数的变化规
律。另一类在设计或分析中常见的问题是：变化的应力不仅是高度的函数，而且是沿梁的
轴向距离的函数。弯矩 M ( x) 和剪力 V ( x) 都沿梁的轴向而变化，根据式（7）和式（12），
与之相关的正应力 σ xy ( x, y ) 和切应力 τ xy ( x, y ) 自然也沿梁的轴向而变化。
图 13 （a）四点弯曲梁 （b）受力图
矩形横截面的短梁受 4 个集中力的作用，如图 13 所示。其载荷、剪力和弯矩函数分别
为：
12
13. q(x ) = P x −1
−P x−a −1
− P x − 2a −1
+ P x − 3a −1
V ( x ) = − ∫ q ( x )d x = − P x + P x − a + P x − 2a − P x − 3a
0 0 0 0
M ( x ) = − ∫ V ( x )d x = P x − P x − a − P x − 2a + P x − 3a
1 1 1 1
切应力和正应力作为 x 和 y 的函数，可直接由上述函数式确定，像主应力这样的参数
也可同样确定。因为 σ y 处处为零，故主应力为
σx ⎛σ ⎞
2
σ p1 = + ⎜ x ⎟ + τ xy
2
2 ⎝ 2 ⎠
要看出 σ p1 是如何随 x 和 y 而变化的，一种方法是借助三维曲面图，此图用 Maple 软件很
容易得到。取数值 P = 100, a = h = 10, b = 3, 我们可以应用如下的语句（为简洁起见，未
写出 Maple 的计算结果）：
得到的图形如图 14 所示。在靠近梁的两端处，按抛物线规律变化的切应力的决定性作用显
而易见。因为在这些位置， 剪力取得最大值而弯矩则很小（画出剪力图和弯矩图便可证实）。
在梁的中间部分，即 a < x < 2a 处，剪力为零，主应力完全取决于正应力，并且从中性轴
开始呈线性变化。在截面上部受压部分，第一主应力等于零，因为在这些部位， σ x 为负，
而 σ y = 0 ，莫尔圆的右边界必通过坐标原点。透彻理解图 14 将使我们很好地重温梁的应
力公式。
13
14. 图 14 四点弯曲梁中主应力的变化规律
习题
1 推导确定组合图形形心的组合图形定理。
y=
∑Ay i i i
∑A i i
2 确定图形 ( a ) − ( d ) 的形心位置。
题 2 图
3 推导平面图形惯性矩的“平行移轴定理”：
I x = I xg + A y 2
I y = I yg + A x 2
14
15. 题 3 图
4 确定图形 ( a ) − ( d ) 对水平形心轴的惯性矩。
题 4 图
5 求证：坐标轴旋转时惯性矩的变换关系与应力变换关系完全相同：
I x′ = I x cos 2 θ + I y sin 2 θ − 2 I xy sin θ cos θ
式中， I x 和 I y 分别为对 x 和 y 轴的惯性矩， I xy 为惯性积，定义如下
I xy = ∫ xy d A
A
6 确 定 图 ( a ) − ( h) 中 所 示 梁 的 最 大 正 应 力 σ x ， 已 知 L =25 in ， a =5 in, w =10
lb/in, P =150 lb。假定矩形截面梁宽 b =1 in ，高 h =2 in。
15
16. 题 6 图
7 ASTM 试验 D790 是“未增强和增强塑料和电性绝缘材料的抗弯特性的标准测试方
法”，验证该方法中的如下命题：
对匀质弹性材料制成的矩形截面简支梁进行抗弯特性测试，将载荷加在简支梁的中
点处，横截面边缘上的最大正应力发生在梁跨中点。载荷-挠度曲线上任意点的应力可按下
式计算：
S = 3PL 2bd 2
式中，S 为梁跨中点横截面边缘上的应力， 单位 MPa；P 为载荷-挠度曲线上给定点的载荷；
L 为梁的跨度，单位 mm ； b 为被测试梁的宽度，单位 mm ； d 为被测试梁的高度，单位
mm。
8 ASTM 试验 D790 是“未增强和增强塑料和电性绝缘材料抗弯特性的标准测试方法” ，
验证该方法中的如下命题：
6
切线弹性模量，通常称为“弹性模量” 它是弹性范围内应力和相应的应变之比， 10
， 用
帕来表示。作出载荷-挠度曲线最陡的初始直线部分的切线，即可按下式计算：
Eb = L3 m 4bd 3
式中， Eb 为弯曲时的弹性模量，单位 MPa； L 为梁的跨度，单位 mm ； b 为被测试梁的
宽度，单位 mm ； d 为被测试梁的高度，单位 mm。 m 为载荷-挠度曲线初始直线部分的切
线的斜率，单位 N/mm。
9 欲从图示的圆形树干中截出矩形截面梁，应如何取高、宽比（ h / b ），才能使梁弯
曲时的应力最小？
16
17. 题 9 图
10 求出题 6 中图 ( a ) − ( h) 所示梁的最大切应力 τ xy ，已知 L =25 in， a =5 in, w =10
lb/in, P =150 lb。假定矩形截面梁宽 b =1 in ，高 h =2 in。
11 求证：三点弯曲梁中最大切应力和最大正应力之比为
τ h
=
σ 2L
因此，当梁的跨度与高度之比变小、即梁变短时，切应力的影响将增大。
题 11 图
12 ASTM 试验 D4475 是“用短梁法测试拉挤成型增强塑性杆的表观水平剪切强度的
标准方法”，验证由下式给出的表观剪切强度：
S = 0.849 P d 2
2
式中， S 为表观剪切强度，单位 N/m (或 psi)； P 为断裂载荷，单位 N（或 lbf） d 为试
；
样的直径，单位 m（或 in）。
13 图示 T 形截面梁的尺寸如下： L = 3, a = 0.05, b = c = 0.005, d = 0.7 （都以 m
为单位），分布载荷的集度为 w = 5000N/m。试求 A 点的主应力和最大切应力。
题 13 图
14 悬臂梁在长度 L 内，圆截面的半径从 4r0 线性地变化到 r0 ，梁的自由端作用着集中
17
18. 力 P ，试求梁中最大的正应力。
题 14 图
15 碳钢压杆长 L ＝1 m，圆截面的直径 d ＝20 mm。试确定下列各种情况下的临界屈
曲载荷 Pcr ：（a）两端铰支；（b）一端固定、另一端自由；（c）两端铰支并在中点处有横向
支承。
题 15 图
16 碳钢圆截面压杆长 L ＝1 m。试问截面直径 d 为何值时，压杆屈曲或屈服的可能性
相等？
18
